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高二数学期中试题理科 (6)


2013 届江西省白鹭洲中学第一学期高三第二次月考 数学试题(理)
总分:150 分 时间:120 分钟

一、选择题: (本题共有 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分;在每小题给出的四个选项中, 只有一项是正确的,把正确的代号填在答题卡指定位置上) 1.复数
2 ? mi 1 ? 2i ? A ? Bi (m、A、B∈R) ,且 A+B=0,则 m 的值是

A. 2

B.

2 3

C.-

2 3

D.2

2 1 1 b ?2 2.已知 x=a+ (a>2) ,y=( ) (b<0) ,则 x,y 之间的大小关系是 2 a-2

A.x>y

B .x<y

C.x=y

D.不能确定

3.设※是集合 A 中元素的一种运算,如果对于任意的 x、y ? A ,都有 x※y? A ,则称运 算※对集合 A 是封闭的,若 M ? { x | x ? a ? A.加法 B.减法
2 b , a , b ? Z}, 则对集合 M 不封闭的运算是

C.乘法

D.除法

4.已知 ? , ? 均为锐角,若 p : sin ? ? sin(? ? ? ), q : ? ? ? ? A.充分而不必要条件 C.充要条件

?
2

, 则 p是 q 的

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.设函数 f ( x ) 在定义域内可导, y ? f ( x ) 的图像如图所示,则函数 y ? f ' ( x ) 的图像可 能是

6.平面内有相异的四点 O、A、B、C,满足 ( OB ? OC ) ? ( OB ? OC ? 2 OA ) ? 0 则△ ABC 的形状是 A.等边三角形 C.以 BC 为底边的等腰三角形 B.直角三角形 D.以 AB 为底边的等腰三角形

7.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S1=1,点(n,Sn)在曲线 C 上,C 和直线 x-y+

1=0 交于 A,B 两点,|AB|= 6 ,那么这个数列的通项公式是 A. a n ? 2 n ? 1 B. a n ? 3 n ? 2 C. a n ? 4 n ? 3 D. a n ? 5 n ? 4
???? ???? ?

8. 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 交于 M 、N 两点, 若满足 C 2 ? A 2 ? B 2 , OM ? ON 则 ( O 为坐标原点)等于 A. ? 2 B. ? 1 C. 0 D. 1

9.函数 f 1(x)= 1 ? x ,f 2(x)= 1? | x | ,f 3(x)= 1 ? x ,f4(x)= 1? | x | 的图像 分别是点集 C1,C2,C3,C4,这些图像关于直线 x = 0 的对称曲线分别是点集 D1,D2,D3, D4,现给出下列四个命题,其中正确命题的序号是 ①D1 ? D 2 A.①③
2

②D1∪D3 = D2∪D4 B.①②

③D4 ? D3

④D1∩D3 = D2∩D4 C.②④ D.③④

10.记函数 f ( x ) ? 3 ? x sin x 在区间[-2,2]上的最大值为 M,最小值为 m,那么 M+m 的值为 A.0 B.3 C.6 D.8

二、填空题 : (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) x2 11.不等式 >x+1 的解集是 x-1 12.在△ ABC 中,A,B,C 成等差数列,则 tan
A 2 ? tan C 2 ? 3 tan A 2 tan C 2 ? ______.

13 . 已 知 (1 ? x ) ? (1 ? x ) 2 ? (1 ? x ) 3 ? ? ? (1 ? x ) n ? a 0 ? a1 x ? a 2 x 2 ? ? ? a n x n
a 0 ? a1 ? ? ? a n ? 126 ,那么二项式 (3 x ?
1 x

, 且

) 的展开式中常数项为
n

.

14.在△ ABC 中,边 AB 为最长边,且 sinA· sinB= 是 。

2? 4

3

,则 cosA· cosB 的最大值

15.定义在 R 上的偶函数 f (x)满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x ) ,且在[-1,0]上是增函数,给出下 面关于 f (x)的判断: ① f (x)是周期函数; ② f (x)关于直线 x=1 对称; ③ f (x)在[0,1]上是增函数; ④ f (x)在[1,2]上是减函数;

⑤ f (2)= f (0) 。 其中正确判断的序号为___(写出所有正确判断的序号) 。 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分) 16. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对 边,向量 x=(2a+c,b) ,y=(cosB, cosC) ,且 x· y=0. (1)求∠B 的大小; (2)若 b= 3 ,求 a+c 的最大值. 17. (本小题满分 12 分) 如图, 在底面是菱形的四棱锥 P—ABCD中, ∠ABC=600, PA=AC=a, PB=PD= 2 a ,点 E 在 PD 上,且 PE:ED=2:1. (1)证明 PA⊥平面 ABCD; (2)求以 AC 为棱,EAC 与 DAC 为面的二面角 ? 的大小;

18. (本小题满分 12 分)设数列 { a n } 和 {b n } 满足 a1 ? b1 ? 6 , a 2 ? b2 ? 4 , a 3 ? b3 ? 3 , 且数列 {a n ? 1 ? a n } ( n ? N ) 是等差数列,数列 {bn ? 2}( n ? N ) 是等比数列。 (1)求数列 { a n } 和 {b n } 的通项公式;
1 ? (2)是否存在 k ? N ,使 a k ? bk ? (0, ) ?若存在,求出 k ;若不存在,说明理由。 2 m 19.已知 f ? x ? ? x ? ? m ? R ? , x
?

?

(1)若函数 y ? log 1 ? f ? x ? ? 2 ? 在区间 [1, ?? ) 上是增函数,求实数 m 的取值范围。 ? ?
2

?1 ? (2)若 m ? 2 ,求函数 g ? x ? ? f ? x ? ? ln x 在区间 ? , 2 ? 上的最小值; ?2 ?

20. (本小题满分 13 分)平面直角坐标系中,O 为坐标原点,给定两点 A(1,0) 、B(0,

-2) ,点 C 满足 OC ? ? OA ? ? OB , 其中 ? 、 ? ? R , 且 ? ? 2 ? ? 1 (1)求点 C 的轨迹方程; (2)设点 C 的轨迹与双曲线
1 a
2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 交于 两点 M、N,且以 MN 为

直径的圆过原点,求证: 21. (本小题满分 14 分)

?

1 b
2

为定值 .

由原点 O 向三次曲线 y=x3-3ax2+b x (a≠0)引切线,切于不同于点 O 的点 P1(x1, y1) ,再由 P1 引此曲线的切线,切于不同于 P1 的点 P2(x2,y2) ,如此继续地作下去,……, 得到点列{ P n(x n , y n)},试回答下列问题: (1)求 x1; (2)求 x n 与 x n+1 的关系; (3)若 a>0,求证:当 n 为正偶数时,x n<a;当 n 为正奇数时,x n>a.


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