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湖北省百所重点中学2015届高三十月联合考试试题(理)(word解析版)


湖北省百所重点中学 2015 届高三十月联合考试试题 理科试题
【试卷综评】本次试卷从题型设置、考察知识的范围等方面保持稳定,试题难度适中,试题 在考查高中数学基本概念、基本技能和基本方法等数学基础知识,突出三基,强化三基的同 时,突出了对学生能力的考查,注重了对学科的内在联系和知识的综合、重点知识的考查, 以它的知识性、思辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础,

考方法,考潜能的检 测功能。试题中无偏题,怪题,起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的 作用。 突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查; 侧重于 知识交汇点的考查。全面考查了考试说明中要求的内容。

第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 【题文】1、已知集合 M ? {x | ? x 2 ? 2 x ? 0}N ? {x | A. ? 0, 2 ? B. ? 0,1? C. ?1, 2 ?

x ? 1} ,则 M x ?1

N 等于

D. ? ?1,1?

【知识点】交集及其运算.L4 【答案解析】B 解析:由 M 中不等式变形得:x(x﹣2)<0, 解得:0<x<2,即 M=(0,2) ;由 N 中不等式变形得: 解得:x<1,即 N=(﹣∞,1) ,则 M∩ N=(0,1) .故选 B 【思路点拨】求出 M 与 N 中不等式的解集确定出 M 与 N,找出两集合的交集即可. 【题文】2、 cos( ﹣1<0,即 <0,

2014? ) 的值为 3

A.

1 2

B.

3 2

C. ?

1 2

D. ?

3 2

【知识点】运用诱导公式化简求值.L4 【答案解析】C 解析:cos( ﹣ ,故选:C. 【思路点拨】原式中角度变形后,利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果. 【题文】3、已知 a 为常数,则使得 a ? A. a ? 0 B. a ? 0 C. a ? e )=cos(670+ )=cos =cos(π+ )=﹣cos =

?

a

1

1 dx 成立的一个充分而不必要条件是( ) x
D. a ? e

【知识点】微积分基本定理;必要条件、充分条件与充要条件的判断.L4

【答案解析】C 解析:由积分运算法则,得 因此,不等式即 a ?

=lnx

=lne﹣ln1=1

?

a

1

1 , dx 即 a>1,对应的集合是(1,+∞) x

将此范围与各个选项加以比较,只有 C 项对应集合(e,+∞)是(1,+∞)的子集 ∴ 原不等式成立的一个充分而不必要条件是 a>e,故选:C 【思路点拨】由定积分计算公式,求出函数 f(x)= 的一个原函数 F(x)=lnx,从而利用 微积分基本定理得到 立的一个充分而不必要条件. 【题文】4、已知 ? 为第三象限角,且 sin ? ? cos ? ? 2m,sin 2? ? m ,则 m 的值为
2

=lne,结合充分条件、必要条件的定义,即可得到不等式成

A.

3 3

B. ?

3 3

C. ?

1 3

D. ?

2 3
2 2 2

【知识点】两角和与差的正弦函数.L4 【答案解析】 B 解析: 把 sinα+cosα=2m 两边平方可得 1+sin2α=4m , 又 sin2α=m , ∴ 3m =1, 解得 m= ,又 α 为第三象限角,∴ m= ,故选:B

【思路点拨】把 sinα+cosα=2m 两边平方可得 m 的方程,解方程可得 m,结合角的范围可得 答案. 【 题 文 】 5 、 在 ?ABC 中 , 角 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 若 a ? b ? 3bc 且
2 2

sin C ? 2 3 sin B ,
则 A 等于 A.

?
6

B.

?
4

C.

?
3

D.

2? 3
b,代入 a ﹣b = .故选:A.
2 2

【知识点】余弦定理.L4 【答案解析】A 解析:由 sinC=2 可得 a =7b ,所以 cosA=
2 2

sinB,由正弦定理可知:c=2 = ,∵ 0<A<π,∴ A=

bc,

【思路点拨】利用正弦定理化三角函数为三角形边的关系,然后通过余弦定理求解即可. 【题文】6、已知定义在 R 上的奇函数 f ? x ? 满足 f (? x) ? f ( ? x) ,且当 0 ? x ?

