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高中数学选修2-3(人教B版)第二章随机变量及其分布2.2知识点总结含同步练习题及答案


高中数学选修2-3(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 随机变量及其分布 2.2 条件概率与事件的独立性

一、学习任务 1. 了解条件概率的定义及计算公式,并会利用条件概率解决一些简单的实际问题. 2. 能通过实例理解相互独立事件的定义及概率乘法公式,并能综合利用互斥事件的概率加法公 式及独立事件的概率乘法公式. 3. 理解独立重复试验的概率及意义,理解事件在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 公式,并能利用 n 次独立重复试验的模型模拟 n 次独立重复试验. 二、知识清单
事件的独立性与条件概率 独立重复试验与二项分布

三、知识讲解
1.事件的独立性与条件概率 描述: 条件概率的概念 一般地,设 A ,B 为两个事件,且 P (A) > 0,称

P (B|A) =

P (AB) P (A )

为在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的条件概率(conditional probability). P (B|A) 读作 A 发生的条件下 B 发生的概率. 条件概率的性质 ①条件概率具有概率的性质,任何事件的条件概率都在 0 和 1 之间,即 0 ≤ P (B|A) ≤ 1 . ②如果 B 和 C 是两个互斥事件,则

P (B ∪ C |A) = P (B|A) + P (C |A).
相互独立事件的概念 设 A ,B 为两个事件,若 P (AB) = P (A)P (B),则称事件 A 与事件 B 相互独立(mutually independent). 相互独立事件同时发生的概率:如果事件 A 1 ,A 2 ,?,A n 相互独立,那么这 n 个事件同时 发生的概率等于每个事件发生概率的积,即

P (A 1 A 2 ? A n ) = P (A 1 )P (A 2 ) ? P (A n ).
例题: 甲、乙两地都位于长江下游,根据一百多年气象记录,知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别

20%

18%

12%

为 20% 和 18% ,两地同时下雨的比例为 12% ,问: (1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少? (2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少? 解:设 A =“甲地为雨天”,B = “ 乙地为雨天”,则根据题意有

P (A) = 0.20, P (B) = 0.18, P (AB) = 0.12.
(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率

P (A|B) =
(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是

P (AB) 0.12 = ≈ 0.67. 0.18 P ( B)

P (B|A) =

P (AB) 0.12 = = 0.60. 0.20 P (A )

如图,四边形 EFGH 是以 O 为圆心,半径 1 的圆内接正方形,将一颗豆子随机地扔到该圆内,用 A 表示事 件“豆子落在正方形 EFGH 内”,B 表示事件“豆子落在扇形 OHE (阴影部分)内”,则 (1)P (A) =______;(2)P (B|A) =______.

2 1 ; π 4 π 圆 O 的面积是 π ,正方形 EF GH 的面积是 2 ,扇形 OHE 的面积是 ,由几何概型概率 4 2 公式得 P (A) = ,由条件概率公式得 π
解:

1 P (AB) 1 2 P (B|A) = = π = . 4 2 P (A ) π
掷一枚正方体骰子一次,设事件 A :“出现偶数点”,事件 B :“出现 3 点或 6 点”,则事 件 A ,B 的关系是( ) A.互斥但不相互独立 B.相互独立但不互斥 C.互斥且相互独立 D.既不相互独立也不互斥 解:B 事件 A = {2, 4, 6},事件 B = {3, 6},事件 AB = {6},基本事件空间 Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} . 所以 P (A) = 互斥事件. 甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为

3 1 2 1 1 1 1 = ,P (B) = = ,P (AB) = = × ,即 P (AB) = P (A)P (B), 6 2 6 3 6 2 3 因此,事件 A 与 B 相互独立.当“出现 6 点”,事件 A ,B 同时发生,所以 A ,B 不是 1 2 与 . 2 5

(1)甲、乙两人在罚球线各投球一次,求恰好命中一次的概率; (2)甲、乙两人在罚球线各投球二次,求这四次投球均不命中的概率. 解:记“甲投一次命中”为事件 A ,“乙投一次命中”为事件 B ,则 P (A) =

2

1

3

1 , 2

2 ? ) = 1 ,P (?? ?) = 3. P (B) = ,P (?? A B 5 2 5
(1)恰好命中一次的概率为

2

? ? B) ? ) + P (?? P = P (A ? ?? B A ? ) ? P ( B) ? ) + P (?? = P (A) ? P (?? B A 1 3 1 2 × + × 2 5 2 5 1 = . 2 =

(2)设事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为 P1 ,则

? ∩ ?? ? ∩ ?? ? ∩ ?? ?) P1 = P (?? A A B B ? ) ? P (?? ? ) ? P (?? ? ) ? P (?? ?) = P (?? A A B B 1 2 = (1 ? )2 (1 ? )2 2 5 9 = . 100
在一个选拔项目中,每个选手都需要进行 4 轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下 一轮考核,否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为

(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率; (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率; 解:设事件 A i ( i = 1 ,2 ,3 ,4 )表示“该选手能正确回答第 i 轮问题”,由已知得

4 3 1 , , ,且各轮问题能否正确回答互不影响. 5 4 3

5 , 6

5 4 3 1 ,P (A 2 ) = ,P (A 3 ) = ,P (A 4 ) = . 6 5 4 3 (1)设事件 B 表示“该选手进入第三轮才被淘汰”,则 P (A 1 ) = ? 3) P (B) = P (A 1 A 2 ?? A

