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沈阳市二中2016届高三一模(文)


沈阳二中 2015—2016 学年度下学期第一次模拟考试 高三(16 届)数学(文科)试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1. 若集合 Α ? x ?3 ? x ? 3 , Β ? ? x | ( x ? 4)( x ? 2) ? 0? ,则 Α ? Β = ( (A) (B) (

C) {x | ?3 ? x ? ?2} ? x | ?3 ? x ? 2? ? x | 2 ? x ? 3?

?

?



(D) {x | x ? ?4 或 x ? ?3} )

2. 已知 i 是虚数单位,复数 2i ? z ? ?1 ? i ? , 则 z 的共轭复数是(

(A) ?1 ? i (B) 1 ? i (C) ?1 ? i (D) 1 ? i 3. 已知向量 a ? (1, 2) , b ? (?1, m) ,若 a ? b ,则 m 的值为( ) (A) ?2 (B)

2

(C)

1 2

(D) ?

1 2


4. 在等比数列 {an } 中, a1 = 1, 则“ a2 ? 4 ”是“ a3 ? 16 ”的( (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件

(D)既不充分也不必要条件

5. 已知倾斜角为 ? 的直线 l 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直,则 cos( (A) 4
5

2015? ? 2? ) 的值为( 2
(D) ? 1
2

)

(B) ? 4
5

(C) 2

6. 已知 sin ? ?

1 7. 右面程序框图运行后, 如果输出的函数值在区间[-2, ]内则 2 输入的实数 x 的取值范围是( ) (A) ? ??, ?1? (C) (??, ?1] ? ? 1 , 2 ? ? ? ?4 ? (B) ? 1 , 2 ? ? ? ?4 ? (D) (??, 0) ? ? 1 , 2 ? ? ? ?4 ?

3 ,且 ? ? ? ? ,? ? ,函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0) 的图像的相邻两条对称 ? ? 5 ?2 ? ? 轴之间的距离等于 ,则 f ? ? ? 的值为( ) ? ? 2 ?4? 3 4 4 3 (A) ? (B) (C) (D) ? 5 5 5 5

? x ? y ? 3 ? 0, 8. 若 x, y 满足 ? ? x ? y ? 1 ? 0, 且 z ? 2 x ? y 的最大值为 6,则 k ?x ? k, ? 的值为( ) (A) ?1 (B)1 (C) ?7 (D) 7

9. 设函数 f ? x ? 在 R 上可导,其导函数为 f ? ? x ? ,且函数 f ? x ? 在 x ? ?2 处取得极小值, 则函数 y ? xf ? ? x ? 的图象可能是( )

(A)

(B)

(C)

(D)

10. 一艘轮船从 O 点正东 100 海里处的 A 点处出发,沿直线向 O 点正北 100 海里处的 B 点 处航行.若距离 O 点不超过 r 海里的区域内都会受到台风的影响,设 r 是区间[50,100]内的一 个随机数,则该轮船在航行途中会遭受台风影响的概率约为( ) (A)20.7% (B)29.3%
2 2

(C)58.6%

(D)41.4%

x y ? 2 ? 1(a, b ? 0) 的一条斜率为正值的渐进线平 2 a b 行, 若双曲线 C 右支上的点到直线 l 的距离恒大于 b , 则双曲线 C 的离心率取值范围是 ( ) (A) ?1,2? (B) ?2,??? (C) ?1,2? (D) 1, 2
11. 过点 (0,2b) 的直线 l 与双曲线 C :

?

?

12. 已知 x 0 是函数 f ( x) ? 2 sin x ? ? ln x( x ? (0, ? )) 的零点, x1 ? x 2 ,则 ① x 0 ? (1, e) ;② x0 ? (e, ? ) ;③ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ;④ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 其中正确的命题是( ) (A)①④ (B)②④ (C)①③ (D)②③

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题纸 上.) ... 13. 函数

f ( x) ? log a ( x ? 2) 必过定点

。 。

14. 各项均为正数的等差数列 ?an ? 中, a4 a9 ? 36 ,则前 12 项和 S12 的最小值为
15. 如图所示,某几何体的三视图,则该几何体的体积为 16. f ( x ) ? 。

2 3 x ? x 2 ? ax ? 1 己知曲线存在两条斜率为3的切线,且切点的横坐标都大于零 3


,则实数a的取值范围为

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,三个内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,

10 2 5 , a sin A ? b sin B ? c sin C ? a sin B .(1)求 B 的值; 10 5 (2)设 b ? 10 ,求 ?ABC 的面积 S . cos A ?

