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高一数学空间向量的坐标运算2


z

——空间直角坐标系. 向量的直角坐标运算.
i

a
A(x,y,z)

k
O j y

x

复习提问:
1、设A?x1 , y1 , z1 ?, B?x2 , y2 , z2 ?

AB ? ?x2 ? x1

, y2 ? y1 , z2 ? z1 ? ? OB ? OA
2、设a ? ?x1, y1, z1 ?, b ? ?x2 , y2 , z2 ?

A

a

B

a ? b , ? a , a ? b , a // b , a ? b

3、① P为AB的中点
1 OP ? OA ? OB 2 ②G为△ABC的重心

?
?

?
?

③ P分AB所成的比为 即AP ? ? PB ?
OA ? ? OB OP ? 1? ?

1 OG ? OA ? OB ? OC 3

?? 4,2,?4? ? ?1?与a ? ?2,?1,2?共线, 且满足a ? z ? ?18的z
? 1 8 ? ?2?A?1,2,1?, B?? 1,3,4?, AP ? 2PB, 则OP ?? ? , ,3 ? ? 3 3 ? ?3?三点A?1,5,?2?, B?2,4,1?, C ? p,3, q ?共线,则
p? 3 q?

练习1、

4

(4)已知P(2,-1,3)为AB中点且A(0,4,7)求B (5)已知△ABC中,A(2,0,1),B(3,5,-2),重心 G(1,3,5),求顶点C坐标 (6) ABCD中,A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5)求D

一、距离与夹角
1.距离公式
(1)向量的长度(模)公式

? ? 设a ? (a1 , a2 , a3 ), b ? (b1 , b2 , b3 ), 则

?2 ? ? 2 2 2 | a | ? a ? a ? a1 ? a2 ? a3

?2 ? ? 2 2 2 | b | ? b ? b ? b1 ? b2 ? b3

(2)空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中,已知 A( x1 , y1 , z1 ) 、

B( x2 , y2 , z2 ) ,则

AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 ) AB ? AB ? AB ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z2 ? z1 )
2 2 2

d A, B ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z2 ? z1 )
2 2

2

2.两个向量夹角公式
? ? ? ? a ?b a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 cos ? a, b ?? ? ? ? ; 2 2 2 2 2 2 | a |?| b | a1 ? a2 ? a3 ? b1 ? b2 ? b3
注意:

? ? ? ? (1)当 cos ? a , b ?? 1 时, 与 b 同向; a

? ? ? a (2)当 cos ? a , b ?? ?1 时, 与

? b 反向; ? ? ? ? (3)当cos ? a , b ?? 0 时,a ? b 。

练习2、P42 1~3

例1

已知 A(3 , 3 ,1)、B(1, 0 , 5) ,求:

(1)线段 AB 的中点坐标和长度; (2)到 A 、B两点距离相等的点 P ( x , y , z ) 的坐标 x , y , z 满足的条件

练习3、P42 4(1) 习题 8

二、空间向量的应用
(1) a ?

a ? a2 ? a3
2 1 2
2

2

(求线段的长)
2 2

AB ?

?x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ? ? ?z1 ? z2 ?

(2)a ? b ? a ? b ? 0 (3) cos a, b ?

(证明线线垂直) (求线线夹角)

a ?b a?b

例2 在正方体ABCD ? A1B1C1D1中,E, F 分别是
BB1 , CD的中点.求证 : D1F ? 平面ADE.
z
D1 A1

C1 B1

D
A
x

E

F
B

C

y

例3、如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 1 中,B1 E1 ? D1 F1 ? A1 B1 ,求 DF1 与 BE1 所
成的角的余弦值

4

z

D1 A1

F1 E1 B1

C1

练习4、P39 10 P42 5

D

C

y

x

A

B

例4.已知点P是平行四边形ABCD所在平 ??? ? ????
AB 面外一点, ? (2, ?1, ?4) ??? ? 如果 AP ? (?1, 2, ?1) ,

AD ? (4, 2,0)

(1)求平面 ABCD 的一个法向量; ??? ? (2)求证:AP 是平面ABCD的法向量; (3)求平行四边形ABCD的面积.

