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【全国百强校】河北唐山一中2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题


卷Ⅰ (选择题 共 60 分) 一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一选项是符合 题目要求的. ) 1.设全集 U 是实数集 R , M ? {x x ? 2或x ? ?2} , N ? {x x ? 3或x ? 1} 都是 U 的子集,则图中阴影部 分所表示的集合是 A. {x ? 2 ? x ? 1} C. {x 1 ? x ? 2} 2. 下列函数中与函数 y ? x 相等的函数是( A. y ? ( x ) 2 C. y ? 2 log 2 x
2

( B. {x ? 2 ? x ? 2} D. {x x ? 2} ) B. y ? x 2 D. y ? log 2 2 x ) B. [1, 2] C. [0, 2]

)

3.函数 y ? 2 ? ? x ? 4 x 的值 域是( A. [?2, 2]

D. [? 2, 2] )

4.函数 y ? kx ? b 与函数 y ?

kb 在同一坐标系中的大致图象正确的是( x

5.已知函数 f ? x ? ? ? A.

?log 3 x, x ? 0, ?2 ,
B.4
x

x ? 0.

则 f?f?

? ? 1 ?? ?? 的值为( ? ? 27 ??
C.2 )
?2

) D.

6. 下列函数中既是偶函数又在 (??,0) 上是增函数的是( A. y ? x
4 3
2

1 8

1 4
D. y ? x
? 1 4

B. y ? x

3 2

C. y ? x

? x ? ax ? 5, x ? 1, ? 7.已知函数 f ( x) ? ? 在 R 上单调,则实数 a 的取值范围为 1 1 ? , x ? 1. ? x ? A . (??, 2] B . [2, ??) C . [4, ??) D . [2, 4] 8. 已 知 f ? x ? 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 在 ? ??, 0? 上 是 增 函 数, 设 a ? f ? log 4 7 ? , b ? f (log 2 3) ,
c ? f ? 0.20.6 ? ,则 a, b, c 的大小关系是(
B. b ? c ? a )
[来源:学&科&网]

A. c ? b ? a

C. b ? a ? c

D. a ? b ? c )

9. 设函数 y ? x 3与y ? ( ) x ? 2 的图象的交点为 ( x 0 , y 0 ) ,则 x 0 所在的区间是( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 10. 设 g ( x) 为 R 上不恒等于0的奇函数, f ( x) ? ?

1 2

1? ? 1 ? ? g ( x) ( a >0且 a ≠1)为偶函数,则常数 b 的值 x ? a ?1 b ?

为( A.2

) B.1 C.

11. 若 f ( x) 是 R 上的减函数,且 f ( x) 的图象经过点 A(0,4) 和点 B(3,?2) ,则当不等式 | f ( x ? t ) ? 1 |? 3 的 解集为 (?1,2) 时, t 的值为( ) A. 0 B. -1 C. 1 D. 2 12 .已知函数 y ? f ( x) 满足:① y ? f ( x ? 1)是偶函数 ;②在 ?1,?? ? 上为增函数 , 若 x1 ? 0, x 2 ? 0 , 且 ) x1 ? x2 ? ?2 ,则 f (? x1 ) 与 f (? x 2 ) 的大小关系是( A. f (? x1 ) ? f (? x 2 ) B. f (? x1 ) ? f (? x 2 ) C. f (? x1 ) ? f (? x 2 ) D. 无法确定 卷Ⅱ (非选择题 共 90 分) 二.填空题(本大题共 4 小题,每小 题 5 分,共 20 分. ) 13.

1 2

D.与 a 有关的值

1 计算:27 -2log2 3 ? log 2 ? log 2 3 ? log 3 4 =____________. 8
7

2 3

14. f ( x) ? ax ? bx ? 2 ,若 f (2014) ? 10 ,则 f (?2014) 的值为

15.已知 f ? x ? ? log 1 x ? ax ? 3a 在区间 ? 2, ?? ? 上为减函数,则实数 a 的取值范围是____________.
2

?

?



16.定义在 R 上的函数 f ( x) ,如果存在函数 g ( x) ? kx ? b(k , b 为常数) ,使得 f ( x) ≥ g ( x) 对一切实数 x 都 成立,则称 g ( x) 为 f ( x) 的一个承托函数.现有如下命题: ①对给定的函数 f ( x) ,其承托函数可能不存在,也可能无数个; ② g ( x) =2 x 为函数 f ( x) ? 2 的一个承托函数; ③定义域和值域都是 R 的函数 f ( x) 不存在承托函数; 其中正确命题的序号是____________. 三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明 ,证明过程或演算步骤。 )
x

2

17. (本小题满分 10 分)已知集合 A ? {x | 3 ? 3 ? 27} , B ? {x | log 2 x ? 1} .
x

(1)求 ?R B

?

?

A;

(2)已知集合 C ? x 1 ? x ? a ,若 C ? A ,求实数 a 的取值范围. 18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2mx ? 3m ? 4 , (1) m 为何值时, f ( x) 有两个零点且均比-1 大; (2)求 f ( x) 在 [0, 2] 上的最大值 g (m) .
2

?

?

19.(本小题满分 12 分)某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20000 元,每生产一台仪器需增加投入 100

1 2 ? ?400 x ? x ,0 ? x ? 400 元,已知总收益满足函数: R ( x) ? ? ,其中 x 是仪器的月产量, 2 ? ?80000, x ? 400 (1)将利润 f ( x) 表示为月产量 x 的函数; (2)当月产量 x 为何值时,公司所获利润最大?最大利润是多少元?(总收益=总成本+利润).
20. (本小题满分 12 分)对于函数 f ( x) ?