18. (本小题满分12分)据统计,2015年“双11”天猫总成交金额突破 912 亿元。某购物网站为优 化营销策略,对在11月11日当天在该网站进行网购消费且消费金额不超过 1000 元的 1000 名网 购者(其中有女性 800 名,男性 200 名)进行抽样分析.采用根据性别分层抽样的方法从这

1000 名网购者中抽取 100 名进行分析,得到下表:(消费金额单位:元)
女性消费 女性人数 男性消费 男性人数

(0, 200)

?200, 400? ?400,600? ?600,800?
10 15 47

[800,1000]

5
(0, 200)

x
[800,1000]

?200, 400? ?400,600? ?600,800?
3

2

10

y

2

(Ⅰ)计算 x, y 的值;在抽出的 100 名且消费金额在

?800,1000? (单位:元)的网购者

中随机选出两名发放网购红包,求选出的两名网购者恰好是一男一女的概率;

(Ⅱ)若消费金额不低于 600 元的网购者为 “网购达人”,低于 600 元的网购者为“非网购达人 ”,根据以上统计数据填写右面 2 ? 2 列联表,并回 答能否在犯错误的概率不超过 0.010 的前提下认为“ 是否为‘网购达人’与性 别有关?”
P(k 2 ? k0 )

女士 网购达人 非网购达人 总计

男士

总计

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005
7.879

k2 ?

n(ad ? bc)2 k0 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

2.706

3.841

5.024

6.635

,其中 n ? a ? b ? c ? d

19. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形.点 E 是 棱 PC 的中点,平面 ABE 与棱 PD 交于点 F . (Ⅰ) 求证: AB ∥ EF ; (Ⅱ)若 PA ? AD ,且平面 PAD ? 平 面 ABCD ,试证明 AF ? 平面 PCD ; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,线段 PB 上是否存在点

M ,使得 EM ? 平面 PCD ?(请说明理由)

20. (本小题满分 12 分) 如图椭圆 W :

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的 a 2 b2

离心率为

3 , 2

其左顶点 A 在圆 O : x 2 ? y 2 ? 16 上. (Ⅰ)求椭圆 W 的方程; (Ⅱ)直线 AP 与椭圆 W 的另一个交点为 P ,与圆 O 的另一个 交点为 Q .(i)当 | AP |?

8 2 时,求直线 AP 的斜率; 5

(ii)是否存在直线 AP ,使得 理由.

| PQ | ? 3 ? 若存在,求出直线 AP 的斜率;若不存在,说明 | AP |

21. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? ex (2 x ? 1) ? ax ? a (a∈R) , e 为自然对数的底数. (1) 当 a=1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2) ①若存在实数 x ,满足 f ( x) ? 0 ,求实数 a 的取值范围; ②若有且只有唯一整数 x 0 ,满足 f ( x0 ) ? 0 ,求实数 a 的取值范围.

考生在第22、23、24题中任选一道作答,并用2B铅笔将答题卡上所选的题目 对应的题号右侧方框涂黑,按所涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首 题进行评分.

22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AF 是圆 E 切线, F 是切点, 割线 ABC BM 是圆 E 的直径,

EF 交 AC 于 D , AB ?

1 AC , ?EBC ? 300 , MC ? 2 .(1)求线段 AF 3

的长;(2)求证: AD ? 3ED . 24. (本小题满分10分) 选修4—5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 m? | x ? 2 | ?1 ,其解集
2 2 为 [0, 4] .(Ⅰ)求 m 的值;(Ⅱ)若 a , b 均为正实数且满足 a ? b ? m ,求 a ? b 最小值.

23.(本小题满分10分)选修4—4:极坐标与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.已知曲线

? x ? 4 ? cos t , ? x ? 6 cos ? , C1 : ? ( t 为参数), C2 : ? ( ? 为参数). ? y ? ?3 ? sin t , ? y ? 2sin ? ,
(Ⅰ)化 C1 , C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (Ⅱ)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t ? ? 线 C3 : ? cos? ? 3? sin ? ? 8 ? 2 3

?
2

,Q 为 C2 上的动点,求线段 PQ 的中点 M 到直

距离的最小值.

