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高中数学导数及其应用


高中数学导数及其应用
一、知识网络

二、高考考点 1、导数定义的认知与应用; 2、求导公式与运算法则的运用; 3、导数的几何意义; 4、导数在研究函数单调性上的应用; 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用; 6、导数在解决实际问题中的应用。 三、知识要点 (一)导数 1、导数的概念 (1)导数的定义

(Ⅰ)设函数

在点

及其附近有定义,当自变量 x 在

处有增量△x(△x 可

正可负),则函数 y 相应地有增量

,这两个增量的比

, 叫做函数

在点



这间的平均变化率。 如果

时,

有极限,则说函数

在点

处可导,并把这个极限叫做

在点

处的导数(或变化率),记作

,即



(Ⅱ)如果函数

在开区间(

)内每一点都可导,则说

在开区间(

) , )

内可导,此时,对于开区间( 这样在开区间(

)内每一个确定的值

,都对应着一个确定的导数 在开区间(

)内构成一个新的函数,我们把这个新函数叫做 或 , 即

内的导函数(简称导数),记作



认知: (Ⅰ)函数 是一个数值; 的函数值。 的导数 在点 是以 x 为自变量的函数,而函数 处的导数 是 的导函数 在点 当 处的导数 时

(Ⅱ)求函数 ①求函数的增量

在点

处的导数的三部曲: ;

②求平均变化率



③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 (2)导数的几何意义: 函数 率。 (3)函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别: (Ⅰ)若函数 若函数 续)。 在点 处可导,则 )内可导,则 在点 处连续; )内连续(可导一定连 在点 处的导数 , 是曲线 在点 处的切线的斜

在开区间(

在开区间(

事实上,若函数

在点

处可导,则有

此时,



,则有



在点

处连续。

(Ⅱ)若函数

在点

处连续,但

在点

处不一定可导(连续不一定可导)。

反例:

在点

处连续,但在点

处无导数。

事实上,

在点

处的增量



时,







时,



由此可知,

不存在,故

在点

处不可导。

2、求导公式与求导运算法则 (1)基本函数的导数(求导公式) 公式 1 常数的导数: (c 为常数),即常数的导数等于 0。

公式 2

幂函数的导数:



公式 3

正弦函数的导数:



公式 4

余弦函数的导数:

公式 5

对数函数的导数:

(Ⅰ)



(Ⅱ)

公式 6 (Ⅰ)

指数函数的导数: ;

(Ⅱ)



(2)可导函数四则运算的求导法则 设 法则 1 为可导函数,则有 ;

法则 2



法则 3



3、复合函数的导数 (1)复合函数的求导法则 设 , 复合成以 x 为自变量的函数 ,等于已知函数对中间变量 的导数 , 则复合函数 ,乘以中间变量 u 对自

对自变量 x 的导数 变量 x 的导数 即 ,



引申:设



复合成函数

, 则有

(2)认知 (Ⅰ)认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序,即从外向内分析:首先由最外层 的主体函数结构设出 第二层中间变量 中间变量 ,由第一层中间变量 的函数结构设出 的函数结构设出 ,由

,由此一层一层分析,一直到最里层的 为止。于是所给函数便“分解”为若干相互联系

为自变量 x 的简单函数

的简单函数的链条: ;

(Ⅱ)运用上述法则求复合函数导数的解题思路 ①分解:分析所给函数的复合关系,适当选定中间变量,将所给函数“分解”为相互联系的 若干简单函数; ②求导:明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后,运用上述求导法则和基本公式求; ③还原: 将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数, 并作以适当化简或整理。

二、导数的应用 1、函数的单调性 (1)导数的符号与函数的单调性: 一般地,设函数 在某个区间内可导,则若 为增函数;若 ,则在这一区间上为常函数。

为减函数;若在某个区间内恒有

(2)利用导数求函数单调性的步骤 (Ⅰ)确定函数 的定义域;

(Ⅱ)求导数



(Ⅲ)令 当 函数。 (3)强调与认知 时,

,解出相应的 x 的范围 在相应区间上为增函数;当 时 在相应区间上为减

(Ⅰ)利用导数讨论函数的单调区间,首先要确定函数的定义域 D,并且解决问题的过程中 始终立足于定义域 D。若由不等式 的取值范围为 B,则应用 ; 确定的 x 的取值集合为 A,由 确定的 x

(Ⅱ)在某一区间内

(或

)是函数

在这一区间上为增(或减)

