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2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第四章第3课时课后达标检测


[基础达标] 一、选择题 1.(2014· 武汉市调研)已知向量 a=(-3,2),b=(-1,0),若 λa+b 与 a-2b 垂直,则实 数 λ 的值为( ) 1 1 A.- B. 7 7 1 1 C.- D. 6 6 解析:选 A.因为向量 a=(-3,2),b=(-1,0),所以 λa+b=(-3λ,2λ)+(-1,0)=(-3λ -1,2λ), a-2b=(-3,2)-

2(-1,0)=(-1,2).又 λa+b 与 a-2b 垂直,所以-1· (-3λ-1)+2· 2λ 1 =0,解得 λ=- ,故选 A. 7 → → 2.(2013· 高考福建卷)在四边形 ABCD 中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积 为( ) A. 5 B.2 5 C.5 D.10 1→ → → → → → 解析:选 C.∵AC· BD=(1,2)· (-4,2)=-4+4=0,∴AC⊥BD,∴S 四边形 ABCD= |AC|· |BD| 2 1 = × 5×2 5=5. 2 → → → → 3.在△ABC 中,C=90° ,且 CA=CB=3,点 M 在 AB 上,且满足BM=2MA,则CM· CB 等于( ) A.2 B.3 C.4 D.6 解析:选 B.由题意可知, → → → 1→ → CM· CB=(CA+ AB)· CB 3 → → 1→ → =CA· CB+ AB· CB 3 1 =0+ ×3 2×3cos 45° =3.故选 B. 3 4.(2014· 湖南长沙模拟)关于平面向量 a,b,c,有下列三个命题: ①若 a· b=a· c,则 a=0 或 b=c; 1 ②若 a=(1,k),b=(-2,6)且 a⊥b,则 k= ; 3 ③非零向量 a,b 满足|a|=|b|=|a-b|,则 a 与 a+b 的夹角为 30° .其中所有真命题的个 数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:选 C.若 a· b=a· c,则 a· (b-c)=0,可得 a=0 或 b=c 或 a⊥(b-c),即命题①不 1 正确;若 a=(1,k),b=(-2,6)且 a⊥b,则 a· b=-2+6k=0,得 k= ,即命题②正确; 3 非零向量 a,b 满足|a|=|b|=|a-b|,则可得出一个等边三角形,且 a 与 a+b 的夹角为 30° , 即命题③正确,综上可得真命题有 2 个,故应选 C. 5.(2014· 武汉市部分学校高三调研测试)设 x∈R,向量 a=(x,1),b=(1,-2),且 a⊥b, 则|a+b|=( )

A. 5 B. 10 C.2 5 D.10 解析:选 B.由 a⊥b,得 a· b=(x,1)· (1,-2)=x-2=0,解得 x=2.所以|a+b|=|(3,-1)| = 10. 二、填空题 → → 6.(2013· 高考重庆卷)在 OA 为边,OB 为对角线的矩形中,OA=(-3,1),OB=(-2, k),则实数 k=________. → → → → → 解析:如图所示,由于OA=(-3,1),OB=(-2,k),所以AB=OB-OA=(1,k-1).

→ → → → 在矩形中,由OA⊥AB得 OA· AB=0,所以(-3,1)· (1,k-1)=0,即-3×1+1×(k-1) =0,解得 k=4. 答案:4 7.(2014· 辽宁大连模拟)已知向量 a=(2,-1),b=(x,-2),c=(3,y),若 a∥b,(a → +b)⊥(b-c),M(x,y),N(y,x),则向量MN的模为__________. 解析:∵a∥b,∴x=4,∴b=(4,-2), ∴a+b=(6,-3),b-c=(1,-2-y). ∵(a+b)⊥(b-c),∴(a+b)· (b-c)=0, 即 6-3(-2-y)=0,∴y=-4, → → 故向量MN=(-8,8),|MN|=8 2. 答案:8 2 5 8.已知向量 a,b 满足|a|=2,|b|=1,且(a+b)⊥(a- b),则 a 与 b 的夹角为________. 2 5 5 3 5 解析:因为(a+b)⊥(a- b),所以 a2- b2- a· b=0.又因为|a|=2,|b|=1,所以 4- - 2 2 2 2 3 1 a· b=0,所以 a· b=1.又 a· b=|a|· |b|cos〈a,b〉=1,所以 cos〈a,b〉= .又 a 与 b 的夹角 2 2 π 范围为[0,π],所以 a 与 b 的夹角为 . 3 π 答案: 3 三、解答题 9.已知 a=(1,2),b=(-2,n),a 与 b 的夹角是 45° , (1)求 b; (2)若 c 与 b 同向,且 a 与 c-a 垂直,求 c. 解:(1)∵a· b=2n-2,|a|= 5,|b|= n2+4, 2n-2 2 ∴cos 45° = = , 2 2 5· n +4 ∴3n2-16n-12=0(n>1). 2 ∴n=6 或 n=- (舍去),∴b=(-2,6). 3 (2)由(1)知,a· b=10,|a|2=5. 又∵c 与 b 同向,故可设 c=λb(λ>0). ∵(c-a)· a=0,∴λb· a-|a|2=0, 2 |a| 5 1 ∴λ= = = . b· a 10 2 1 ∴c= b=(-1,3). 2

