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高中数学空间向量及其运算高考考点解析及例题辅导


直线、平面、简单几何体——空间向量及其运算
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1 理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法和数乘
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2 了解空间向量的基本定理.
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3 掌握空间向量的数量积的定义及其性质.
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4 理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念
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5 握空间向量平行、垂直的条件及三个向量共面及四点共面的条件
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知识点归纳

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1.空间向量的概念:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量 注:⑴空间的一个平移就是一个向量

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⑵向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量
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⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2.空间向量的运算 空间向量的加法、减法与数乘向量运算:

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??? ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? OB ? OA ? AB ? a ? b ; BA ? OA ? OB ? a ? b ; OP ? ?a(? ? R)
运算律:⑴加法交换律: a ? b ? b ? a

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⑵加法结合律: (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) ⑶数乘分配律: ? (a ? b ) ? ?a ? ?b 3 平面向量共线定理
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方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量. 由于任何一组平行向量都可以平移到同一
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条直线上, 所以平行向量也叫做共线向量. 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有 一个实数 λ,使 b =λ a 4 共线向量
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如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合, 则这些向量叫做共线向量或 平行向量. a 平行于 b 记作 a // b .

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当我们说向量 a 、 b 共线(或 a // b )时,表示 a 、 b 的有向线段所在的直线可能是同 一直线,也可能是平行直线. 5. 共线向量定理:空间任意两个向量 a 、 b ( b ≠ 0 ) a // b 的充要条件是存在实数 λ, , 使 a =λ b

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推论:如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线,那么对于任意一点 O, 点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t 满足等式

?

???? ???? ? ? OP ? OA ? t a .其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量
6 空间直线的向量参数表示式:
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???? ???? ???? ???? ???? ???? ? ???? ???? OP ? OA ? t a 或 OP ? OA ? t (OB ? OA ) ? (1 ? t )OA ? tOB ,
中点公式. OP ?

????

1 ???? ???? (OA ? OB ) 2
?

A 7.向量与平面平行:已知平面 ? 和向量 a ,作 O ?a ,如果直线 OA 平行于 ? 或在 ? 内, ? ? 那么我们说向量 a 平行于平面 ? ,记作: a // ? .通常我们把平行于同一平面的向量,叫做 共面向量
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?

说明:空间任意的两向量都是共面的

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8.共面向量定理:如果两个向量 a, b 不共线, p 与向量 a, b 共面的充要条件是存在实数

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?

? ?

x, y 使 p ? xa ? yb

?

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推 论: 空间一 点 P 位 于平面 MAB 内 的 充分必 要条 件是存 在有 序实数 对 x, y , 使

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???? ??? ? ???? MP ? xMA ? yMB



或对空间任一点 O ,有 OP ? OM ? xMA ? yMB ② 或 OP ? xOA ? yOB ? zOM ,( x ? y ? z ? 1) 上面①式叫做平面 MAB 的向量表达式
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9 空间向量基本定理:如果三个向量 a, b , c 不共面,那么对空间任一向量 p ,存在一个唯
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一的有序实数组 x, y, z ,使 p ? xa ? yb ? zc

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若三向量 a, b , c 不共面,我们把 {a, b , c} 叫做空间的一个基底, a, b , c 叫做基向量,空 间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底
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???

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推论:设 O, A, B, C 是不共面的四点,则对空间任一点 P ,都存在唯一的三个有序实数

x, y, z ,使 OP ? xOA ? yOB ? zOC
10

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空 间 向 量 的 夹 角 及 其 表 示 : 已 知 两 非 零 向 量 a, b , 在 空 间 任 取 一 点 O , 作

? ?

??? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? O 记作 且规定 0 ?? a, b ?? ? , OA? a OB b则 ?AB 叫做向量 a 与 b 的夹角, ? a, b ? ; , ? ,
显然有 ? a, b ??? b , a ? ;若 ? a , b ??

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2

,则称 a 与 b 互相垂直,记作: a ? b

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11.向量的模:设 OA ? a ,则有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模,记作: | a | 12. 向量的数量积: 已知向量 a, b , | a| |? b c s 则 | o ? 即 a ? b ? | a | ? | b | ? cos ? a, b ? .

