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2013高中数学奥数培训资料之塞瓦定理


兰州成功私立中学高中奥数辅导资料 (内部资料)
平面几何的几个重要定理―――塞瓦定理
_______江西省上犹中学 塞瓦定理:
设 P 、 Q 、 R 分别是 ? ABC 的 BC 、 CA 、 AB 边上的点,则 的充要条件是 : BP PC ? CQ QA ? AR RB ?1 AP 、 BQ 、 CR 三线共点

刘道生

r />
证:先证必要性:设 BP PC 同理: ? S ? ABP S ? ACP CQ QA AR RB ? ? ?

AP 、 BQ 、 CR 相交于点 M ,则: S ? BMP S ? CMP S ? BCM S ? ABM ? S ? ABM S ? ACM

A

R M

Q

S ? ACM S ? BCM BP PC ? CQ QA ?


B
? AR RB =1

P

C

以上三式相乘,得: BP PC 由塞瓦定理有: AR
‘ ’

再证充分性:若 BP PC 于是: =


?

CQ QA

AR RB

? 1,设 AP 与 BQ 相交于 M ,且直线 CM 交 AB 于 R ,



?

CQ QA

?

AR


? 1,

R B

AR RB


R B

因为 R 和 R 都在线段 AB 上,所以 R 必与 R 重合,故 AP 、 BQ 、 CR 相交于一点点
例1:证明:三角形的中线 交于一点;

M;

A
B1

C1

C B
A1
1

证明:记 ? ABC 的中线 AA 1, BB 1, CC 1, 我们只须证明 而显然有: 即 AC
1

AC

1

?

BA 1 A1 C

?

CB 1 B1 A

?1

C1B AC ?
1

? C 1 B , BA 1 ? A1 C , CB 1 ? B 1 A ? 1成立,? ? ABC 交于一点;

?

BA 1 A1 C

CB 1 B1 A

C1B

【练习 1】证明:三角形的角平 【练习 2】证明:锐角三角形的

分线交于一点; 高交于一点;

A
B1 C1

A

C1

B1

C B
A1

C B
A1

例 2:在锐角 ? ABC 中,角 ? C 的平分线交于

AB 于 L ,从 L 作边 AC 和 BC 的垂线,垂

足分别是 M 和 N ,设 AN 和 BM 的交点是 P ,证明: CP ? AB

C N M A B K L

2

证:作 CK ? AB 下证 CK 、 BM 、 AN 三线共点,且为 P 点,

要证 CK 、 BM 、 AN 三线共点,依塞瓦定理 即要证: AM MC 又 ? MC ? CN 即要证明: AM AK ? BK NB AM AK 即要证 AL AC ? BC BL 理可知: AL AC ? CK 、 BM 、 AN 三线共点,且为 ? CP ? AB
例 3 .设 AD 是 ? ABC 的高,且 D 在 BC 边上,若 P 是 AD 上任一点, AB 交于 E 和 F ,则 ? EDA = ? FDA BP 、 CP 分别与 AC 、

?

CN NB

?

BK AK

?1

?1 ? AL AC ? BNL ? ? BKC ? BK NB ? BC BL

? ? AML ? ? AKC ? ?1

依三角形的角平分线定

?

BC BL

?1

P点

证:过 A 作 AD 的垂线,与

DE 、 DF 的延长线分别

? AD ? BC

交于 M 、 N 。欲证 ? EDA ? ? FDA , 可以转化为证明 AM ? AN

故 MN // BC , ? AM CD ? AE CE

? AD 、 BE 、 ? AE ? CD CE ? AM ? AN

?

? ? EDA ? ?

【练习 3】已知 ? ABC 外有三点 M 、 N 、 R ,且 ? BAR ? ? CAN ? ? , ? CBM ? BCM ? ? ABR ? ? , ? ACN ? ? ? ,证明: AM 、 BN 、 CR 三线共点;

3

例 4 .在 ? ABC 的边 BC 、 CA 、 AB 上取点 A1、 B 1、 C 1, 证明: AC 1 C1B
证:如图对 AC 1 C 1C ?

?

BA 1 CB 1 sin ? ACC 1 sin ? BAA 1 sin ? CBB 1 ? ? ? ? A1 C B 1 A sin ? C 1 CB sin ? A1 AC sin ? B 1 BA

? ACC 1 和 ? BCC 1 应用正弦定理,可得: sin ? ACC sin ? A
1

CC 1 C1B

?

sin ? B sin ? C 1 CB

AC 1 sin ? ACC 1 sin ? B 即: ? ? C1B sin ? C 1 CB sin ? A 同理: BA 1 A1 C CB 1 B1 A 从而 AC 1 C1B ? ? sin ? BAA
1

sin ? A1 AC
1

?

sin ? C sin ? B

sin ? CBB

sin ? B 1 BA ?

?

sin ? A sin ? C

BA 1 CB 1 sin ? ACC 1 sin ? BAA 1 sin ? CBB 1 ? ? ? ? A1 C B 1 A sin ? C 1 CB sin ? A1 AC sin ? B 1 BA

【练习 4】在 ? ABC 的边 BC 、 CA 、 AB 上取点 A1、 B 1、 C 1,使 AA 1、 BB 1、 CC 1 相交于 一点,证明,关于角平 于一点; 分线对称于这些直线的 直线 AA 2 、 BB 2 、 CC 2 也相交

课外作业:
1 .设 A1、 B 1、 C 1 是 ? ABC 的内切圆与边 CC 1 三线共点; BC 、 CA 、 AB 的切点,证明 : 直线 AA 1、 BB 1、

