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河北省衡水市冀州中学2015-2016学年高二上学期第四次月考数学(理)试题A卷


试卷类型:A 卷 河北冀州中学 2015—2016 学年度上学期第四次月考 高二年级数学试题(理)
考试时间 150 分钟 试题分数 120 分 一、选择题: (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.) 1 ? ? 2 1.集合 P ? ? x | x ? ? 2, x ? Z ? ,集合 Q ? x

| x ? 2 x ? 3 ? 0 ,则 P ? C R Q ? ( ) x ? ?

8.阅读如图所示的程序框图,若输入 a ? 则输出的 k 值是( )

9 , 19

开始 输入a

?

?

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 k ? 1, S ? 0 9. 设函数 f ( x ) , g ( x) 满足 f ?( x) ? g?( x) ,则当 a ? x ? b 时, 有( ) 1 A、 f ( x) ? g (b) ? g ( x) ? f (b) S? S? (2k ? 1)(2k ? 1) B、 f ( x) ? g (a) ? g ( x) ? f (a) C、 f ( x) ? g ( x) D、 f ( x) ? g ( x) 10. 已 知
k ? k ?1 S ? a?

A. ? -3 , 0? B. ? -3 , -2 , - 1?

C. ? -3 , -2 , - 1, 0? D. ? -3 , -2 , - 1, 1?

2. "a ? 0" “是函数 f ( x ) ?| x (2 ? ax) | 在区间 (0,+?) 内单调递增”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

?x ? 2 ? 0 ? 3.已知点 P ? x, y ? 在不等式组 ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域上运动 , 则 z ? x ? y 的取值范围 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
A. ? ?1, 2? 是( ) B. ??2, ?1? C. ? ?2,1? D. ?1, 2?

? ? | a |? 2 | b |? 0 , 且 关 于 x 的 函 数 ? ? ? ? 1 1 ? f ( x) ? x3 ? | a | x 2 ? a ? bx 在 R 上有极值,则向量 a, b 的夹角 3 2
) B. (




输出k

范围是( A. [0,

4.已知命题 p : ?x ? R, x ? 2 ? lg x ,命题 q : ?x ? R, x 2 ? 0 ,则( ) A.命题 p ? q 是假命题 B.命题 p ? q 是真命题 C.命题 p ? (?q) 是真命题
2 2 2 2

? ? 2? , ? ] C. ( , ? ] D. ( , ) 结束 6 6 3 3 3 x2 y 2 (x ? 3) 2 ? y 2 ? 8 相交于 M , N 两点且 11. 已知双曲线 2 ? ? 1 (a ? 0) 的一条渐近线与圆 a 4 | MN |? 4 , 则此双曲线的离心率为( )
)

?

?

D.命题 p ? (?q) 是假命题 )
2 2 2 2

5. 命题“若 a ? b ? 0, 则a ? 0且b ? 0 ”的逆否命题是(
2 2

A.若 a ? 0或b ? 0, 则a ? b ? 0 B.若 a ? b ? 0, 则a ? 0且b ? 0 C.若 a ? b ? 0, 则a ? 0或b ? 0 D.若则 a ? 0且b ? 0, 则a ? b ? 0 6.一个四面体的三视图如图所示, 则该四面体的表面积为( ) 3 3 A. B. C. 3 D.2 3 4 2

3 5 5 5 C. D. 5 5 3 x2 x3 x4 x 2015 ? ? ??? 12.已知函数 f(x)= 1 ? x ? ,则下列结论正确的是( 2 3 4 2015
A. 5 B. A. f(x)在(0,1)上恰有一个零点 C. f(x)在(0,1)上恰有两个零点 B. f(x)在(-1,0)上恰有一个零点 D. f(x)在(-1,0)上恰有两个零点



第Ⅱ卷(共 90 分)
(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 二、填空题: 13. 设 F F2 分别是椭圆 1、 的最大值为 . 。

x2 y 2 + = 1 的左、 右焦点. 若 P 是该椭圆上的一个动点, 则 PF 1 ? PF 2 5 4

14. 设函数 f ( x) ? cos( 3x ? ? ) ( 0 ? ? ? ? ),若 f ( x) ? f ?( x) 是奇函数,则 ? ? 7. 曲线 y ? 3ln x ? x ? 2 在点 P0 处的切线方程为 4 x ? y ? 1 ? 0 ,则点 P0 的坐标是( A. (0,1) B. (1, ?1) C. (1,3) D. (1, 0) )
2

15.过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 且倾斜角为 60°的直线 l 与抛物线在第一、 四象限分别 交于 A.B 两点,则

| AF | 的值等于 | BF |

.

16.已知函数 f ? x ? ? x 2 ? e x ?

