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2014届高考数学一轮专题复习 高效测试13 导数的应用(一) 新人教A版


高效测试 13:导数的应用(一)
一、选择题 1.函数 f(x)=(x-3)ex 的单调递增区间是( ) A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) 解析:函数 f(x)=(x-3)ex 的导数为 f ′(x)=[(x-3)ex]′=1·ex+(x-3)·ex=(x- 2)·ex,由函数导数与函数单调性关系得:当 f ′(x)>0 时,函数 f(

x)单调递增,此时由 不等式 f ′(x)=(x-2)·ex>0 解得:x>2. 答案:D x 2.函数 y= -2sinx 的图象大致是( 2 )

1 1 解析:y′= -2cosx,令 y′=0,得 cosx= ,根据三角形函数的知识可知这个方程有无 2 4 x 穷多解,即函数 y= -2sinx 有无穷多个极 值点,函数是奇函数,图象关于坐标原点对称, 2 故只能是选项 C 中的图象. 答案:C 3.若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等 于( ) A.2 B.3 C.6 D.9 解析:函数的导数为 f ′(x)=12x2-2ax-2b,由函数 f(x)在 x=1 处有极值,可知函数 f(x)在 x=1 处的导数值为零,12-2a- 2b=0,所以 a+b=6,由题意知 a,b 都是正实数, a+b 6 所以 ab≤( )2=( )2=9,当且仅当 a=b=3 时取到等号,故选 D. 2 2 答案:D 4.设直线 x=t 与函数 f(x)=x2,g(x)=lnx 的图象分别交于点 M,N,则当|MN|达到最小 时 t 的值为( ) 1 A.1 B. 2 5 2 D. 2 2 解析:|MN|的最小值,即函数 h(x)=x2-lnx 的最小值, C. 1 2x2-1 2 h′(x)=2x- = ,显然 x= 是函数 h(x)在其定义域内唯一的极小值点,也是最小 x x 2 值点,故 t= 2 . 2

答案:D 5.设函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R).若 x=-1 为函数 f(x)ex 的一个极值点,则下

1

列图象不可能为 y=f(x)的图象是(

)

解析:若 x=-1 为函数 f(x)ex 的一个极值点,则易得 a=c.因选项 A、B 的函数为 f(x)= a(x+1)2,则[f(x)ex]′=f ′(x)ex+f(x)(ex)′=a(x+1)(x+3)ex,∴x=-1 为函数 b f(x)ex 的一个极值点满足条件;选项 C 中,对称轴 x=- >0,且 开口向下,∴a<0,b 2a b >0,∴f(-1)=2a-b<0,也满足条件;选项 D 中,对 称轴 x=- <-1,且开口向上, 2a ∴a>0,b>2a, ∴f(-1)=2a-b<0,与图象矛盾,故答案选 D. 答案:D 6.函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x∈R,f ′(x)>2,则 f(x)>2x+4 解集 为( ) A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞) 解析:令函数 g(x)=f(x)-2x-4,则 g′(x)=f ′(x)-2>0,因此,g(x)在 R 上是增函 数,又因为 g(-1 )=f(-1)+2-4=2+2-4=0.所以,原不等式可化为:g(x)>g(-1), 由 g(x)的单调性,可得 x>-1. 答案:B 二、填空题 7.已知函数 f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1 既存在极大值又存在极小值,则实数 m 的取值范 围是_____ _____. 解析:f ′(x)=3x2+2mx+m+6=0 有两个不等实根,即 Δ =4m2-12×(m+6)>0, ∴m>6,或 m<-3. 答案:(-∞,-3)∪(6,+∞) 1 1 8.设函数 f(x)= ax3+ bx2+cx(c<0),其图象在点 A(1,0)处的切线的斜率为 0,则 f(x) 3 2 的单调递增区间是__________. 解析: f ′(x)=ax2+bx+c,则由题意, 1 1 得 f(1)= a+ b+c=0 且 f ′(1)=a+b+c=0, 3 2 4 1 解得 b=- a,c= a,[中教网] 3 3 ∵c<0,∴a<0, 1 所以 f ′(x)= a(3x2-4x+1) 3 1 = a(3x-1)(x-1)≥0, 3 1 即(3x-1)(x-1)≤0,解得 ≤x≤1, 3

2

?1 ? 因此函数 f(x)的单调递增区间为? ,1?. ?3 ? ?1 ? 答案:? ,1? ?3 ?
9.已知函数 f(x) =ex-2x+a 有零点,则 a 的取值范围是__________. 解析:由原函数有零点,可将问题转化为方程 ex-2x+a=0 有解问题, 即方程 a=2x-ex 有解. 令函数 g(x)=2x-ex, 则 g′(x)=2-ex,令 g′(x)=0,得 x=ln2, 所以 g(x)在(-∞,ln2)上是增函数,在(ln2,+∞)上是减函数, 所以 g(x)的最大值为:g(ln2)=2ln2-2. 因此,a 的取值范围就是函数 g(x)的值域, 所以,a∈(-∞,2ln2-2]. 答案:(-∞,2ln2-2] 三、解答题 10.(2013·济宁调研)已知函数 f(x)=x2+alnx. (1)当 a=-2e 时,求函数 f(x)的单调区间和极值. 2 (2)若函数 g(x)=f(x)+ 在[1,4]上是减函数,求实数 a 的取值范围. x 解析:(1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞). 2e 2? 当 a=-2e 时,f′(x)=2x- = x x f′(x) f(x) x - e? x e 0 极小值 ? x+ e? .