2 .从圆上的点

A 、 D 引切线,相交于点

S 。在 AD 弧上取点 B 和 C ,直线 AC 和 BD 相交于 PQ 过点 S ;

P , AB 和 CD 相交于点 Q ,证明,直线

4

3 .在 ? ABC 的边上向外作正方形, 证明,直线

A1、 B 1、 C 1 是正方形的边

BC 、 CA 、 AB 的对边的中点,

AA 1、 BB 1、 CC 1 相交于一点;

练习 1答案: 证:记 ? ABC 的角平分线分别是 ? ? AC 1 C1B AC 1 C1B ? ? b a , BA 1 A1 C ? c CB 1 a , ? b B1 A c AA 1 , BB 1 , CC 1 ,

BA 1 CB 1 ? ?1 A1 C B 1 A 一点;

? 三角形的角平分线交于
练习 2 答案: 证:记锐角

? ABC 的角平分线分别是

AA 1 , BB 1 , CC 1 , a ?b ?c
2 2

设 CB 1= x ,那么 AB 1= b ? x , 则:
2

c ? ( b ? x ) ? BB 1 ? a ? x ? CB 1 ? x ?
2 2 2 2

2b

则: B 1 A ? 同理可得:

c ?b ?a
2 2

2

2b AC 1 ? BA 1 ? b ?c ?a
2 2 2

,

2c
2 2 2

C1B ? A1 C ?

a ?c ?b
2 2

2

2c
2 2 2

c ?a ?b 2a ?1

,

b ?a ?c 2a

?

AC 1 C1B

?

BA 1 A1 C

?

CB 1 B1 A

? 锐角三角形的三条高交
练习 3的答案:

于一点;

证:设 AM 与 BC 交于 M , BN 与 AC 交于 N , CR 与 AB 交于 R , ? ABC 的三个内角分别 记为 ? A 、 ? B 、 ? C BM CM
‘ ‘







?

S ? ABM ‘ S ? ACM ‘

?

AB sin ? BAM AC sin ? CAM

AB ? BM ? sin( ? A ? ? ) ? ? AC ? CM ? sin( ? C ? ? ) ?

1 AM 1 AM ? AB sin ? ? sin( ? B ? ? ) AC sin ? ? sin( ? C ? ? )

BM AB sin ? ? sin( ? B ? ? ) 即: = ‘ CM AC sin ? ? sin( ? C ? ? )


5

同理:

CN AN

‘ ‘



BC sin ? ? sin( ? C ? ? ) BA sin ? ? sin( ? A ? ? )

AR BR







CA sin ? ? sin( ? A ? ? ) CB sin ? ? sin( ? B ? ? ) BM CN AR : ‘ ? ? =1 ‘ ‘ CM AN BR AM 、 BN 、 CR 三点共线。
‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘

将以上三式子相乘可得 根据塞瓦定理可知:

练习 4的答案: 证: A 2、 B 2、 C 2 位于 ? ABC 的边上,根据例 ? AC
2

4的结论有:
2

?

BA 2 A2 C

?

CB 2 B2 A

?

sin ? ACC

2

C2B ? ACC ?

sin ? C 2 CB

?

sin ? BAA

sin ? A 2 AC

?

sin ? CBB

2

sin ? B 2 BA AA 1、 BB 1、 CC 1,则

又 ? AA 2、 BB 2、 CC 2 关于角平分线对称于
2

? ? C 1 CB , ? ACC
2

1

? ? C 2 CB
2

, ? ? sin ? C 1 CB sin ? ACC A1 C ? B1 A
1

sin ? ACC

sin ? C 2 CB

?

sin ? BAA

2

sin ? A 2 AC

?

sin ? CBB

sin ? B 2 BA ?

?

sin ? A1 AC sin ? BAA
1

?

sin ? B 1 BA sin ? CBB
1

C1B AC 1

?1

BA 1 CB 1

从而

AC

2

?

BA 2 A2 C

?

CB 2 B2 A

?1

C2B

? AA 2、 BB 2、 CC 2 三线共点

课后练习答案:
1 .证:显然 AC ? AC
1 1

? B1 A, ? CB 1 B1 A ?1

BA 1 ? C 1 B ,

CB 1 ? A1 C

?

BA 1 A1 C

C1B

即: AA 1、 BB 1、 CC 1 三线共点

6

sin ? ASP sin ? DAP sin ? SPP sin ? ASQ sin ? CAQ sin ? SDQ 2 .证: ? ?1? ? ? sin ? PSC sin ? PAS sin ? PPA sin ? QSC sin ? QAS sin ? QDA 又 ? ? DAP ? ? SDQ ? sin ? ASP sin ? PSD ? , ? SDP ? ? DAQ , ? PAS ? ? QDA , ? PDA ? ? QAS , sin ? ASQ sin ? QSD

? S 、 P 、 Q 位于一条直线上
A 2、 B 2、 C 2

3 .证:记直线 ? BA 2 A2C =

AA 1、 BB 1、 CC 1 与边 BC 、 CA 、 AB 的交点分别为 S ? ABA 1 S ? ACA 1
1

?

AB AC

?

BA 1 CA 1
1

?

sin ? ABA sin ? ACA

1 1

?

AB AC

?

sin( ? B ? ? ) sin( ? C ? ? )

其中 ? = ? CBA 同理: CB
2

? ? BCA ?

? arctan 2 AC
2

?

BC AB

sin( ? C ? ? ) sin( ? A ? ? ) 得:

?

AC BC

?

sin( ? A ? ? ) sin( ? B ? ? )

B2 A

C2B

将上面三条等式相乘可 BA 2 A2C ? CB
2

?

AC

2

=1

B2 A

C2B

? AA 1、 BB 1、 CC 1 共点

7


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