的点,则 a 的取值范围是 . 三、解答题:(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 10 分)

1 ( x ? 0) 与 g ? x ? ? x 2 ? ln( x ? a ) 图象上存在关于 y 轴对称 2

在等差数列 ?an ? 和等比数列 ?bn ? 中, a1 ? b1 ? 1 , b4 ? 8 , ?an ? 的前 10 项和 S10 ? 55 。 (1)求 an 和 bn ; (2)设 ?an bn ?的前 n 和为 Tn ,求 Tn 。

20. (本小题满分 12 分) 在如图所示的多面体 ABCDE 中,AB⊥平面 ACD, DE⊥平面 ACD,AC=AD=CD=DE=2,AB=1, G 为 AD 中点. (1)请在线段 CE 上找到点 F 的位置,使得恰有 直线 BF∥平面 ACD,并证明这一事实; (2)求平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角的大小.

E

B

A

G

D

C 21. (本小题满分 12 分)

18. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 且满足 c sin A ? a cos C. (1)求角 C 的大小; ? (2)求 3 sin A ? cos( B ? ) 的最大值. 4

椭圆的左、右焦点分别为 F1 (? 3,0) 和 F2 ( 3,0) ,且椭圆过点 (1,? (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 ( ?

3 ). 2

?MAN =

?
2

6 ,0) 作不与 y 轴垂直的直线 l 交该椭圆于 M , N 两点 , A 为椭圆的左顶点 , 证明 5


19.(本小题满分 12 分) 某学校为了选拔学生参加“XX 市中学生知识竞赛” ,先在本校进行选拔测试(满分 150 分) ,若 该校有 100 名学生参加选拔测试,并根据选拔测试成绩作出如图所示的频率分布直方图. (Ⅰ)根据频率分布直方图,估算这 100 名学生参加选拔测试的平均成绩; (Ⅱ)该校推荐选拔测试成绩在 110 以上的学生代表学校参加市知识竞赛,为了了解情况,在 该校推荐参加市知识竞赛的学生中随机抽取 2 人,求选取的两人的选拔成绩在频率分布直方图 中处于不同组的概率.

22. (本小题满分 12 分)
已知函数 f ( x) ? a ln x ? x
2

(Ⅰ)当 a ? ?4 时,求函数 f ( x) 在 ?1, e? 上的最大值及相应的 x 值; (Ⅱ)当 x ? ?1, e? 时,讨论方程 f ?x ? ? 0 根的个数. (Ⅲ)若 a ? 0 ,且对任意的 x1 , x2 ? ?1, e? ,都有 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ?

( a 为实常数) .

1 1 ,求实数 a 的取值范围. ? x1 x2

河北冀州中学 2015—2016 学年度上学期第四次月考 高二年级数学答案(理)
一、选择题: A 卷: DCACA B 卷: BCADC 二、填空题:4

DCCBC BB ABCDD BC

? 6

3

(??, e )

三、解答题: 17.解: (1)设 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q ,由题意得:

此即证得 BF∥平面 ACD; 则 n ? CB ,且 n ? CE ,

???????6 分

(2)设平面 BCE 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,

?

(2)由错位相减得: Tn ? ?n ? 1?2 n ? 1----------------------------------10 分 从而 sin C ? cos C又cosC ? 0 ,所以 tan C ? 1 ,则 C ? (2)由(1)知 B ?

10 ? 9 S10 ? 10 ? d ? 55, b4 ? q 3 ? 8 ,解得: d ? 1, q ? 2 2 ? an ? n, bn ? 2n?1 -----------------------------------------------------5 分

? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? 由 CB ? (1, ? 3,1) , CE ? (?1, ? 3, 2) ,
∴?

?x ? 3y ? z ? 0 ? ? ?? x ? 3 y ? 2 z ? 0

,不妨设 y ? 3 ,则 ?

18.解: (1)由正弦定理得: sin A sin C ? sin A cos C ,因为 0 ? A ? ? 故 sin A ? 0 ;

?

3? ? A ,于是 4

4

----------4 分

3 sin A ? cos( B ? ) ? 3 sin A ? cos(? ? A) 4

?

? 3 sin A ? cos A ? 2sin( A ? ) 6 ? 3? ? ? 11? ? ? ?0 ? A ? ,? ? A ? ? ,从而 A ? ? 即 A ? 时, 3 4 6 6 12 6 2 ? 2 sin( A ? ) 取最大值 2 6 ? ? 5? 综上所求, 3 sin A ? cos( B ? ) 的最大值为 2,此时 A ? , B ? ------------12 分 4 3 12
19.解析: (Ⅰ)设平均成绩的估计值为 X ,则: X ? (20 ? 0.001 ? 40 ? 0.004 ? 60 ? 0.009 ? 80 ? 0.020 ? 100 ? 0.013 ? 120 ? 0.002 ? 140 ? 0.001) ? 20 ? 80 .————————————————————————————6 分 (Ⅱ)该校学生的选拔测试分数在 [110,130) 有 4 人,分别记为 A,B,C,D,分数在 [130,150) 有 2 人,分别记为 a,b,在则 6 人中随机选取 2 人,总的事件有(A,B) , (A,C) , (A,D) , (A,a) , (A,b) , (B,C) , (B,D) , (B,a) , (B,b) , (C,D) , (C,a) , (C,b) , (D,a) , (D, b) , (a,b)共 15 个基本事件,其中符合题设条件的基本事件有 8 个. 8 故选取的这两人的选拔成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率为 P ? .————12 分 15 20.解: 以 D 点为原点建立如图所示的空间直角坐标系, z 使得 x 轴和 z 轴的正半轴分别经过点 A 和点 E, 则各点 A (2, 0, 0) , E (0, 0, 2) , B (2, 0, 1) , 的坐标为 D (0, 0, 0) , E

?

