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物理竞赛:力学部分


一部分:直线运动
一、复习基础知识点 一、 考点内容 1.机械运动,参考系,质点,位移和路程。 2.匀速直线运动:速度,位移公式 x ? vt , x ? t 图以及 v ? t 图。 3.匀变速直线运动,加速度,平均速度,瞬时速度,速度公式 v ? v 0 ? at ,位移公式

x ? v0 t ?
二、

1 2

2 at ,推广式 v 2 ? v0 ? 2ax , v ? t 图。 2

知识结构

? ? ? 运动 ? 名词? ? ? 参考系 ? ? ? ? ? 物理量 ? ? ? ? ?概念? ? 研究对象 ? 质点 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 匀速直线运动 ? 理想模型? ? ? ? ? ? ? 物理过程? 自由落体运动 ? ? ? ? 匀变速直线运动? ? ? ? ? ? ?竖直上抛运动? ? ? ? ? ? ? 匀速直线运动 ? ? ? ? ? 匀加速直线运动 直线运动?种类? 匀变速直线运动? ? 匀减速直线运动 ? ? ? ? ? 非匀变速直线运动 ? ? ? ? 匀速x ? vt ? ? ? ? 1 ? 2 ? ? ? x ? vt ? 2 at ? ? ? ? v ? v 0 ? at ? v ?v ? ? ? 规律? 匀变速? ? ?x ? 0 t ? 1 2 x ? v 0 t ? at 2 ? ? ? ? 2 ? 2 ? ?v 2 ? v 0 ? 2ax ? ? ? ? ? ? ? ? 非匀变速x ? vt ? ? ? ?

三、

复习思路

本课时重点是瞬时速度和加速度概念,以及匀变速直线运动的规律,难点是加速度的理 解。而匀变速直线运动规律与体育竞技、交通运输以及航空航天相结合是高考考查的热点。 对匀变速直线运动规律要熟练掌握,同时学习研究物理的基本方法,如从简单问题入手的方 法、运用图象研究物理问题和用数学公式表达物理规律的方法、实验的方法等等。 匀变速直线运动是高中阶段物理学习的重点内容之一, 对匀变速直线运动的学习与研究 要注意两方面的内容:一是如何描述物体的运动,匀变速直线运动的特点是什么;二是匀变 速直线运动的 基本规律是什么。在这一单元中,我们仅仅研究物体的运动规律而不涉及力 与运动的关系, 能否清楚正确的分析物体的运动过程是本单元要求的一个重要能力, 分析运 动过程是求解力学问题的主要环节, 是正确运用各种知识的前提条件。 能否正确运用公式也

是本单元考查的主要内容之一。 在复习这部分内容时应着重于概念、 规律的形成过程的理解和掌握, 搞清知识的来龙去 脉,弄清它的物理实质,而不仅仅是记住几个条文背过几个公式。如复习“质点”概念时, 不是仅仅去记住定义,更重要的是领会物理实质,它包含了如何建立理想化的模型,去除次 要因素抓住本质去研究问题的科学方法。 要把所学的知识应用到生动的实例当中去。 这样这 些知识就不再是枯燥的、生硬的结论,而是生动的物理现象、物理情景、物理过程。如在平 均速度的学习中,同学们常犯的错误是不管什么性质的变速都用 v ?

v ? v0 (只适合匀变速 2

直线运动)求平均速度,可以通过练习求生活中的自由落体运动、竖直上抛运动、平抛运动 中某段时间内的平均速度来体会平均速度的意义。复习中不但要从物理量的数学公式去研 究,还要尽可能用图象语言准确的描述它。 基础习题回顾: 1.物体从距地面某高处开始做自由落体运动,若下落前一半路程所用的时间为 t ,则 物体下落全程所用的时间为: A、 2t C、 2t B、 4t

D、 2 2t
示,

2. 某物体沿直线运动的速度~时间图象如图所 从图象可以看出:

A、物体的运动方向始终保持不变 B、加速度大小始终不变 C、3 s 初刻物体速度改变方向 D、前 6 s 物体位移为零
3.某同学作了一次较为准确的匀加速直线运动的实验,取下纸带研究其运动情况,如 下图所示,设 O 点是计数的起始点,两计时点之间的时间间隔为 0.1 s ,则第一个计时点与 起始点的距离 s1 应为 体的加速度 a ?

cm ;物体经第一个计时点的瞬时速度 v1 应为
m / s2 。

m / s ,物

二、从高考到初赛要求知识要点分析
一、参照系(又叫参考系) 宇宙间的一切物体都在永恒不停的运动中, 绝对静止的物体是不存在的, 因此物体在空 间的位置只能相对于另一物体来确定, 所以要描述物体的位置, 就必须选择另一物体作为参 考,这个被选作参考的另一物体,就叫参照物。如船对水运动,水是参照物;当车停在公路 上时,它相对于地球是静止的,但相对于太阳又是运动。可见物体的运动或静止,必须对于 一定的参照物来说才有才有确定的意义。至于参照物的选择主要看问题的性质和研究的方 便。通常我们研究物体的运动,总以地球做参照物最为方便,但在研究地球和行星相对太阳 的运动时,则以太阳做参照物最为方便了。 为了准确、定量地表示物体相对于参照物的位置和位置变化,就需要建立坐标系,参照 系是参照物的数学抽象:它被想象为坐标系和参照物固定地联结在一起,这样,物体的位置

就可用它在坐标系中的坐标表示了,所以,参照系就是观察者所在的、和他处于相对静止状 态的系统。

注: 1.惯性系——牛顿第一定律成立的参照系。凡相对惯性系静止或作匀速直线运动的物 体,都是惯性系。 2.非惯性系——牛顿第一定律不成立的参照系。凡相对惯性系作变速运动的物体,都 是非惯性系。如不考虑地球的自转时,地球可视为惯性系;而考虑地球的自转时,则地球为 非惯性系。 3.选取参照系的原则:①、牛顿第一和第二定律、动能定理、动量定理、动量守恒定 律和机械能守恒定律等动力学公式,只适用于惯性系;②运动学公式,不仅适用于惯性系, 也适用于非惯性系。因为物体运动具有相对性,即运动性质随参照物不同而不同,所以恰当 地选择参照系, 不仅可以使运动变为静止, 使变速运动变为匀速运动 (匀速直线运动的简称) , 而且可以使分析和解答的思路和步骤变得的极为简捷。 二、运动的位移和路程 1.质点 质点是一个理想模型。 在物理学中常常用理想模型来代替实际的研究对象, 这样抽象的 目的是简化问题和便于作较为精确的描述。质点只是一例,以后还要用到光滑斜面、理想气 体、点电荷等理想模型,要注意理解和学会这种科学的研究方法。 若研究地球绕太阳公转时, 地球可视为质点; 而研究地球上重力加速度随纬度的变化时, 地球则不可视为质点。又如研究一根弹簧的形变,弹簧即使很短也不可视为质点;物质的分 子和 原子都很小,但在研究其内部的振动和转动时,视为质点就没有意义了。 2.位移和路程 运动物体的位置发生变化,用位移来描述,位移这个物理量常用 s 或 x 有时也用 ?x 。 位移可这样定义:位移=末位置—初位置。可表示为: x ? Rt ? R0 (式中 X 是位移, R0 , Rt 为初时刻和末时刻的位置矢量)。位移 X 这个物理量既有大小又有方向,且合成与分解符合 平行四边形定则,具有这种性质 的物理量在物理学上叫做矢量。运动质点在一段时间内位 移的大小就是从初位置到到末位置间的距离,其方向规定为:总是从初位置到指向末位置。 注意: ①、若质点沿直线从 A 点运动到 B 点,则位移 X 就是 末位置 B 点的坐标减去初位置 A 点的坐标如右图所示。 ②、若质点在 oxy 平面内或 从 oxyz 空间内, A 点运动到 B 点, 则这段时间内的位移 X 可 用 o xy 或 oxyz 坐 标 系 中

R 初位置和末位置坐标 R1 、 2
表示,如左下图所示。

3.时刻和时间 时刻指某一瞬时,是与某一状态相对应的物理量。如第 n 秒初、第 n 秒末,并不是同一 时刻;而第(n—1)秒末与第 n 秒初,第 n 秒末与第(n+1)秒初则是同一时刻。 时间 指两时刻的间隔,是与是与某一过程相对应的物理量。注意第 n 秒内与前 n 秒内 不是同一段时间。 4.速度 ①、平均速度 在一段时间内 t 内,质点的位移为 X,则位移 X(或 ?S )与时间 t (或 ?t )的比值,叫 做平均速度: v ?

?x x 或v ? ;平均速度的方向与位移的方向相同。由于作变速直线运动 ?t t

的物体, 在各段路程上或各段时间内的平均速度一般来说是不相同的。 故一提到平均速度必 须明确是哪段位移上或哪一段时间内的平均速度。 ②、瞬时速度(又称即时速度) 要精确地如实地描述质点在任一时刻地邻近时间内变速直线运动的快慢,应该把 ?t 取 得很短, ?t 越短,越接近客观的真实情况,但 ?t 又不能等于零,因为没有时间间隔就没有 位移,就谈不上运动的快慢了,实际上可以把 ?t 趋近于零,在这极短时间中,运动的变化 很微小,实际上可以把质点看作匀速直线运动,在这种情况下,平均速度可以充分地描述该 时刻 t 附近质点地运动情况。我们把 ?t 趋近于零,平均速度 质点在 t 时刻的瞬时速度。用数学式可表示为: v ?

?x 所趋近的极限值,叫做运动 ?t

lim ?t ,它具体表示 t 时刻附近无限
?t ?0

?x

小的一段时间内的平均速度,其值只随 t 而变,是精确地描述运动快慢程度的物理量。以后 提到的速度总是指瞬时速度而言。平均速度、瞬时速度都是矢量。 描述质点的运动,有时也采用一个叫“速率”的物理量;速率是标量,等于运动质点所 经过的路程与经过该路程所用时间的比值, 若质点在 t 时间内沿曲线运动, 通过的路程 X (即 曲线的长度),则 X 与 t 的比值叫在时间 t 内质点的平均速率,可表示为 v ?

x 。例如在某 t

一时间内,质点沿闭合曲线环形一周,显然质点的位移等于零,平均速度也为零,而质点的 平均速率是不等于零的。 所以平均速度的大小与平均速率不能等同看待。 当质点沿直线单一 方向运动时平均速度的大小等于平均速率。 而瞬时速率就是瞬时速度的大小, 而不考虑方向。 5.加速度 运动 物体在 t o 时刻的速度为 v o (初速度),在 t 时刻的速度为 v t (末速度),那么在

?t ? t ? t o 这段时间里,速度的变化量(也叫速度的增量)是 ?v ? vt ? vo , ?v 与 ?t 的比

?v ,平均加速度只能粗略描述速度改变 ?t 的快慢程度。跟平均速度引导到瞬时速度的过程相似,选取很短的一段时间 ?t ,当 ?t 趋近 于零时,平均加速度的极限值,叫做运动质点在 t 时刻的瞬时加速度。用数学式可表示为:
值称为这段时间内的平均加速度,可表示为: a ?

a ? lim
?t ?0

?v 。 ?t

若质点做匀速直线运动, 它的加速度大小和方向恒定不变, 则平均加速度就是瞬时加速 度,通常 t o =0,时间 ?t ? t ? t o 可用末时刻 t 表示,则加速度定义式为: a ?

vt ? v0 ?v , ? t t

根据牛顿第二定律可知, 一个质点的加速度是由它受到的合外力和它的质量共同决定, 牛顿 第二定律的表达式所表示的是加速度的决定式即 a ?

?F 。 m

上式是矢量式,其中 a, ?v, ? F 都是矢量。加速度的方向就是质点所受合外力的方向, 对匀变速运动,加速度的方向总是跟速度变化量的方向一致。 加速度的大小和方向跟速度的大小和方向没有必然联系。 速度与加速度的关系, 不少同 学有错误认识,复习过程中应予以纠正。 ①、加速度不是速度,也不是速度变化量,而是速度对时间的变化率,所以速度大,速 度变化大,加速度都不一定大。 ②、加速度也不是速度大小的增加。一个质点即使有加速度,其速度大小随时间可能增 大,也可能减小,还可能不变。(两矢量同向,反向、垂直) ③、速度变化有三种基本情况:一是仅大小变化(试举一些例子),二是仅方向变化, 三是大小和方向都变化。21 世纪教育网 注意:五个容易混淆的平均速度和瞬时速度 ①、一个质点沿直线运动(无往返),在前半程位移的速度大小恒为 v1 ,在后位移的 速度大小恒为 v 2 则全程的平均速度 v s 的倒数,等于 v1 、 v 2 倒数和的一半:

vs = 1 ( 1

2 v1

?

1 ) v2

②、一个质点沿直线运动(无往返),在前一半时间的速度大小恒为 v1 ,在后一半时 间的速度大小恒为 v 2 则全程的平均速度 T ,等于 v1 、 v 2 之和的一半:

v

vT = 1 (v1 ? v2 )
2
③、一个质点以初速度 v0,末速度 v t ,做匀变速直线运动,则全程的平均速度的大小 v 等于 v0 与 v t 之和的一半: v =

1 (v 0 ? v t ) 2

④、一个质点以初速度 v0,末速度 v t ,做匀变速直线运动(且无往返),则在位移中
2 v 0 ? vt2 2

点的瞬时速度大小 v s 为: v s ?
2
2

⑤、一个质点以初速度 v0,末速度 v t ,做匀变速直线运动,则在时间中点的瞬时速度

大小 v T 为: v T =
2

2

1 S (v 0 ? v t ) = v = 2 T

不论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动,都有 6.匀变速直线运动

v s > vT
2

(可利用图像法证明)

2

①、 匀变速直线运动的三个基本公式:v ? v0 ? at ; x ? v0t ?