3 2

3 时, 2

f ? x ? ? log 2 (3x ? 1) ,则 f ? 2015 ? 等于
A. ?1 B. ?2 C.1 D.2

【知识点】函数奇偶性的性质.L4

【答案解析】B 解析:由 f(x)为奇函数可得 f(﹣x)=﹣f(x) ,再由条件可得 f(﹣x) =f( +x) ,所以,f(3+x)=f(x) .所以,f(2015)=f(671×3+2)=f(﹣1)=﹣f(1)= ﹣2.故选:B. 【思路点拨】由已知得 f(3+x)=f(x) ,所以 f(2015)=f(671× 3+2)=f(﹣1)=﹣f(1) =﹣2. 【题文】7、给出下列命题,其中错误的是 A.在 ?ABC 中,若 A ? B ,则 sin A ? sin B B.在锐角 ?ABC 中, sin A ? sin B C.把函数 y ? sin 2 x 的图象沿 x 轴向左平移

?
4

个单位,可以得到函数 y ? cos 2 x 的图象

D.函数 y ? sin ? x ? 3 cos ? x(? ? 0) 最小正周期为 ? 的充要条件是 ? ? 2 【知识点】命题的真假判断与应用.L4 【答案解析】 D 解析: 对于 A. 在△ ABC 中, 若 A>B, 则 a>b, 即由正弦定理有 sinA>sinB, 故 A 正确; 对于 B.在锐角△ ABC 中,A+B> 则 sinA>sin( ,则 A> ﹣B,由 y=sinx 在(0, )上递增,

﹣B)=cosB,故 B 正确; 个单位,可以得到函数 y=sin2(x )

对于 C.把函数 y=sin2x 的图象沿 x 轴向左平移 =sin(2x )=cos2x 的图象,故 C 正确;

对于 D.函数 y=sinωx+

cosωx(ω≠0)=2sin(ωx

) ,

最小正周期为 π 时,ω 也可能为﹣2,故 D 错. 故选 D. 【思路点拨】由正弦定理和三角形中大角对大边,即可判断 A;由锐角三角形中,两锐角之 和大于 90° ,运用正弦函数的单调性,即可判断 B;运用图象的左右平移,只对自变量 x 而 言,再由诱导公式,即可判断 C;由两角和的正弦公式化简,再由周期公式,即可判断 D. 【题文】8、已知幂函数 f ? x ? ? x 与两坐标轴围成的面积为 A.
n ?1

(n ? N ) 的图象如图所示,则 y ? f ? x ? 在 x ? 1 的切线

4 3

B.

7 4

C.

9 4

D.4

【知识点】幂函数的性质.L4

【答案解析】C 解析:根据幂函数的图象可知,n﹣2<0,且为偶数,又 n∈N,故 n=0,所 以 f(x)=x ,则 f′ (x)=﹣2x ,所以切线的斜率为 f′ (1)=﹣2,切线方程为 y﹣1=﹣ 2(x﹣1) ,即 2x+y﹣3=0,与两坐标轴围成的面积为 = ,故选:C.
﹣2 ﹣3

【思路点拨】先根据幂函数的图象和性质,得到 n=﹣2,再根据导数求出切线的斜率,求出 切线方程,问题得以解决. 【题文】9、已知 a, b ? R ,函数 f ? x ? ? tan x 在 x ? ?

?
4

处于直线 y ? ax ? b ?

?
2

相切,设

g ? x ? ? e x ?bx 2 ? c ,若在区间 ?1, 2? 上,不等式 m ? g ? x ? ? m 2 ? 2 恒成立,则实数 m
A.有最小值 ?e B.有最小值 e C.有最大值 e D.有最大值 e ? 1

【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程.L4 【答案解析】D 解析:f(x)=tanx 的导数 f′ (x)=( )′ = = ,

则 a=f′ (﹣

)=

=2,将切点(﹣

,﹣1)代入切线方程,即

﹣1=﹣

2+b+
x 2

,即有 b=﹣1.
x

则 g(x)=e ﹣x +2,令 h(x)=g′ (x)=e ﹣2x, x h′ (x)=e ﹣2,在[1,2]上 h′ (x)>0 恒成立,即 h(x)在[1,2]上递增, 即 g′ (x)在[1,2]上递增,则有 g′ (x)≥g′ (1)=e﹣2>0, 则 g(x)在[1,2]上递增,g(1)最小,g(2)最大,
2

不等式 m≤g(x)≤m ﹣2 恒成立,即有



解得 m≤﹣e 或 e≤m≤e+1.即 m 的最大值为 e+1.故选 D. 【思路点拨】求出 f(x)的导数,求出切线的斜率,得 a=2,将切点(﹣ ,﹣1)代入切

