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5 从力做的功到向量的数量积


§ 5.1 从力做的功到向量的数量积(1)
向量的数量积——说课稿
各位评委大家好: 我叫李善斌 ,来自瀛湖中学 。今天我说课的课题是《从力做的功到向量的数 量积 》 (第 一 课时) 。下面我将围绕本节课“教什么?” 、 “怎样教?”以及“为 什么这样教?”三个问题,下面从教材分析、教学目标分析、教学重难点分析、 教法与学法、课堂设计五方面逐一加以分析和说明 一、教材分析 (一) 教材的地位和作用 平面向量的数量积是普通高中课程标准实验教科书北师大版《必修 4》的第 二章第五节内容。平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算, 它是平面向量的核心内容,向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位 置关系,而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征,向量的数量积恰好是解 决问题的重要工具,因此是高考命题中“在知识网络处设计命题”的重要载体。 也是高中数学的一个重要概念,是全章的中点内容 (二)、学情分析 前面已经学习了向量的概念及其基本线性运算,这里教材以物体受力做功为 载体引入一种新的向量运算———向量的数量积。 这样既使向量数量积运算与学 生已有知识建立了联系,也使学生看到向量数量积与向量模的大小及夹角有关 (三) 、教学目标分析 1、知识与技能:以物理中功等实例,认识理解平面向量数量积的含义及其物 理意义, 体会平面向量数量积与向量射影的关系,掌握平面向量数量积运算的重 要性质。 2、过程与方法:培养学生观察、归纳、类比、联想和数形结合等发现规律的 一般方法。培养其探索精神和实际动手能力。 3、情感、态度与价值观:让学生经历由实例到抽象的数学定义的形成过程, 性质的发展到论证过程,进一步感悟数学的本质,培养学生的探索研究的能力。 (四) 、教学重难点分析 重点: 平面向量数量积的概念及其公式、用平面向量数量积表示向量的模及 夹角。 难点:平面向量数量积与投影的关系及运算律的理解,平面向量数量积的应 用。 重难点突破:在学生已有知识的基础上,通过认真观察思考,并通过小组合 作探究的办法来实现重难点突破 二、说教学方法 教法分析:通过情景导入——激发情感,引起兴趣; 提问法-------逐步引导, 逐渐深入。 点拨法-------展开联想,拓展思路。主要通过 启发式教学 的方法 开展教学 学法分析 1 讨论法------积极参与, 总结规律。2 自主探究法-----学生实践, 巩固提高。3 悬念法----带着问题,巩固提高。

三、说教学过程(教学过程分析) (一) 、第一环节:情景引入,揭示主题 1、复习引入 问题一:前面学习了两个非零向量的加减运算、实数与向量的积,那么非 零向量还有哪些运算呢? 设计意图:利用已有的知识与经验在问题情景的条件下同化和索引出新知, 便于知识的保持和迁移, 让学生产生强烈的问题意识,使学习的整个过程成为猜 想、惊讶、困惑、紧张的思考,期待问题的解决,同时也使学生体会到数学的完 美性。 2、创设情境,激发兴趣 情景一:一只猴子捡到一把钝刀,连小树叶砍不断,于是他向砍柴人请教, 砍柴人说,把刀放在石头上磨一磨,于是猴子高兴的回去了,立刻把刀放在一块 石头上拼命的磨, 直到它发现刀口和刀背差不多厚了,才停下来……结果当然是 失败的,难道猴子没有做功吗?不!但是做功≠成功,物理学中的做功在数学上 叫什么?又是如何表示的呢? 3、创设情境,接触主题 如图所示,一物体在力 F 的作用下产生 位移 S, (1)力 F 所做的功 W= 。 ? S (2)请同学们分析这个公式的特点: : (3)F 与 S 都是什么量? (4)由公式计算的结果 W 是什么量? (5) 表示什么? 设计意图:在于使学生了解数量积的物理背景,让学生知道,我们研究数 量积绝不仅仅是为了数学自身的完善,而是有其客观背景和现实意义的,从而产 生了进一步研究这种新运算的愿望。同时,也为抽象数量积的概念做好铺垫。 向量数量积的定义: (二) 、第二环节:师生互动,探究新知 任务一:探究向量间的夹角

F

? a
? b
? b
? b

? a ? a
? b

? b

? a

? b

? a ? a

? a

? b

1、在平面中如何研究两个非零向量的位置关系? ? ? 2、什么叫向量 a 与 b 的夹角?

