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高中数学常用公式汇总及结论


高中数学常用公式汇总及结论
1 、元素与集合的关系

2 、集合 空的真子集有 个.

的子集个数共有

个;真子集有

个;非空子集有个;非

3 、二次函数的解析式的三种形式: (1) 一般式: (2) 顶点式 : 设为此式) (3) 零点式: 为 时,设为此式) (

4)切线式: 线 相切且切点的横坐标为 设为此式) 4、 真值表: 同真且真,同假或假 时, 。(当已知抛物线与直 (当已知抛物线与轴的交点坐标 (当已知抛物线的顶点坐标 时,

5 、常见结论的否定形式;

6 、 四种命题的相互关系(下图): (原命题与逆否命题同真同假; 逆命题与否命题同真同假.)

充要条件: (1)

则 P 是 q 的充分条件,反之,q 是 p 的必要条件;

(2)

且 q ≠> p,则 P 是 q 的充分不必要条件; ,则 P 是 q 的必要不充分条件;

(3) p ≠> p ,且

(4)p ≠> p ,且 7、 函数单调性:

则 P 是 q 的既不充分又不必要条件。

增函数:(1)文字描述是:y 随 x 的增大而增大。 (2)数学符号表述是:设 f(x)在 的 ,都有 则就叫 成立, 在上是增函数。D 则就是 f(x)的递增区间。 上有定义,若对任意

减函数:(1)、文字描述是:y 随 x 的增大而减小。 (2)、数学符号表述是:设 f(x)在 xD 上有定义,若对任意 的 ,都有 成立,则就叫 f(x)在上是减函数。D 则就是 f(x)的递减区间。 单调性性质: (1)、 增函数+增函数=增函数; (3)、 增函数-减函数=增函数; (2) 减函数+减函数=减函数; 、 (4)、 减函数-增函数=减函数;

注:上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的,是等号左边两个函数定义域的交集。 复合函数的单调性:

等价关系: (1)设 ,那么

上是增函 数;

上是减函 数.

(2)设函数 果

在某个区间内可导,如果 ,则为减函 数.

,则

为增函数;如

8、函数的奇偶性:(注:是奇偶函数的前提条件是:定义域必须关于原点对称) 奇函数定义:在前提条件下,若有 奇函数。 性质:(1)、奇函数的图象关于原点对称; (2)、奇函数在 x>0 和 x<0 上具有相同的单调区间; (3)、定义在 R 上的奇函数,有 f(0)=0 . 偶函数定义:在前提条件下,若有 f(—x)=f(x),则 f(x)就是偶函数。 性质:(1)、偶函数的图象关于 y 轴对称; (2)、偶函数在 x>0 和 x<0 上具有相反的单调区间; 奇偶函数间的关系: (1)、奇函数·偶函数=奇函数; (3)、偶奇函数·偶函数=偶函数; 外得偶函数的) (5)、偶函数± 偶函数=偶函数; , 则 f(x)就是

(2)、奇函数·奇函数=偶函数; (4)、奇函数± 奇函数=奇函数(也有例 (6)、奇函数± 偶函数=非奇非偶函数

奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图象关

于原点对称, 那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数. 9、函数的周期性: 定义:对函数 f(x),若存在 叫 f(x)是周期函数, 其中,T 是 f(x)的一个周期。 周期函数几种常见的表述形式: (1)、 f(x+T)= - f(x),此时周期为 2T ; (2)、 f(x+m)=f(x+n),此时周期为 ; ,使得 f(x+T)=f(x),则就

(3)、 10、常见函数的图像:

此时期为 2m 。

11、 对于函数

恒成立,则函数的对称轴



;

两个函数 f=(x+a)与 y=(b-x) 的图象关于直线 12、 分数指数幂与根式的性质:

对称.