1 2 2 2 at ; vt ? v0 ? 2ax 2

注意:A、各式的物理意义和各量的矢量性;B、上述公式成立的条件:匀变速直线运 动以及计时的起点( t o =0)时,质点经过坐标原点 O(其瞬时速度为 v o ),坐标原点 O 也 作为位移的起点。C、在这套公式的基础上,附加一定条件,能导出许多有用的公式。例如: 初速度为零的匀加速直线运动公式,自由落体运动,竖直上抛运动以及平抛运动、斜抛运 动等有关的公式。 ②、图象 A:速度和位移都 是时间的函数,因此描 述物体运动的规律常用 v ? t 图象、s ? t 图 象, 如图所示。

对于图象要注意理解它的物理意义,既对图象的纵、横轴表示的是什么物理量,图象的 斜率、截距代表什么意义都要搞清楚,形状完全相同的图线,在不同图象(坐标轴的物理量 不同)中意义会完全不同。下表是对形状一样的 v ? t 图、 s ? t 图意义的比较。 B:匀变速直线运动的 a ? t 图象是一平行于时间轴的直线,如左下图所示。

C:匀变速直线运动的 s ? t 图象是一抛物线。对于匀加速直线运动,抛物线“开口”向 上,若是匀减速直线运动抛物线“开口”向下;抛物线的顶点由初速度大小和加速度大小决 定。如右上图所示。 ③、初速度为零的匀加速直线运动的五个基本规律

A:瞬时速率与时间成正比: v1 : v2 : v3 ...... : vn ? t1 : t 2 : t 3 ...... : t n
B:位移大小与时间平方成正比: x1 : x 2 : x3 ...... : x n ? t1 : t 2 : t 3 ...... : t n 21 世
2 2 2 2

纪教育网 C:在连续相等的时间(T)内的平均速率之比为连续奇数之比:

v1 : v2 : v3 ...... vn ? 1 : 3 : 5...... : (2 N ? 1)
D:在连续相等的时间(T)内的位移大小之比为连续奇数之比:

x1 : x2 : x3 ...... xn ? 1 : 3 : 5...... : (2 N ? 1)
E:通过连续相等的位移(X0)所用时间之比:

t1 : t 2 : t 3 ...... : t n ? 1 : ( 2 ? 1) : 3 ? 2....... : n ? n ? 1
特别提醒: 初速度为零的匀加速直线运动的五个基本规律对于其逆运动——末速度为零 的匀减速直线运动(二者加速度大小相等)也适用! ④、任意匀变速直线运动的两个基本规律 A、任意一段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度: v ? v t
2

推广: v ? v t ?
2

1 x (v0 ? vt ) ? 21 世纪教育网 2 t
2

B、在任意连续相等时间(T)内的位移之差等于恒量: ?x ? x N ? x N ?1 ? aT 推广: ?x ? x N ? 6、竖直上抛运动

x

M

? ( N ? M )aT 2

①、定义:将物体以一定的初速度( v 0 )竖直向上抛出后物体只在重力作用下的运动 叫竖直上抛运动。 ②、特点:初速度不为零,且约定初速度方向为正方向;做竖直上抛运动的物体的加速 度( a ): a ? ?g ③、讨论: A、上升到最高点的时间( t 上 ): t 上 ?

v2 v0 B、上升的最大高度( H ): H ? 0 2g g

C、上升阶段与下降阶段做竖直上抛运动的物体通过同一段做竖直距离所用的时间相等 (时间对称性: t 上 ? t 下 ) D、上升阶段与下降阶段做竖直上抛运动的物体经过同一位置的速度大小相等、方向相 反(速度对称性: v上 ? ?v下 ) ④、竖直上抛运动的公式: x ? v0 t ?

1 2 gt ; vt ? v0 ? gt (以竖直向上为正方向) 2

在以上两个公式中, v o , t , g 是算术符号(即它们总是正值),但 x 和 v t 在不同的 时间范围内取不同的符号。 竖直上抛运动的处理最好是全过程看作匀减速直线运动。 分两个 过程会复杂一些!

推广:竖直下抛运动是一种初速度不为零的,加速度为 g 的匀加速直线运动。其公式 为: x ? v0 t ?

1 2 gt ; vt ? v0 ? gt (以竖直向下为正方向) 2

7、刚体的平动和绕固定轴的转动 ①、刚体:在外力作用下不改变形状和大小的物体叫做刚体。 虽然理想的刚体是不存在, 但许多固体在外力作用下不改变形状和大小是小到可以忽略 的,因而可以认为是刚体。因为刚体的形状和大小不因外力的作用而改变,也就是说组成刚 体的各个质点的距离总保持不变。 根据这一性质可以证明, 在刚体中只要不在同一直线上的 三个点的位置固定,整个刚体的位置就固定了。所以确定刚体的位置,只要知道不在同一直 线上的三个点的位置就行了。 ②、刚体的平动 平动是刚体最简单的运动。刚体运动时,若构成刚体的所有质点均做同一的运动,即任一 时刻各点均具有相同的速度及加速度矢量,则这种运动叫 做刚体的平动。刚体做平动时,位于 刚体中的任何直线都平行于自身而运动,也就是说刚体上任意两点的连线的方向在刚体运动 过程中保持不变,这是判断一个刚体(或物体)是否做平动的依据,因为运动中各点的速度及 加速度在任意时刻均相同,所以刚体的平动,可用其上任一点的运动代表之,因此在平动情况 下,刚体可简化为一个质点。中学阶段研究物体的运动大多数属于这一情况。 ③、刚体绕固定轴的转动 刚体另一种简单的运动就是绕固定轴的转动,刚体运动时,若刚体上各个点在运动中 都绕同一直线做圆周运动,则这种运动就叫做转动。这一直线叫做刚体的转动轴,若转轴是 不动的,就称为定轴转动。 刚体绕定轴转动时,各点均在垂直于转轴的平面内做圆周运动。例如:各种机床上齿 轮或皮带轮的运动, 钟摆的运动等等都是绕固定轴的转动。 具体的运动规律我们在曲线运动 专题中再做论述。

提高题 1.汽车甲沿着平直的公路以速度 v0 做匀速直线运动.当它路过某处的同时,该处有一 辆汽车乙开始做初速度为零的匀加速运动去追赶甲车.根据上述的已知条件: 21 世纪教育 网 A.可求出乙车追上甲车时乙车的速度 B.可求出乙车追上甲车时乙车所走的路程 C.可求出乙车从开始起动到追上甲车时所用的时间 D.不能求出上述三者中任何一个 2.火车以 54 km/ h 的速度沿平直轨道运行,进站刹车时的加速度是 ? 0.3m / s ,在车
2

站停 1 min ,启动后的加速度是 0.5m / s 。求火车由于暂停而延误的时间。 21 世纪教育网

2

3.客车以速率 v1 前进,司机发现同一轨道正前方有一列货车以速率 v 2 同向行驶,

v 2 < v1 ,货车车尾距客车距离为 s 0 ,司机立即刹车,使客车以加速度大小为 a 作匀减速运
动,而货车仍保持原速度前进,问: ①、客车加速度至少多大才能避免相撞? ②、若 s 0 =200m, v1 =30m/x, v 2 =10m/x,客车加速度大小 a =1 m/x2,两车是否相撞? ③、若 s 0 =200m, v1 =30m/x, v 2 =10m/x,客车加速度大小 a =0.2m/x2,要求两车不相 撞,则 v 2 应为多大?

4.一个人坐在车内观察雨点的运动,假设雨点相对地面以速率 v 竖直匀速下落,试写 出下列情况下雨点的随时间变化而运动的运动方程和轨迹方程: ①、车静止不动;②、车沿水平方向速率 u 匀速运动;③、车沿水平方向作初速度为零 的匀加速直线运动,加速度大小为 a ;④、车以线速度大小 v 做匀速圆周运动

5.一只兔子向着相距为 X 的大白菜走去。若它每秒所走的距离,总是从嘴到白菜剩余 距离的一半。试分析兔子是否可以吃到大白菜?兔子平均速度的极限值是多少?

6.如图所示,一个质点沿不同的路径从 A 到达 B:沿弦 AB,沿圆弧 ACB,沿圆弧 ADB,且经历的时间相等,则三种情 况下: A、平均速度相同 B、平均速率不等 C、沿弦 AB 运动平均速率最小 D、平均加速度相同

7.一辆汽车从静止开始作匀加速直线运动,在第 9 秒内的位移为 8.5 米,求第 9 秒初 和第 9 秒末的速度多大?

8.一个小球从 45 米高处自由下落,经过一烟囱历时 1 秒,求烟囱的高度?(忽略空气 阻力)

9.一个小球从屋顶自由下落,在 t ? 0.25s 内通过高度为 2m 的窗口,求 窗台到屋顶的 高度?(忽略空气阻力)

10.小球 1 从高 h 处自由落下,同时从其正下方的地面上,以速度 v0 竖直上抛小球 2。试就 (1)小球 2 在上升过程中;(2)小球 2 在下落过程中与小球 1 在空中相遇,分别讨论 v0 的取值范围。

三、处理直线运动的科学思维方法
一、图像法
分析和解答物理问题,除了物理公式和数学方法外,还可以利用物理图像(函数图、矢 量图、几何图、光路图等) 这里先介绍如何利用 v ? t 图象、 s ? t 图象解答直线运动的各种问题步骤如下: 1、根据物理规律中各个物理量的函数关系,在直角坐标系上定性地或者定量地画出相 应地函数图像。 2、根据图像的斜率、截距、与坐标轴所包围的面积,以及图像交点的坐标等的物理意 义,进行分析、推理和计算。 例 1: 一火车沿直线轨道从静止发出由 A 地驶向 B 地, 并停止在 B 地。 两地相距 x, AB 火车做加速运动时,其加速度最大为 a1,做减速运动时,其加速度的绝对值最大为 a2,由 此可可以判断出该火车由 A 到 B 所需的最短时间为 。(奥赛题目) 解析:整个过程中火车先做匀加速运动,后做匀减速运动,加速度最大时,所用时间最 短,分段运动可用图像法来解。 根据题意作 v—t 图,如图所示。由图可得 a1 ?

v t1

a2 ? s?
解得 t ?

v t2

1 1 v(t1 ? t 2 ) ? vt 2 2

2 s ( a1 ? a 2 ) a1 a 2

例 2:两辆完全相同的汽车,沿水平直路一前一后匀速行驶,速度为 v0,若前车突然以 恒定的加速度刹车,在它刚停住时,后车以前车刹车时的加速度开始刹车。已知前车在刹车 过程中所行的距离为 x,若要保证两辆车在上述情况中不相碰,则两车在做匀速行驶时保持 的距离至少为: A.x B.2x C.3x D.4x

解析:物体做直线运动时,其位移可用 v ? t 图像中 的面积来表示,故可用图像法做。 作两物体运动的 v—t 图像如图所示,前车发生的位 移 x 为三角形 v0Ot 的面积,由于前后两车的刹车加速度 相同,根据对称性,后车发生的位移为梯形的面积 X′ =3X,两车的位移之差应为不相碰时,两车匀速行驶时 保持的最小车距 2x.

所以应选 B。

例 3:一只老鼠从老鼠洞沿直线爬出,已知爬出速度 v 的大小与距老鼠洞中心的距离 x 成反比,当老鼠到达距老鼠洞中心距离 x1=1m 的 A 点时,速度大小为 v1=20cm/x,问当老鼠 到达距老鼠洞中心 x2=2m 的 B 点时, 其速度大小 v2 为多少?老鼠从 A 点到达 B 点所用的时 间 t 为多少? 解析:因为老鼠从老鼠洞沿直线爬出,已知爬出的速度与 通过的距离成反比,则不能通过匀速运动、匀变速运动公式

1 ? s 图像中, v 1 所围面积即为所求的时间。以距离 x 为横轴, 为纵 轴建立 v 1 1 直角坐标系,则 x 与 成正比,作 —x 图像如图所示,由 v v
直接求解,但可以通过图像法求解,因为在 图可得 x=2m 时,老鼠的速度为 10cm/x。在 1m 到 2m 之间 图像与横轴包围的面积即为所求的时间,所以老鼠从 A 到 B 爬行的时间为

t ?(

1 1 1 ? ) ? s ? 7.5s. 0.2 0.1 2 二、微元法

微元法是分析、解决物理问题中的常用方法,也是从部分到整体的思维方法。用该方 法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决,使所求的问题简单 化。在使用微元法处理问题时,需将其分解为众多微小的“元过程”,而且每个“元过程” 所遵循的规律是相同的,这样,我们只需分析这些“元过程”,然后再将“元过程”进行必 要的数学方法或物理思想处理, 进而使问题求解。 使用此方法会加强我们对已知规律的再思 考,从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。 例 1:如图所示,一个身高 为 h 的人在灯以速度 v 沿水平 直线行走。设灯距地面高为 H,求证人影的顶端 C 点是做匀 速直线运动。 解析:该题不能用速度分解求解,考虑采用“微元法”。 设某一时间人经过 AB 处,再经过一微小过程 △t(△t→0),则人由 AB 到达 A′B′,人影顶端 C 点到达 C′点,由于△XAA′=v△t 则人影顶端的

H ?S AA? ?S CC ? Hv H ?h 移动速度 vC ? lim ? lim ? ?t ?0 ?t ?0 ?t ?t H ?h
可见 vc 与所取时间△t 的长短无关,所以人影的顶端 C 点做匀速直线运动。 (本题也可 用相似三角形的知识解)。 三、等效法 在一些物理问题中,一个过程的发展、一个状态的确定,往往是由多个因素决定的,

在这一决定中, 若某些因素所起的作用和另一些因素所起的作用相同, 则前一些因素与后一 些因素是等效的, 它们便可以互相代替, 而对过程的发展或状态的确定, 最后结果并不影响, 这种以等效为前提而使某些因素互相代替来研究问题的方法就是等效法。 等效思维的实质是在效果相同的情况下,将较为复杂的实际问题变换为简单的熟悉问 题,以便突出主要因素,抓住它的本质,找出其中规律.因此应用等效法时往往是用较简单 的因素代替较复杂的因素,以使问题得到简化而便于求解。 例 1:质点由 A 向 B 做直线运动,A、B 间的距离为 L,已知质点在 A 点的速度为 v0, 加速度为 a,如果将 L 分成相等的 n 段,质点每通过 L/n 的距离加速度均增加 a/n,求质点 到达 B 时的速度。 解析 从 A 到 B 的整个运动过程中,由于加速度均匀增加,故此运动是非匀变速直线 运动,而非匀变速直线运动,不能用匀变速直线运动公式求解,但若能将此运动用匀变速直 线运动等效代替,则此运动就可以求解. 因加速度随通过的距离均匀增加,则此运动中的平均加速度为

a平 ?

a 初 ? a末 2

?

a?a?

(n ? 1)a 3an ? a (3n ? 1)a n ? ? 2 2n 2n
2 2

由匀变速运动的导出公式得 2a平 L ? v B ? v0

解得

2 v B ? v0 ?