函数的充分(不必要)条件。因此方程 函数划分单调区间时,除去确定 点,它们也可能是增、减区间的分界点。 举例: (1)

的根不一定是增、减区间的分界点,并且在对 的根之外,还要注意在定义域内的不连续点和不可导

是 R 上的可导函数,也是 R 上的单调函数,但是当 x=0 时,



( 2) +∞)内递增。

在点 x=0 处连续,点 x=0 处不可导,但

在(-∞,0)内递减,在(0,

2、函数的极值 (1)函数的极值的定义 设函数 是函数 在点 附近有定义,如果对 附近的所有点,都有 ; ,则说

的一个极大值,记作

如果对 记作

附近的所有点,都有 。

,则说

是函数

的一个极小值,

极大值与极小值统称极值 认知:由函数的极值定义可知: (Ⅰ)函数的极值点 取得; (Ⅱ)极值是一个局部性概念;一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值,并且在 某一点的极小值有可能大于另一点处的极大值; 是区间 内部的点,并且函数的极值只有在区间内的连续点处

(Ⅲ)当函数

在区间

上连续且有有限个极值点时,函数



内的

极大值点,极小值点交替出现。 (2)函数的极值的判定 设函数 可导,且在点 处连续,判定 ,右侧 是极大(小)值的方法是 ,则 为极大值;

(Ⅰ)如果在点

附近的左侧

(Ⅱ)如果在点

附近的左侧

,右侧

,则

为极小值;

注意:导数为 0 的不一定是极值点,我们不难从函数

的导数研究中悟出这一点。

(3)探求函数极值的步骤: (Ⅰ)求导数 ;

(Ⅱ)求方程

的实根及

不存在的点;

考察

在上述方程的根以及

不存在的点左右两侧的符号: 若左正右负, 则 在这一点取得极小值。

在这一点取得极大值,若左负右正,则

3、函数的最大值与最小值 (1)定理 若函数 内连续的函数 在闭区间上连续,则 在 上必有最大值和最小值;在开区间

不一定有最大值与最小值。

认知: (Ⅰ)函数的最值(最大值与最小值)是函数的整体性概念:最大值是函数在整个定义区间 上所有函数值中的最大值;最小值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最小值。 (Ⅱ)函数的极大值与极小值是比较极值点附近的函数值得出的(具有相对性),极值只能 在区间内点取得; 函数的最大值与最小值是比较整个定义区间上的函数值得出的 (具有绝对性) , 最大(小)值可能是某个极大(小)值,也可能是区间端点处的函数值。

(Ⅲ)若

在开区间

内可导,且有唯一的极大(小)值,则这一极大(小)值

即为最大(小)值。 (2)探求步骤: 设函数 在 上连续,在 内可导,则探求函数 在 上的最大值

与最小值的步骤如下: ( I )求 在 内的极值;

( II )求

在定义区间端点处的函数值





( III )将 所求最小值。

的各极值与



比较,其中最大者为所求最大值,最小者为

引申:若函数



上连续,则

的极值或最值也可能在不可导的点处取得。

对此,如果仅仅是求函数的最值,则可将上述步骤简化: ( I )求出 的导数为 0 的点及导数不存在的点(这两种点称为可疑点);

( II )计算并比较 最大值与最小值。 (3)最值理论的应用

在上述可疑点处的函数值与区间端点处的函数值,从中获得所求

解决有关函数最值的实际问题,导数的理论是有力的工具,基本解题思路为: ( I )认知、立式:分析、认知实际问题中各个变量之间的联系,引入变量,建立适当的 函数关系; ( II )探求最值:立足函数的定义域,探求函数的最值; ( III )检验、作答:利用实际意义检查(2)的结果,并回答所提出的问题,特殊地,如 果所得函数在区间内只有一个点 满足 ,并且 在点 处有极大(小)值,

而所给实际问题又必有最大(小)值,那么上述极大(小)值便是最大(小)值。 四、经典例题 例 1、设函数 在点 处可导,且 ,试求

(1)



(2)



(3)



(4)



为常数)。

解:注意到





(1)



(2)

=A+A=2A

(3)令

,则当







(4)