线方程,求得 b=﹣1,再求 g(x)的导数,判断 g(x)在[1,2]上的单调性,求出最值,再

由不等式 m≤g(x)≤m ﹣2 恒成立,即有

2

,解出 m 的取值范围,

即可判断. 【题文】 10、 对于函数 f ? x ? , 若 ?a, b, c ? R , f ? a ? , f ? b ? , f ? c ? 为某一三角形的三边长, 则称 f ? x ? 为“可构造三角形函数” ,已知函数 f ? x ? ?

ex ? t 是“可构造三角形函数” ,则 ex ? 1

实数 t 的取值范围是 A. ? 0, ?? ? B. ? 0,1? C. ?1, 2? D. [ , 2]

1 2

【知识点 】指数函数综合题.L4 【答案解析】D 解析:由题意可得 f(a)+f(b)>f(c)对于?a,b,c∈R 都恒成立, 由于 f(x)= = 1+ ,

① 当 t﹣1=0,f(x)=1,此时,f(a) ,f(b) ,f(c)都为 1,构成一个等边三角形的三边长, 满足条件. ② 当 t﹣1>0,f(x)在 R 上是减函数,1<f(a)<1+t﹣1=t,同理 1<f(b)<t,1<f(c) <t,由 f(a)+f(b)>f(c) ,可得 2≥t,解得 1<t≤2. ③ 当 t﹣1<0,f(x)在 R 上是增函数,t<f(a)<1,同理 t<f(b)<1,2<f(c)<1, 由 f(a)+f(b)>f(c) ,可得 2t≥1,解得 1>t≥ . 综上可得, ≤t≤2,故选:A. 【思路点拨】因对任意实数 a、b、c,都存在以 f(a) 、f(b) 、f(c)为三边长的三角形, 则 f(a)+f(b)>f(c)恒成立,将 f(x)解析式用分离常数法变形,由均值不等式可得 分母的取值范围,整个式子的取值范围由 t﹣1 的符号决定,故分为三类讨论,根据函数的 单调性求出函数的值域,然后讨论 k 转化为 f(a)+f(b)的最小值与 f(c)的最大值的不 等式,进而求出实数 k 的取值范围.

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答案卡中的横线上 【题文】11、已知

?
2

? ? ? ? ,3sin 2? ? 2 cos ? ,则 cos(? ? ? ) ?

【知识点】二倍角的正弦;诱导公式的作用.L4

【答案解析】

2 2 解析: ∵ 3

, 3sin2α=2cosα, ∴ 6sinα?cosα=2cosα, 解得 sinα= ,

∴ cosα=﹣

2 2 2 2 2 2 .故 cos(α﹣π)=cos(π﹣α)=﹣cosα= ,故答案为 . 3 3 3

【思路点拨】 由条件利用二倍角 公式求得 sinα= , 再利用同角三角函数的基本关系求出 cosα 的值,再利用诱导公式求出 cos(α﹣π)的值. 【题文】12、化简 2
log
2

? lg 5lg 2 ? lg 2 的结果为

[来源:学科网 ZXXK]

【知识点】对数的运算性质.L4

【答案解析】25 解析:原式=

+lg5lg2+lg 2﹣lg2=25+lg2(lg5+lg2)﹣lg2=25.

2

【思路点拨】利用对数的运算法则、lg2+lg5=1 即可得出. 【题文】13、已知 p : 关于 x 的方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负实数根;

q : 关于 x 的方程 4 x 2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 的两个实数根,分别在区间 ? 0, 2 ? 与 ? 2,3? 内
(1)若 ?p 是真命题,则实数 m 的取值范围为 (2)若 (?p ) ? (?q ) 是真命题,则实数 m 的取值范围为 【知识点】复合命题的真假.L4 【答案解析】 ? ??, 2? ; ? ??, ?

? ?

13 ? ? 1 ? (1)若 p 为真,则 ??? ? ? 8 , 2? ? 解析: 12 ?



解得:m>2,若¬p 是真命题,则 p 是假命题,故实数 m 的取值范围是: (﹣∞,2];
2

(2) 对于 q: 设f (x) =4x +4 (m﹣2) x+1, 由 q 为真可得



解得:﹣ 则有 m≤﹣

<m<﹣ ,若 q 为假,则 m≤﹣ 或﹣

或 m≥﹣ ,∴ 若(¬p)∧(¬q)是真命题, ]∪ [﹣ ,2];

m≤2,即 m 的范围是: (﹣∞,﹣ ]∪ [﹣ ,2].