? 3、 a

? 与 b

垂直应满足什么条件?

老师给出两非零向量夹角的定义 ? ? ? ? 已知两个非零向量 a 和 b ,作 OA= a ,OB= b 则∠AOB=θ (0°≤θ ≤180°) ? ? 叫做向量 a 与 b 的夹角。 ? ? ? ? ? ? 当 ? ? 00 时, a 与 b 同向,当 ? ? 1800 , a 与 b 方向;当 ? ? 00 时我们说 a 与 b 垂直, ? ? 记作: a ? b
由于零向量的方向是不确定的,为今后方便起见,我们规定零向量可与任一向量垂直

让学生准确的知道两非零向量夹角的定义 概念的抽象 问题:你能用文字语言来表述功的计算公式吗?如果我们将公式中的力与位 移推广到一般向量,其结果又该如何表述? 设计意图:学生通过思考不难回答:功是力与位移的大小及其夹角余弦的 乘积;两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。这样,学生事实上已经得到数量积 概念的文字表述了,在此基础上,我进一步明晰数量积的概念。 两向量数量积定义:

向量 a 与向量 b , 他们的夹角为?。我们把数量 a ? b ? cos ?叫做向量的数量积(内积), 记作:a? b 即
? ? ? ?

?

?

?

?

a? b = a ? b cos ?

?

?

我们该注意什么? 注意:对比向量的线性运算,我们发现,向量线性运算的结果是一个向量, 两个向量的数量积是一个数量, 而且这个数量与两个向量的长度和它们的夹角有 关。 ? ? ? ? 例 1、 (师生共同完成)已知 a ? 3 , b ? 4 , a 与 b 的夹角为 1500 ,求 · 设计意图: 通过此环节不仅使学生认识到数量积的结果与线性运算的结果有 着本质的不同, 而且认识到向量的夹角是决定数量积结果的重要因素,为下面更 好地理解数量积的性质和运算律做好铺垫。 任务二:探究向量数量积的几何意义
我首先给出给出向量投影的概念。 如图,我们把 b cos ? ( a cos? )叫做向量 在 方向上

?

?



在 方向上)的投影,记做: OB1 ? b cos ?

?

注:投影也是一个数量,不是向量;当?为锐角时投影为正值;当?为钝角时 投影为负值;当?为直角时投影为 0;当? = 0?时投影为 | b |;当? = 180?时投影为 ?| b |。

a · b 的几何意义:数量积 a · b 等于 a 的长度│ a │与 b 在 a 方向上的投
影│ b │cosθ 的乘积。或者(略) (物理意义;就是力F与其作用下物体的 位移 S 的数量积 F·S) 【设计意图】在定义中提炼出投影的概念,通过几何意义,对向量数量积定 义进行进一步认知。 请同学们用一句话来概括功的数学本质:功是力与位移 的数量积 。 ? ? ? ? ? ?? ? ? 3 例2:已知 a ? 1, b ? 2(1)a / /b, 求a ? b; (2)? ? ? , 求a ? b 4 任务三:探究向量数量积的性质和运算律 1、性质的发现 教材中关于数量积的三条性质是以探究的形式出现的,为了很好地完成这一 探究活动,在完成上述例题后,我不失时机地提出性质 设计意图:在学生讨论交流的基础上, 学生进一步明晰数量积的性质, 然后再 由学生利用数量积的定义给予证明,完成探究活动。 2、明晰数量积的性质 ? ? ? ? ? (1)、若 e 是单位向量,则 e ? a ? a ? e ? a cos ?
(2) 、若 a ? b 则 a ? b ? 0 ;反之若 a ? b ? 0 ,则 a ? b 。通常记作 a ? b ? a ? b ? 0

?

