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黑龙江省哈师大附中2013-2014学年高二上学期期中数学文试题 Word版含答案


哈师大附中高二上学期期中考试

数学试题(文科)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.抛物线 y ? 4 x 的焦点坐标为(
2

) C.( 0,

A.(1,0)

B.(2,0)

1 ) 8

D.( 0,

1 ) 16

2. 若椭圆

x2 y2 ? ? 1 上一点到焦点 F1 的距离为6,则点P到另一个焦点 F2 的距离为 16 25
B.4 C.6 D.8

( ) A.2

3. 已知中心在原点的双曲线C的上焦点为F (0, , 3) 离心率为

3 , 则C的方程是 ( 2
y 2 x2 ? ?1 D. 4 5



x2 y 2 A. ? ?1 4 5

y 2 x2 B. ? ?1 4 5

x2 y 2 ? ?1 C. 4 5


4.在极坐标系中,圆 ? ? cos(? ? A. ( , ? )

1 2

? 3

? ) 的圆心的极坐标为( 3 1 ? ? B. ( , ) C. (1, ? ) 2 3 3

D. (1, )

? 3

5. 已知椭圆C:

???? ???? ? x2 y2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1 、F2 ,则在椭圆C上满足 PF1 ?PF2 ? 0 的 16 12
C.3 D.4

点P的个数有( ) A.0 B.2 6 . 已 知 实 数 p ? 0 , 曲 线 C1 : ?

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

(t 为 参 数 , ) 上 的 点 A ( 2 , m ) , 圆

p ? ? ?x ? ? 6 c o s C2 : ? (? 为参数)的圆心为点 B,若 A、B 两点间的距离等于圆 C2 的半 2 ? y ? 6sin ? ?
径,则 p =( A.4 ) B.6 C.8 D.10

7.已知椭圆的两个焦点分别是 F1 , F2 ,P 是椭圆上的一个动点,如果延长 F1P 到 Q,使得

PQ ? PF ,那么动点 Q 的轨迹是 ( 2
A.圆
2 2

) C.射线 D.直线

B.椭圆
2

8.圆 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? r 上有且仅有两个点到直线 4 x ? 3 y ? 11 ? 0 的距离等于1,则半
第1页 共8页

径 r 的取值范围是( ) A. r ? 1 B. r ? 3
2

C. 1 ? r ? 3

D. 1 ? r ? 2 )

9.直线 l 交抛物线 y ? 2 x 于A、B两点,且 OA ? OB ,则直线 l 过定点( A.(1,0)
2

B.(2,0)

C.(3,0)

D.(4,0)

10 . 已 知 P 是 抛 物 线 x ? 4 y 上 的 一 个 动 点 , 则 点 P 到 直 线 l1 : 4 x ? 3 y ? 7 ? 0 和

l2 : y ? 2 ? 0 的距离之和的最小值是(
A.1 B.2
2 2

) D.4

C.3

11. 若直线 y ? kx ? 2 与双曲线 x ? y ? 6 的右支交于不同的两点,则实数 k 的取值范围是 ( )

A. ? ?

? ? ?

15 15 ? , ? 3 3 ? ?

B. ? 0,

? ? ?

15 ? ? 3 ? ?

C. ? ?

? ? ?

15 ? ,0? ? 3 ?

D. ? ?

? ? ?

? 15 , ?1 ? ? 3 ?

12.已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点与顶点,若双曲线 a 2 b2


的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形,则椭圆的离心率为( A.

1 3

B.

1 2

C.

3 3

D.

2 2

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13. 已 知 双 曲 线 为 .

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 离 心 率 e ? 2 , 则 其 渐 近 线 的 方 程 a2 b2

π π 14.已知在极坐标系中,圆 C 的圆心为(6, ),半径为 5,直线 ? = ? ( ≤ ? ≤π , ? ∈ 2 2 R)被圆截得的弦长为 8,则 ? =________. 15.已知点P(1,3)为圆 x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0 外一点,则实数 m 的取值范围为
2 2

___________. 16.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的上、下顶点、右顶点、右焦点分别为 B2 、 B1 、 A 、 a 2 b2

F,延长 B1 F 与 AB2 交于点 P,若 ?B1PA 为钝角,则此椭圆的离心率 e 的取值范围为 _____________. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

第2页 共8页

17.(本题满分 10分)已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点在 x 轴的正半轴,且焦点到 准线的距离为2, 直线 l 与抛物线C相交于A, B两点, M 若 (2, 满足 AM ? MB , 2) 求直线 l 的方程.