故答案为: (﹣∞,2], (﹣∞,﹣

【思路点拨】 (1) )若 p 为真,求出 m 的范围,若¬p 是真命题,则 p 是假命题,从而得出 m 的范围; (2)由 q 为真可得 m 的范围,若 q 为假,求出 m 的范围,若(¬p)∧(¬q) 是真命题,从而求出 m 的范围. 【题文】14、在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 2cos B ? 2a ? b ,若 ?ABC 的 面积为 S ?

3 c ,则 ab 的最小值为 2

【知识点】正弦定理.L4 【答案解析】12 解析:在△ ABC 中,由条件里用正弦定理可得 2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin (B+C)+sinB,即 2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB,∴ 2sinBcosC+sinB=0, ∴ cosC=﹣ ,C= .由于△ ABC 的面积为 S= ab?sinC=
2 2 2 2 2 2

ab=
2

c,∴ c= ab.

再由余弦定理可得 c =a +b ﹣2ab?cosC,整理可得 a b =a +b +ab≥3ab,当且仅当 a=b 时, 取等号,∴ ab≥12,故答案为:12. 【思路点拨】 由条件里用正弦定理、 两角和的正弦公式求得 cosC=﹣ , C= . 根据△ ABC

的面积为 S= ab?sinC= 此求得 ab 的最小值.

c,求得 c= ab.再由余弦定理化简可得 a b =a +b +ab≥3ab,由

2 2

2

2

1 1 ? 1 ? x ? x ? [0, ] ? 4 2 ? 2 【题文】15、已知函数 f ? x ? ? ? , 2 ?1 ? ? 2x x ? ? ,1? ? ?2 ? ?x?2
g ? x ? ? a sin( 3? ) ? 2a ? 2(a ? 0) ,给出下列结论: 3 2 2 ①函数 f ? x ? 的值域为 [0, ] ; 3 x?
②函数 g ? x ? 在 ? 0,1? 上是增函数; ③对任意 a ? 0 ,方程 f ? x ? ? g ? x ? 在 ? 0,1? 内恒有解; ④若存在 x1 , x2 ? ? 0,1? ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,则实数 a 的取值范围是 [ , ] . 其中所有正确的结论的序号是 【知识点】分段函数的应用. L4
菁优

?

4 4 9 5

【答案解析】①②④解析:当 x∈[0, ]时,f(x)= ﹣ x 是递减函数,则 f(x)∈[0, ], 当 x∈( ,1]时,f(x)=

=2(x+2)+

﹣8,f′ (x)=2﹣

>0,则 f(x)

在( ,1]上递增,则 f(x)∈( , ].则 x∈[0,1]时,f(x)∈[0, ],故① 正确; 当 x∈[0,1]时,g(x)=asin( 由 a>0,0≤ x≤ x+ )﹣2a+2(a>0)=﹣acos x﹣2a+2,

,则 g(x)在[0,1]上是递增函数,故② 正 确; ],

由② 知,a>0,x∈[0,1]时 g(x)∈[2﹣3a,2﹣ 若 2﹣3a> 或 2﹣ 错;

<0,即 0<a< 或 a> ,方程 f(x)=g(x)在[0,1]内无解,故③

故存在 x1,x2∈[0,1],使得 f(x1)=g(x2)成立,则 故④ 正确. 故答案为:① ② ④ .

解得 ≤a≤ .

【思路点拨】求得 f(x)的各段的值域,再求并集,即可判断①;化简 g(x) ,判断 g(x) 的单调性即可判断②;求出 g(x)在[0,1]的值域,求出方程 f(x)=g(x)在[0,1]内无 解的 a 的范围,即可判断③;由③得,有解的条件为:g(x)的最小值不大于 f(x)的最大 值且 g(x)的最大值不小于 f(x)的最小值,解出 a 的范围,即可判断④. 三、解答题:本大题共 5 小题,满分 65 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 【题文】16、 (本小题满分 11 分) 已知函数 f ? x ? ? A sin(? x ? ? )( x ? R, A ? 0, ? ? 0,| ? |? 如图所示. (1)试确定函数 f ? x ? 的解析式; (2)若 f (