13 、指数式与对数式的互化式: . 指数性质:

指数函数: (1)、 在定义域内是单调递增函数;

(2)、 (0,1) 对数性质:

在定义域内是单调递减函数。注: 指数函数图象都恒过点

对数函数: (1)、 (2)、 恒过点(1,0) 在定义域内是单调递增函数; 在定义域内是单调递减函数;注: 对数函数图象都

(3)、

(4)、

14、 对数的换底公式 : 对数恒等式 推论 15、对数的四则运算法则:若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则

16、 平均增长率的问题(负增长时):如果原来产值的基础数为 N,平均增长率为 p,则 对于时间的总产值, 有 .

17 、等差数列:通项公式: (1) 为项数, 为末项。 (2)推广: (3) 列都适用)

,其中

为首项,d 为公差,n

(注:该公式对任意数

前 n 项和: (1)

;其中为首项,n 为项数,为末项。

(2) (3) (注:该公式对任意数列都适用)

(4)

(注:该公式对任意数列都适用)

常用性质:(1)、若 m+n=p+q ,则有 注:若 等差。 的等差中项,则有

; n、m、p 成

(2)、若

、为等差数列,则

为等差数列。

(3) 、 成等差数列。 (4)、

为等差数列, 为其前 n 项和, 则



(5)

等比数列: 通项公式:(1) ,其中为首项,n 为项数,q 为公比。

(2)推广 (3)

: (注:该公式对任意数列都适用)

前 n 项和:(1) (2)

(注:该公式对任意数列都适用) (注:该公式对任意数列都适用)

(3)

常用性质: (1)、若 m+n=p+q ,则有 注:若 有 (2)、若、 成等比。 为等比数列,则 的等比中项,则



为等比数列。

18、分期付款(按揭贷款) :每次还款 19、三角不等式:

元(贷款元,次还清,每期利率为).

(1)若 (2) 若 (3) .

,则 ,则

. .

20 、同角三角函数的基本关系式 : 21、 正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限) 22、 和角与差角公式

(辅助角

所在象限由点(a,b) 的象限决定

, ).

23、 二倍角公式及降幂公式

. 24、 三角函数的周期公式 函数 常数,且 A≠0)的周期 及函数 ; ),x∈R(A,ω,为 函数,

(A,ω,为常数,且 A≠0)的周期 三角函数的图

.

像:

25 、正弦定理 :

(R 为

外接圆的半径).

26、余弦定 理: 27、面积定理:

(1)

分别表示 a、b、c 边上的高).

28、三角形内角和定理 : 在△ABC 中,

有 . 29、实数与向量的积的运算律:设 λ、μ 为实数,那么:

30、与的数量积(或内积): 31、平面向量的坐标运算:

·

32 、两向量的夹角公

式:

33、 平面两点间的距离公 式:

34、 向量的平行与垂直 :设=,=, (交叉相乘差为零)

,则:

(对应相乘和为零)

35 、 线段的定比分公式 : 设 数, 且 ,则

, 是线段

的分点,是



36、三角形的重心坐标公式: 则的重心的坐标是

三个顶点的坐标分别为

. 37、三角形五“心”向量形式的充要条件:设为所在平面上一点,角所对边长分别为,则

38、常用不等式:

39、极值定理:已知都是正数,则有 (1)若 xy 积是定值 P,则当 x=y 时和有最小值 ;

(2)若 x+y 和是定值 S,则当 x=y 时积有 xy 最大值 (3)已知 ,若 则有

.

(4)已知

,若则有

40、 一元二次不等式 外;如果 a 与

,如果 a 与

同号,则

异号,则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.即:

. 41 、含有绝对值的不等式 :当 a> 0 时,有 .

42、 斜率公式 :

43 、直线的五种方程: (1)点斜式: (2)斜截式: (直线 (b 为直线在 y 轴上的截距). ).

(3)两点式: 两点式的推广: (4)截距式 : (5)一般式: 直线的 (分别为直线的横、纵截距, (其中 A、B 不同时为 0). 法向量: ,方向向量 : (无任何限制条件!) )

44 、夹角公式:

45 、到的角公式:

46、 点到直线的距离 :

(点,直线:).