点评:注意 的增量 的形式是多种多样的,但是,不论

的本质,在这一定义中,自变量 x 在 选择哪一种形式,相应的



也必须选择相

应的形式,这种步调的一致是求值成功的保障。 若自变量 x 在 处的增量为 ,则相应的 ,

于是有



若令

,则又有

例 2、

(1)已知

,求



(2)已知

,求

解: (1)令 ,则 ,且当 时, 。

注意到这里



(2)∵





注意到



∴由已知得



∴由①、②得

例 3、求下列函数的导数 (1) ; (2) ;

(3)



(4 )



(5)



(6)

解: (1)

(2) ∴



(3)





(4)





(5)





(6) ∴当 ∴当 时, 时, ;

∴ 即 。

点评: 为避免直接运用求导法则带来的不必要的繁杂运算, 首先对函数式进行化简或化整为 零,而后再实施求导运算,特别是积、商的形式可以变为代数和的形式,或根式可转化为方幂的 形式时,“先变后求”的手法显然更为灵巧。

例 4、在曲线 C: C 关于该点对称。 解: (1) ∴当 又当 时, 时, 取得最小值-13

上,求斜率最小的切线所对应的切点,并证明曲线

∴斜率最小的切线对应的切点为 A(2,-12);

(2)证明:设

为曲线 C 上任意一点,则点 P 关于点 A 的对称点 Q 的坐标为

且有 ∴将 代入 的解析式得



, ∴点 ∴ 坐标为方程 的解

注意到 P,Q 的任意性,由此断定曲线 C 关于点 A 成中心对称。

例 5、已知曲线 求证:两曲线在公共点处相切。

,其中

,且均为可导函数,

证明:注意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的切线重合, 设上述两曲线的公共点为 , ∴ ∴ , , ,则有 ,





∴ 于是,对于 对于 有 ,有 ; ① ②

∴由①得 由②得





,即两曲线在公共点处的切线斜率相等,

∴两曲线在公共点处的切线重合 ∴两曲线在公共点处相切。 例 6、

(1)是否存在这样的 k 值,使函数 递减,在(2,+∞)上递增,若存在,求出这样的 k 值;

在区间(1,2)上

(2)若 间。 解: (1) 由题意,当 ∴由函数 即 整理得 时

恰有三个单调区间,试确定

的取值范围,并求出这三个单调区

,当 x∈(2,+∞) 时 ,



的连续性可知

解得 验证:



(Ⅰ)当 ∴若

时, ,则 ;若 , 则 , 符合题意;

(Ⅱ)当

时,

, 显然不合题意。

于是综上可知,存在

使

在(1,2)上递减,在(2,+∞)上递增。

(2) 若 若 ,则 ,则 ,此时 ,此时 只有一个增区间 只有一个增区间 ,与题设矛盾; ,与题设矛盾;



,则

并且当

时,



当 ∴综合可知,当

时, 时, 恰有三个单调区间:

减区间

;增区间

点评:对于(1),由已知条件得

,并由此获得 k 的可能取值,进而再利用已知

条件对所得 k 值逐一验证,这是开放性问题中寻求待定系数之值的基本策略。

例 7、已知函数 并且极大值比极小值大 4. (1)求常数 的值;

,当且仅当

时,

取得极值,

(2)求

的极值。

解: (1) 令 ∵ ∴ 在 或 得方程 处取得极值 为上述方程的根, ,

故有 ∴ ∴ ,即 ①

又∵ ∴方程 ∴方程 ∴

仅当

时取得极值, 的根只有 无实根, 即 或 ,

而当 ∴

时, 的正负情况只取决于 与

恒成立, 的取值情况

当 x 变化时,

的变化情况如下表:

1 + 0 极大值 — 0 极小值

(1,+∞) +





处取得极大值

,在

处取得极小值



由题意得 整理得 于是将①,②联立,解得 ②

(2)由(1)知,

点评:循着求函数极值的步骤,利用题设条件与

的关系,立足研究

的根

的情况,乃是解决此类含参问题的一般方法,这一解法体现了方程思想和分类讨论的数学方法, 突出了“导数 ”与“ 在 处取得极值”的必要关系。

例 8、 (1)已知 值; 的最大值为 3,最小值为-29,求 的

(2)设

,函数

的最大值为 1,最小值为

,求常数

的值。

解: (1)这里 ,不然 与题设矛盾

令 (Ⅰ)若 当

,解得 ,则当 时,

或 x=4(舍去) 时, , 在 , 内递减 在 内递增;