(3n ? 1)aL n

四、递推法 递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况. 即当问题中涉及相互联系的物体较 多并且有规律时,应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类,然后求出通式。具体 方法是先分析某一次作用的情况,得出结论。再根据多次作用的重复性和它们的共同点,把 结论推广, 然后结合数学知识求解。 用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关 系式。 例 1:小球从高 h0 = 180m 处自由下落,着地后跳起又下落,每与地面相碰一次,速度 1 减小 (n = 2),求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路程。(g 取 10m/s2) n 解析:小球从 h0 高处落地时,速率 v0 = 2gh 0 = 60m/s 第一次跳起时和又落地时的速率 v1 = 第二次跳起时和又落地时的速率 v2 = ?? 第 m 次跳起时和又落地时的速率 vm = 每次跳起的高度依次为 h1 =
v0 2m v0 2 v0 22

v2 h v12 h 0 = 2 ,h2 = 2 = 0 ,??, 2g n 4 2g n

通过的总路程 Σs = h0 + 2h1 + 2h2 + ? + 2hm + ? 2h 1 1 1 = h0 + 20 (1 + 2 + 4 + ? + 2m?2 + ?) n n n n = h0 +
2h 0 n2 ?1 5 = h0 ? 2 = h0 = 300m n2 ?1 n ?1 3

经过的总时间为 Σt = t0 + t1 + t2 + ? + tm + ? = = =
v 0 2v1 2v + + ? + m+ ? g g g v0 1 1 [1 + 2 ? + ? + 2 ? ( )m + ?] g n n v 0 n ? 1 3v0 ? = =18s g n ?1 g

例 2:A 、B 、C 三只猎犬站立的位置构成一个边长为 a 的正三角形,每只猎犬追捕 猎物的速度均为 v ,A 犬想追捕 B 犬,B 犬想追捕 C 犬,C 犬想追捕 A 犬,为追捕到猎物, 猎犬不断调整方向, 速度方向始终 “盯” 住对方, 它们同时起动, 经多长时间可捕捉到猎物? 解析:由题意可知,由题意可知,三只猎犬都做等速率曲 线运动,而且任一时刻三只猎犬的位置都分别在一个正三角形 的三个顶点上, 但这正三角形的边长不断减小, 如图 6—1 所示。 所以要想求出捕捉的时间,则需用微元法将等速率曲线运动变 成等速率直线运动,再用递推法求解。 设经时间 t 可捕捉猎物, 再把 t 分为 n 个微小时间间隔 Δt , 在每一个 Δt 内每只猎犬的运动可视为直线运动,每隔 Δt ,正 三角形的边长分别为 a1 、a2 、a3 、? 、an ,显然当 an→0 时三只猎犬相遇。 3 a1 = a-AA1-BB1cos60°= a- vΔt 2
3 3 a2 = a1- vΔt = a-2× vΔt21 世纪教育网 2 2 3 3 a3 = a2- vΔt = a-3× vΔt 2 2

?? an = a-n ? 因为 a-n ? 所以:t =
3 vΔt 2 3 vΔt = 0 ,即 nΔt = t 2

2a 3v

(此题还可用对称法,在非惯性参考系中求解。) 五、极限法 极限法是把某个物理量推向极端, 即极大和极小或极左和极右, 并依此做出科学的推理 分析, 从而给出判断或导出一般结论。 极限法在进行某些物理过程的分析时, 具有独特作用, 恰当应用极限法能提高解题效率,使问题化难为易,化繁为简,思路灵活,判断准确。因此 要求解题者,不仅具有严谨的逻辑推理能力,而且具有丰富的想象能力,从而得到事半功倍 的效果。看如下一例:[来源:21 世纪教育网] 解析:当斜面光滑时, ? =0,物体上滑与下滑加速度大小相等,故仅 B 正确。

再看如下一例:

解析:当 k =1 时,空气阻力为零,则空气阻力与重力之比当然为为零,故仅 C 正确。 六、对称法 由于物质世界存在某些对称性, 使得物理学理论也具有相应的对称性, 从而使对称现象 普遍存在于各种物理现象和物理规律中。 应用这种对称性它不仅能帮助我们认识和探索物质 世界的某些基本规律, 而且也能帮助我们去求解某些具体的物理问题, 这种思维方法在物理 学中称为对称法。利用对称法分析解决物理问题,可以避免复杂的数学演算和推导,直接抓 住问题的实质,出奇制胜,快速简便地求解问题。 例:如图所示,竖直上抛一个小球,小球两次经过高度为 h 处经历的时间为 ?t ,球小 球抛出的初速度大小和在空中运动的总时间?(忽略空气阻力) 解析:根据竖直上抛运动的对称性特点,设上升最大高度为 H,则:

H ? h?

1 ?t 2 1 2 g ( ) ? gtm 2 2 2

2h ?t 2 ? 故小球在空中运动的时间为:T= 2t m ? 2 g 4
小球上抛的初速度大小,就等于下落的末速度大小:

v0 ? gtm ? g

2 h ?t 2 ? g 4

七、自由弦运动 的等时性及应用 如左下两图所示,直径为 d 的竖直圆环,可以证明:物体从静止开始,无摩擦地由圆环 最高点沿不同的弦运动到圆周上或者从圆周上沿不同的弦运动到圆环最低点, 所需的时间都 相等,且等于沿竖直直径自由落体的时间,即: t ?

2d 。 g

(请同学们结合牛顿第二定律与运动学公式证明之)

在利用“自由弦运动的等时性”分析和解答极值问题时,关键准确地画出竖直圆,竖直 圆的位置有两个特点: ①、一定通过运动的起点和终点。②、一定与不定点的连线(直线或曲线)相切:当起 点一定时与不同终点的连线相切;当终点一定时与不同起点的连线相切。 例 1:一个物体沿有共同底边(其长度为 L),的不同斜面,从顶部由静止开始无摩擦 滑下,证明:沿 450 倾角的斜面滑下,所需时间最短,为: t min ? 2

L g

解析:画出竖直圆,如右上图所示,利用“自由弦运动的等时性”分析既得出结论。 例 2: (1990 年第二届全国中学生力学竞赛试题)一个质点自倾角为 ? 的斜面上方定点 A,沿光滑斜槽从静止开始滑下,为了使质点在最短时间到达斜面,求斜槽与竖直方向的夹 角 ? 应等于多少? 解析: 为了画一竖直圆通过起点 A,并与不同终点的连线相切;可以 先通过起点 A 作一水平线与斜边延 长线交于 o ,然后作 ?Ao C 的角平
' '

分线交过 A 点的竖直于 O;以 O 为 圆心, OA 为半径画圆, 以 如图所示。 可以看出从 A 运动到在圆周上的的切点 B2 ,所需时间最短;又因为 ? 为等腰三角形 OAB2 顶角的外角,应等于不相邻的两内角之和,即: ? =2 ? 。

初赛强化题: 1.A、B 两汽车站相距 60 千米,从 A 站每间隔 10 分钟有一辆汽车匀速开向 B 站,车 速大小为 60 千米每小时。若在 A 站正有汽车开出时,在 B 站有一辆汽车以同样大小的速度 开向 A 站,问: ①、为了在途中遇到从 A 站开出的车最多,B 站的车至少应在 A 站第一辆车开出后多 久出发? ②、在途中,从 B 站开出的车最多能遇到几辆从 A 站开出的车?

2.如图 13—2 所示,一个直径为 D 的圆柱体,其侧面刻有螺距 为 h 的光滑的螺旋形凹槽,槽内有一小球,为使小球能自由下落, 必须要以多大的加速度来拉缠在圆柱体侧面的绳子?

3.如图所示,所有质点同时从 O 点沿不同倾角的光滑斜面无初 速滑下。若将各质点在斜面上运动时间相同的点连成一线,则连线的 性质为: A、圆弧 B、抛物线 C、水平线 D、斜线

(若将各质点在斜面上运动速率相等的点连成一线,又选哪一答案?)

4.火车以速率 V1 向前行驶。司机忽然发现,在前方同一轨道上距车为 X 处有另一辆 火车,它正沿相同的方向以较小的速率 V2 作匀速运动。于是他立即使车作匀减速运动,加 速度的大小为 a。要使两车不致相撞,则 a 应满足关系式 。(第一届全国 中学生物理竞赛预赛试题) 5.一木板坚直地立在车上,车在雨中匀速进行一段给定的路程。木板板面与车前进方 向垂直,其厚度可忽略。设空间单位体积中的雨点数目处处相等,雨点匀速坚直下落。下列 诸因素中与落在木板面上雨点的数量有关的因素是:(第十二届全国中学生物理竞赛预赛 试题) A、雨点下落的速度 B、单位体积中的雨点数 C、车行进的速度 D、木板的面积

直线运动部分答案
基础习题回顾:1.A 2.D
提高题 1.A

3.4;0.45;1

2. 100s

3.①、

(v1 ? v 2 ) ;②、略;③、 v 2 > (30 ? 4 5 ) m/x 2s0
2 2

4.①、 y ? vt

②、 x ? ut ; y ? vt ;

x u ? y v
2 2

1 y2 1 2 ③、 x ? at ; y ? vt ; x ? a 2 2 v 2
5.不能;0

④、 y ? vt ; x ? y ? R
2

分析:兔子每秒走的距离分别为

S S S S 、 2 、 3 .......... n ,是以等比级数衰减,所以只有 2 2 2 2

时间趋于无限大 时,其总和才等于 X,即兔子不能吃到大白菜。 兔子做减速直线运动,每秒的平均速度越来越小,平均速度的极限值为零。 6.A、B、C、 7.8 m/s ;9 m/s

8.25 米

9.4.28m

10.分析与解答:两球在空中相遇,它们位移的算数和等于 h,即

得t ?

h v0

(1)

表明无论小球 2 是上升过程还是返回过程与小球 1 在空中相遇, 所用时间 t 的表达式均为 (1) 式。当然 t 的大小取决于 v0 的取值。

小球 2 上升到最高点所用时间 t 上及到返回抛出点全程所用时间 T(=2t 上)分别为



(1)小球 2 上升过程中与小球 1 相遇,有 t≤t 上,

h v0 ? g v0



(2)小球 2 返回过程中与小球上在空中相遇,有 t 上<t<T



初赛强化题
1.①、在 A 站第一辆车开出后 50 分钟出发 ②、11

21 世纪教育网

2.解析:将圆柱体的侧面等距螺旋形凹槽展开成为平面上的斜槽,如图 13—2—甲所示,当 圆柱体转一周,相当于沿斜槽下降一个螺距 h,当圆柱转 n 周时,外侧面上一共移动的水平 距离为 2?

D 1 n ? at 2 ① 2 2
1 2 gt ② 2

圆弧槽内小球下降的高度为 nh ?

解①、②两式,可得,为使螺旋形槽内小 球能自由下落,圆柱体侧面绳子拉动的加速度 应为 a ?

?Dg
h

3. A(若将各质点在斜面上运动速率相等的 点连成一线,选 C)

(v1 ? v 2 ) 2 4. a ? s
5. B、D

二部分:静力学
一、复习基础知识点 一、 考点内容 1.力是物体间的相互作用,是物体发生形变和物体运动状态变化的原因。 2.重力是物体在地球表面附近所受到的地球对它的引力,重心。 3.形变与弹力,胡克定律。 4.静摩擦,最大静摩擦力。 5.滑动摩擦,滑动摩擦定律。 6.力是矢量,力的合成与分解。 7.平衡,共点力作用下物体的平衡。 二、 知识结构

?力的定义 — —物体间的相互作用 ? ? ? ? ? 施力物体? ? ? ?物质性 ? 物体间作用 ? ? ? 受力物体 ? ? ? ? ? ? ?力的属性? ? ? ? ? ? 施力物体同时定是受力物体 ? ? ? 相互性 ? ? ? ? ? 受力物体同时定是施力物体 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 接触的力:弹力、摩擦力 ? 产生条件、大小、方向? ? ? ? ? ?性质 ? ? ? ? ? ? 不接触的力:重力、分子力、电场力、磁场力 ? ? ? ? ? ?力的种类? ? 动力、阻力:向心力、回复力、浮力、压力、支持力等?? ? ?? ? ? 效果 ? ? 平衡力 ? 效果相同 ?? ? ? ? ?? ? ? 力? ? 作用力与反作用力 ? 效果各异 ?? ? ? ? ?改变物体运动状态(使物体产生加速度) ?力的效果? ? ? ? ?使物体产生形变 ? ? ?力的合成 ? 图解法(几何法)、公式法 ? ? ?力的等效性?力的分解 ? 图解法(几何法) 实效原则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1、重力 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 顺序 ? ?2、弹力 ? ?? ? ? ? ?原则? ?3、摩擦力....... ? ? ?? ?受力分析? ? ? ? ? ? ? 产生条件 ? ? ? ? ? ? ?方法:整体法和隔离法的灵活使用 ? ? ? ? ?
三、 复习思路 在复习力的概念时,同学们应注重回顾学过的各种具体的力,包括电磁学中的各种力,也 可以联系牛顿第三定律展开研究力的相互性。对于重力,在复习时可以联系万有引力定律,分 清为什么“重力是由于地球的吸引而产生的力”。且通过分析物体随地球自转需向心力,最 终认识重力与万有引力之间的差异很小,一般可认为 mg

?

GMm R地
2

。 摩擦力是本单元的重点,

也是难点,要结合具体的例子,对摩擦力的大小和方向,摩擦力的有无的讨论以及物体在水 平面、斜面上、竖直墙上等的滑动摩擦力与弹力的关系等,要分门别类地进行讨论、研究。 四、 基础知识 (一)力的处理 1、矢量的运算 (1)加法 表达: a + b = c 。名词: c 为“和矢量”。 法则:平行四边形法则。如图 1 所示。 和矢量大小:c =

?

?

?

?

? ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos ? ,其中 α 为 a 和 b 的夹角。

和矢量方向: c 在 a 、 b 之间,和 a 夹角 sinβ=

?

?

?

?

b sin ? a ? b 2 ? 2ab cos?
2

(2)减法:表达: a = c - b 。 名词: c 为“被减数矢量”, b 为“减数矢量”, a 为“差矢量”。 法则:三角形法则。如图 2 所示。将被减数矢量和减数矢量 的起始端平移到一点,然后连接两时量末端,指向被减数时量的 时量,即是差矢量。 差矢量大小:a =

?

?

?

?

?

?

? ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos ? ,其中 θ 为 c 和 b 的夹角。

差矢量的方向可以用正弦定理求得。 一条直线上的矢量运算是平行四边形和三角形法则的特例。 (二)、共点力的合成 1、平行四边形法则与矢量表达式 2、一般平行四边形的合力与分力的求法: 余弦定理(或分割成 RtΔ)解合力的大小;正弦定理解方向 (三)、力的分解 1、按效果分解 二、物体的平衡 (一)共点力平衡 1、特征:质心无加速度。 2、条件:Σ F = 0 ,或 ?Fx = 0 , ?Fy = 0 例题:如图 5 所示,长为 L 、粗细不均匀的横杆被两根轻绳水平悬挂,绳子与水平方向 的夹角在图上已标示,求横杆的重心位置。 解说:直接用三力共点的知识解题,几何关系比较简单。 答案:距棒的左端 L/4 处。 (学生活动)思考:放在斜面上的均质长方体,按实际情况分析受力, 斜面的支持力会通过长方体的重心吗? 解:将各处的支持力归纳成一个 N ,则长方体受三个力(G 、f 、N) 必共点,由此推知,N 不可能通过长方体的重心。正确受力情形如图 6 所示(通常的受力图是将受力物体看成一个点,这时,N 就过重心了)。 答:不会。 (二)转动平衡 1、特征:物体无转动加速度。 2、条件:Σ M = 0 ,或 ΣM+ =ΣM2、按需要——正交分解

?

?