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? ? ? ? ? ? 记作 a ? b , ? a b ? 叫做 a, b 的数量积, ,

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已知向量 AB ? a 和轴 l , e 是 l 上与 l 同方向的单位向量,作点 A 在 l 上的射影 A? , 作点 B 在 l 上的射影 B? ,则 A?B? 叫做向量 AB 在轴 l 上或在 e 上的正射影

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???? ? A?B? 的长度

???? ??? ? ? ? ? ? ? | A?B? |?| AB | cos ? a, e ??| a ? e | .
13.空间向量数量积的性质:

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(1) a ? e ?| a | cos ? a, e ? . (2) a ? b ? a ? b ? 0 . (3) | a |2 ? a ? a . 14.空间向量数量积运算律: (1) (?a) ? b ? ?(a ? b ) ? a ? (?b ) . (2) a ? b ? b ? a (交换律) . (3) a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c (分配律) 题型讲解
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例 1 证明空间任意无三点共线的四点 A、B、C、D 共面的充分必要条件是:对于空间 任一点 O,存在实数 x、y、z 且 x+y+z=1,使得 OA =x OB +y OC +z OD

??? ?

??? ?

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????

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分析:要寻求四点 A、B、C、D 共面的充要条件,自然想到共面向量定理 解:依题意知,B、C、D 三点不共线,则由共面向量定理的推论知:四点 A、B、C、
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D 共面 ? 对空间任一点 O, 存在实数 x1、 1, y 使得 OA = OB +x1 BC +y1 BD = OB +x1 OC (

??? ??? ? ?

??? ?

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??? ?

- OB )+y1( OD - OB )=(1-x1-y1)OB +x1 OC +y1 OD ,取 x=1-x1-y1、y=x1、z=y1, 则有 OA =x OB +y OC +z OD ,且 x+y+z=1

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点评: 向量基本定理揭示了向量间的线性关系, 即任一向量都可由基向量唯一的线性表 示,为向量的坐标表示奠定了基础 共(线)面向量基本定理给出了向量共(线)面的充要 条件,可用以证明点共(线)面 本题的结论,可作为证明空间四点共面的定理使用 例 2 在平行四边形 ABCD 中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将它沿对角线 AC 折起,使 AB 与 CD 成 60°角,求 B、D 间的距离 解:如下图,因为∠ACD=90°,
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所以 AC · CD =0

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? ??? ??? ? 同理, BA · AC =0
??? ?

A
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D C A B

D C

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因为 AB 与 CD 成 60°角, 所以〈 BA , CD 〉=60°或 120°
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B

??? ?

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因为 BD = BA + AC + CD ,

??? ??? ? ?

??? ?

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所以 BD 2= BA 2+ AC 2+ CD 2+2 BA · AC +2 BA · CD +2 AC · CD = BA 2+ AC 2+ CD 2+2 BA · CD =3+2×1×1×cos〈 BA , CD 〉=2 或 2 ,
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??? ?

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??? ??? ? ?
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所以| BD |=2 或 2 , 即 B、D 间的距离为 2 或 2
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??? ?

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例 3 在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 交平面 ACB1 于点 E,求证: (1)BD1⊥平面 ACB1; (2)BE=

D1 A1 B1 E D

C1

中,BD1

1 ED1 2

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证明: (1)我们先证明 BD1⊥AC

C M B

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? ? ???? ? ? ??? ??? ? ??? ??? ???? ??? ? ? ∵ BD1 = BC + CD + DD1 , AC = AB + BC ,
∴ BD1 · AC =( BC + CD + DD1 )( AB + BC ) · = BC · BC + CD · AB = BC · BC - AB · AB =| BC |2-| AB |2=1-1=0
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A

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??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

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∴BD1⊥AC 同理可证 BD1⊥AB1,于是 BD1⊥平面 ACB1 (2)设底面正方形的对角线 AC、BD 交于点 M,
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则 BM =

???? ?

? 1 ????? ???? ????? ? 1 ??? BD = B1D1 ,即 2 BM = B1D1 2 2

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∴ BM ? B1D1 , 四点 B, B1 , D1 , M 共面, 所以,D1B 与平面 ACB1 之交点 E,就是 D1B 与 MB1 的交点
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???? ????? ? 由 2 BM = B1D1 知, ?EMB ∽ ?EB1D1 ,D1E∶EB=2∶1
1 ED1 2
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∴BE=

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点评:利用空间向量可以解决立体几何中的线线垂直、线线平行、四点共面、求长度、 求夹角等问题
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例4

如图,点 A 是△ABD 所在平面外一点,G 是△BCD 的重心,

求证: AG ?

????

? 1 ??? ???? ???? ( AB ? AC ? AD ) 3

分析: 想方设法把向量 AC 逐步用 AB, AC, AD 有 表示,直至用它们表示为止
D E B G C

??? ?

??? ??? ???? ? ?

A

关的向量的

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证明:∵ AG ? AC ? CG

????

??? ??? ? ?