连续,故当

时,

取得最大值

∴由已知得 而 ∴此时 ∴由 (Ⅱ)若 的最小值为 得 ,则运用类似的方法可得 当 ; 又 ∴当 ∴由已知得 于是综合(Ⅰ)(Ⅱ)得所求 或 时, 有最大值, 时 有最小值,故有

(2) 令 得



解得 当 在 上变化时, 与 的变化情况如下表:

-1

(-1,0) +

0 0 — 0 极小值 极大值 +

1

∴当

时,

取得极大值

;当

时,

取得极小值



由上述表格中展示的 ∴ 最大值在 与

的单调性知 之中, 的最小值在 和 之中,

考察差式 即 故 由此得 , 的最大值为



考察差式

,即 ∴ 的最小值为



由此得

,解得

于是综合以上所述得到所求



五、高考真题 (一)选择题 1、 设 则 A、 ( , )。 B、 C、 D、 , , ?, , ,

分析:由题意得 ,



, ,

∴ ∴

具有周期性,且周期为 4, ,应选 C。

2、函数 A、 B、

有极值的充要条件为( C、

) D、

分析: ∴当 当 因此 时, 时,令 且 得 ; 有解,

才有极值,故应选 C。

3、设



分别是定义在 R 上的奇导数和偶导数,当 ,且 ,则不等式

时, 的解集是( )

A、(-3,0)∪(3,+∞) C、(-∞,-3)∪(3,+∞)

B、(-3,0)∪(0,3) D、(-∞,-3)∪(0,3)

分析:为便于描述,设 且 ∴根据奇函数图象的对称性知,

,则

为奇导数,当

时,



的解集为(-∞,-3)∪(0,3),应选 D。

二、填空题 1 过原点作曲线 的切线,则切点坐标为 ,切线的斜率为 。

分析:设切点为 M ∴由曲线过原点得 ∴切点为

,则以 M 为切点的切线方程为 ,∴ 。 ,

,切线斜率为

点评:设出目标(之一)迂回作战,则从切线过原点切入,解题思路反而简明得多。

2 曲线

在点

处的切线与 x 轴,直线

所围成的三角形面积为

,则

=



分析:

∴曲线 即

在点

处的切线方程为

切线与 x 轴交点 又直线

, ,

与切线交点纵坐标为

∴上述三角形面积 由此解得 即



3 曲线



在交点处的切线夹角是

(以弧度数作答)

分析:设两切线的夹角为

,将两曲线方程联立,解得交点坐标为

又 即两曲线在点

, 处的切线斜率分别为-2,3







,应填



(三)解答题 1 已知 ,讨论导数 的极值点的个数。

解析:先将 当 当 时, 时,

求导,

即 有两根,于是 , 为增函数, 有两极值点。 没极值点。



本题考查导数的应用以及二次方程根、“ 解答:

”等知识。

令 1、当 即 不防设 于是 或

,得

时,方程 ,

有两个不同的实根





,从而有下表:

+ ↗

0 为极大值

— ↘

0 为极小值

+ ↗

即此时

有两个极值点;

2、当 , 于是 此



时,方程

有两个相同的实根

,故当

时,

;当

时,

,因

无极值;

3、当 而 故 ∴当



时, ,



为增函数。此时 时,

无极值; 有两个极值点;当 时, 无极值点。

2 已知函数 (Ⅰ)求函数

的图象在点 的解析式;

处的切线方程为



(Ⅱ)求函数

的单调区间。

解析: (1)由 在切线上,求得 ,再由 在函数图象上和

得两个关于

的方程。

(2)令

,求出极值点,

求增区间,

求减区间。

此题考查了导数的几何意义以及利用导数求函数的单调区间。 解答 (Ⅰ)由函数 的图象在点 ,即 , 处的切线方程为 知:



即 解得

所以所求函数解析式

(Ⅱ) 令 当 当 或 时, 解得 时,

所以 内是增函数。



内是减函数,在

3 已知 (Ⅰ)求

是函数 与 的关系表达式;

的一个极值点, 其中

(Ⅱ)求

的单调区间;

(Ⅲ)当 取值范围。

时,函数

的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m,求



解析:(1)本小题主要考查了导数的概念和计算,应用导数研究函数单调性的基本方法以

及函数与方程的思想,第 2 小题要根据

的符号,分类讨论

的单调区间;第 3 小题

是二次三项式在一个区间上恒成立的问题, 用区间端点处函数值的符号来表示二次三项式在一个 区间上的符号,体现出将一般性问题特殊化的数学思想。 解答: (Ⅰ) ∴ ∴ ; , 是函数 的一个极值点