如果物体静止,肯定会同时满足两 种平衡,因此用两种思路均可解题。

3、非共点力的合成 大小和方向:遵从一条直线矢量合成法则。 作用点:先假定一个等效作用点,然后让所有的平行力对这个作用点的和力矩为零。 五、 基础习题回顾 1.(2003 年高考理综(新课程卷))如右上图所示,一个半球形的碗放在桌面上,碗口水 平,O 点为其球心,碗的内表面及碗口是光滑的。一根细线跨在碗口上,线的两端分别系有质 量为 m1 和 m 2 的小球,当它们处于平衡状态时,质量为 m1 的小球与 O 点的连线与水平线的 夹角为 a =60 。两小球的质量之比 A、
0

m2 为: m1
D、

3 3

B、

2 3

C、

3 2

2 2

2. (2005 年广州二摸大综合)一块砖放在水平地面的木板上,现缓 慢抬起木板的一端,使木板绕另一端缓缓转动,在砖与木板间发生相 对滑动前,关于砖受到的摩擦力 F,以下叙述中正确的是: A.F 随木板倾角的增大而减小 B.F 随木板倾角的增大而增大 C.F 的大小不随木板倾角的增大而改变 D.无法判断 F 大小的变化 3.如图 所示,质量为 m 的物体用一通过定滑轮的轻绳栓住,在大小为 F 的拉力作用下匀 速运动,物体与竖直墙接触且轻绳平行于墙壁,则物体与墙壁之间的摩擦力为: .. A、大小为 mg ,方向向上 B、大小为 F- mg ,方向向上 C、大小为∣F- mg ∣,方向向上 D、零 4.如图,将质量为 m 的物体置于固定的光滑斜面上,斜面倾角为 ? , 水平力 F 作用在 m 上,物体 m 处于静止状态,关于 m 对斜面的压力 大小表示有以下四式: mg / cos? ; F / si ① ② n ③ ? ; ( mg ) 2 ? F 2 ;

④ mg cos? ? F sin? 。则以下判断正确的是: A、只有④正确 B、只有③和④正确 C、只有①与②正确 D、①②③④正确 5.在研究弹簧的形变与外力的关系的实验中,将弹簧水平放置 测出其自然长度,然后竖直悬挂让其自然下垂,在其下 端竖直向下 施加外力 F, 实验过程是在弹簧的弹性限度内进行的。 用记录的外力 F 与弹簧的形变量 x 作出的 F—x 图线如图所示,由图可知弹簧的劲 度系数为 。图线不过坐标原点的原因是由 于 。 6.机械设计中常用到下面的力学原理,如右图,只要使连杆 AB 与滑块 m 在平面间的夹角 ? 大于某个值,那么,无论连杆 AB 对滑块施加多大的作用力,都不可能使之滑动,并且连杆 AB 对滑 块施加的作用力越大,滑块就越稳定,工程力学上称这为“自锁” 现象。为使滑块能“自锁” ? 应满足什么条件?(设滑块与所在平 面间的动摩擦因数为 ? ) 7.(2004 年全国春招)图中 a、b 是两个位于固定斜面上的正方形物块,它们的质量 相等。F 是沿水平方向作用于 a 上的外力。已知 a、b 的接触面,a、b 与斜面的接触面都是 光滑的。正确的说法是:

A.a、b 一定沿斜面向上运动 B.a 对 b 的作用力沿水平方向 C.a、b 对斜面的正压力相等 D. a 受到的合力沿水平方向的分力等于 b 受到的合力沿水平方向的分力 8.如图所示,某人在岸边用绳牵引小船匀速靠岸的过程,若水对船的阻力不变,则下 列说法正确的是: A、绳子拉力不断减小 B、绳子拉力始终不变 C、船受到的浮力不断减小 D、船受到的合力不断减小 9.如下图所示,OC 为一遵循胡克定律的轻绳,其一端固定于天花板 上的 O 点,另一端与静止在动摩擦因数恒定的水平地面上的滑块 A 相连,当绳处于竖直位置时 滑块 A 对地面有压力作用,B 为紧挨绳的一光滑水平小钉,它到 天花板的距离 BO 等于弹性绳的自然长度,现用一水平力 F 作用 于 A,使之向右做直线运动,在运动过程中,作用于滑块 A 的滑 动摩擦力(绳一直处于弹性限度以内)将: A、逐渐增大 B、逐渐减小 C、保持不变 D、条件不足,无法判断 10.如图所示,一质量为 M 的楔形木块放在水平桌面上,它的顶角为 90°,两底角为α 和β ;a、b 为两个位于斜面上质量均为 m 的小木块。已知所有接触面都是光滑的。现发现 a、b 沿斜面下滑,而楔形木块静止不动,这时楔形木块对水平桌面的压力等于:
a

A.Mg+mg

B.Mg+2mg
M

b

C.Mg+mg(xinα +xinβ )

D.Mg+mg(coxα +coxβ )

α

β

11.跳伞运动员打开伞后 经过一段时间,将在空中保持匀速降落,已知 运动员和他身上装备的总重量为 G1,圆顶形降落伞伞面的重量为 G2,有 12 条相同的拉线(拉线重量不计),均匀分布在伞面边缘上,每根拉线和竖 直方向都成 30°角。则每根拉线上的张力大小为:

A、

3G1 18

B、

3 (G1 ? G2 ) 18

C、

G1 ? G2 12

D、

G1 6

12.设在某次人工降雨中,有一质量恒为 m 的雨滴从高空由静止开始竖直下落,雨滴下 落过程中受到的空气阻力大小与下落速度大小成正比,即 F=kv,其中是为比例系数,则雨 滴在刚开始下落的一小段时间内做加速度______、速度_______的直线运动(以上两空选填 “增大”、“减小”或“不变”)。雨滴最终做匀速直线运动的速度表达式为 v m =

二、从高考到初赛知识要点分析 一、力的效应

1.内、外效应: 力的作用效果有两种:一是受力物发生形变;二是使受力物的运动状态发生变化。前者 表现为受力物各部分的相对位置发生变化, 故称为力的内效应; 后者表现为受力物的运动方 向或快慢发生变化,故称为力的外效应。21 世纪教育网 众所周知,当物体同时受到两个或多个力作用时,它的运动状态也可能保持不变,这说 明力对同一物体的外效应可能相互抵消。 2.合力与分力 合力与它的那组分力之间,在力学效果上 必须具有“等效代换”的关系。 二、力的作用方式 力是物体间的一种相互作用,又是一并具有大小、方向和作用点的一种矢量。根据研 究和解决实际问题的需要,可以从不同的角度对力进行区分。 1.体力、面力和点力 按照力的作用点在受力物上的分布情况,可将力可将力分为体力、面力和点力三种。 外力的作用点连续分布在物体表面和内部的一定(或全部)区域,这种力就是体力。 重力就是一种广泛存在的体力。 作用点连续分布在物体某一面(或全部表面)上,这种力就是面力。压力和摩擦力就 是一种广泛存在的面力。 当面力和体力作用的区域远比受力物小,或可以不考虑作用点的分布情况时,就可以把 相应的体力或面力当成是集中在物体的某一点上作用的,这种情况下的体力和面力就叫做点 力。例如,在通常情况下,我们就是把重力、摩擦力和压力当成点力看待。具体而言,常用物体 各部分所受重力的合力来代替该物体受到的总重力; 用摩擦面上各部分所受摩擦力之合力来 代替这个面上的总摩擦力;对压力也是按照这种方式处理的。当不涉及转动的时候,我们甚 至把面力的合力作用点标出在物体的重心上, 这就使问题的解决更加便当。 但若涉及到物体 的转动,就绝对不能把体力和面力(如磁力)的作用点随便地集中到物体的重心上。点力只 是在一定条件下对体力和面力的一种适当的简化而已,对此切勿掉以轻心。 2.内力和外力 按照施力物与被研究物体的所属关系,又常将力分为内力和外力两大类 若被研究对象是某一物体,则该物体内部各部分间的作用力叫内力;若被研究对象是 两个或多个物体组成的系统,则系统内部各物体间的作用力都叫该系统的内力。 外力则是被研究对象以外的其他物体对则该物体(或系统)的作用力。在中学,若无 特别说明,一般所谈的受力,都指的是外力。 物体内部和相邻部分的拉力或压力都是内力。其中的前者就叫张力。理想的柔绳内部 只能有张力, 而不可能有相互挤压力。 其张力总是与绳的轴线相切 (如绕在轮上被拉紧的绳) 。 所以柔绳只能对外产生拉力和侧压力,不能产生轴向压力。杆件既能对物体产生拉力,也能 对物体产生压力,还能对物体产生侧压力。在中学,未做特别说明,通常把绳和线当成理想 的柔绳和柔线,一般还忽略了绳和线的质量,以及它们的伸长形变。 三、静力学公理 1.二力平衡公理 两个力平衡的充分必要条件是:共物,等大,反向,同直线,缺一不可。 2.力的平行四边形定则 作用于物体同一点上的二力可以合成一个力—即上述二力的合力, 合力的作用点仍在该 点,合力的大小和方向由这两个力为邻边组成的平行四边形的对角线确定。 平行四边形定则和三角形法是等效的。若分力不只两个,三角形法就变成多边形法。 3.牛顿第三定律

两物体间的相互作用力,总是大小相等,方向相反,并且在同一条直线上。 四、力学中常见的几个力 1.重力 重力是万有引力的一种体现。 关于重力与万有引力的具体大小、 方向关系我们将在万有 引力那一部分再详述。 2.弹力、胡克定律 ①、弹力 物体在外力作用下发生形变时所产生的反抗形变的力叫弹力。 ②、胡克定律 在弹性限度内,弹簧的弹力( f T )与弹簧的伸长(或压缩)成正比,并且总是指向恢复 原长的方向。表达式为: f T ? kx ;式中, x 为弹簧的形变量,等于当时的长度与形变前的 长度(又称自由长度)之差。 3.摩擦的规律: 第一:静摩擦力不能超过某一个最大值 f 0 m ,这个最大静摩擦力与接触面间的压力成正 比,与接触面积无关。即: f 0 m ? ? 0 N 。 ? 0 为接触面间的静摩擦因数,只由两接触面间的 情况共同决定。在将要滑动之前的静摩擦力都与压力(本部分中压力用符号 N 表示,也常 用符号 FN 表示)无关,而且 f 0 ? f 0 m ! 第二:滑动摩擦力与接触面积无关,与当时接触面间的挤压力成正比。即: f ? ?N ,

? 为接触面间的动摩擦因数。
第三:物体间的摩擦力,总是阻碍相对运动或相对运动趋势。 五、共点力作用下的 物体的平衡条件 1.共点力作用下的物体的平衡条件:共点力的合力为零。 2.推论:三个斜交的平衡力一定是共点力。 六、力矩 力矩是表示力对物体产生转动作用的物理量,它等于力和力臂的乘积。表达式为: M=FL,其中力臂 L 是转动轴到 F 的力线的(垂直)距离。 注意:作用于同一物体的同一力,由于所取转轴的位置不同, 该力对轴的力矩大小可能发生相应的变化,对物体产生转动作用 的方向(简称“转向”)也可能不同。例如如右图中的力 F,若以

o1 为轴(即对 o1 取矩)其力矩为 M1=FL1,使物体逆时针转,若
以 o 2 为轴(即对 o 2 取矩)其力矩为 M2=FL2,使物体顺时针转, 由图可知 L1< L2,故 M1< M2,且二者反向。由此可见,一谈力矩,必须首先明确是以何处 为轴,或对谁取矩。 七、物体的平衡条件 1.有固定转动轴物体的平衡 平衡条件是:作用于物体上的全部外力对固定转动轴所取力矩的代数和为零。

沿着转轴观察,力矩的转动效应不是使物体沿顺时针转,就是逆时针转,若使物体沿 顺时针转的力矩为正,则使物体沿逆时针转的力矩就为负。 当作用在有固定转动轴物体上的顺时针方向力矩之和与逆时针方向力矩之和相等时, 物 体将处于静止或匀速转动状态。有固定转动轴物体的平衡的表达式为:

? M ? O或 ? M ? ? ? M ?
2.一般物体的平衡条件 此处所谈的“一般物体”是指没有固定转动轴物体。 对一个“一般物体”来说,作用在它上面的力的合力为零,对任意一点的力矩之和为零 时,物体才能处于平衡状态。也就是说必须一并具有或满足下面两个关系式:

?? M ? 0(对任意一点) ? ? ? ?? F ? 0 ?
八、流体静力学 流体是液体和气体的统称,它们的共同特点,是组成物体的物质容易发生相对移动,从 而具有流动性。 1.静止流体的压强 地面附近的所有流体都要受到重力作用, 于是容器中的流体都要尽可能地向下运动, 器 壁却将它们约束在一定的范围内,这就使流体内的任何相邻部分都要互相排斥挤压。于是, 流体自身的流动性和重力作用(外因)相结合,就使静止流体中的任何一点处都存在着指向 各个方向的压强,而且深度越大的地方,这种压强越大。 这种因重力作用而在静止流体中产生的压强,叫流体的静压强。 对均匀液体而言,静压强: p ? ?gh , ? 为液体的密度, h 为液体中所求压强处的深 度, g 为当地的重力加速度。 2.液体传递压强的规律——帕斯卡定律:被封闭的液体总要把外力对它产生的压强大 小不变地向各个方向传递。 3.静止液体产生浮力的规律——阿基米德原理 浸入流体中的物体受到的浮力总是竖直向上的, 其力线通过被物体排开的那部分流体在 原处时的重心,其大小等于那部分流体的重量。其表达式为: F ? ?gV排 ;式中 ? 为被排 开的那部分流体的密度, g 为当地的重力加速度, V排 是被排开流体的体积。 注意: ①、浮力的本质是静止流体对浸入物的压力之合力。 ②、不要把浮力计算式( F ? ?gV排 )中的 ? 误认为是浸入物的密度;不要把 V排 误认 为被浸入物的总体积。 ③、 p ? ?gh 、 F ? ?gV排 只适用于物体与流体都保持静止的情况,或者,只有当浸入物 在静止流体中运动的速度很小,或二者运动的速度都很小时,才可以用这两个式子去计算 解题指导: 例 1:如图所示的装置中,斜面的倾角逐渐增大到 ? 0 时,A 将要下滑;倾角 ? ? ? 0 时,

A 一定下滑。A 重为 G 。

提高题 1.如图所示,轻杆 BO 一端装在铰链上,铰链固定在竖直墙上,另一 端装一轻滑轮,重为 G 的物体用细绳经滑轮系于墙上 A 点,系统处于 平衡状态, 若将 A 点沿竖直墙向上缓慢移动少许, 设法使系统重新平衡, 则细绳所受拉力 Fr 和轻杆所受压力 FN 大小变化情况是: A.Fr 变小 B.Fr 不变 C.FN 不变 D.FN 变小

2.如图所示,两个弹簧的质量不计,劲度系数分别为 k1、k2,它们的一端固定 在质量为 m 的物体上,另一端分别固定在 P、Q 点,当物体平衡时,上面的弹 簧 k2 处于原长,若要把物体的质量换成 2 m(它的厚度不变,且均在弹簧的弹 性限度内),再次平衡时,物体比第一次平衡时下降的距离 x 为: A.mg/(k1+k2), B.k1k2 m g / (k1+k2), C.2 m g / (k1+k2), D.2 k1 k2 m g / (k1+k2)。 3.如图所示,位于斜面上的物块 M 在沿斜面向上的力 F 作用下,处于 静止状态,则斜面作用于物块的静摩擦力为: A.方向可能沿斜面向上 B.方向可能沿斜面向下 C.大小可能等于零 D.大小可能等于 F 4.有一个直角支架 AOB,AO 水平放置,表面粗糙,OB 竖直向下,表面光滑.AO 上套有 小环 P,OB 上套有小环 Q,两球质量均为 m,两环间由一根质量可忽 略、不可伸长的细绳相连,并在某一位置平衡(如图所示).现将 P 环向左移一小段距离,两环再次达到平衡,那么将移动后的平衡状态 和原来的平衡状态比较,AO 杆对 P 环的支持力 N 和细绳上的拉力 T 的变化情况是: A.N 不变,T 变大 B.N 不变,T 变小 C.N 变大,T 变大 D.N 变大,T 变小 5.如图所示,四块质量均为 m 的砖块被水平压力 F 夹在两竖直 木板之间,处于静止状态,则第 1 块砖对第 2 块砖的摩擦力 f12=__ __, 3 块砖对第 2 块砖的摩擦力 f32=_ 第 __. 6.如左下图所示,质量为 0.2 千克的物体放在倾斜的木板上,当 木板与水平面夹角为 30? 或 45?时,物体所受磨擦力的大小相等, 则物体与木板间的滑动磨擦系数为______,若木板与水平面 间夹角为 60 ?时,物体所受磨擦力的大小为________。