47、 圆的四种方程: (1)圆的标准方程 : (2)圆的一般方程: (>0).

(3)圆的参数方程 : (4)圆的直径式方程 : (圆的直径的端点是

48、点与圆的位置关系:点

与圆

的位置关系有三种:



49、直线与圆的位置关系:直线



圆的位置关系有三种

50 、两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2,,

则:

.

51 、椭圆

的参数方程是

. 离心率



准线到中心的距离为

,焦点到对应准线的距离(焦准距)



过焦点且垂直于长轴的弦叫通经,其长度为

:.

52、 椭圆

焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:

53、椭圆的的内外部 :

54、椭圆的切线方程:

55 、 双曲线的

离 心率

, 准线到中心的距离为

, 焦点到对应

准距)

。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经,其长度为:.

焦半径公式



两焦半径与焦距构成三角形的面积



56 、双曲线的方程与渐近线方程的关系:

(1)若双曲线方程为

渐近线方程:

(2)若渐近线方程为

双曲线可设为.

(3)若双曲线 (

与有公共渐近线,可设为 ,焦点在 y 轴上).

,焦点在 x 轴上,

(4) 焦点到渐近线的距离总是 b。 57、双曲线的切线方程:

.

58、抛物线

的焦半径公式:

抛物线 过焦点弦长

焦半径 .

59、二次函数

的图象是抛物线:

(1)顶点坐标为

;(2)焦点的坐标为



(3)准线方程是

60 、直线与圆锥曲线相交的弦长公式 : 或

(弦端点 为直线的倾斜角,

,由方程 为直线的斜率

消去 y 得到

61、证明直线与平面的平行的思考途径: (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行.

62、证明直线与平面垂直的思考途径: (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面。 63、证明平面与平面的垂直的思考途径: (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直; (3) 转化为两平面的法向量平行。 64、 向量的直角坐标运算:

65、 夹角公式:





66 、异面直线间的距离 : ( 是两异面直线,其公垂向量为 ,C,D 是 上任一点,d 为 间的距离).

67、点到平面

的距离:



为平面的法向量,,

是的一条斜线段).

68、球的半径是 R,则其体积 69、球的组合体:

,其表面积



(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角

正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.

(3)球与正四面体的组合体: 棱长为

的正四面体的内切球的半径为

(正四面体高

,外接球的半径为

(正四面体高

70 、分类计数原理(加法原理): 分步计数原理(乘法原理): .

.

71、排列数公式 :

72 组合数公式:

组合数的两个性质:

73 、二项式定理: 二项展开式的通项公式: 的展开式的系数关系:

74 、互斥事件 A,B 分别发生的概率的和:P(A+B)=P(A)+P(B). 个互斥事件分别发生的概率的和:P(A1+A2+?+An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An). 75 、独立事件 A,B 同时发生的概率:P(A·B)= P(A)·P(B). n 个独立事件同时发生的概率:P(A1· A2·?· An)=P(A1)· P(A2)·?· P(An).

76、 n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率:

77、 数学期望: 数学期望的性质 (1). (2)若 则 .

(3)



服从几何分布,且

78、方差: 标准差: 方差的性质: (1); (2)若 (3) 若 服从几何分布,且 方差与期望的关系:

79、正态分布密度函数: 式中的实数 是参数,分别表示个体的平均数与标准差.

对于

,取值小于 x 的概率:

.

80 、

处的导数(或变化率):

. 81 、函数 函数 在点 处的导数的几何意义: 在处的切线的斜率 ,相应的切线方程是

在点处的导数是曲线 .

82、几种常见函数的导数:

83、 导数的运算法则:

84、 判别

是极大(小)值的方法:

当函数 f(x)在点处连续时,

85 、复数的相等:

86、 复数

的模(或绝对值)

87、 复平面上的两点间的距离公式: 88、实系数一元二次方程的解

实系数一元二次方程

③若

,它在实数集内没有实数根;在复数集内有且仅有两个共轭复数

根.


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