(Ⅱ)



,得 与 的变化如下表:

1 — 单调递减 0 极小值 + 单调递增 0 极大值 — 单调递减

因此,

的单调递减区间是





的单调递增区间是



(Ⅲ) 由 (Ⅱ) 即 令 且 , ,

即 m 的取值范围是



4

已知函数 (Ⅰ)求 的单调区间和值域;



(Ⅱ)设 在

,函数 ,使得 成立,求 的取值范围。

,若对于任意

,总存

解析:本题考查导数的综合运用,考查综合运用数学知识解决问题能力,考查思维及推理能 力以及运算能力,本题入手点容易, (Ⅰ)中对分式函数定区间内单调性与值域问题,往往以导数为工具,

(Ⅱ)是三次函数问题,因而导数法也是首选,若 满足 关系,从而达到求解目的。

成立,则二次函数值域必

解:

(Ⅰ)由







∵ 则 , ,



(舍去) 变化情况表为:

0 — ↘ 0 + ↗

1

因而当 当 时,



为减函数;当 的值域为 ;



为增函数;

(Ⅱ) 因此 因此当 又 任给 则 , ,当 时 时 为减函数,从而当 ,即当 ,存在 时有 时有 使得

由(1)得 又



,由(2)得



的取值范围为



5 已知 (1)当

,函数 为何值时, 取得最小值?证明你的结论;

(2)设



上是单调函数,求

的取值范围。

解析:本题考查导数的概念和计算,应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力,本题 (Ⅰ)常规题型,方法求 (Ⅱ)由(Ⅰ) 在 ,解 上单调,而 的根,列表,确定单调性,并判断极值点,对 ,因此只要

即满足题设条件,从中解出

的范围。

解答:(Ⅰ)

令 从而



,其中 当 变化时, , 的变化情况如下表

+ ↗

0 极大值

— ↘

0 极小值

+ ↗

∴ 当 而当 ∴当

在 时 时

处取得极大值, ,

处取得极小值 ,且 在 ,当 时 为减函数,在 为增函数

时 时 在

取最小值; 上为单调函数的充要条件是

(Ⅱ)当

,解得

综上,



上为单调函数的充要条件为

,



的取值范围为)



6.已知

,函数

(Ⅰ)当

时,求使

成立的

成立的

的集合;

(Ⅱ)求函数

在区间

上的最小值。

答案: (Ⅰ){0,1, }

(Ⅱ) 解答: (Ⅰ)由题意, 当 当 时 时 , ,解得 ,解得 } 或 ,

综上,所求解集为{0,1,1+

(Ⅱ)设此最小值为 m ① 当 时,在区间[1,2]上, ,

因为 则 ② 由 ③ 当 知 是区间[1,2]上的增函数,所以 时,在区间[1,2], ;

),

时,在区间[1,2]上,

如果 从而

在区间(1,2)内, 在区间[1,2]上为增函数,由此得 ;

如果







时,

,从而

为区间[1,

]上的增函数;

当 因此,当

时, 时,

,从而 或

为区间[

,2]上的减函数 。



时,







.

综上所述,所求函数的最小值

7、 (Ⅰ)设函数 求 的最小值;

( Ⅱ ) 设 正 数

满 足 。

, 证 明

解析: 本题考查数学归纳法及导数应用等知识, 考查综合运用数学知识解决问题的能力。 (Ⅰ) 已知函数为超越函数,若求其最小值,则采用导数法,求出 ,解



,再判断





的符号,确定

为极小值点,也

是函数的最小值,对(Ⅱ)直接利用数学归纳法证明,但由



过渡是难点。

解答: (Ⅰ)函数 f(x)的定义域为(0,1)





时,f′(x)<0, ∴f(x)在区间

是减函数;



时,f′(x)>0,

∴f(x)在区间

是增函数。

∴f(x)在

时取得最小值且最小值为

(Ⅱ)用数学归纳法证明 (i)当 n=1 时,由(Ⅰ)知命题成立;

(ii)假定当 n=k 时命题成立,即若正数 满足 当 n=k+1 时,若正数 ,则 满足

令 则 由归纳假定知

, 为正数,且

① 同理,由 ,可得

≥(1-x)(-k)+(1-x)log2(1-x). 综合①、②两式



≥[x+(1-x)](-k)+xlog2x+(1-x)log2(1-x) ≥-(k+1). 即当 n=k+1 时命题也成立。 根据(i)、(ii)可知对一切正整数 n 命题成立。