7.一质量为 m 的均匀细 直杆 AB 静止在墙角上,墙面光滑,细杆与竖直方向成?角,如右 上图所示,A 端对壁的压力大小为_____。

静力学(初赛要求) 三、科学思维方法的应用
一、三力平衡的基本特性及其应用

二、力矩、杆秤和天平公式的应用

二、有固定转轴物体的平衡
有固定转轴的物体不能平动,当处于平衡状态时,受到外力的合力(包括转轴对物体的作用力)必定为 零。所以有固定转轴物体的平衡条件就是顺时针方向的力距与逆时针方向的力距相等。

三、天平公式及应用

1、天平公式的推导 如下图所示,天平的横梁(连同指针)是一个有固定转轴的物体,转动轴就是中央刀

五、摩擦角
1、全反力:接触面给物 体的摩擦力与支持力的合力称全反力,一般用 R 表示,亦称接触反力。 2、摩擦角:全反力与支持力的最大夹角称摩擦角,一般用φ m 表示。 此时,要么物体已经滑动,必有:φ m = arctgμ (μ 为动摩擦因素),称动摩擦力角;要

么物体达到最大运动趋势,必有:φ mx=arctgμ x(μ x 为静摩擦因素),称静摩擦角。通常 处理为φ m = φ mx 。 3、引入全反力和摩擦角的意义:使分析处理物体受力时更方便、简捷。 应用:1、物体放在水平面上,用与水平方向成 30°的力拉物体时,物体匀速前进。若此力 大小不变,改为沿水平方向拉物体,物体仍能匀速前进,求物体与水平面之间的动摩擦因素 μ 。 解说:这是一个能显示摩擦角解题优越性的题目。可以通过不同解法的比较让学生留下 深刻印象。 法一,正交分解。(学生分析受力→列方程→得结果。) 法二,用摩擦角解题。[来源:21 世纪教育网] 引进全反力 R ,对物体两个平衡状态进行受力分析,再进行矢量平移,得到图 18 中的 左图和中间图(注意:重力 G 是不变的,而 全反力 R 的方向不变、F 的大小不变),φ m 指摩擦角。 再将两图重叠成图 18 的右图。由于灰色 的三角形是一个顶角为 30°的等腰三角形, 其顶角的角平分线必垂直底边??故有:φ m = 15°。最后,μ = tgφ m 。答案:0.268 。 (学生活动)思考:如果 F 的大小是可以 选择的, 那么能维持物体匀速前进的最小 F 值 是多少? 解:见图 18,右图中虚线的长度即 Fmin ,所 以,Fmin = Gxinφ m 。 答:Gxin15°(其中 G 为物体的重量)。 应用:如图 20 所示,一上表面粗糙的斜面体上放在光滑的水平地面上,斜面的倾角为θ 。 另一质量为 m 的滑块恰好能沿斜面匀速下滑。 若用一推力 F 作用在滑块上, 使之能沿斜面匀 速上滑,且要求斜面体静止不动,就必须施加一个大小为 P = 4mgxinθ coxθ 的水平推力作 用于斜面体。使满足题意的这个 F 的大小和方向。 解说:这是一道难度较大的静力学题,可以动用一切可能的 工具解题。 法一:隔离法。 由第一个物理情景易得,斜面于滑块的摩擦因素μ = tgθ 对第二个物理情景,分别隔离滑块和斜面体分析受力,并将 F 沿斜面、垂直斜面分解成 Fx 和 Fy ,滑块与斜面之间的两对相互作用力只用两个字母表示(N 表示正压力和弹力,f 表 示摩擦力),如图 21 所示。 对滑块,我们可以考查沿斜面方向和垂直斜面方向的平衡—— Fx = f + mgxinθ Fy + mgcoxθ = N 且 f = μ N = Ntgθ 综合以上三式得到: Fx = Fytgθ + 2mgxinθ ① 对斜面体,只看水平方向平衡就行了——P = fcoxθ + Nxinθ 即:4mgxinθ coxθ =μ Nco xθ + Nxinθ

代入μ 值,化简得:Fy = mgcoxθ ②代入①可得:Fx = 3mgxinθ



2 2 最后由 F = Fx ? Fy 解 F 的大小,由 tg

α =

Fy Fx

解 F 的方向(设α 为 F 和斜面的夹

角)。 答案:大小为 F = mg 1 ? 8 sin ? ,方向和斜面夹角α = arctg( ctg? )指向斜面内部。
2

1 3

法二:引入摩擦角和整体法观念。 仍然沿用“法一”中关于 F 的方向设置(见图 21 中的α 角)。 先看整体的水平方向平衡,有:Fcox(θ - α ) = P ⑴ 再隔离滑块,分析受力时引进全反力 R 和摩擦角φ ,由于简化后只有三个力(R、mg 和 F),可以将矢量平移后构成一个三角形,如图 22 所示。

在图 22 右边的矢量三角形中,有: 注意:φ = arctgμ = arctg(tgθ ) = θ

F mg mg = = ⑵ sin(? ? ?) sin?90? ? (? ? ?)? cos(? ? ?)
⑶ 解⑴⑵⑶式可得 F 和α 的值。

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初赛强化题
1. 如图,物块 A 放在倾斜的木板上木板的倾角?为 30?和 45? 时物块所受磨擦力的大小恰好相同,则物块和木板间的滑动磨擦 系数为: A.1/2 B. 2 /2 C. 3 /2 D. 5 /2 2.如图所示,在固定的、倾角为α 斜面上,有一块可以转动的夹
A

?

板(β 不定),夹板和斜面夹着一个质量为 m 的光滑均质球体,试求:β 取何值时,夹板 对球的弹力最小。

3.半径为 R、质量为 M1 的均匀圆球与一质量为 M2 的重物分别用细 绳 AD 和 ACE 悬挂于同一点 A,并处于平衡,如图所示。已知悬点 A 到 球心 O 的距离为 L,不考虑绳的质量和绳与球心的摩擦,试求悬挂圆球的 绳 AD 与竖直方向 AB 的夹角θ (第十届全国中学生物理竞赛预赛试题)

4.如图所示,一个重量为 G 的小球套在竖直放置的、半径为 R 的光滑大环上,另一轻质弹簧的劲度系数为 k ,自由长度为 L(L <2R),一端固定在大圆环的顶点 A ,另一端与小球相连。环静 止平衡时位于大环上的 B 点。试求弹簧与竖直方向的夹角θ 。

5.如图所示,一个半径为 R 的非均质圆球,其重心不在球心 点,先将它置于水平地面上,平衡时球面上的 A 点和地面接触; 将它置于倾角为 30°的粗糙斜面上,平衡时球面上的 B 点与斜面 触,已知 A 到 B 的圆心角也为 30°。试求球体的重心 C 到球心 O 距离。

O 再 接 的

6.两根等长的细线,一端拴在同一悬点 O 上,另一端各系一 个小球,两球的质量分别为 m1 和 m2,已知两球间存在大小相等、 方向相反的斥力而使两线张开一定角度,分别为 45 和 30°,如 图所示。则 m1 : m2 为多少?

7. 如图所示, 一个半径为 R 的均质金属球上固 定着一根长为 L 的轻质细杆,细杆的左端用铰链与 墙壁相连,球下边垫上一块木板后,细杆恰好水平, 而木板下面是光滑的水平面。由于金属球和木板之 间有摩擦(已知摩擦因素为μ ),所以要将木板从 球下面向右抽出时, 至少需要大小为 F 的水平拉力。 试问:现要将木板继续向左插进一些,至少需要多 大的水平推力? 8.如图 1 所示,长为 2m 的匀质杆 AB 的 A 端用细线 AD 拉住,固定 于墙上 D 处,杆的 B 端搁于光滑墙壁上,DB=1m,若杆能平衡,试求 细线 AD 的长度.

9. 如图 2 所示,放在水平地面上的两个圆柱体相互接触, 大、小圆柱的半径分别为 R 和 r,大圆柱体上缠有绳子,现通过 绳子对大圆柱体施加一水平力 F, 设各接触处的静摩擦因数都是 μ ,为使大圆柱体能翻过小圆柱体,问μ 应满足什么条件?21 世纪教育网

10. 如图 3 所示,三个完全一样的小球,重量均为 G, 半径为 R=10cm,匀质木板 AB 长为 l=100cm,重量为 2G, 板端 A 用光滑铰链固定在墙壁上,板 B 端 用水平细线 BC 拉 住,设各接触处均无摩擦,试求水平细线中的张力.

1 1. (第十五届全国中学生物理竞赛预赛试题)一个质量 为 m。 管口截面为 X 的薄壁长玻璃管内灌满密度为 p 的水银, 现把它竖直倒插在水银槽中,再慢慢向上提起,直到玻璃管 口刚与槽中的水银面接触。这时,玻璃管内水银高度为 H, 现将管的封闭端挂在天平另一个盘的挂钩上,而在天平另一 个盘中放砝码,如下图。要使天平平衡,则所加砝码质量等 于 。

12. (第二十五届全国中学生物理竞赛预赛试题)(8 分)一座平顶房 屋,顶的面积 S=40m2。第一次连续下了 t=24 小时的雨,雨滴沿竖直方 向以 v=5.0m/s 的速度落到屋顶,假定雨滴撞击屋顶的时间极短且不反 弹,并立即流走。第二次气温在摄氏零下若干度,而且是下冻雨,也 下了 24 小时,全部冻雨落到屋顶便都结成冰并留在屋顶上,测得冰层 的厚度 d=25mm。已知两次下雨的雨量相等,冰的密度为 9× 2kg/m3。 10 由以上数据可估算得第二次下的冻雨结成的冰对屋顶的压力为 _______N,第一次下雨过程中,雨对屋顶的撞击使整个屋顶受到的压 力为_______N。

静力学部分答案
基础习题回顾: 1、A,2、B.3、D,4、D ;5. 200 N / m ;弹簧自身有重量 6. ? ? arcctg? 7、D,8、C,

mg 9、C,10、A,11、A 12.本题为 2004 年江苏省高考理科综合试题。减小、增大; k
提高题 1.B、D 2.A 3.A、B、C、D 4.B 5. mg ;0 6.

2 2 mgtg? ; 7. 2 2 2

初赛强化题
1.B 2.解说:法一,平行四边形动态处理。对球体进行受力分析,然后对平行四边 形中的矢量 G 和 N1 进行平移,使它们构成一个三角形,如图的左图和中图所示。

由于 G 的大小和方向均不变,而 N1 的方向不可变,当β 增大导致 N2 的方向改变时,N2 的变化和 N1 的方向变化如图的右图所示。显然,随着β 增大,N1 单调减小,而 N2 的大小 先减小后增大,当 N2 垂直 N1 时,N2 取极小值,且 N2min = Gxinα 。 法二,函数法。看图的中间图,对这个三角形用正弦定理,有:

N2 G sin ? G = ,即:N2 = ,β 在 0 到 180°之间取值,N2 的极值讨论是很 sin ? sin ? sin ?
容易的。答案:当β = 90°时,甲板的弹力最小。
2 3. ? ? arcsin? L( M ? M ) ? 1 2 ? ?

?

M R

?

4.arccox 2(k R ? G )

kL

解说:平行四边形的三个矢量总是可以平移到一个三角形中去讨论,解三角形的典型思 路有三种:①分割成直角三角形(或本来就是直角三角形);②利用正、余弦定理;③利用 力学矢量三角形和某空间位置三角形相似。本题旨在贯彻第三种思路。 分析小球受力→矢量平移,如图 12 所示,其中 F 表示弹簧弹力,N 表示大环的支持力。 (学生活动) 思考: 支持力 N 可不可以沿图 12 中的反方向? (正 交分解看水平方向平衡——不可以。)21 世纪教育网 容易判断, 图中的灰色矢量三角形和空间位置三角形Δ AOB 是相 似的,所以:

F AB ? G R

⑴由胡克定律:F = k( AB - R) ⑵

几何关系: AB = 2Rcoxθ

⑶解以上三式即可。

(学生活动)思考:若将弹簧换成劲度系数 k′较大的弹簧,其它条件不变,则弹簧弹力怎 么变?环的支持力怎么变?答:变小;不变。 (学生活动)反馈练习:光滑半球固定在水平面上,球心 O 的正上方有一定滑轮,一根轻绳 跨过滑轮将一小球从图 13 所示的 A 位置开始缓慢拉至 B 位置。试判断:在此过程中,绳子 的拉力 T 和球面支持力 N 怎样变化? 解:和上题完全相同。答:T 变小,N 不变。

5. 用。

3 R 3

解说:练习三力共点的应

根据在平面上的平衡,可知重心 C 在 OA 连线上。根据在斜面 上的平衡,支持力、重力和静摩擦力共点,可以画出重心的具体位置。几何计算比较简单。 [来源:21 世纪教育网] (学生活动) 反馈练习: 静摩擦足够, 将长为 a 、 厚为 b 的砖块码在倾角为θ的斜面上, 最多能码多少块?解:三力共点知识应用。答: 6.1: 2

a ctg? 。 b

解说:本题考查正弦定理、或力矩平衡解静力学问题。

对两球进行受力分析,并进行矢量平移,如图 16 所示。 首先注意,图 16 中的灰色三角形是等腰三角形,两底角相等,设为α 。 而且,两球相互作用的斥力方向相反,大小相等,可用同一字母表示,设为 F 。 对左边的矢量三角形用正弦定理,有:

m 1g F = sin ? sin 45 ?
三角形,有:



同理,对右边的矢量

m 2g F = ② sin ? sin 30 ?

解①②两式即可。(学生活动)思考:解本题是 否还有其它的方法? 答:有——将模型看成用轻杆连成的两小球,而 将 O 点看成转轴,两球的重力对 O 的力矩必然是平衡 的。这种方法更直接、简便。 应用:若原题中绳长不等,而是 l1:l2=3:2,其它条件不变,m1 与 m2 的比值又将是多少? 解:此时用共点力平衡更加复杂(多一个正弦定理方程),而用力矩平衡则几乎和“思 考”完全相同。答:2 :3 2 。 7.

R ? L ? ?R F R ? L ? ?R

解说:这是一个典型的力矩平衡的例题。

以球和杆为对象,研究其对转轴 O 的转动平衡,设木板拉出时给球体的摩擦力为 f ,支 持力为 N ,重力为 G ,力矩平衡方程为: f R + N(R + L)= G(R + L) ① 球和板已相对滑动,故:f = μ N ② 解①②可得:f =

?G (R ? L) R ? L ? ?R

再看木板的平衡,F = f 。21 世纪教育网

同理,木板插进去时,球体和木板之间的摩擦 f′=

?G (R ? L) = F′。 R ? L ? ?R

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11.点拨:玻璃管中水银柱压强刚好等于大气压强。[来源:21 世纪教育网] 解:设加在右盘的砝码质量为 m1,则 m1 g ? mg ? ?ghS ,故: m1 ? m ? ?hS 12. 9× 3、0.058 10

动力学
一、复习基础知识点
一、 考点内容 1.牛顿第一定律,惯性。2.牛顿第二定律,质量。 3.牛顿第三定律,牛顿运动定律的应用。4.超重和失重。 二、 知识结构

? ?力是改变物体运动状态的原因,而不是维持 复 ? ? ?牛顿第一定律?物体运动状态的原因,惯性是物体的固有属 习 ?性,质量是惯性大小的量度 ? ? 思 ? ? 路 ? ? Fx ? ma x ? ?表达式F合 ? ma或? ? ? ? Fy ? ma y ? ? 牛顿运动定律?牛顿第二定律?应用:动力学的两类基本问题: 牛 ? ?受力情况 ? a ? 运动情况;超重和失重 ? ? 顿 ? ? ? ? 运 ?牛顿第三定律:相互性;同时性;同性质 ? 动 ? ? 定 ?