课堂小结
1.基本知识:

(1)向量的长度公式与两点间的距离公式;
(2)两个向量的夹角公式。 2.思想方法: 用向量坐标法计算或证明几何问题
(1) 建立直角坐标系,

(2)把点、向量坐标化, (3)对向量计算或证明。

在棱长为1的正方体 ABCD ? A1B1C1D1中,E,F分别是 1、
DD1, DB中点,G在棱CD上,CG= 1 CD ,H是C1G的中点,

作业


(1)求证: EF ? B1C (3)求FH的长

4

z D1 B1 C1

(2)求EF与C1G所成的角的余弦;
A1

E

H

(4)求平面EFH的一个法向量 (用空间向量法解决以上问题)
D F G B C y

2、《名师》 P71 变式探究x

A

例1.证明四点A(1,0,1),B(4,4,6),C(2,2,3),
D(10,14,17) 共面

练习3 9.在正方体ABCD-A1 B1C1D1中,E , F 分
别是BB1 , D1B1的中点, 求证EF ? DA1. 证明: 建立空间直角坐标系O-xyz D z C
1

? 1 1 1? ? EF ? DA1 ? ? ? ,? , ? ? ?1,01? ? 0 ? 2 2 2?

D ? 1? 1 1 ? ? E ?1,1, ?, F ? , ,1? A ? 2? ?2 2 ? x ???? ? ? 1 1 1? ? DA1 ? (1,0,1). EF ? ? ? ,? , ? ? 2 2 2?

则D (0,0,0),A 1(1,0,1)

F

1

A1

B1 E

y
C

B

??? ???? ? ? ? EF ? DA1 ,

即EF ? DA1.

10.已知正方体ABCD-A1 B1C1D1 , 练习4
求证DB1 ? 平面ACD1.
D1
1

z

C1 B1 D B C

证明: 建立如图空间直角坐标系 A
则 D (0,0,0),B 1(1,1,1) A (1,0,0),D 1(0,0,1),C (0.1,0),

y

A

x

? DB1 ? (1,1,1), AD ? (?1,01), CD ? (0,?1,1)
???? ???? ? ? DB? ? AD? ? (1,1,1) ? (?1,0,1) ? 0, 1 1 ???? ???? DB1 ? CD1 ? (1,1,1) ? (0, ?1,1) ? 0, ? AD1 ? DB1 , AC ? DB1 又AD1 ? AC ? A,
? DB1 ? 平面ACD1

9.在正方体ABCD-A1 B1C1 D1中,E , F 分 练习3 别是BB1 , D1B1的中点, 求证EF ? DA1.
证明:
B ???? ????? 1 ???? ??? A ? ? 1 ? ( BB1 ? B1 D1 ) ? ( AA1 ? BD) E D 2? ??? 2 ???? 1 ???? ??? ???? ? ? ? EF ? DA1 ? ( AA1 ? BD) ? DA1 ??? A ???? B ? ? 2? ? EF ? DA1 , ???? ???? ??? ???? ? ? 1 ? ( AA1 ? DA1 ? BD ? DA1 ) 即EF ? DA1. 2
1

??? ???? ???? ? ? EF ? EB1 ? B1F

D1 F
1

C1

C

? ???? ???? ? 1 ????? ???? ? (| AA1 | ? | DA1 | cos 450 ? | BD | ? | DA1 | cos1200 ) ? 0 2

练习4 10.已知正方体ABCD
-A1 B1C1D1,求证DB1 ? 平面ACD1. A
证明: DB1 ? DA ? DC ? DD1, ? DC ? DA AC
AD1 ? DD1 ? DA
A
1

D1 B1 D B

C1

C

?DB1 ? AC ?(DA ? DC ? DD1 )?(DC ? DA)? 0 ?DB1 ? AD1 ?(DA ? DC ? DD1 )?(DD1 ? DA)? 0

???? ???? ???? ???? ? ? ? ? AD1 ? DB1 , AC ? DB1.

又AD1 ? AC ? A,

???? ? ? DB1 ? 平面ACD1.


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