? 3) = P (A 1 )P (A 2 )P (?? A 5 4 3 = × × (1 ? ) 6 5 4 1 = . 6

(2)设事件 C 表示“该选手至多进入第三轮考核”,则

? 1 + A 1 ?? ? 2 + A 1 A 2 ?? ? 3) P (C ) = P (?? A A A ? 1 ) + P (A 1 ?? ? 2 ) + P (A 1 A 2 ?? ? 3) = P (?? A A A 1 5 1 5 4 3 + × + × × (1 ? ) 6 6 5 6 5 4 1 = . 2 =

2.独立重复试验与二项分布 描述: 独立重复试验 一般地,在相同条件下重复做的 n 次试验,称为 n 次独立重复试验(independent and repeated trials). 二项分布 一般地,在 n 次独立重复试验中,用 X 表示事件 A 发生的次数,设每次试验中事件 A 发生的 概率为 p ,则
n?k k P (X = k) = Ck , k = 0, 1, 2, ? , n. n p (1 ? p)

此时称随机变量 X 服从二项分布(binnomial distribution),记作 X ? B(n, p)),并称 p 为 成功概率. 例题: 下列随机变量 X 的分布列不属于二项分布的是( ) A.投掷一枚均匀的骰子 5 次,X 表示点数 6 出现的次数 B.某射手射中目标的概率为 p ,设每次射击是相互独立的,X 为从开始射击到击中目标所需要 的射击次数 C.实力相等的甲、乙两选手举行了 5 局乒乓球比赛,X 表示甲获胜的次数 D.某星期内,每次下载某网站数据后被病毒感染的概率为 0.3,X 表示下载 n 次数据后电脑被 病毒感染的次数 解:B 选项 A,试验出现的结果只有两个:点数为 6 和点数不为 6 ,且点数为 6 的概率在每一次试验

1 ,每一次试验都是独立的,故随机变量 X 服从二项分布; 6 选项 B,P (X = 1) = p, P (X = 2) = (1 ? p)p, P (X = k) = (1 ? p)(k?1) p,故随机变量 X 不服
都为 从二项分布; 选项 C,甲、乙的获胜率都相等,举行 5 次比赛,相当于进行了 5 次独立重复试验,故 X 服 从二项分布; 选项 D,由二项分布的定义可知,被感染次数 X ? B(n, 0.3).

口袋中有 5 个白色乒乓球,5 个黄色乒乓球,从中选取 5 次,每次取 1 个后又放回,则 5 次 中恰有 3 次取到白球的概率是( ) A.

1 2

B.

3 5

C.

解:D 任意取球 5 次,取得白球 3 次的概率是

C5 10

C3 5

5 D . C3 5 ? 0.5

5?3 3 5 P (X = 3) = C3 = C3 5 0.5 (1 ? 0.5) 5 ? 0.5 .

甲、乙两名同学进行三分球投篮比赛,甲每次投中的概率为 人分别进行三次投篮. (1)设甲投中的次数为 ξ ,求 ξ 的分布列; (2)求乙至多投中 2 次的概率; (3)求乙恰好比甲多投中 2 次的概率.

1 1 ,乙每次投中的概率为 ,每 3 2

1

解:(1)ξ ? B(3,

1 ),ξ 的可能取值为 0 ,1 ,2 ,3 . 3 2 3 8 P (ξ = 0) = C0 , 3( ) = 3 27 1 2 2 4 P (ξ = 1) = C1 , 3 ( )( ) = 3 3 9 1 2 2 2 P (ξ = 2) = C2 , 3( ) ( ) = 3 3 9 1 3 1 P (ξ = 3) = C3 . 3( ) = 3 27

ξ 的分布列为: ξ P 0 8 27 1 4 9 2 2 9 3 1 27

(2)设“乙至多投中 2 次”为事件 A ,则

1 3 7 P (A ) = 1 ? C3 . 3( ) = 2 8
(3)设“乙比甲多投中 2 次”为事件 A 1 ,“乙恰投中 2 次且甲恰投中 0 次”为事件 B 1 ,“乙恰投中 3 次且甲恰投中 1 次”为事件 B 2 ,则 A 1 = B 1 ∪ B 2 ,B 1 ,B 2 为互斥事 件,则

P (A ) = P (B 1 ) + P (B 2 ) =
所以乙恰好比甲多投中 2 次的概率为

8 3 4 1 1 × + × = . 27 8 9 8 6

1 . 6

四、课后作业

(查看更多本章节同步练习题,请到快乐学kuailexue.com)

1. 某一批花生种子,如果每 1 粒发芽的概率为 A.

16 625 4 5
2

B.

96 625 96 4 2 . ) = 625 5

4 ,那么播下 4 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是 ( 5 192 256 C. D. 625 625

)

答案: B 解析:

概率为 C2 4 ( ) (1 ?

2. 某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是 0.75 ,连续两天为优良的概率是

0.6 ,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是 (
A.0.8
答案: A

)
D.0.45

B.0.75

C.0.6

3. 某厂生产电子元件,其产品的次品率为 5%,现从一批产品中任意地连续取出 2 件,其中次品数 ξ 的

概率分布是
答案:



ξ P ξ ? B (2, 0.05).

0 0.9025

1 2 0.095 0.0025

解析: 由题意,得

4. 将一枚均匀的硬币抛掷 6 次,则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为
答案: 解析:



5 6 依题意得,所求的概率等于 C4 6 ? ( ) + C6 ? ( ) + C6 ? ( ) =

11 32

1 2

6

1 2

6

1 2

6

11 . 32

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