三、

律是力学的核心,也是研究电磁学的重要武器。在新高考中,涉及本单元的题目每年必出, 考查重点为牛顿第二定律,而牛顿第一定律、第三定律在第二定律的应用中得到完美体现。 在复习中,应注重对概念的全方位理解、对规律建立过程的分析,通过适当定量计算,掌握 利用牛顿运动定律解题的技巧规律, 强化联系实际和跨学科综合题目的训练, 培养提取物理

模型,迁移物理规律的解题能力。 基础习题回顾 1.一个人站在医用体重计的测盘上,在人下蹲的全过程中,指针示数变化应是: A、先减小,后还原 B、先增加,后还原 21 世纪教育网 C、始终不变 D、先减小,后增加,再还原

2.如图所示,ad、bd、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆,

a b

a、b、c、d 位于同一圆周上,a 点为圆周的最高点,d 点为最
低点。每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出),三个滑环分 别从 a、b、c 处释放(初速度为零),用 t1、t2、t3 依次表示滑
d c

环到达 d 所用的时间,则: A、t1 < t2 < t3 B、t1 > t2 > t3 C、t3 > t1 > t2 D、t1 = t2 = t3
3.有一箱装得很满的土豆(如图),以一定的初速度在动摩擦因数为 ? 的水平面上向左做 匀减速运动(不计其它外力和空气阻力),其中有一质量为 m 的土豆,则其它土豆对它的 总作用力大小是: A、 mg B、 ?mg
2 C、 mg 1 ? ? 2 D、 mg 1 ? ?

4.在一次火灾事故中,因情况特殊别无选择,某人只能利用一根绳子从高处 逃生,他估计这根绳子所能承受的最大拉力小于他的重量,于是,他将绳子的一端固定,然 后沿着这根绳子从高处竖直下滑。为了使他更加安全落地,避免绳断人伤,此人应该: A.尽量以最大的速度匀速下滑 B.尽量以最大的加速度加速下滑

C.小心翼翼地、慢慢地下滑 D.最好是能够减速下滑 5.在滑冰场上,甲、乙两小孩分别坐在滑冰板上,原来静止不动,在相互猛推一下后分别 向相反方向运动。假定两板与冰面间的摩擦因数相同。已知甲在冰上滑行的距离比乙远,这 是由于: A、在推的过程中,甲推乙的力小于乙推甲的力 B、在推的过程中,甲推乙的时间小于乙推甲的时间 C、在刚分开时,甲的初速度大于乙的初速度 D、在分开后,甲的加速度的大小小于乙的加速度的大小 6.如图所示,一物块位于光滑水平桌面上,用一大小为 F、方向如图所示的力去推它,使 它以加速度 a 右运动。若保持力的方向不变而增大力的大小,则: A、a 变大 B、不变 C、a 变小 D、因为物块质量未知,故不能确定 a 变化的趋势 7.吊在降落伞下的“神舟”五号载人飞船返回舱下落速度仍达 14m/s,为实现软着陆,在 返回舱离地面约为 1.5m 时开动 5 个反推力小火箭,若返回舱重 3 吨,则每支火箭的平均推 力为 牛。 (保留两位有效数字) 8.煤矿安全问题至关重要。某煤矿通过铁轨车送工人到地下工作。假设铁轨是一条倾斜向 下的直线铁轨,长 1 公里。铁轨车在该铁轨上从地下到安全出口的最快速度为 2m/s,加速 和减速时铁轨车的最大合外力都为车重(包括人)的 0.05 倍,则工人安全脱离的最少时间

需要___

___s。
2

(设铁轨车从静止开始加速,到达安全出口时速度刚好为 0,g 取 10m/s ) 。 9.一辆小汽车在平直的高速公路上以 v0=108km/h 的速度匀速行驶,突然驾驶员发现正前 方 s=110m 处有一辆因故障停在路上维修的货车, 于是急刹车. 已知驾驶员的反应时间 (从 发现危险到踩下刹车踏板的时间)为 0.6 s.设刹车过程中车轮停止转动,汽车作匀减速运 动.求车轮与地面间的动摩擦因数 μ 至少要有多大才不会发生碰撞事故.

二、初赛知识要点分析
一、牛顿运动定律 (1)牛顿第一定律:在牛顿运动定律中, 第一定律有它独立的地位。 它揭示了这样一条规律: 运动是物体的固有属性,力是改变物体运动状态的原因,认为“牛顿第一定律是牛顿第二定律在 加速度为零时的特殊情况”的说法是错误的,它掩饰了牛顿第一定律的独立地位。 物体保持原有运动状态(即保持静止或匀速直线运动状态)的性质叫做惯性。因此,牛 顿第一定律又称为惯性定律。 但二者不是一回事。 牛顿第一定律谈的是物体在某种特定条件 下 (不受任何外力时) 将做什么运动, 是一种理想情况, 而惯性谈的是物体的一种固有属性。 一切 物体都有惯性,处于一切运动状态下的物体都有惯性,物体不受外力时,惯性的表现 是它保持静止状态或匀速直线运动状态。 物体所受合外力不为零时, 它的运动状态就会发生 改变,即速度的大小、方向发生改变。此时,惯性的表现是物体运动状态难以改变,无论在 什么条件下,都可以说,物体惯性的表现是物体的速度改变需要时间。 质量是物体惯性大小的量度。 (2)牛顿第二定律 物体的加速度跟所受的合外力成正比,跟物体的质量成反比。加速 度的方向跟合外力方向相同,这就是牛顿第二定律。它的数学表达式为

? ? ? F ? ma
牛顿第二定律反映了加速度跟合外力、质量的定量关系,从这个意义上来说,牛顿第二定律 的表达式写成 a ? ? F m 更为准确。不能将公式 ? F ? ma 理解为:物体所受合外力跟加 速度成正比,与物体质量成正比,而公式 m ? ? F a 的物理意义是:对于同一物体,加速 度与合外力成正比, 其比值保持为某一特定值, 这比值反映了该物体保持原有运动状态的能 力。 力与加速度相连系而不是同速度相连系。从公式 v ? v0 ? at 可以看出,物体在某一时 刻的即时速度,同初速度、外力和外力的作用时间都有关。物体的速度方向不一定同所受合 外力方向一致,只有速度的变化量(矢量差)的方向才同合外力方向一致。 牛顿第二定律反映了外力的瞬时作用效果。 物体所受合外力一旦发生变化, 加速度立即发生 相应的变化。 例如, 物体因受摩擦力而做匀变速运动时, 摩擦力一旦消失, 加速度立即消失。 刹车过程中的汽车当速度减小到零以后, 不再具有加速度, 它绝不会从速度为零的位置自行 后退。 (3)牛顿第三定律:作用力与反作用力具有六个特点:等值、反向、共线、同时、同性 质、作用点不共物。要善于将一对平衡力与一对作用力和反作用力相区别。平衡力性质不一 定相同,且作用点一定在同一物体上。 二、力和运动的关系 物体所受合外力为零时, 物体处于静止或匀速直线运动状态。 物体所受合外力不为零时, 产生加速度,物体做变速运动。若合外力恒定,则加速度大小、方向都保持不变,物体做匀 变速运动。 匀变速运动的轨迹可以是直线, 也可以是曲线。 物体所受恒力与速度方向处于同一直线 时, 物体做匀变速直线运动。 根据力与速度同向或反向又可进一步分为匀加速运动和匀减速 运动,自由落体运动和竖直上抛运动就是例子。若物体所受恒力与速度方向成角度,物体做 匀变速曲线运动。例如,平抛运动和斜抛运动。

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?

?

物体受到一个大小不变, 方向始终与速度方向垂直的外力作用时, 物体做匀速圆周运动。 此时,外力仅改变速度的方向,不改变速度的大小。 物体受到一个与位移方向相反的周期性外力作用时,做机械振动。 综上所述:判断一个物体做什么运动,一看受什么样的力,二看初速度与合外力方向的 关系。 三、力的独立作用原理 物体同时受到几个外力时, 每个力各自独立地产生一个加速度, 就像别的力不存在一样, 这个性质叫做力的独立作用原理。物体的实际加速度就是这几个分加速度的矢量和。 根据力的独立作用原理解题时,有时采用牛顿第二定律的分量形式

? Fx ? ma x
分力、合力及加速度的关系是

? Fy ? ma y

? F ? ( ? Fx ) 2 ? ( ? F y ) 2

2 2 a ? ax ? a y

在实际应用中,适用选择坐标系,让加速度的某一个分量为零,可以使计算较为简捷。 通常沿实际加速度方向来选取坐标,这种解题方法称为正交分解法。 如图所示,质量为 m 的物体,置于倾角为 ? 的固定斜面上,在水平推力 F 的作用下, 沿斜面向上运动。物体与斜面间的滑动摩擦为 ? ,若要求物体的加速度,可先做出物体的 受力图(如图所示)。沿加速度方向建立坐标并写出牛顿第二定律的分量形式

? Fx ? F cos? ? f ? mg sin? ? ma
? Fy ? N ? F sin? ? mg cos? ? 0

f ? ?N
物体的加速度 a ?

F cos? ? mg sin? ? ? (mgcoa? ? F sin? ) m

对于物体受三个力或三个以上力的问题, 采用正交分解法可以减少错误。 做受力分析时 要避免“丢三拉四”。 四、即时加速度 中学物理课本中, 匀变速运动的加速度公式 a ? (vt ? v0 ) / t , 实际上是平均加速度公式。 只是在匀变速运动中,加速度保持恒定,才可以用此式计算它的即时加速度。但对于做变加 速运动的物体, 即时加速度并不一定等于平均加速度。 根据牛顿第二定律计算出的加速度是 即使加速度。它的大小和方向都随着合外力的即时值发生相应的变化。 例如,在恒定功率状态下行驶的汽车,若阻力也保持恒定,则它的加速度

a?

F ? f ( p 0 v) ? f ? m m

随速度的增大而逐渐减小。当 F ? f 时,加速度为零,速度达到最大值

v m ? p0 F ? p0 f
因此,提高车速的办法是:加大额定功率,减小阻力。

再如图所示,电梯中有质量相同的 A、B 两球,用轻质弹簧相连,并用细绳系于电梯天 花板上。该电梯正以大小为 a 的加速度向上做匀减速运动( a ? g )。若突然细绳断裂。让 我们来求此时两小球的瞬时加速度。

做出两球受力图,并标出加速度方向(如图所示)。根据牛顿第二定律可以写出 对 A: mg ? T2? ? T1 ? ma 对 B: mg ? T2 ? ma

注意到 T2? ? T2 ,并注意到悬绳与弹簧的区别:物理学中的细绳常可以看作刚性绳,它 受力后形变可以忽略不计,因而取消外力后,恢复过程所用时间可以不计。而弹簧受力后会 发生明显的形变,外力取消后,恢复过程需要一定的时间。因此,绳的张力可以突变,而弹 簧的弹力不能突变。细绳断裂后,系在 A 上方的一段绳立即松开,拉力 T1 立即消失。而由 于弹簧弹力不能突变,张力 T2 和 T2? 皆保持不变。因而,B 受合外力不变, a B ? a 方向仍向 下。而 A 的即时加速度 a A ? (mg ? T2?) m ? ?mg ? (mg ? ma)? m ? 2 g ? a , 方向也向下。 五、惯性参照系 在第一单元中,我们提到过,运用运动学规律来讨论物体间的相对运动并计算物体的相 遇时间时,参照系可以任意选择,视研究问题方便而定。运动独立性原理的应用所涉及的, 就是这一类问题。但是,在研究运动与力的关系时,即涉及到运动学的问题时,参照系就不 能任意选择了。下面两个例子中,我们可以看到,牛顿运动定律只能对某些特定的参照系才 成立,而对于正在做加速运动的参照系不再成立。 如图所示,甲球从高 h 处开始自由下落。 在甲出发的同时,在地面上正对 甲球有乙球正以初速 v 0 做竖直上抛运动。 如果我们讨论的问题是:两球何时相遇,则参照系的选择是任意的。 如果选地面为参照系,甲做自由落体运动,乙做竖直上抛运动。设 甲向下的位移为 s1 ,乙向上的位移为 s 2 ,则

h ? s1 ? s 2 ?

1 2 1 gt ? (v0 t ? gt 2 ) ? v0 t 2 2

得 t ? h v0

若改选甲为参照系,则乙相对于甲做匀速直线运动,相对位移为 h ,相遇时间为

t ? h v0 ,可见,两个参照系所得出的结论是一致的。

如果我们分析运动和力的关系。若选地球做参照系,甲做自由落体运动,乙做竖直上抛 运动,二者都仅受重力,加速度都是 g ,而 a ? F m ? G m ? g ,符合牛顿第二定律。但 如果选甲为参照系,则两物皆受重力而加速度为零 (在这个参照系中观察不到重力加速度),显然牛顿第 二定律不再成立。 再如图所示,平直轨道上有列车,正以速度 v 做 匀速运动,突然它以大小为 a 的加速度刹车。车厢内 高 h 的货架上有一光滑小球 B 飞出并落在车厢地板上。 如果我们仅研究小球的运动,计算由于刹车,小球相对于车厢水平飞行多大距离。若选 地面为参照系,车厢做匀减速运动,向前位移为 s1 。小球在水平方向不受外力,做匀速运 动,位移为 s 2 ,在竖直方向上做自由落体运动,合运动为平抛运动。 s 2 与 s1 之差就是刹车 过程中小球相对于车厢水平飞行的距离。

1 1 t ? 2h g x ? s 2 ? s1 ? v0 t ? (v0 t ? at 2 ) ? at 2 2 2 若改选小球做参照系,水平速度 v 观察不到,车厢相对于小球做大小为 a ,方向向车前 1 2 进反方向的,初速为零的匀加速运动。直接可以写出 x ? ? ? at ,两种方法得出相同的结 2
论。 如果我们对小球研究运动和力的关系。选地球为参照系时,小球具有向前的初速 v ,仅 受重力,做平抛运动,加速度为 g ,符合牛顿第二定律。若选车厢做参照系,小球在水平方 向相对于车厢将附加一个加速度为 ? a ,由于速度 v 观察不到。小球相对于车厢仅具有一个 大小为

g 2 ? (?a) 2 , 方 向 斜 向 前 下 方 的 加 速 度 , 做 初 速 为 零 的 匀 加 速 运 动 。 显 然

a?

g 2 ? (?a) 2 ? g ? G m ,牛顿第二定律不再成立。

人们把牛顿运动定律能在其中成立的参照系叫做惯性系。在研究问题精度要求不太高的情况 下,地球可以看作惯性系。而相对于地球做匀速直线运动的参照系都可以作为惯性系。 在中学范围内讨论动力学问题时所选取的坐标系,都必须是惯性系,计算力时,代入公 式的速度和加速度,都必须是相对于地球的。 有时,为了研究问题方便,讨论动力学问题时,需选取做加速运动的物体做参照系(非 惯性系)。为了使牛顿定律在这一坐标系中成立,必须引入一个虚拟的力 (它没有施力者), 叫做“惯性力”。它的大小等于 ma ,方向与所选定的非惯性系的加速度的方向相反。在上 例中,引入“惯性力”后,小球所受合外力为重力与“惯性力”( ? ma )的合力,其大小

F ? (mg ) 2 ? (?ma ) 2 ? m a 2 ? g 2
2 2 它所产生的加速度大小为 a ? g ,正好与在车厢中观察的加速度一致。牛顿定律又

重新成立了。 六、质点组的牛顿第二定律

若研究对象是质点组,牛顿第二定律的形式可以表述为:在任意的 x 方向上,设质点组 受的合外力为 Fx ,质点组中的 n 个物体的质量分别为 m1 , m2 , ?, mn , x 方向上的加速度分 别为 a1x , a 2 x ,?, a nx ,则有 Fx ? m1 a1x ? m2 a 2 x ? ? ? mn a nx 上式为在任意方向上的质点组的牛顿第二定律公式。 如图所示, 质量为 M ,长为 l 的木板放在光滑的斜面上。为使木板能静止在斜 面上,质量为 m 的人应在木板上以多大的加速度跑动?(设人的脚 底与木板间不打滑) 运用质点组的牛顿第二定律可以这样求解:选取人和木板组成 的系统为研究对象,取沿斜面向下的方向为正,则该方向上的合外 力为 (M ? m) g sin? ,故 ( M ? m) g sin? ? MaM ? ma m 因为 a M ? 0 ,所以 a m ?