1【试题解析】因为

所以,故

答案为:B。2【试题解析】因为 z 的共轭复数是 3【试题解析】因为 4【试题解析】因为 故答案为:D , 还可为-4 所以, , 得 能得出 故答案为:C

所以,

,但反之不成立,故答案为:A

5【试题解析】因为由已知得

故答案为:B

6【试题解析】因为函数

的图像的相邻两条对称轴之间的距离等









故答案为:D

7【试题解析】因为若 所以, 8 【试题解析】 因为可行域为 得 。 故答案为:C ,

;若





, 取得最大值



9. 。故答案为:C

10【试题解析】因为

故答案为:C

11【试题解析】因为斜率为正值的渐近线方程为

与之平行的直线为

由题意得两平行线的距离为

化简得



所以,离心率的取值范围是 12【试题解析】因为 ,在 数,由 得, 时,

故答案为:A , 总是小于 0, 。故答案为:A 。所以,必过定点(3,0)故答案为: (3,0) 故答案为:72 , ① 正确; 是减函

13【试题解析】因为 14【试题解析】因为

15 【试题解析】 因为原几何体直观图如图, ABCD 为一直角梯形。 各边长度如图,可看作顶点为 S,地面为一直角梯形的四棱锥。所以, 故答案为:2 16【试题解析】因为

故答案为: (3, 3. 5)

17 解: (1)





.又



的内角,







是 .

的内角, . ,



(2)



的面积 18【试题解析】解: (Ⅰ)依题意,女性应抽取 名,男性应抽取 名

抽出的

名且消费金额在

(单位:元)的网购者中有三位女性设为



两位男性设为

,从 人中任选 人的基本事件有: , , 事件 , 共 件

设“选出的两名网购者恰好是一男一女”为事件 共 件 (Ⅱ) 列联表如下表所示

包含的基本事件有:



答: 我们有 99%的把握认为 “是否为 ‘网 购达人’ ”与性别有关 19【试题解析】 (Ⅰ)证明:因为底面 又因为 又因为 (Ⅱ)在正方形 且平面 平面 .由(Ⅰ)可知 由点 是棱 中点,所以点 平面 , 平面 是正方形,所以 ,所以 平面 .又因为平面 ,所以 ∥ 是棱 平面 ∥ ∥平面 ∥ . ,所以 平面 .又 ,所以 中,因为 平面 ∥ . ,所以 ∥ , 所以 . .

四点共面,且平面 中,

,又因为

中点.在△

.又因为 (Ⅲ)不存在.假设线段 取 AB 中点 N,连接 NE,易知 线段 上不 存在点

,所以 上是否存在点 ∥ ,使得 , ∥ 平面

平面 ,使得

. 平面

,过 E 有两条直线与 AF 平行 矛盾

20【试题解析】解: (Ⅰ)因为椭圆

的左顶点

在圆

上,所以



又离心率为

,所以

,所以

,

所以

,

所以



方程为



(Ⅱ) (i)设点

,显然直线

存在斜率,

设直线

的方程为



与椭圆方程联立得

,

化简得到 所以 ,由

,所以 ,



代入得到

,解得

, 所以直线

的斜率为



(ii)圆心到直线

的距离为





因为

,代入得到

.显然

,所以不存在直线

21 解: (1) 当 a=1 时, 当 , (2)①由 时, 所以 得 在区间 ,∴

, ,当 上单调递减,在区间 .当 时,

, 由于

, ,∴

上单调递增.

时,不等式显然不成立;



时,

;当

时,

.记

=



,∴

在区间



上为增函数,



上为减函数.∴ 当

时,

,当

时,

.综上所述,所有 a 的取值范围为 ②由①知 又 时, ,由 上单调递增,在 ,得 ,



在区间

上单调递减,且





,即 ,又

,∴ 在区间

。当 上单调递减,在

时,

,由

,得 ,

上单调递增,且



,解得

.综上所述,所有 a 的取值范围为 是圆 直径所以, ,又 可知 , 于 , 则 所以 ,因此 , 从而有 ,即 ,又



22【试题解析】解: (Ⅰ)因为 , ,所以 根据切割线定理得: 即 (Ⅱ) 过 作

,所以



又由题意知

23 【试题解析】 解: (Ⅰ)



为圆心是



半径是 的圆. (Ⅱ)当

为中心在坐标原点, 焦点在 轴上,长半轴长是 , 短半轴长是 的椭圆. 时, , , 设 为直线 , 则



的距离

从而当

时,

取得最小值 可化为 ,

24【试题解析】解: (Ⅰ)不等式



, 即

, ∵其解集为

, ∴





(Ⅱ) 由 (Ⅰ) ∴ (方法二: )∵ ∴ (方法三: )∵ ∴ ∴当且仅当

, ∵ ,∴当且仅当 时, 取最小值为 . , ,∴当且仅当 ,∴ , , 时, 取最小值为 . 时, 取最小值为 .




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