[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

2x ? a , 2x ?1

(1)求函数的定义域; (2)当 a 为何值时, f ( x) 为奇函数; (3)写出(2)中函数的单调区间,并用定义给出证明.

21. (本小题满分 12 分)已知定义域为 (0 , ? ?) 的函数 f ( x) 满足:① x ? 1 时, f ( x) ? 0 ;② f ( ) ? 1 ③ 对任意的正实数 x , y ,都有 f ( xy ) ? f ( x) ? f ( y ) ;

1 2

1 x (2)求证: f ( x) 在定义域内为减函数; (3)求不等式 f (2) ? f (5 ? x) ? ?2 的解集.
(1)求证: f ( ) ? ? f ( x) ; 22. (本小题满分 12 分)定义在 D 上的函数 f ( x) ,如果满足:对任意 x ? D ,存在常数 M ? 0 ,都有

| f ( x) |? M 成 立 , 则 称 f ? x ? 是 D 上 的 有 界 函 数 , 其 中 M 称 为 函 数 f ? x ? 的 上 界 . 已 知 函 数

1 1 f ( x) ? 1 ? a ? ( ) x ? ( ) x , 3 9 1 (1)当 a ? ? 时,求函数 f ? x ? 在 ? ??,0 ? 上的值域,并判断函数 f ? x ? 在 ? ??,0 ? 上是否为有界函数,请 2
说明理由; (2)若函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是以 4 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围.
[来源:学科网]

[来源:Z+xx+k.Com]

参考答案

17 解: (Ⅰ) A ? {x | 3 ? 3 ? 27} ? {x | 1 ? x ? 3} , B ? {x | log 2 x ? 1} ? {x | x ? 2}
x

?[ R B ?

A ? {x | x ? 2} ? {x | 1 ? x ? 3} ? {x | x ? 3} ………………………5 分 (Ⅱ) ①当 a ? 1 时, C ? ? ,此时 C ? A ; ②当 a ? 1 时, C ? A ,则 1 ? a ? 3 综合①②,可得 a 的取值范围是 ?? ?, 3? ………………………………10 分
Δ>0, ? ? 18. (1)由题意,知?-m>-1, ? ?f?-1?>0, m -3m-4>0, ? ? 即?m<1, ? ?1-2m+3m+4>0.
2

19. 解(1)当 0 ? x ? 400 时,

f ( x) ? 400 x ?
当 x ? 400 时

1 2 1 x ? 100 x ? 20000 = ? x 2 ? 300 x ? 20000 ; 2 2

? 定义域为 ?x x ? 0?

20.解: (1) 2 x ? 1 ? 0 即 x ? 0 ----------2 分 (2)由 f ( x) 是奇函数,则对任意 x ? x x ? 0?

?

f (? x) ?

2?x ? a a ? 2x ?1 2x ? a ? ? ? ? f ( x ) ? ? 2?x ? 1 2x ?1 2x ?1

化简得 (a ? 1)2 x ? a ? 1

? a ?1
-----------6 分
x

? a ? 1 时, f ( x) 是 奇函数
(3)当 a ? 1 时, f ( x) ?

2 ? 1 的单调递减区间为 (??,0) 和 (0,??) .----------8 分 2 ?1

任取 x1 , x2 ? (0, ??) 且 x1 ? x 2 则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?

2 2 2(2 x2 ? 2 x1 ) ? ? 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)
? 2 x2 ? 2 x1 ? 1

? 0 ? x1 ? x 2

y ? 2 x 在 R 上递增

? 2 x2 ? 2 x1 ? 0 , 2 x1 ? 1 ? 0 , 2 x2 ? 1 ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ? f ( x) 在 (0,??) 上单调递减.
[来源:Z*xx*k.Com]

同 理: f ( x) 在 (??,0) 上单调递减. 综上: f ( x) ?

2 ? 1 在 (??,0) 上单调递减,在 (0,??) 上单调递减.-----------12 分 2 ?1
x

1 1 1 1 1 1 时, f ( x) ? 1 ? ( ) x ? ( ) x ,令 t ? ( ) x ,? x ? 0,? t ? 1 , y ? 1 ? t ? t 2 因 2 2 3 9 3 2 1 3 3 为 y ? 1 ? t ? t 2 在 (1,??) 上单调递增,? y ? ,即 f ( x) 在 ? ??,1? 的值域为 ( ,??) 2 2 2 故不存在常数 M ? 0 ,使 | f ( x) |? M 成立,所以函数 f ? x ? 在 (??,0) 上不是有界函数。
22. ⑴解: (1)当 a ? ? (2)由题意知, f ( x) ? 4 对 x ? [0,??) 恒成立。

1 ? 4 ? f ( x) ? 4 , 令 t ? ( ) x ,? x ? 0,? t ? (0,1] ∴ 3

5 3 (0,1] 恒成立………9 分 ? (t ? ) ? a ? ? t 对 t ? t t

∴ [?(t ? )] max ? a ? ( ? t ) min

5 t

3 t

5 3 ? t ,由 t ? (0,1] , t t 由于 h(t ) 在 t ? (0,1] 上递增, p (t ) 在 t ? (0,1] 上递减, h(t ) 在 t ? (0,1] 上的最大值为 h(1) ? ?6 , p (t ) 在 ?1, ?? ? 上的最小值为 p(1) ? 2 所以实数 a 的取值范围为 [?6,2] 。
设 h(t ) ? ?(t ? ) , p(t ) ?

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附件 2:独家资源交换签约学校名录(放大查看) 学校 名录参 见:h ttp://w ww.zxxk.com/wxt/list. aspx ? ClassID=3060


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