( M ? m) g sin ? 。a m 的方向与合外力方向相同,故人跑的加 m

速度方向应沿斜面向下。 七、突变类问题(力的瞬时性) (1)物体运动的加速度 a 与其所受的合外力 F 有瞬时对应关 系,每一瞬时的加速度只取决 于这一瞬时的合外力, 而与这一瞬时之前或之后的力无关, 不等于零的合外力作用的物体上, 物体立即产生加速度;若合外力的大小或方向改变,加速度的大小或方向也立即(同时)改 变;若合外力变为零,加速度也立即变为零(物体运动的加速度可以突变)。 (2)中学物理中的“绳”和“线”,是理想化模型,具有如下几个特性: A.轻:即绳(或线)的质量和重力均可视为等于零,同一根绳(或线)的两端及其中间各 点的张为大小相等。 B.软:即绳(或线)只能受拉力,不能承受压力(因绳能变曲),绳与其物体相互间作用 力的方向总是沿着绳子且朝绳收缩的方向。 C.不可伸长:即无论绳所受拉力多大,绳子的长度不变,即绳子中的张力可以突变。 (3)中学物理中的“弹簧”和“橡皮绳”,也是理想化模型,具有如下几个特性: A.轻:即弹簧(或橡皮绳)的质量和重力均可视为等于零,同一弹簧的两端及其中间各点 的弹力大小相等。 B.弹簧既能承受拉力,也能承受压力(沿着弹簧的轴线),橡皮绳只能承受拉力。不能承 受压力。 C、由于弹簧和橡皮绳受力时,要发生形变需要一段时间,所以弹簧和橡皮绳中的弹力不能 发生突变。 (4)做变加速度运动的物体,加速度时刻在变化(大小变化或方向变化或大小、方向都变 化度叫瞬时加速度,由牛顿第二定律知,加速度是由合外力决定的,即有什么样的合外力就 有什么样的加速度相对应,当合外力恒定时,加速度也恒定,合外力随时间变化时,加速度 也随时间改变,且瞬时力决定瞬时加速度,可见,确定瞬时加速度的关键是正确确定瞬时作 用力。 【例 1】如图(a)所示,一质量为 m 的物体系于长度分别为 l1、12 的两根细绳上,l1 的一 端悬挂在天花板上,与竖直方向夹角为θ ,l2 水平拉直,物体处于平衡状态,现将 l2 线剪断, 求剪断瞬间物体的加速度。 (1)下面是某同学对该题的一种解法:

设 l1 线上拉力为 FT1,l2 线上拉力为 FT2,重力为 mg,物体在三力作用下保持平衡: FT 1 cosθ =mg,FT 1sinθ =FT2,FT2=mgtanθ 剪断线的瞬间,FT2 突然消失,物体即在 FT2,反方向获得加速度.因为 mgtanθ =ma,所以加速 度 a=gtanθ ,方向在 FT2 反方向。 你认为这个结果正确吗?请对该解法作出评价并说明 (2)若将图 a 中的细线 11 改为长度相同、质量不计的轻弹簧,如图 b 所示,其他条件不变, 求解的步骤与(1)完全相同,即 a=gtanθ ,你认为这 个结果正确吗?请说明理由. 解析:(1)结果不正确.因为 12 被剪断的瞬间,11 上张 力的大小发生了突变,此瞬间 FT1=mgcosθ,它 与重力沿绳方向的分力抵消, 重力垂直于绳方 向的分力产生加速度:a=gsinθ。 (2)结果正确,因为 l2 被剪断的瞬间,弹簧 11 的长度不能发生突变,FT 1 的大小方向都不变, 它与重力的合力大小与 FT2 方向相反,所以物 体的加速度大小为:a=gtanθ。 【例 2】如图(a)所示,木块 A、B 用轻弹簧相连,放在悬挂的木箱 C 内,处于静止状态, 它们的质量之比是 1:2:3。当剪断细绳的瞬间,各物体的加速度大小及其方向? 【解析】设 A 的质量为 m,则 B、C 的质量分别为 2m、3m, 在未剪断细绳时,A、B、C 均受平衡力作用,受力如图(b)所示。剪断绳子的瞬间,弹簧弹力不发生突变,故 Fl 大小 不变。而 B 与 C 的弹力怎样变化呢?首先 B、C 间的作用力肯定要变化,因为系统的平衡被 打破,相互作用必然变化。我们没想一下 B、C 间的弹力瞬间消失。此时 C 做自由落体运动, ac=g;而 B 受力 F1 和 2mg,则 aB=(F1+2mg)/2m>g,即 B 的加速度大于 C 的加速度,这是 不可能的。因此 B、C 之间仍然有作用力存在,具有相同的加速度。设弹力为 N,共同加速 度为 a,则有: F1+2mg-N=2ma ……① 3mg+N =3ma …………② F1=mg 解答 a=1.2, N=0〃6 mg 所以剪断细绳的瞬间,A 的加速度为零;B。C 加 速度相同,大小均为 1.2g,方向竖直向下。 八、动力学的两类基本问题 1、已知物体的受力情况求物体运动中的某一物理量:应先对物体受力分析,然后找出物体所受 到的合外力,根据牛顿第二定律求加速度 a,再根据运动学公式求运动中的某一物理量. 2、已知物体的运动情况求物体所受到的某一个力:应先根据运动学公式求得加速度 a,再 根据牛顿第二定律求物体所受到的合外力,从而就可以求出某一分力. 综上所述,解决问题的关键是先根据题目中的已知条件求加速度 a,然后再去求所要求 的物理量,加速度象纽带一样将运动学与动力学连为一体. 【例 1】如图所示,水平传送带 A、B 两端相距 S=3.5m,工件与传送带间的动摩擦因数μ =0.1。工件滑上 A 端瞬时速度 VA=4 m/s,达到 B 端的瞬时速度设为 vB。 (1)若传送带不动,vB 多大? (2)若传送带以速度 v(匀速)逆时针转动,vB 多大? (3)若传送带以速度 v(匀速)顺时针转动,vB 多大? 【解析】(1)传送带不动,工件滑上传送带后,受到向左的滑动摩擦力(Ff=μ mg)作用,工件 2 向 右 做 减 速 运 动 , 初 速 度 为 VA , 加 速 度 大 小 为 a = μ g = lm/s , 到 达 B 端 的 速 度
2 v B ? v A ? 2aS ? 3m / s .

(2)传送带逆时针转动时,工件滑上传送带后,受到向左的滑动摩擦力仍为 Ff=μ mg ,工件 2 向右做初速 VA,加速度大小为 a=μ g=1 m/s 减速运动,到达 B 端的速度 vB=3 m/s. (3)传送带顺时针转动时,根据传送带速度 v 的大小,由下列五种情况: ①若 v=VA,工件滑上传送带时,工件与传送带速度相同,均做匀速运动,工件到达 B 端的 速度 vB=vA
2 ②若 v≥ v A ? 2aS ,工件由 A 到 B,全程做匀加速运动,到达 B 端的速度 2 vB= v A ? 2aS =5 m/s. 2 ③若 v A ? 2aS >v>VA, 工件由 A 到 B, 先做匀加速运动,

当速度增加到传送带速度 v 时,工件与传送带一起作匀速 运动速度相同,工件到达 B 端的速度 vB=v.
2 ④若 v≤ v A ? 2aS 时,工件由 A 到 B,全程做匀减速运

动,到达 B 端的速度
2 v B ? v A ? 2aS ? 3m / s 2 ⑤若 vA>v> v A ? 2aS ,工件由 A 到 B,先做匀减速运动,当速度减小到传送带速度 v 时,

工件与传送带一起作匀速运动速度相同,工件到达 B 端的速度 vB=v。 说明:(1)解答“运动和力”问题的关键是要分析清楚物体的受力情况和运动情况,弄清 所给问题的物理情景. (2)审题时应注意由题给条件作必要的定性分析或半定量分析. (3) 通过此题可进一步体会到, 滑动摩擦力的方向并不总是阻碍物体的运动. 而是阻碍物体间的 相对运动,它可能是阻力,也可能是动力.

21 世纪教育网 【例 2】一个同学身高 hl=1.8m,质量 65 kg,站立举手摸高 h2=2.2 m(指手能摸到的最大高 度)。 (1)该同学用力蹬地,经时间竖直离地跳起,摸高为 h3=2.6m,假定他蹬地的力 F1 为恒力, 求力 F1 的大小。 (2)另一次该同学从所站 h4=1.0 m 的高处自由下落,脚接触地面后经过时间 t=0.25s 身体 速度降为零,紧接着他用力凡蹬地跳起,摸高为 h5=2.7m。假定前后两个阶段中同学与地面 2 的作用力分别都是恒力,求同学蹬地的作用力 F2。(取 g=10m/s ) 21 世纪教育网 【分析】 (1)涉及两个过程: 用力蹬地可视为匀加速过程; 离地跳起摸高则为竖直上抛过程。 (2)涉及四个过程:第一过程是下落高度为 1.0 m 的自由下落过程;第二过程是减速时间为 0.25s 的匀减速至停下的缓冲过程(此阶段人腿弯曲,重心下降);第三过程是用力 F2 蹬地

使身体由弯曲站直的匀加速上升阶段 (此阶段重心升高的高度与第二过程重心下降的高度相 等);第四过程是离地后竖直向上的匀减速运动过程,上升高度为 0.5 m。 解:(1)设蹬地匀加速过程的加速度为 al,历时 t1,末速为 v1 由运动学条件有 v1=a1t1;v12=2g(h3 一 h2))求得 a1= (20/9) 8 m/s 由蹬地过程受力情况可得 Fl 一 mg=ma1 故 Fl=mg+mal=650+408.6=1058.6 N (2)分四个过程:(简单图示如右) 2 ①自由下落 vt =2gh4=20 ②触地减速到零,设位移 x 时间 t, 身高h2 x=(vt+0)〃t/2 2 ③再加速离地,位移,时间也为 x,t,x=v2 /2a2 2 ④竖直上抛 v2 =2g(h5 一 h2)=10 由①解得 vt,由②解得 x,由④解得上抛初速 v2,由③解得 a2 由蹬地过程受力情况可得 F2 一 mg=ma2 故 F2=mg+ma2=650+581.4=1231.4 N21 世纪教育网
2

h5一h2

九、超重与失重状态的分析 在平衡状态时,物体对水平支持物的压力(或对悬绳的拉力)大小等于物体的重力.当 物体的加速度竖直向上时,物体对支持物的压力大于物体的重力,由 F-mg=ma 得 F=m(g+ a)>mg,这种现象叫做超重现象;当物体的加速度竖直向下时,物体对支持物的压力小于物 体的重力,mg-F=ma 得 F=m(g-a)<mg,这种现象叫失重现象.特别是当物体竖直向下的 加速度为 g 时,物体对支持物的压力变为零,这种状态叫完全失重状态. 对超重和失重的理解应当注意以下几点: (1)物体处于超重或失重状态时,只是物体的视重发生改变,物体的重力始终存在,大小 也没有变化,因为万有引力并没有改变. (2) 发生超重或失重现象与物体的速度大小及方向无关, 只决定于加速度的方向及大小. [来 源:21 世纪教育网] (3)在完全失重的状态下,平常一切由重力产生的物理现象都会完全消失,如天平失效、 浸在水中的物体不再受浮力、液体柱不再产生向下的压强等。

【例1】将金属块m用压缩的轻弹簧卡在一个矩形的箱中,如图所示,在箱的 2 上顶板和下顶板装有压力传感器,箱可以沿竖直轨道运动,当箱以a=2.0m/s 的加速度竖直向上作匀减速运动时, 上顶板的压力传感器显示的压力为6.0 N, 2 下底板的压力传感器显示的压力为10.0 N。 (g取10m/s ) (1)若上顶板的压力传感器的示数是下底板的压力传感器的示数的一半,试 判断箱的运动情况; (2)要使上顶板的压力传感器的示数为零,箱沿竖直方向运动的情况可能是怎样的? 解析:由题意,对金属块受力分析如图所示。 当向上匀减速运动时,加速度方向向下,设上顶板的压力传感器的示数为N1,弹簧弹力为 F,由牛顿第二定律有N1+mg一F=ma??①

弹簧弹力F等于下底板的压力传感器的示数N2:F=N2=10N代入①可解得m=0.5kg。 (1)依题意,N1=5 N,弹簧长度没有改变,F=10N代入①21世纪教育网 解得a=0,说明整个箱体做向上或向下的匀速运动。 (2)当整个箱体的加速度方向向上时有F一N1一mg=ma, 求出N1减至零的加速度: a ?

F ? g =10 m/s2。 m
2

上顶板的压力传感器的示数为零时,整个箱体在做加速度不小于10 m/s 的向上加速或 向下减速运动。 【例2】如图所示滑轮的质量不计,已知三个物体的质量关系是:m1=m2十m3,这时弹簧秤的 读数为T,若把物体m2从右边移到左边的物体m1上,弹簧秤的读数T将( ) A.增大; B.减小; C.不变; D.无法判断

【解析】 解法 1:移 m2 后,系统左、右的加速度大小相同方向相反,由于 ml 十 m2 >m3,故系统的重心加速下降,系统处于失重状态,弹簧秤的读数减小, B 项正确。 / 解法 2::移后设连接绳的拉力为 T ,系统加速度大小为 a。 / 对(ml+m2):(m1+m2)g 一 T =(ml+m2)a; / 对 m3:T 一 m3g=m3a

m
1

m m
2 3

2m3 g ?m1 ? m2 ? 消去 a,可解得 T ? 。 m1 ? m2 ? m3
/
/

对滑轮稳定后平衡:弹簧秤的读数 T=2T , 移动前弹簧秤的读数为 2(m1+m2+m3)g, 比较可得移动后弹簧秤的读数小于 2(m1+m2+m3) g。 故 B 项正确。

【例 3】如图所示,有一个装有水的容器放在弹簧台秤上,容器内有一只木 球被容器底部的细线拉住浸没在水中处于静止, 当细线突然断开, 小球上升 的过程中,弹簧秤的示数与小球静止时相比较有’(C) A.增大; B.不变; C.减小; D.无法确定 解析:当细线断后小球加速上升时处于超重状态,而此时将有等体积的“水球”加速下降处 于失重状态;而等体积的木球质量小于“水球”质量,故总体体现为失重状态,弹簧秤的示 数变小.

