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对数函数的应用


罗勤

对数函数性质的应用(一)
请回答: 1.对数函数的定义 2.对数函数的图像及其分布规律 3.对数函数的性质

例1 比较各组数的大小
(1) ㏒2 3.4,㏒2 8.5 (3) ㏒a5.1 ,㏒a5.9 (5) ㏒35,㏒64 (2) ㏒0.31.8,㏒0.31.7 (4) ㏒25 ,㏒35

解(1)函数y=㏒2 x在(0,+∞)上为增函数, ∴㏒2 3.4< ㏒2 8.5 (2)函数y= ㏒0.3x在上(0,+∞) 为减函数, ∴㏒0.31.8< ㏒0.31.7 (3)当a>1时函数y=㏒ax 在上(0,+∞)为增函数, ∴㏒a5.1 <㏒a5.9 当0<a<1时函数y=㏒ax 在上(0,+∞) 为减函数, ∴㏒a5.1 >㏒a5.9 ∴a>1时, ㏒a5.1 <㏒a5.9 0<a<1时, ㏒a5.1 >㏒a5.9 (4)由对数函数图像的分布规律知, 函数y=㏒2x的图像在y= ㏒3x的上方, y
y=log2x y=log3x

画出x=5的直线,可看出㏒25 <㏒35

O

5

x

(5) ㏒35>㏒33=1, ㏒64 <㏒66=1 ∴㏒35>㏒64
0

y

y= ㏒3x
1 4 5
y= log6 x

x

比较大小的方法: 1.底数相同真数不同,利用函数的单调性来比较 2.底数不同真数相同,利用对数函数图像的分布规律来比较 3.底数不同真数不同,寻找中间量,通常用1或0

例2解不等式2㏒a(x-4) > ㏒a(x-2) (a>0且a≠1)
解:原不等式可化为㏒a(x-4)2 > ㏒a(x-2) (1)a>1时原不等式可化为 (x-4)2 >x-2 >0 x-4 解得 x>6 >0 x-2 (2)0<a<1时原不等式可化为 解得 4<x<6 (x-4)2 <x-2 x-4>0 x-2 >0 ∴ a>1 时原不等式的解集为{x|x>6} 0<a<1 时原不等式的解集为{x| 4<x<6 }

例3 求函数y= ㏒1/3(-x2+2x+3)的单调性区间 解:函数y= ㏒1/3(-x2+2x+3)的定义域为(-1,3) (1)u(x)=-x2+2x+3在(-1,1)上为增函数 g(u)= ㏒1/3u 在(0,∞)上为减函数 ∴f(x)=g[u(x)]= ㏒1/3(-x2+2x+3) 在(-1,1)上为减函数

(2) u(x)=-x2+2x+3在[1,3)上为增函数 g(u)= ㏒1/3u在(0,∞)上为减函数
∴f(x)=g[u(x)]= ㏒1/3(-x2+2x+3 ) 在[1,3)上为减函数 综上所述f(x)= ㏒1/3(-x +2x+3)在(-1,1)上为减函数 在[1,3)上为减函数
2

练习: ㏑6<㏑8 1.比较大小(1) ㏑6, ㏑8 _________________ (2) ㏒0.56, ㏒2 3/2 ㏒0.56<㏒2 3/2 ___________

㏒37 >㏒57 (3) ㏒37 , ㏒57 _______________ 2.已知1<x<10,则(lgx)2 ,lgx2,lg( lgx) lg( lgx) , lgx2 , (lgx)2 从小到大的顺序是_____________________
{x|2.5<x<3} 3.解不等式 ㏒0.5(3-x)>1__________ 递增区间(4,+∞) 4.求 y= ㏒2 (x2-4x) 的单调区间_______ 递减区间(-∞,0) (1)解不等式时注意: 对数式中(1)真数>0(2)底数>0且≠1 (2)注意:求函数的单调性必先求它的定义域 (3)思考: 函数y= ㏒2 (x2-4x) 的单调性与函数y= ㏒2 (x2-4x)的单 调性的有什么关系?

若a>1则函数y=㏒ag(x) 与函数y=g(x)在公共区间上的单调性相同 若0<a<1则函数y=㏒ag(x) 与函数y=g(x)在公共区间上的单调 性相反 小结: 一、内容: 1、比较两个对数值的大小 2、解有关对数函数的不等式 3、求有关对数函数的复合函数的单调区间 二、方法: 数形结合 分类讨论 作业: 《导与练》第92页随堂练习1,4 巩固提高1,3,6


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