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高中数学(北师大版·必修5)配套练习:1.3等比数列 第3课时


第一章

§3

第 3 课时

一、选择题 1 1.在等比数列{an}(n∈N+)中,若 a1=1,a4= ,则该数列的前 10 项和为( 8 1 A.2- 8 2 1 C.2- 10 2 [答案] B 1 a4 1 1 [解析] ∵a1=1,a4= ,∴q3= = ,∴q= . 8 a1 8 2 1?10 1[1-?

?2? ] 1?10 1 ∴S10= =2[1-? ?2? ]=2-29,故选 B. 1 1- 2 S4 2.等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则 =( a2 A.2 15 C. 2 [答案] C a1· ?1-24? 1-2 S4 15 [解析] 由题意得 = = .故选 C. a2 a1· 2 2 3.等比数列{an}的前 3 项和等于首项的 3 倍,则该等比数列的公比为( A.-2 C.-2 或 1 [答案] C [解析] 由题意可得,a1+a1q+a1q2=3a1, ∴q2+q-2=0,∴q=1 或 q=-2. 4.已知等比数列的公比为 2,且前 5 项和为 1,那么前 10 项和等于( A.31 C.35 [答案] B a1?1-q5? a1?1-25? [解析] 解法一:S5= = =1 1-q 1-2 B.33 D.37 ) B.1 D.2 或-1 ) B.4 17 D. 2 ) 1 B.2- 9 2 1 D.2- 11 2 )

1 ∴a1= 31 1 ?1-210? a1?1-q10? 31 ∴S10= = =33,故选 B. 1-q 1-2 解法二:∵a1+a2+a3+a4+a5=1 ∴a6+a7+a8+a9+a10=(a1+a2+a3+a4+a5)· q5=1×25=32 ∴S10=a1+a2+…+a9+a10=1+32=33. 5.已知等比数列{an}中,公比 q 是整数,a1+a4=18,a2+a3=12,则此数列的前 8 项和为( A.514 C.512 [答案] D
?a1+a1q3=18 ? [解析] 由已知得? , 2 ? ?a1q+a1q =12

)

B.513 D.510

1 解得 q=2 或 . 2 2?1-28? 9 ∵q 为整数,∴q=2.∴a1=2.∴S8= =2 -2=510. 1-2 6.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,S3=3,S6=27,则此等比数列的公比 q 等于( A.2 1 C. 2 [答案] A B.-2 1 D.- 2 )

[解析]

? ? ? a ?1-q ? ? ?S = 1-q =27,
1 6 6

a1?1-q3? S3= =3, ① 1-q ②

② 1-q6 得 =9,解得 q3=8. ① 1-q3 ∴q=2,故选 A. 二、填空题 7.(2013· 北京理)若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40,则公比 q=________,前 n 项和 Sn= ________. [答案] 2,Sn=2n 1-2


[解析] 本题考查等比数列的通项公式求和公式及性质的应用问题. a3+a5=q(a2+a4)代入有 q=2,再根据 a2+a4=a1q+a1q3=20 有 a1=2,所以 an=2n,利用求和公式可 以得到 Sn=2n 1-2.


3 9 8.在等比数列{an}中,已知 a3= ,S3= 则 q=________.(用数字作答) 2 2 1 [答案] 1 或 2 -q ? 9 = ?S =a ?11- 2 q 若 q≠1,则? 3 ?a =a q =2
1 3 3 1 2 3

[解析]

1 解得 q=1 或 q=- , 2 1 ∵q≠1,∴q=- , 2

?S =3a =2 若 q=1,则? 3 ?a =a =2
3 1 3 1

9 也合题意,

∴q=1. 1 综上 q 的值为 1 或- . 2 三、解答题 9.在等比数列{an}中,a2-a1=2,且 2a2 为 3a1 和 a3 的等差中项,求数列{an}的首项,公比及前 n 项 和. [解析] 设该数列的公比为 q,由已知可得 a1q-a1=2 得 a1(q-1)=2. 4a1q=3a1+a1q2 得 q2-4q+3=0 解得 q=3 或 q=1. 由于 a1(q-1)=2,因此 q=1 不合题意,应舍去. 故公比 q=3,首项 a1=1. 3n-1 所以数列的前 n 项和 Sn= . 2 10.(2014· 福建文,17)在等比数列{an}中,a2=3,a5=81. (1)求 an; (2)设 bn=log3an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. [解析] (1)设{an}的公比为 q,依题意得
?a1q=3, ? ? 4 ?a1q =81, ? ?a1=1, ? 解得? ? ?q=3.

因此,an=3n 1.