?

? ?

? ?

?

?

?

?

? ?

? ? ? (3) 、 a ? aa? ;
? ?

? ? a ?b ? ? (4) 、c o s ? ? ? (? a ?0 b ) ? a?b
? ? ? ?

(5) 、对任意两个向量 a, b 有 a ? b ? a ? b 当且仅当a / /b时等号成立

3、性质的证明 (学生完成) 设计意图:这样设计体现了教师只是教学活动的引领者,而学生才是学习活 动的主体,让学生成为学习的研究者,不断地体验到成功的喜悦,激发学生参与 学习活动的热情, 不仅使学生获得了知识,更培养了学生由特殊到一般的思维品 质。 任务四:探究数量积的运算律 1、运算律的发现 关于运算律,教材仍然是以探究的形式出现,为此,首先提出问题 问题:我们学过了实数乘法的哪些运算律?这些运算律对向量是否也适用? 设计意图: 通过此问题主要是想使学生在类比的基础上,猜测提出数量积的运算律。

2、明晰数量积的运算律 学生可能会提出以下猜测:

(1)a ? b ? b ? a

? ? ? ? ? ? (3)?a ? b ?? c ? a ? c ? b ? c

(2) ? a ? b ? a ? ? b ? ? a ? b ? ? a ? b

3、证明运算律 ;学生独立证明运算律 设计意图:在这个环节中,我仍然是首先为学生创设情景,让学生在类比的 基础上进行猜想归纳,然后教师明晰结论,最后再完成证明,这样做不仅培养了 学生推理论证的能力, 同时也增强了学生类比创新的意识,将知识的获得和能力 的培养有机的结合在一起。 (三) 、第三环节:学习致用 ,课后延伸 例 2.已知向量 a,b,求证下列各式 ? ? ?2 ? ? ?2 ? ? ? ? ? 2 ?2 () 1 (a ? b)2 ? a ? 2a ? b ? b (2)??(a ? b) ? (a ? b) ? a ? b 例 3: (师生共同完成)已知︱ a ︱=6,︱ b ︱=4, a 与 b 的夹角为 60°,求 ( a +2 b ) · ( a -3 b ) , 练习:P93 练习 1 第 1、2 题 设计意图:学生才是学习活动的主体,让学生成为学习的研究者,不断地体 验到成功的喜悦,激发学生参与学习活动的热情,不仅使学生获得了知识,更培 养了学生由特殊到一般的思维品质。 归纳总结、布置作业 对本节课所学知识进行归纳总结 1. 平面向量数量积的概念和公式 2. 平面向量数量积的几何意义和性质 3. 投影的公式和性质 【设计意图】 在梳理本节课所学的知识点归纳的过程中进一步加深对平面向量数 量积和投影的理解与运用。培养学生归纳总结的能力,自主构建知识体系。 布置作业: 1、课本 P95 习题 2.—4A 组 1——5 题 四、板书设计(略) 五、教学评价设计 评价方式的转变是新课程改革的一大亮点,课标指出:相对于结果,过程更 能反映每个学生的发展变化,体现出学生成长的历程。因此,数学学习的评价既 要重视结果,也要重视过程。结合“课标”对数学学习的评价建议,对本节课的 教学我主要通过以下几种方式进行:

1、 通过与学生的问答交流,发现其思维过程,在鼓励的基础上,纠正偏差, 并对其进行定性的评价。 2、在学生讨论、交流、协作时,教师通过观察,就个别或整体参与活动的态 度和表现做出评价,以此来调动学生参与活动的积极性。 3、通过练习来检验学生学习的效果, 并在讲评中, 肯定优点, 指出不足。4、通 过作业,反馈信息,再次对本节课做出评价,以便查漏补缺。


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