π 10.(2014· 江苏徐州模拟)已知向量 a=(4,5cos α),b=(3,-4tan α),α∈(0, ),a⊥b, 2 求: (1)|a+b|; π (2)cos(α+ )的值. 4 解:(1)因为 a⊥b,所以 4×3+5cos α×(-4tan α)=0, 3 π 解得 sin α= .又因为 α∈(0, ), 5 2 4 sin α 3 所以 cos α= ,tan α= = , 5 cos α 4 所以 a+b=(7,1), 因此|a+b|= 72+12=5 2. π π π (2)cos(α+ )=cos αcos -sin αsin 4 4 4 4 2 3 2 2 = × - × = . 5 2 5 2 10 [能力提升] 一、选择题 π → → 1.(2014· 云南昆明质检)在直角三角形 ABC 中,∠C= ,AC=3,取点 D 使BD=2DA, 2 → → 那么CD· CA=( ) A.3 B.4 C.5 D.6

→ → → 解析:选 D.如图,CD=CB+BD. → → 又∵BD=2DA, → → 2→ → 2 → → ∴CD=CB+ BA=CB+ (CA-CB), 3 3 → 2→ 1→ 即CD= CA+ CB, 3 3 π → → ∵∠C= ,∴CA· CB=0, 2 → → ?2 → 1 → ? → ∴CD· CA=?3CA+3CB?· CA 2→ 1→ → = CA2+ CB· CA=6,故选 D. 3 3 → → 2.在边长为 1 的正方形 ABCD 中,M 为 BC 的中点,点 E 在线段 AB 上运动,则EC· EM 的取值范围是( ) 1 3 A.[ ,2] B.[0, ] 2 2 1 3 C.[ , ] D.[0,1] 2 2

1 解析: 选 C.将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中, 设 E(x,0), 0≤x≤1.又 M(1, ), 2 1 1 1 → → → → C(1,1),所以EM=(1-x, ),EC=(1-x,1),所以EM· EC=(1-x, )· (1-x,1)=(1-x)2+ . 2 2 2 1 1 3 1 3 → → 2 因为 0≤x≤1,所以 ≤(1-x) + ≤ ,即EM· EC的取值范围是[ , ]. 2 2 2 2 2 二、填空题 3.(2012· 高考湖北卷)已知向量 a=(1,0),b=(1,1),则 (1)与 2a+b 同向的单位向量的坐标表示为__________; (2)向量 b-3a 与向量 a 夹角的余弦值为__________. 解析:(1)∵2a+b=(3,1),∴|2a+b|= 32+12= 10. 2a+b ?3 10 10? ∴与 2a+b 同向的单位向量的坐标表示为 = . , 10 ? |2a+b| ? 10 (2)∵b-3a=(-2,1),∴|b-3a|= 5,|a|=1, (b-3a)· a=(-2,1)· (1,0)=-2, ?b-3a?· a -2 2 5 ∴cos〈b-3a,a〉= = =- . 5 |b-3a||a| 5 2 5 3 10 10? 答案:(1)? (2)- , 5 10 ? ? 10 4.(2014· 江苏常州模拟)在△ABC 中,有如下命题,其中正确的是________. → → → → → → → → → → ①AB-AC=BC;②AB+BC+CA=0;③若(AB+AC)· (AB-AC)=0,则△ABC 为等腰 → → 三角形;④若AB· BC>0,则△ABC 为锐角三角形. → → → → → 解析:在△ABC 中,AB-AC=CB,①错误;若AB· BC>0,则∠B 是钝角,△ABC 是钝 角三角形,④错误. 答案:②③ 三、解答题 5.已知向量 a=(1,2),b=(cos α,sin α),设 m=a+tb(t 为实数). π (1)若 α= ,求当|m|取最小值时实数 t 的值; 4 π (2)若 a⊥b,问:是否存在实数 t,使得向量 a-b 和向量 m 的夹角为 ?若存在,请求 4 出 t;若不存在,请说明理由. π 3 2 2 2 解:(1)因为 α= ,所以 b=? , ?,a· b= , 4 2 2? ?2 则|m|= ?a+tb?2= 5+t2+2ta· b= t2+3 2t+5= 3 2 2 所以当 t=- 时,|m|取到最小值,最小值为 . 2 2 (2)存在实数 t 满足条件,理由如下: 假设存在满足条件的实数 t, ?a+tb? π ?a-b?· 则 cos = , 4 |a-b||a+tb| 因为 a⊥b,所以 a· b=0,

?t+3 2?2+1, 2 ? 2 ?

得|a-b|= ?a-b?2= 6, |a+tb|= ?a+tb?2= 5+t2, (a-b)· (a+tb)=5-t, 5- t 2 则有 2= 2 ,且 t<5, 6× 5+t -5± 3 5 整理得 t2+5t-5=0,所以存在 t= 满足条件. 2 3 3 ? x x? ? ? π? 6.(选做题)已知向量 a=? ?cos 2x,sin 2x?,b=?cos 2,-sin 2?,且 x∈?0,2?. (1)求 a· b 及|a+b|; 3 (2)若 f(x)=a· b-2λ|a+b|的最小值为- ,求正实数 λ 的值. 2 3 x 3 x 解:(1)a· b=cos xcos -sin x sin 2 2 2 2 3 x? =cos? ?2x+2?=cos 2x, 3 x ?2 ? 3 x ?2 |a+b|2=? ?cos 2x+cos 2? +?sin 2x-sin 2? =2+2cos 2x=4cos2x, π? ∵x∈? ?0,2?,∴cos x≥0, ∴|a+b|=2 cos x. (2)∵f(x)=cos 2x-4λcos x=2cos2x-4λcos x-1, ∴f(x)=2(cos x-λ)2-1-2λ2. π? ∵x∈? ?0,2?,∴cos x∈[0,1]. ①当 0≤λ≤1 时,当且仅当 cos x=λ 时, 3 1 f(x)取最小值-1-2λ2=- ,解得 λ= . 2 2 3 5 ②当 λ>1 时,当且仅当 cos x=1 时,f(x)取最小值 1-4λ=- ,解得 λ= 与 λ>1 矛盾. 2 8 1 综上所述,λ= 即为所求. 2


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