----------------------------------8 分

C (1, 3, 0) , (1)点 F 应是线段 CE 的中点,下面证明: 设 F 是线段 CE 的中点,则点 F 的坐标 ??? ? 1 3 3 3 F( , , 1) ,∴ BF ? ( ? , , 0) , 2 2 2 2

B

F

??? ? 显然 BF 与平面 xOy 平行,

? ? n ? (0,0,1) 2 ∴所求角 ? 满足 cos ? ? ,∴ ? ? . ??????6 分 ? ? 4 2 |n| x2 y2 21.解: (1)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ,由题可知: a b 2 2 ?a ? b ? 3 2 ? x2 ? ?a ? 4 , 解得 , 所以椭圆的方程 ? y 2 ? 1 --------------------------4 分 ? 2 ?1 3 4 ? ? 2 ? 2 ?1 ?b ? 1 4b ?a 6 (2)设直线 MN 的方程为 x ? ky ? ,联立方程组可得 5 6 ? x ? ky ? ? 12 64 ? 5 2 2 ky ? ? 0 -------------------------------6 分 ,化简得: (k ? 4) y ? ? 2 5 25 ? x ? y2 ? 1 ? ?4 64 12k , y1 ? y 2 ? 设 M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 ) ,则 y1 y 2 ? ? , 2 25(k ? 4) 5(k 2 ? 4) 又 A(?2,0) ,则 4 16 AM ? AN ? ( x1 ? 2, y1 ) ? ( x 2 ? 2, y 2 ) ? (k 2 ? 1) y1 y 2 ? k ( y1 ? y 2 ) ? ? 0, 5 25 ? 所以 AM ? AN , ?MAN = 。?????????12 分 2 2 2x ? 4 ( x ? 0) , 当 x ? [1, 2 ) 时 , f ?( x) ? 0 . 当 x ? 2 , e 时 , f ?( x) ? 0 , 又 22. 解 :(1) f ?( x) ? x f (e) ? f (1) ? ?4 ? e 2 ? 1 ? 0 ,故 f ( x) max ? f (e) ? e 2 ? 4 ,当 x ? e 时,取等号 ---------4 分 (2)易知 x ? 1 ,故 x ? ?1, e? ,方程 f ?x ? ? 0 根的个数等价于 x ? ?1, e? 时, 1 2 x ln x ? x 2 x2 x2 x ? x(2 ln x ? 1) 方程 ? a ? 根的个数. 设 g ?x ? = , g ?( x) ? 2 ln x ln x ln x ln 2 x 当 x ? 1, e 时 , g ?( x) ? 0 , 函数 g ( x) 递减 , 当 x ? ( e , e? 时 , g ?( x) ? 0 , 函数 g ( x) 递增 . 又

? ?x ? 1 ,即 n ? (1, 3,2) , ?z ? 2

?

?

?

?

x A

G

D

g (e) ? e 2 , g ( e ) ? 2e ,作出 y ? g ( x) 与直线 y ? ?a 的图像,由图像知:

C

y

当 2e ? ?a ? e 2 时,即 ? e 2 ? a ? ?2e 时,方程 f ?x ? ? 0 有 2 个相异的根; 当 a ? ?e 2 或 a ? ?2e 时,方程 f ?x ? ? 0 有 1 个根; 当 a ? ?2e 时,方程 f ?x ? ? 0 有 0 个根; -----------------------------------------------------8 分 (3)当 a ? 0 时, f ( x) 在 x ?[1, e] 时是增函数,又函数 y ? 则 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ?

1 是减函数,不妨设 1 ? x1 ? x2 ? e , x

1 1 1 1 等价于 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? ? ? x1 x2 x1 x2 1 1 1 即 f ( x2 ) ? ? f ( x1 ) ? ,故原题等价于函数 h? x ? ? f ( x) ? 在 x ?[1, e] 时是减函数, x x2 x1 a 1 1 ? h?( x) ? ? 2 x ? 2 ? 0 恒成立,即 a ? ? 2 x 2 在 x ?[1, e] 时恒成立. x x x 1 1 ? y ? ? 2 x 2 在 x ?[1, e] 时是减函数 ? a ? ? 2e 2 -------------------------------------12 分 x e


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