(2)因为 bn=log3an=n-1, 所以数列{bn}的前 n 项和 Sn= n?b1+bn? n2-n = . 2 2

一、选择题 1.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和,已知 a2a4=1,S3=7,则 S5=( 15 A. 2 33 C. 4 [答案] B [解析] 设公比为 q,则 q>0,且 a2 3=1, 1 1 即 a3=1.∵S3=7,∴a1+a2+a3= 2+ +1=7, q q 即 6q2-q-1=0, 1 1 ∴q= 或 q=- (舍去), 2 3 1 ∴a1= 2=4. q 1? 4? ?1-25? ? 1 ? 31 ∴S5= =8?1-25?= . 1 4 1- 2 1 2.已知{an}是等比数列,a2=2,a5= ,则 a1a2+a2a3+…+anan+1=( 4 A.16(1-4 n)


)

31 B. 4 17 D. 2

)

B.16(1-2 n)


32 - C. (1-4 n) 3 [答案] C a5 1 1 [解析] ∵ =q3= ,∴q= . a2 8 2 1 - 1 ∴an· an+1=4· ( )n 1· 4· ( )n 2 2 =25
-2n

32 - D. (1-2 n) 3



故 a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1 =23+21+2 1+2 3+…+25
- - -2n

1 8?1- n? 4 = 1 1- 4



32 - (1-4 n). 3 )

3.等比数列{an}中,a3=7,前三项之和 S3=21,则公比 q 的值为( A.1 1 C.1 或- 2 [答案] C 1 B.- 2 1 D.-1 或 2

a q =7 ? ? 1 1 [解析] 当 q=1 时,满足题意.当 q≠1 时,由题意得?a1?1-q3? ,解得 q=- ,故选 C. 2 =21 ? ? 1-q 4.(2014· 全国大纲卷理,10)等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lgan}的前 8 项和等于( A.6 C.4 [答案] C [解析] 本题考查了等比数列和等差数列的通项公式以及等差数列的前 n 项和、对数的运算性质.根据 5 - 5 条件可知,等比数列的通项公式是 an=2×( )n 4,设 bn=lgan=lg2+(n-4)lg ,这是一个等差数列,所以它 2 2 8?b1+b8? 的前 8 项和是 S8= 2 5 5 8?lg2-3lg +lg2+4lg ? 2 2 - = =4.在等比数列中任意两项的关系时 an=amqn m,一个各项为正的等差数列, 2 取对数后所得到的数列是等差数列. 二、填空题 1 5.在等比数列{an}中,若 a1= ,a4=4,则公比 q=________;a1+a2+…+an=________. 2 1 - [答案] 2,2n 1- 2 [解析] 本题主要考查等比数列的基本知识,利用等比数列的前 n 项和公式可解得. 1 ?1-2n? 2 a4 3 4 1 - =q = =8,所以 q=2,所以 a1+a2+……+an= =2n 1- . a1 1 2 1-2 2 6.某住宅小区计划植树不少于 100 棵,若第一天植 2 棵,以后每天植树的棵树是前一天的 2 倍,则需 要的最少天数 n(n∈N*)等于________. [答案] 6 [解析] 本题考查等比数列通项公式,前 n 项和公式等.记第一天植树 a1=2,则第 n 天为 an=2n,这 B.5 D.3 )

2

2?1-2n? n 天总共植树 Sn= =2(2n-1),令 Sn≥100 得 n≥6,所以最少要 6 天.本题为填空题,利用列举法 1-2 更简单. 三、解答题 7.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a2=6,6a1+a3=30,求 an 和 Sn. [分析] 设出公比根据条件列出关于 a1 与 q 的方程.求得 a1 与 q 可求得数列的通项公式和前 n 项和公 式. [解析] 设{an}的公比为 q,由已知有:
?a1q=6 ?a1=3 ?a1=2 ? ? ? ? .解得? 或? 2 ? ? ? ?6a1+a1q =30 ?q=2 ?q=3

(1)当 a1=3,q=2 时,an=a1· qn 1=3×2n


-1

a1?1-qn? 3×?1-2n? Sn= = =3×(2n-1) 1-q 1-2 (2)当 a1=2,q=3 时,an=a1· qn 1=2×3n
- -1

a1?1-qn? 2×?1-3n? n Sn= = =3 -1. 1-q 1-3 综上,an=3×2n 1,Sn=3×(2n-1)或 an=2×3n 1,
- -

Sn=3n-1. 8.已知数列{an}是等比数列,其中 a7=1,且 a4,a5+1,a6 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)数列{an}的前 n 项和记为 Sn,证明:Sn<128(n=1,2,3,…). [解析] (1)设等比数列{an}的公比为 q(q∈R 且 q≠1), 由 a7=a1q6=1,得 a1=q 6,从而 a4=a1q3=q 3,
- -

a5=a1q4=q 2,a6=a1q5=q 1,
- -

因为 a4,a5+1,a6 成等差数列, 所以 a4+a6=2(a5+1) 即 q 3+q 1=2(q 2+1),
- - -

q 1(q 2+1)=2(q 2+1).
- - -

1 所以 q= . 2 1?n-7 - - - - 故 an=a1qn 1=q 6· qn 1=qn 7=? ?2? .

?1?n] 64[1 - ?2? a1?1-q ? (2)证明:Sn= = 1 1-q 1- 2
n

1?n =128[1-? ?2? ]<128.


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