???? ?

????

2 ? ?x ? 1? t ? (t 为 18. (本题满分 12 分)已知:在直角坐标系 xOy 中,曲线C的参数方程为:? 2 t ?y ? ? 1? t ?
参数) 以原点O为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. , 求曲线C的极坐标方程.

19 . ( 本 题 满 分 12 分 ) 已 知 椭 圆

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 为 e ? ,直线 2 2 a b

x ? y ? 1 ? 0 与椭圆交于P、Q两点,且 OP ? OQ ,求该椭圆方程.

3 ? ? x ? ?2 ? 5 t , ? ? 4 20. (本题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为:? y ? 2 ? t. ( t ? 5 ?
为参数),它与曲线 C : ( y ? 2) ? x ? 1 交于 A , B 两点.
2 2

(Ⅰ) 求 AB 的长;(Ⅱ) 在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 P 的 极坐标为 ? 2 2 ,

? ?

3? 4

? ? ,求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离. ?

第3页 共8页

21.(本题满分 12 分)已知直线 l : 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 与抛物线 C : y ? 4 x 交于A,B两点,
2

O为坐标原点. (Ⅰ)求 ?OAB 的面积; (Ⅱ) 抛物线C上是否存在两点M, N关于直线AB对称, 若存在, 求出直线MN的方程, 若不存在,说明理由.

22. (本题满分 12 分)椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率为 a 2 b2

2 ,过点 F1 且垂直于 x 轴的直线被椭圆截得的弦长为 2 ,直线 l : y ? kx ? m 与椭 2
圆交于不同的A,B两点. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)若在椭圆C上存在点Q满足:

??? ??? ? ? ???? OA ? OB ? ?OQ (O为坐标原点).求实数 ? 的取值范围.

哈师大附中高二上学期期中考试

数学试题(文科)答案
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.D 2.B 3.B 4.A 5.A 6.C 7.A 8.C 9.B 10.C 11.D 12.D 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13. y ? ? 3x 14.

2? 3

15. ? 7,

? ?

37 ? ? 4 ?

16. ? ?

? 5 ?1 ? ,1 ? ? ? 2 ?

第4页 共8页

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本题满分 10分) 解::设抛物线方程为 y ? 2 px( p ? 0) ,则 p ? 2 ,抛物线方程为 y ? 4 x .
2 2

由 AM ? MB 知 M 为线段 AB 的中点.设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 当直线斜率不存在时不满足题意.故设直线 l 的方程为: y ? 2 ? k ( x ? 2) , 联立 ?

???? ?

????

? y ? 2 ? k ( x ? 2) ? y ? 4x
2

消 y 得 k x ? [4k (1 ? k ) ? 4]x ? 4(1 ? k ) ? 0
2 2 2



x1 ? x2 4k 2 ? 4k ? 4 ? ? 2 ,解得 k ? 1 ,故直线 l 的方程为: x ? y ? 0 2 2k 2

2 ? ?x ? 1? t y ? 18.(本题满分 12 分)解:由 ? ,得 t ? 0,? 0 ? x ? 2 ,两式相除,得 t ? 代 x ?y ? 2 t ? 1? t ?
入x?

2 得 1? t

C : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0( x ? 0) , C : ? ? 2cos ?(? ? 0)
19.(本题满分 12 分) 解:设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,? e ?