?
2

) 的部分图象

a 1 2? ) ? ,求 cos( ? ? ) 的值. 2? 3 3

【知识点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图 象确定其解析式;三角函数中的恒 等变换应用. L4
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【答案解析】 (1)f(x)=2sin(πx+

) ; (2)﹣ =2,∴ ω=π; ,即 +φ= ,

解析: (1)由图可知,A=2, = ﹣ = ,又 ω>0,∴ T= 由图可知,f(x)=Asin(ωx+φ)经过( ,2) ,∴ ω+φ= ∴ φ= ,∴ f(x)=2sin(πx+ )= ,∴ 2sin( )=cos[ ﹣α)=2 ﹣( ) ; + + )= , )]=cos( ﹣1=2× ﹣ )= ,

(2)∵ f( ∴ sin( ∴ cos( +

﹣1=﹣

. 可求得 φ,从而可 )= ,可求得 α

【思路点拨】 (1)由图可知,A=2, = ,可求得 ω,再利用 ω+φ= 求得 f(x)的解析式; (2)由(1)知 f(x)的解析式,结合已知 f( 的三角函数知,最后利用两角差的余弦计算即可求 cos( 【题文】17、 (本小题满分 12 分)

﹣α)的值.

2014 世界园艺博览会在青岛举行,某展销商在此期间销售一种商品,根据市场 调查,当 每套商品售价为 x 元时,销售量可达到 15 ? 0.1x 万套,供货商把该产品的供货价格分为来 那个部分,其中固定价格为每套 30 元,浮动价格与销量(单位:万套)成反比,比例系数 为 k ,假设不计其它成本,即每套产品销售利润=售价-供货价格

(1)若售价为 50 元时,展销商的总利润为 180 元,求售价 100 元时的销售总利润; (2)若 k ? 10 ,求销售这套商品总利润的函数 f ? x ? ,并求 f ? x ? 的最大值. 【知识点】函数模型的选择与应用.L4 【答案解析】 (1)330(万元) (2)f(x)= ﹣0.1x +18x﹣460, (0<x<150) ,350(万元) . 解析: (1)售价为 50 元时,销量为 15﹣0.1×50=10 万套,此时每套供货价格为 30+ 则获得的总利润为 10×(50﹣30﹣ (15﹣0.1×1000(100﹣30﹣ (元) ,
2

)=180,解得 k=20,∴ 售价为 100 元时,销售总利润为; )=330(万元) .

(2)由题意可知每套商品的定价 x 满足不等式组
2

,即 0<x<150,

∴ f(x)=[x﹣(30+

)]×(15﹣0.1x)=﹣0.1x +18x﹣460, (0<x<150) ,

∴ f′ (x)=﹣0.2x+18,令 f′ (x)=0 可得 x=90, 且当 0<x<90 时,f′ (x)>0,当 90<x<150 时,f′ (x)<0, ∴ 当 x=90 时,f(x)取得最大值为 350(万元) . 【思路点拨】 (1)由题意可得 10×(50﹣30﹣ (2)由题意得 f(x)=[x﹣(30+ )=180,解得 k=20,即可求得结论;
2

) ]× (15﹣0.1 x)=﹣0.1x +18x﹣460, (0<x

<150) ,利用导数判断函数的单调性即可求得最大值. 【题文】18、 (本小题满分 12 分) 如图,在直角坐标系 xOy 中,角 ? 的顶点是原点,始边与 x 轴正半轴重合,终边交单位圆 于点 A ,且 ? ? (

? ?

, ) ,将角 ? 的终边按逆时针方向旋转 ,交单位圆于点 B ,记 6 2 3

?

A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) .
(1)若 x1 ?

1 ,求 x2 ; 3

[来源:Zxxk.Com]

(2)分别过 A, B 作 x 轴的垂线,垂足一次为 C、D,记 ?AOC 的面积为 S1 ,

?BOD 的面积为 S 2 ,若 S1 ? 2 S 2 ,求角 ? 的值.
【知识点】两角和与差的正弦函数;任意角的三角函数的定义. L4
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【答案解析】 (1)

1? 2 6 (2) 6

解析: (1)解:由三角函数定义,得 x1=cosα, 因为 所以 (2)解:依题意得 y1=sinα, , . 所以 , ,所以 .

. .

. 依题意 S1=2S2 得 2[sin2αcos 因为 +cos2αsin ,所以 ]=sin2α﹣ ,即 sin2α=﹣ cos2α,整理得 cos2α=0. ,所以 ,即 .