??? 2 1 ??? ??? ? ? ? ? ? 1 ??? ??? ??? ???? ? ? ? 1 ??? ??? CG ? [ CB ? CD)] ? (CB ? CD ) ? (CA ? AB ? CA ? AD ) 3 2 3 3

?

???? ???? 1 ??? ??? ???? 1 ??? ???? ???? ? ? ? AG ? AC ? (2CA ? AB ? AD) ? ( AB ? AC ? AD) 3 3
例 5 下列命题中不正确的命题个数是 ①若 A、B、C、D 是空间任意四点,则有 AB + BC + CD + DA = 0 ; ②| a |-| b |=| a + b |是 a 、 b 共线的充要条件 ③若 a 、 b 共线,则 a 与 b 所在直线平行 ④对空间任意点 O 与不共线的三点 A、B、C,若 OP =x OA +y OB +z OC (其中 x、y、

??? ??? ? ?

??? ??? ? ? ?

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??? ?

??? ?

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z∈R) ,则 P、A、B、C 四点共面 A1 B2
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C3
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D4
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解:易知只有①是正确的,对于④,若 O ?平面 ABC,则 OA 、 OB 、 OC 不共面,由 空间向量基本定理知,P 可为空间任一点,所以 P、A、B、C 四点不一定共面 答案:C 例 6 A 是△BCD 所在平面外一点,M、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心,若 BD=4, 试求 MN 的长 A 解:连结 AM 并延长与 BC 相交于 E,连结 AN 并延长与 CD 相交于 E,则 E、F 分别是 BC 及 CD 的中点
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??? ?

??? ?

??? ?
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???? ???? ???? ? ? 2 ??? ? 2 ??? ? AF - AE = 现在 MN = AN - AM = ? ? ??? ? ? 2 ??? ??? 2 ??? AE )= EF = ( CF - CE )=
3 3 3 2 2 3 3 3
D

M B N F E C

? 2 ??? ( AF - 3

? ? ? ? ? 2 1 ??? 1 ??? 1 ??? ??? 1 ??? ( CD - CB )= ( CD - CB )= BD
∴ MN =| MN |=

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???? ?

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? 1 1 ??? 4 | BD |= BD= 3 3 3

3

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点评:本题的关键是利用重心这一特殊位置逐步进行转化

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小结: 1 若表示向量 a 1, a 2,…, a n 的有向线段终点和始点连结起来构成一个封闭折图形,
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则 a 1+ a 2+ a 3+…+ a n= 0
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2 应用向量知识解决几何问题时,一方面要选择恰当的基向量,另一方面要熟练地进行 向量运算 3 空间中的任何一个向量都可以用不共面的三个向量线性表示,这三个向量也称为一个 基底 在证明两个向量平行、垂直或求其夹角时,往往把它们用同一个基底来表示,从而实 现解题的目的
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4 要用向量法解题,所涉及判断位置或长度或所成角的向量,一般应能用关系明确的向
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量表示,或较容易用坐标表示,否则应考虑用其它方法来解

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练习

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1 在以下四个式子中正确的有
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① a + b · c ,② a · b · c ) ( ,③ a ( b · c ) ,④| a · b |=| a || b |

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A1 个
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B2 个
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C3 个
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D0 个
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解析:根据数量积的定义,b ·c 是一个实数, a + b ·c 无意义 实数与向量无数量积,
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故 a · b · c )错,| a · b |=| a || b || c os〈 a , b 〉|,只有 a ( b · c )正确 ( 2 设向量 a 、 b 、 c 不共面,则下列集合可作为空间的一个基底的是
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答案:A

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A{a +b ,b -a ,a }
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B{a +b ,b -a ,b }
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C{a +b ,b -a ,c }
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D{a +b +c ,a +b ,c }
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解析:由已知及向量共面定理,易得 a + b , b - a , c 不共面,故可作为空间的一个 基底,故选 C
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? ?

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答案:C

3 在平行六面体 ABCD—A′B′C′D′中,向量 AB? 、 AD? 、 BD 是
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????

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A 有相同起点的向量 C 共面向量
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B 等长的向量 D 不共面向量
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???? ???? ????? ??? ? ? ???? ???? ??? ? ? 解析:∵ AD? - AB? = B?D? = BD ,∴ AB? 、 AD? 、 BD 共面
答案:C

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4 平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中, 为 AC 和 BD 的交点, A1B1 = a ,A1D1 = b ,A A M 若 1
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???? ?

? ?????

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= c ,则下列式子中与 B1M 相等的是

?

?????

