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2015赢在高考第一轮复习数学 课后作业3


第3讲

充要条件与四种命题

基础巩固

1.命题“若 f(x)是奇函数,则 f(-x)是奇函数”的否命题是 ( A.若 f(x)是偶函数,则 f(-x)是偶函数 B.若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数 C.若 f(-x)是奇函数,则 f(x)是奇函数 D.若 f(-x)不是奇函数,则 f(x)不是奇函数 答案:B 解析:原命题的否命题是既否定条件,又否定结论.应选 B. 2.命题“若 x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是( A.若 x2≥1,则 x≥1 或 x≤-1 B.若-1<x<1,则 x2<1 C.若 x>1 或 x<-1,则 x2>1 D.若 x≥1 或 x≤-1,则 x2≥1 答案:D 解析:∵ x2<1 的否定为 x2≥1,-1<x<1 的否定为 x≥1 或 x≤-1,∴ 原命题的逆否命题为“若 x≥1 或 x≤-1,则 x2≥1”. 3.(2014 届山东临沂月考)设 a,b∈ R,则“(a-b)· a2<0”是“a<b”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A ) ) )

1

解析:因为 a2≥0,而(a-b)a2<0,所以 a-b<0,即 a<b;由 a<b,a2≥0,得到(a-b)a2≤0,所以“(a-b)a2<0” 是“a<b”的充分不必要条件. 4.下列命题中为真命题的是( A.命题“若 x>y,则 x>|y|”的逆命题 B.命题“若 x>1,则 x2>1”的否命题 C.命题“若 x=1,则 x2+x-2=0”的否命题 D.命题“若 x2>0,则 x>1”的逆否命题 答案:A 解析:对于 A,逆命题是:若 x>|y|,则 x>y,是真命题,这是因为 x>|y|≥y,必有 x>y;对于 B,否命 题是:若 x≤1,则 x2≤1,是假命题,如 x=-5,x2=25>1;对于 C,否命题是:若 x≠1,则 x2+x-2≠0,由 于 x=-2 时,x2+x-2=0,所以是假命题;对于 D,若 x2>0,则 x>0 或 x<0,不一定有 x>1,因此原 命题的逆否命题是假命题. 5.已知 a,b,c 都是实数,则在命题“若 a>b,则 ac2>bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这 四个命题中,真命题的个数是( A.4 答案:B 解析:原命题是一个假命题,因为当 c=0 时,不等式的两边同乘上 0 得到的是一个等式;原 命题的逆命题是一个真命题,因为当 ac2>bc2 时,一定有 c2≠0,所以必有 c2>0,不等式两边 同除一个正数,不等号方向不变,即若 ac2>bc2,则 a>b 成立.根据命题的等价关系,四个命题 中有 2 个真命题. 6.设集合 M={x||x-1|<2},N={x|x(x-3)<0},那么“a∈ M”是“a∈ N”的( A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A 2 ) B.2 ) C.1 D.0 )

解析:由|x-1|<2,得-2<x-1<2,即-1<x<3;由 x(x-3)<0 解得 0<x<3,从而可知集合 N 是集合 M 的真子集,故“a∈ M”不一定能推出“a∈ N”,但“a∈ N”一定可以推出“a∈ M”,所以“a∈ M”是 “a∈ N”的必要不充分条件. 7.命题“若 x>0,则 x2>0”的否命题是 答案:假 解析:其否命题为“若 x≤0,则 x2≤0”,它是假命题. 8.已知 p:x2-4x+3<0,q: x <0,则 p 是 q 的 答案:充分不必要 解析:由 x2-4x+3<0 得 1<x<3,即 x∈ (1,3),由 x(x-3)<0 得 0<x<3,即 x∈ (0,3).∵ (1,3)? (0,3), ∴ p 是 q 的充分不必要条件. 9.给出下列命题: ①原命题为真,它的否命题为假; ②原命题为真,它的逆命题不一定为真; ③一个命题的逆命题为真,它的否命题一定为真; ④一个命题的逆否命题为真,它的否命题一定为真; ⑤“若 m>1,则 mx2-2(m+1)x+m+3>0 的解集为 R”的逆命题. 其中真命题是 答案:②③⑤ 解析:原命题为真,而它的逆命题、否命题不一定为真,互为逆否命题同真同假,故①④错 误,②③正确.又因为不等式 mx2-2(m+1)x+m+3>0 的解集为 R, 由 m>0 m>0 ? ?m>1. 2 Δ = 4(m + 1) -4m(m + 3) < 0 m>1 .(把你认为正确命题的序号都填在横线上)
x-3

命题(填“真”或“假”).

条件.

故⑤正确. 10.判断命题“若 a≥0,则 x2+x-a=0 有实根”的逆否命题的真假. 解:原命题:若 a≥0,则 x2+x-a=0 有实根.

3

逆否命题:若 x2+x-a=0 无实根,则 a<0. 判断如下: ∵ x2+x-a=0 无实根, ∴ Δ=1+4a<0. ∴ a<-4<0. ∴ “若 x2+x-a=0 无实根,则 a<0”为真命题. 11.指出下列各组命题中,p 是 q 的什么条件? (1)p:四边形的对角线相等;q:四边形是平行四边形. (2)p:x,y 是实数,xy>0;q:|x+y|=|x|+|y|. 解:(1)∵ 四边形的对角线相等不能保证四边形是平行四边形,四边形是平行四边形也得不 出四边形的对角线相等, ∴ p 是 q 的既不充分也不必要条件. (2)∵ xy>0?x,y 同正或同负, ∴ 当 当 x > 0, ?|x+y|=|x|+|y|, y>0
1

x < 0, ?|x+y|=|x|+|y|. y<0

∴ xy>0?|x+y|=|x|+|y|. 但反之不能推出,如当 x=0,y=2 时, 有|x+y|=|x|+|y|成立,xy>0 却不成立. ∴ p 是 q 的充分不必要条件.
拓展延伸

12.已知不等式|x-m|<1 成立的充分不必要条件是3<x<2,求 m 的取值范围. 解:由题意知“3<x<2”是“不等式|x-m|<1”成立的充分不必要条件. 4
1 1

1

1

于是集合 x

1

< < 2 是集合{x||x-m|<1}的真子集. 3

1

因为{x||x-m|<1}={x|-1+m<x<1+m}, 所以有
1

-1 + m ≤ 3 , 1 + m ≥ 2,
4 1

1

解得-2≤m≤3. 所以 m 的取值范围是 - 2 , 3 .
1 4

5


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