【思路点拨】 (1)由三角函数定义,得 x1=cosα= ,由此利用同角三角函数的基本关系求 得 sinα 的值,再根据 得 y1=sinα, 根据 α 的范围,求得 α 的值. 【题文】19、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ,利用两角和的余弦公式求得结果. (2)依题意 , 分别求得 S1 和 S2 的解析式, 再由 S1=2S2 求得 cos2α=0,

mx ? n (m ? 0) 是定义在 R 上的奇函数. x2 ? 2

(1)若 m ? 0 ,求 f ? x ? 在 (? m, m) 上递增的充要条件; (2)若 f ? x ? ? sin ? cos ? ? cos 2 ? ? 2 ?

1 对任意的实数 ? 和正实数 x 恒成立,求实数 2

m 的取值范围.
【知识点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.L4 【答案解析】 (1)0<m≤ . (2) (﹣∞,0)∪ (0,2].

解析: (1)∵ 函数 f(x)= ∴ f(x)=

(m≠0)是定义在 R 上的奇函数.∴ f(0)=0,即 =0,∴ n=0,

,显然 f(﹣x)=﹣f(x)成立,故 n=0 时 f(x)为 R 上的奇函数,

∴ f′ (x)=
2

=

,∵ m>0,∴ ﹣m<0, , ) ,

由 f′ (x)>0 可得 x ﹣2<0,解得﹣ <x< ,即 f(x)的递增区间是(﹣ 由题意只需(﹣m,m)?(﹣ , ) ,∴ 0<m≤ , ∴ f(x)在(﹣m,m)上递增的充要条件是 0<m≤ . (2)设 g(x)=sinθc0sθ+cos θ+
2

﹣ ,∵ f(x)≤sinθcosθ+cos θ+

2

﹣ 对任意的实数 θ

和正实数 x 恒成立,∴ f(x)≤g(x)min 恒成立, ∵ g(x)=sinθc0sθ+cos θ+ (2θ+ )+
2

﹣ = sin2θ+ + =

﹣ = sin2θ+ cos2θ+ ,∴ 只需 f(x)≤ ,即 ,

=

sin

,∴ g(x)min=﹣



∵ x>0,∴ 只需



,即 m≤

(x+ )恒成立,而

(x+ )≥

×2

=2,当且仅当

x= 时取得最小值 2,∴ m≤2,又 m≠0,∴ 实数 m 的取值范围是(﹣∞,0)∪ (0,2]. 【思路点拨】 (1)利用导数判断函数的单调性,由 f′ (x)>0 解得即可; (2)设 g(x) =sinθc0sθ+cos θ+
2

﹣ ,由题意得只需 f(x)≤g(x)min 恒成立,利用三角变换求得 g(x)

的最小值,列出不等式解得即可. 【题文】20、 (本小题满分 14 分) 已知 f ? x ? ? e (ln x ? 1)
x

(1)求 y ? f ? x ? ? f ? ? x ? 的单调区间与极值; (2)若 k ? 0 ,试分析方程 f ? ? x ? ? f ? x ? ? kx ? k ? e 在 ?1, ?? ? 上是否有实根,若有实
2

数根,求出 k 的取值范围;否则,请说明理由. 【知识点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. L4


【答案解析】 (1)y=f(x)﹣f′ (x)的单调递增区间为(0,1) ,单调递减区间为(1,+∞) , 2 ∴ 当 x=1 时,y 取极大值﹣e,函 数无极小值. (2)方程 f′ (x)=f(x)+kx﹣k +e 在[1,+∞] 上无实根. 解析: (1)函数 f(x)=e (lnx+1)的定义域为(0,+∞) ,f′ (x)=
x

+e ,则

x

y=f(x)﹣f′ (x)=

,∴ y′ =

,由 y′ =0 可得 x=1.