3 c 3 4 ? ? ? a 2 ? c 2 , a 2 ? 4b 2 2 a 2 3

?x ? y ?1 ? 0 x2 y 2 ? 2 2 设椭圆方程 2 ? 2 ? 1 , ? x 2 消 y 得 5x ? 8x ? 4 ? 4b ? 0 有两根为 x1 , x2 y2 4b b ? 2 ? 2 ?1 b ? 4b

8 ? ? x1 ? x2 ? ? 5 1 ? ?? ? 0 ? 5b2 ? 1? b2 ? ,且有 ? 2 5 ? x ? x ? 4 ? 4b ? 1 2 5 ?
??? ???? ? ? OP ? OQ ? OP ? OQ ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 即 2 x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1 ? 0 即


4 ? 4b 2 x2 y2 8 5 5 2 2 ? ? 1. +( ? )+1=0解得 b ? ? a ? 椭圆方程为 5 5 5 5 8 2 2 8

20.(本题满分 12 分)

第5页 共8页

解:(Ⅰ)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得

7t 2 ? 60t ? 125 ? 0
设 A , B 对应的参数分别为 t1 , t 2 ,则 t1 ? t2 ? ? 所以 AB ? t1 ? t2 ?

60 125 . , t1t2 ? ? 7 7

(t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ?

10 71 . 7

(Ⅱ)易得点 P 在平面直角坐标系下的坐标为 (?2,2) , 根据中点坐标的性质可得 AB 中点

M 对应的参数为
PM ?

t1 ? t2 30 ? ? .所以由 t 的几何意义可得点 P 到 M 的距离为 2 7

t1 ? t2 30 . ? 2 7
?2 x ? 3 y ? 8 ? 0
2 ? y ? 4x

21.(本题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由 ? 解得A(16,8),B(1,-2)则 AB ? 5 13 ,原

点到直线AB的距离为 d ?

8 13 1 ,故 S?OAB ? d ? AB ? 20 . 13 2

(Ⅱ)假设存在两点M、N关于AB对称,设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) 则 k MN ? ?

1 3 3 ? ? ,设MN: y ? ? x ? m k AB 2 2

? y2 ? 4x 2 2 消 x 得 3 y ? 8 y ? 8m ? 0 , ? ? 64 ? 4 ? 3 ? 8m ? 0,? m ? ? ? 3 ?2 x ? 3 y ? 8 ? 0

y ?y 8 4 x ? x 8 ? 6m 4 8 ? 6m ,所以线段MN中点 (? , y1 ? y2 ? ? ,则 1 2 ? ? , 1 2 ? )在 3 2 3 2 9 3 9 2 5 直线 l : 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 上解得 m ? 满足 m ? ? . 3 3
故存在M、N关于直线AB对称,直线MN: 9 x ? 6 y ? 10 ? 0 .

22.(本题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由已知得 e ?

c 2 2b 2 ? ? 2 解得 a ? 2, b ? 1, c ? 1 , a 2 a

x2 ? y 2 ? 1. 所以椭圆C的方程为 2

第6页 共8页

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , Q( x0 , y0 ) 当 ? ? 0 时由 OA ? OB ? ?OQ 知, OA ? OB ? 0 ,A与B关于原点对称,存在Q满足题意

??? ??? ? ?

????

??? ??? ? ?

?

?? ? 0 成立.
当 ? ? 0 时, ?
2

? y ? kx ? m ?x ? 2 y ? 2
2 2

得 1 ? 2k

?

2

?x

2

? 4kmx ? 2m 2 ? 2 ? 0

? ? ? 4km ? ? 4 ?1 ? 2k 2 ?? 2m 2 ? 2 ? ? 0 得 m2 ? 1 ? 2k 2 ……(*)

x1 ? x2 ?

?4km 2m 2 ? 2 2m , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? , x1 x2 ? 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 2
????

由 OA ? OB ? ?OQ ,得 ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? ? ? ?x0 , ?y0 ?

??? ??? ? ?

1 1 ?4km ? ? x0 ? ? ( x1 ? x2 ) ? ? ? 1 ? 2k 2 x2 ? x1 ? x2 ? ?x0 , y1 ? y2 ? ?y0 ,? ? , 代入到 ? y 2 ? 1 得 2 ? y ? 1 ( y ? y ) ? 1 ? 2m 0 1 2 2 ? ? ? 1 ? 2k ?

m2 ?

?2 ?2 (1 ? 2k 2 ) 代 入 ( * ) 式 (1 ? 2k 2 ) ? 1 ? 2k 2 , 由 1 ? 2k 2 ? 0 得 ?2 ? ? ? 2 且 4 4

? ? 0.

?综上 ? ? ? ?2, 2 ? .

第7页 共8页

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