8 函数 ,

在区间 是曲线

内可导,导函数 在点

是减函数,且

,设

处的切线方程,并设函数

(Ⅰ)用





表示 m;

(Ⅱ)证明:当

时,

(Ⅲ)若关于 x 的不等式 求 b 的取值范围及 a 与 b 所满足的关系。 解答: ( I ) 即 因而 ; 在点



上恒成立,其中 a、b 为实数,

处的切线方程为

(Ⅱ)证明:令 因为 , 所以 因此 是 0即 递减,所以

,则 递增 , 因此,当 时, ;当 时,

唯一的极值点,且是极小值点,可知 ;

的最小值为 0

(Ⅲ) 解法一: ,即 是不等式成立的必要条件,以下设此条件成立。 对任意 成立的充要条件是



另一方面,由于

满足前述题设中关于

的条件,

利用(Ⅱ)的结果可知, 直线的斜率不大于 ,

的充要条件是:过点

与曲线

相切的

该切线的方程为:



于是

的充要条件是

综上,不等式

对任意

成立的充要条件是

① 显然,存在 使①式成立的充要条件是:不等式 ②

有解,解不等式②得 因此,③式即为 的取值范围,①式即为实数 与

③ 所满足的关系。

(Ⅲ) 解法二: ,即 是不等式成立的必要条件,以下讨论设此条件成立。 对任意 成立的充要条件是

令 。

,于是

对任意

成立的充要条件是

由 当 时,

得 ;当 时, ,所以,当 时,

取最小值。因此

成立的充要条件是

,即

综上,不等式

对任意

成立的充要条件是

① 显然,存在 a、b 使①式成立的充要条件是:不等式 ②

有 ③

















因此,③式即为 b 的取值范围,①式即为实数 a 与 b 所满足的关系。 点评:本题考查导数概念的几何意义,函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想 判断函数之间的关系,考查考生的学习能力,抽象思维能力,以及综合运用数学基本关系解决问 题的能力。对(Ⅰ),曲线 为 即 在 , ,因而 时 恒 成 立 , 构 造 函 数 ;对(Ⅱ)即证明 则 在点 处切线斜率为 ,切线方程

∵ ∴ 由 递减 , 则 所以 是 的极值点,且为极小值点, 极小值为 ∴ ,则 递增,则当





,当

时,

,即

恒成立, 因而 ;对(Ⅲ)有两种思考方法,是该题难点,其求解过程比较详细。

9.设点

和抛物线

其中

由 以 下 方 法 得 到 : 上,点 在抛物线 到 上点的最短距离。 及 的方程; 到 的距离是

, 点 到 上, 点

在 抛 物 线 上点的最短距离,?,点 到 的距离是

(Ⅰ)求

(Ⅱ)证明

是等差数列。

解答: (Ⅰ)由题意得 设点 则 令 则 由题意得: 即 又 解得 故 方程为: 在 上,∴ 是 上任一点

(Ⅱ)设点 则



上任意一点。



由题意得 即 又∵点 ∴ ∴ 即 下面用数学归纳法证明: ①当 n=1 时, ,等式成立。 在 上

②假设 n=k 时,等号成立,即 则当 n=k+1 时,由(*)知:



∴ 即当 n=k+1 时,等式成立 由①②知,等式 ∴ 是等差数列 成立

点评: (Ⅰ)设 为 上任一点



,换句话说:在点



取得最小值。

令 ∴ 此为关键

(Ⅱ)方法同(Ⅰ)推导出:

然后用数学归纳法证明。

10. 已知函数 (Ⅰ)求函数 的反函数 及 的导数 ;

(Ⅱ)假设对任意 不等式 解答: (Ⅰ)解:由 所以

, 成立,求实数 m 的取值范围。

,得



(Ⅱ) 解法 1 由 ,得

即 ①











,于是不等式①化为

② 当 , 、 时,



, 所以 都是增函数。

因此当

时,

的最大值为

的最小值为

而不等式②成立当且仅当

,即



于是得

解法 2:由

,得 ,

设 于 是 原 不 等 式 对 于 ③ 恒 成 立 等 价 于



由 注意到 从而可知 与 均在

, ,故有 , 上单调递增,

, ,

因此不等式③成立当且仅当

,即


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