当 x>1 时,y′ <0;当 x<1 时,y′ >0;∴ y=f(x)﹣f′ (x)的单调递增区间为(0,1) , 单调递减区间为(1,+∞) ,∴ 当 x=1 时,y 取极大值﹣e,函数无极小值. (2)方程 f′ (x)=f(x)+kx﹣k +e 可变为 f′ (x)﹣f(x)﹣kx+k ﹣e=0 进一步化为 ﹣kx+k ﹣e=0,令 g(x)=
2 2 2

﹣kx+k ﹣e,g′ (x)=

2



∵ x≥1,∴ x﹣1≥0,而 e >0,∴

x

,又 k<0,

∴ g′ (x)=

>0,

[来源:学#科#网]

∴ g(x)在[1,+∞]上单调递增,且 g(x)的最小值为 g(1)=k ﹣k, 2 则方程 f′ (x)=f(x)+kx﹣k +e 在[1,+∞]上最多只有一个实根, 2 2 ∴ 要使方程 f′ (x)=f(x)+kx﹣k +e 在[1,+∞]上有一个实根,只需 k ﹣k≤0, 2 解得 0≤k≤1,这与 k<0 矛盾,故方程 f′ (x)=f(x)+kx﹣k +e 在[1,+∞]上无实根. 【思路点拨】 (1)先求出 f(x)的导数,代入 y=f(x)﹣f′ (x)得出函数表达式,再去研
[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

2

究单调性与极值, (2)把方程 f′ (x)=f(x)+kx﹣k +e 化简,构造函数,用导数研究方程 有无实根. 【题文】21、 (本小题满分 14 分) 已知 f ? x ? ?

2

m ? n ln x(m, n 为 常数 ) ,在 x ? 1 处的切线方程为 x ? y ? 2 ? 0 . x ?1

(1)求 y ? f ? x ? 的单调区间; (2)若任意实数 x ? [ ,1] ,使得对任意的 t ? [ , 2] 上恒有 f ? x ? ? t ? t ? 2at ? 2 成立,
3 2

1 e

1 2

求实数 a 的取值范围; (3)求证:对任意正整数 n ,有 4( ?

1 2

2 ? 3

?

n ) ? (ln1 ? ln 2 ? n ?1

? ln n) ? 2n .

【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性。L4 【答案解析】 (1)f(x)的单调递减区间为(0,+∞) ,没有递增区间. (2) [ ,+∞) . (3)见解析 解析: (1)由 f(x)= ∴ f′ (x)=﹣ +nlnx(m,n 为常数)的定义域为(0,+∞) , + ,∴ f′ (1)=﹣ +n=﹣1,

把 x=1 代入 x+y﹣2=0 得 y=1,∴ f(1)= =1,∴ m=2,n=﹣ , ∴ f(x)= ﹣ lnx,f′ (x)=﹣ ﹣ ,∵ x>0,∴ f′ (x)<0,

∴ f(x)的单调递减区间为(0,+∞) ,没有递增区间. (2)由(1)可得,f(x)在[ ,1]上单调递减,∴ f(x)在[ ,1]上的最小值为 f(1)=1, ∴ 只需 t ﹣t ﹣2at+2≤1,即 2a≥
3 2

对任意的 t∈[ ,2]上恒成立,

令 g(t)=
[来源:学科网]

,则 g′ (t)=2t﹣1﹣

=

=



令 g′ (t)=0 可得 t=1,而 2t +t+1>0 恒成立,∴ 当 减,当 1<t≤2 时,g′ (t)>0,g(t)单调递增. ∴ g(t)的最小值为 g(1)=1,而 g( )=

2

t<1 时,g′ (t)<0,g(t)单调递

+2= ,g(2)=4﹣2+ = ,显然 g( )

<g(2) ,∴ g(t)在[ ,2]上的最大值为 g(2)= ,∴ 只需 2a≥ ,即 a≥ , ∴ 实数 a 的取值范围是[ ,+∞) . (3)由(1)可知 f(x)在区间(0,1]上单调递减, ∴ 对于任意的正整数 n,都有 f( )≥f(1)=1,即 ﹣ ln ≥1,

整理可得

+lnn≥2,则有: +ln1≥2, +ln2≥2,

+ln3≥2,…,

+lnn≥2.

把以上各式两边相加可得:4( + +…+

)+(ln1+ln2+…+lnn)≥2n.

【思路点拨】 (1)利用导数的意义求得 m,进而求出单调区间; (2)f(x)在[ ,1]上的最 小值为 f(1)=1,只需 t ﹣t ﹣2at+2≤1,即 2a≥ (t)=
3 2

对任意的 t∈[ ,2]上恒成立,令 g

,利用导数求出 g(t)的最大值,列出不等式,即可求得结论; (3)由(1) ﹣ ln ≥1,整理可

可知 f(x)在区间(0,1]上单调递减,故有 f( )≥f(1)=1,即



+lnn≥2,利用累加法即可得出结论.


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