当 x 变化时,f′(x),f( x)的变化情况如下: (0, e) - 单调递减 ( e,+∞) + 单调递增

∴f(x)的单调递减区间是(0, e);单调递增区间是( e,+∞),极小值是 f( e)=0. 2 (2)由 g(x)=x2+alnx+ , x a 2 得 g′(x)=2x+ - , x x2 2 又函数 g(x)=x2+alnx+ 为[1,4]上的单调减函数, x 则 g′(x)≤0 在[1,4]上恒成立, a 2 即不等式 2x+ - ≤0 在[1,4]上恒成立, x x2 2 即 a≤ -2x2 在[1,4]上恒成立. x 2 设 φ (x)= -2x2,显然 φ (x)在[1,4]上为减函数, x 63 所以 φ (x)的最小值为 φ (4)=- . 2 63? ? 所以 a 的取值范围是?-∞,- ?. 2? ?

3

11.设 a>0,讨论函数 f(x)=lnx+a(1-a)x2-2(1-a)x 的单调性. 解析:由题知 a>0,x>0, 2a? 1-a? x2-2? f′(x)= x 1-a? x+1 ,

令 g(x)=2a(1-a)x2-2(1-a)x+1, (1)当 a=1 时,g(x)=1>0,f′(x)>0,故 f(x)在(0,+∞)上单调递增; (2)当 0<a<1 时,g(x)的图象为开口方向向上的抛物线, Δ =[-2(1-a)]2-8a(1-a)=4(1-a)(1-3a), 1 1 3 若 ≤a<1,Δ ≤0,g(x)≥0,f′(x)≥ 0,仅当 a= ,x = 时取等号,∴f(x)在(0,+∞) 3 3 2 上单调递增; 1 若 0<a< ,则 Δ >0,令 g(x)=0, 3 ? 1-a? - ? 1-a? ? 1-3a? 解得 x1= >0, 2a? 1-a? ? 1-a? + ? 1-a? ? 1-3a? x2= >0,且 x1<x2, 2a? 1-a? 当 0<x<x1 或 x>x2 时, g(x)>0,f′(x)>0,f(x)单调递增; 当 x1<x<x2 时,g(x)<0, f′(x)<0,f(x)单调递减; (3)当 a>1 时,g(x)的图象为开口方向向下的抛物线,且 Δ >0,令 g(x)=0, ? 1-a? - ? 1-a? ? 1-3a? 解得 x1= >0, 2a? 1-a? ? 1-a? + ? 1-a? ? 1-3a? x2= <0, 2a? 1-a? 当 0<x<x1 时 ,g(x)>0,f′(x)>0,f(x)单调递增;当 x>x1 时,g(x)<0,f′(x)<0, f(x)单调递减, 1 综上,当 0<a< 时,f(x)在(0,x1),(x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减; 3 1 当 ≤a≤1 时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当 a>1 时,f(x)在(0,x1)上单调递增,在 3 (x1,+∞)上单调递减. ? 1-a? - ? 1-a? ? 1-3a? 其中 x1= , 2a? 1-a? ? 1-a? + ? 1-a? ? 1-3a? x2= . 2a? 1-a? 12.已知实数 a>0,函数 f(x)=ax(x-2)2(x∈R)有极大值 32. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)求实数 a 的值. 解析:(1)f(x)=ax3-4ax2+4ax, f′(x)=3ax2-8ax+4a. 令 f′(x)=0,得 3ax2-8ax+4a=0. ∵a≠0,∴3x2-8x+4=0, 2 ∴x= 或 x=2. 3

4

∵a>0, 2? ? ∴当 x∈?-∞, ?或 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0. 3? ? 2? ? ∴函数 f(x)的单调递增区间为?-∞, ?或(2,+∞); 3? ?

?2 ? 当 x∈? ,2?时,f′(x)<0, ?3 ? ?2 ? ∴函数 f(x)的单递减区间为? ,2?; ?3 ?
2? ? (2)∵当 x∈?-∞, ?时,f′(x)>0; 3? ?

?2 ? 当 x∈? ,2?时,f′(x)<0; ?3 ?
当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0, 2 ∴f(x)在 x= 时取得极大值, 3 2?2 ? 即 a· ? -2?2=32,解得 a=27. 3?3 ?

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