1 ? 1 ? ? a + b +c 2 2 1 ? 1 ? ? a - b +c D- 2 2 ? ???? ???? 1 ??? ??? ? ? ????? ???? ???? ? 1 ????? ? 1 ???? 解析: B1M = B1B + BM = B1B + ( BA + BC )= A A - A1D1 = c - A1B1 + 1 2 2 2 1 ? 1 ? a + b ,故选 A 答案:A 2 2
A-
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1 ? 1 ? ? a + b +c 2 2 1 ? 1 ? ? a - b +c C 2 2
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B

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5 O、A、B、C 为空间四个点,又 OA 、 OB 、 OC 为空间的一个基底,则
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??? ?

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A O、A、B、C 四点共面,但不共线 C O、A、B、C 四点中任意三点不共线
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B O、A、B、C 四点不共线 D O、A、B、C 四点不共面
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解析:由基底意义, OA 、 OB 、 OC 三个向量不共面,但 A、B、C 三种情形都有可 能使 OA 、 OB 、 OC 共面 只有 D 才能使这三个向量不共面,故应选 D
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答案:D

6 已知四边形 ABCD 中, AB = a -2 c , CD =5 a +6 b -8 c ,对角线 AC、BD 的中点
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分别为 E、F,则 EF =_____________

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解析:∵ EF = EA + AB + BF , EF = EC + CD + DF , 两式相加,得 2 EF =( EA + EC )+( AB + CD )+( BF + DF ) ∵E 是 AC 的中点,故 EA + EC = 0 同理, BF + DF = 0

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∴2 EF = AB + CD =( a -2 c )+(5 a +6 b -8 c )=6 a +6 b -10 c ∴ EF =3 a +3 b
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-5 c
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答案:3 a +3 b -5 c

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7 已知 a +3 b 与 7 a -5 b 垂直,且 a -4 b 与 7 a -2 b 垂直,则〈 a , b 〉=_______
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解析: 由条件知 a +3 b ) a -5 b ) a |2-15| b |2+16 a ·b =0, ( a -4 b ) a ( · (7 =7| 及 · (7 -2 b )=7| a |2+8| b |2-30 a · b =0 两式相减得 46 a · b =23| b |2, ∴a ·b =

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? ? 1 ? 2 | b | 代入上面两个式子中的任意一个,即可得到| a |=| b | 2
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1 ?2 ? ? |b | ? ? ? ? a ?b 1 ∴cos〈 a , b 〉= ? ? = 2 ? 2 = ∴〈 a , b 〉=60° 答案:60° 2 | a || b | | b |
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8 试用向量证明三垂线定理及其逆定理 ? 已知: PO、PA 分别是平面α 的垂线和斜线,OA 是 PA 在α 内的射影, a ? ? a ⊥PA ? a ⊥OA ? ? ? ? 证明:设直线 a 上非零向量 a ,要证 a ⊥PA ? a ⊥OA,
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α ,求证:

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即证 a · AP =0 ? a · AO =0 ∵a

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α , a · OP =0,

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∴ a · AP = a · AO + OP )= a · AO + a · OP = a · AO ( ∴ a · AP =0 ? a · AO =0,即 a ⊥PA ? a ⊥OA

? ?

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点评:向量的数量积为零是证明空间直线垂直的重要工具 在应用过程中,常需要通过 加、减法对向量进行转换,当然,转换的方向是有利于计算向量的数量积
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9 在空间四边形 ABCD 中,求证: AB · CD + AC · DB + AD · BC =0
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??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

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证法一:把 AB 拆成 AC + CB 后重组,

??? ?

??? ??? ? ?

? ? ??? ???? ??? ??? ??? ??? ? ? ? AB · CD + AC · DB + AD · BC
=( AC + CB ) CD + AC · DB + AD · BC ·

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ???? ?

??? ? ??? ?

= AC · CD + CB · CD + AC · DB + AD · BC = AC · CD + DB )+ CB · CD + DA ) ( ( = AC · CB + CB · CA = CB · AC + CA )= CB · 0 =0 (

??? ? ??? ? ??? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ? ??? ?

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证法二:设 a = DA , b = DB , c = DC , 则

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? ? ??? ???? ??? ??? ??? ??? ? ? ? AB · CD + AC · DB + AD · BC
=( b - a )(- c )+( c - a ) b +(- a )( c - b ) · · · =- b · c + a · c + c · b - a · b - a · c + a · b =0

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点评:把平面向量的运算推广到空间后,许多基本的运算规则没有变 证法一中体现了 向量的拆分重组技巧,要求较高;证法二设定三个向量为基底,而原式中所有向量化归为关
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于 a 、 b 、 c 的式子,化简时的思路方向较清楚

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