【例 4】如图,一杯中装满水,水面浮一木块,水面正好与杯口相平。现在使杯和水一起向 上做加速运动,问水是否会溢出?

【解析】本题的关键在于要搞清这样的问题:当水和木块加速向上运动时,木块排开水的体 积是否仍为 V,它所受的浮力是否与静止时一样为ρ水 gv?我们采用转换的方法来讨论该问 题。 设想在水中取一块体积为 V 的水,如图所示,它除了受到重力,还要受到周围水的浮力 F,当杯和水向上运动时,它将和周围水一起向上运动,相对于杯子不会有相对运动。则 F -mg=ma,F= m(g+a)=ρ水 V(g+a)。 现在,如果把这块水换成恰好排开水的体积为 V 的木块,显然,当水和木块一起向上做 加速运动时,木块所受到周围水对它的浮力也应是ρ水 V(g+a),木块的加速度为 a 木=F 合/m 水=
? 水V ?g ? a ? ? m水 g
m水

=

m水 ? g ? a ? ? m水 g m水

=a,(m 水=ρ水 V)

可见,木块排开水的体积不会增加,所以水不会溢出

应用牛顿运动定律解题的科学方法
整体法
例 1: 如图 1—1 所示, 人和车的质量分别为 m 和 M , 人用水平力 F 拉绳子,图中两端绳子均处于水平方向,不 计滑轮质量及摩擦,若人和车保持相对静止,且水平地面 是光滑的,则车的加速度为 。 解析:要求车的加速度,似乎需将车隔离出来才能求 解,事实上,人和车保持相对静止,即人和车有相同的加 速度,所以可将人和车看做一个整体,对整体用牛顿第二 定律求解即可。 将人和车整体作为研究对象,整体受到重力、水平面的支持力和两条绳的拉力。在竖 直方向重力与支持力平衡,水平方向绳的拉力为 2F ,所以有: 2F 2F = (M + m)a ,解得:a = M?m 例 2:如图 1—6 所示,质量为 M 的平板小车放在倾 角为 θ 的光滑斜面上(斜面固定),一质量为 m 的人在车 上沿平板向下运动时,车恰好静止,求人的加速度。 解析:以人、车整体为研究对象,根据系统牛顿运动 定律求解。如图 1—6—甲,由系统牛顿第二定律得: (M + m)gsinθ = ma 解得人的加速度为 a =
M?m gsinθ m

隔离法
隔离法就是从整个系统中将某一部分物体隔离出来, 然后单独分析被隔离部分的受力情 况和运动情况, 从而把复杂的问题转化为简单的一个个小问题求解。 隔离法在求解物理问题 时,是一种非常重要的方法,学好隔离法,对分析物理现象、物理规律大有益处。 例 1:两个质量相同的物体 1 和 2 紧靠在一起放在光滑水 平桌面上,如图 2—1 所示,如果它们分别受到水平推力 F1 和 F2 作用,且 F1>F2 , 则物体 1 施于物体 2 的作用力的大小为 ( ) F ?F F ?F A.F1 B.F2 C. 1 2 D. 1 2 2 2 解析:要求物体 1 和 2 之间的作用力,必须把其中一个隔离出来分析。先以整体为研究 对象,根据牛顿第二定律:F1-F2 = 2ma ① 再以物体 2 为研究对象,有 N-F2 = ma ② F ?F 解①、②两式可得 N = 1 2 ,所以应选 C 2 例 2:如图 2—2 在光滑的水平桌面上放一物体 A ,A 上再放 一物体 B ,A 、B 间有摩擦。施加一水平力 F 于 B ,使它相对于 桌面向右运动,这时物体 A 相对于桌面( ) A.向左动 B.向右动 C.不动 D. 运动, 但运动方向不能判断[来源:21

世纪教育网] 解析:A 的运动有两种可能,可根据隔离法分析 设 AB 一起运动,则:a =
F ;AB 之间的最大静摩擦力:fm = μmBg mA ? mB mA F 时,AB 一起向右运动。 mB (mB ? mA )g

以 A 为研究对象:若 fm≥mAa ,即:μ≥ 若 μ<

mA F ,则 A 向右运动,但比 B 要慢,所以应选 B mB (mB ? mA )g

例 3:如图 2—4 所示,用轻质细绳连接的 A 和 B 两个物体,沿着倾角为α 的斜面匀速 下滑,问 A 与 B 之间的细绳上有 弹力吗? 解析:弹力产生在直接接触并发生了形变的物体之间,现在细绳 有无形变无法确定。所以从产生原因上分析弹力是否存在就不行了, 应结合物体的运动情况来分析。 隔离 A 和 B ,受力分析如图 2—4 甲所示,设弹力 T 存在,将各 力正交分解,由于两物体匀速下滑,处于平衡状态,所以有: mgAsinα = T + fA ① mgBsinα + T = fB ② 设两物体与斜面间动摩擦因数分别为 μA 、μB ,,则: fA = μANA = μAmAgcosα ③ fB = μBNB = μBmBgcosα ④ 由以上①②③④可解得: T = mAg (sinα—μAcosα)和 T = mBg (μBcosα—sinα) 若 T = 0 ,应有:μA = tanα ,μB = tanα 由此可见,当 μA = μB 时,绳子上的弹力 T 为零。 若 μA≠μB ,绳子上一定有弹力吗? 我们知道绳子只能产生拉力。当弹力存在时,应有:T>0 ,即:μA<tanα ,μB>tanα 所以只有当 μA<μB 时绳子上才有弹力。 3.用极端分析法分析临界条件 若题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等词语时,一般都有临界现象出现,分析 时,可用极端分析法,即把问题(物理过程)推到极端(界),分析在极端情况下可能出现 的状态和满足的条件,应用规律列出在极端情况下的方程,从而暴露出临界条件. 【例 1】如图,一个质量为 0.2 kg 的小球用细绳吊在倾角θ =530 的斜面顶端,斜面静止时球紧靠在斜面上,绳与斜面平行,不计 摩擦,当斜面以 10 m/s2 的加速度向右运动时,求绳子的拉力及 斜面对小球的弹力. 解析:把加速度 a 推到两个极端来分析:当 a 较小(a=0)时, 小球受到重力、绳的拉力、斜面的支持力的作用,此时,绳平行于斜面;当 a 足够大时,小 2 球将“飞离”斜面,此时绳与水平方向的夹角未知,那么 a=10m/s 向右时,究竟是上述两 种情况中的哪能一种呢?必须先求出小球离开斜面的临界值 a0,然后才能确定. 设小球处在刚离开斜面或刚不离开斜面的临界状态(N 刚好为零)时斜面向右的加速度 为 a0,此时对小球由牛顿第二定律得 Tcosθ=ma0………① Tsinθ-mg=0………② 2 由①②式解得 a0=gCtgθ=7.5m/s . 2 由于斜面的加速度 a=10m/s >a0,可知小球已离开斜面.则 T=

?mg ?2 ? ?ma ?2

=2.83 N,

N=0.

说明: 若斜面体向左加速运动, 小球及绳将可能处于何种状态?斜面体对地面的压力在向右 加速和向左加速时比(M+m)g 大还是小? 4.用假设法分析物体受力 在分析某些物理过程时, 常常出现似乎是这又似乎是那的多种可能性, 难以直观地判断 出来.此时可用假设法去分析. 方法 I;假定此力不存在,根据物体的受力情况分析物体将发生怎样的运动,然后再确定 此力应在什么方向,物体才会产生题目给定的运动状态. 方法Ⅱ:假定此力存在,并假定沿某一方向,用运动规律进行分析运算,若算得结果是正 值,说明此力确实存在并与假定方向相同;若算得的结果是负值,说明此力也确实存在,但 与假定的方向相反;若算得的结果是零,说明此力不存在. 例 1:如图 10—2 所示,甲、乙两物体质量分别为 m1 = 2kg ,m2 = 3kg ,叠放在水平 桌面上。已知甲、乙间的动摩擦因数为 μ1 = 0.6 ,物体乙与平面 间的动摩因数为 μ2 = 0.5 ,现用水平拉力 F 作用于物体乙上,使 两物体一起沿水平方向向右做匀速直线运动,如果运动中 F 突然 变为零,则物体甲在水平方向上的受力情况(g 取 10m/s2) A、大小为 12N ,方向向右 B、大小为 12N ,方向向左 C、大小为 10N ,方向向右 D、大小为 10N ,方向向左 解析:当 F 突变为零时,可假设甲、乙两物体一起沿水平方运动,则它们运动的加速 度可由牛顿第二定律求出。 由此可以求出甲所受的摩擦力, 若此摩擦力小于它所受的滑动摩 擦力,则假设成立。反之不成立。 如图 10—2 甲所示。假设甲、乙两物体一起沿水平方向运动,则由 牛顿第二定律得: f2 = (m1 + m2)a ① f2 = μN2 = μ2 (m1 + m2)g ② 2 由①、②得:a = 5m/s 可得甲受的摩擦力为 f1 = m1a = 10N 因为 f = μ1m1g = 12N f1<f 所以假设成立,甲受的摩擦力为 10N ,方向向左。应选 D 。 例 2:一升降机在箱底装有若干个弹簧,如图 10—3 所示,设在 某次事故中,升降机吊索在空中断裂,忽略摩擦力,则升降机在从弹 簧下端触地后直到最低点的一段运动过程中( ) A、升降机的速度不断减小 B、升降机的速度不断变大 C、先是弹力小于重力,然后是弹力大于重力 D、到最低点时,升降机加速度的值一定大于重力加速度的值 解析:升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程, 它受重力、弹簧弹力两个力作用。开始时,弹簧形变较小,弹力较小, 弹力小于重力;弹簧形变逐渐增大,当弹力等于重力时速度增大到最大;此后弹簧继续被压 缩,弹力继续增大,弹力大于重力,速度开始减小,最后减为零, 因而速度是先增大后减小, 所以选项 C 正确,A、B 错误。 假设升降机前一运动阶段只受重力作用,做初速度为零的匀加速直线运动,它下降了 h 高度,末速度为 v ,则:v2 = 2gh 后一运动阶段升降机只受弹力作用,做初速度为 v 、末速度为零的匀减速直线运动, 把弹簧压缩了 x ,则:v2 = 2ax; 所以 2gh = 2ax

?F 而a= = m

0 ? kx 2 ,所以:2gh = 2 ( kx )x ,即: kx = 2h m mg x 2m

因为 h>x ,所以 提高题

kx kx ? mg 2mg ? mg >2 ,即: a 低 = > = g ,所以选项 D 也正确。 mg m m

1。如图所示,将 m A ? 5kg 的物体放在 mB ? 2kg 的木板上。A 和 B 间的动摩擦因数

?1 ? 0.2 ,B 与地面间的动摩擦因数 ? 2 ? 0.1 。取 g ? 10 m / s 2 。求:
(1) 要使木板 B 和物体 A 一起做匀速直线运动,作用在物体 A 上的力 F1 为多少? (2) 要使木板 B 和物体 A 保持相对静止,并一起做匀加速运动, 作用在物体 A 上的力 F2 范围应为多少?

2。如图所示,质量 M ? 10kg 的斜块静止于粗糙的水平面上,斜块与地面间的动摩擦因 数 ? ? 0.02 。斜块的倾角为 ? ? 30 ,在斜面上有一质量 m ? 1kg 、的物块由静止开始沿斜
0

面下滑。当滑行路程 s ? 1.4m 时,其速度 v ? 1.4m / s 。在这个 过程中斜块没有移动。求地面对斜块的摩擦力的大小和方向( g ? 10 m / s )
2

3。如图所示,传送带与地面倾角 ? ? 37 ,从 A 到 B 长度为 16 m ,传送带以 10m/ s 的
0

速率逆时针转动,在传送带上端 A,无初速地放一 个质量为 0.5kg 的物体(可视为质点),它与传送 带之间的动摩擦因数为 0.5 ,求物体由 A 运动到 B 所 需 的 时 间 ? ( g ? 10 m / s , sin 37 ? 0.6, cos37 ? 0.8 )
2 0 0

4。如右上图所示的三个物体质量分别为 m1、m2 和 m3 ,其中,带有滑轮的物体 m1 放在 光滑的水平面上, 滑轮和所有接触面的摩擦及绳子的质量均忽略不计, 为使三个物体无相对 滑动,水平推力 F 应满足条件 __________ __________ _ 。 5。如图所示,A、B 并排紧贴着放在光滑的水平面上,用力 F1 和 F2 同时推 A 和 B,如果

F1 ? 10 N , F2 ? 6 N , m A ? mB ,则 A、B 间压力的范围是



6。在光滑是水平轨道上有两个半径都是 r 的小球 A 和 B,质量分别为 m 和 2m ,当两球心 间的距离大于 L 时( L 比 2r 大得多),两球之间无相互作用力;当两球心间的距离等于 L 或小于 L 时,两球存在相互作用斥力 F 。设 A 球从远离 B 球处以速度 v 0 沿两球连心线向原 来静止的 B 球运动,如右上图所示,欲使两球不接触, v 0 必须满足什么条件?

7。如图所示,两个物体的质量分别为 m1 ? 15kg , m2 ? 20 kg ,作用 在 m1 上的水平力 F ? 280 N 。设所有的接触面都光滑。求: (1)两物体间的相互作用力的大小。 (2) m1、m2 的加速度的大小和方向

21 世纪教育网 8。如图所示,台秤上放一个装满水的杯子,杯底处粘连一细线,细线上端系一个木球浮 在水中。若细线突然断开,木球将加速上浮。已知水的密度为 ? 1 ,木球质量 为 m ,密度为 ? 2 ,不计水的阻力,则木球在上升过程中台秤的读数与木球静 止时台秤的读数相比变化了多少?

9。如图所示,物体 A 放在物体 B 上,物体 B 放在光滑的水平面上。 已知 m A ? 6kg , mB ? 2kg ,A、B 间的动摩擦因数 ? ? 0.2 。 A 物体上系一细线,细线能承受的最大拉力是 20 N ,水平向右拉 细线, g ? 10 m / s 。下列叙述中正确的是(
2



A 当拉力 F ? 12 N 时,A 静止不动 B 当拉力 F ? 12 N 时,A 相对于 B 滑动 C 当拉力 F ? 16 N 时,B 所受摩擦力为 4 N D 无论拉力 F 多大,A 相对于 B 一定静止 10。如右上图所示,固定在卡车上的粗绳拖着一根圆木, 欲使圆 木与绳成一直线,已知圆木长为 L ,绳长为 b ,绳子在卡车上的固定点离地高 h ,绳子质量不 计,则卡车的加速度是多大?

11、(奥赛题目)质量分别为 m1 和 m2 的两个小物块用轻绳连结,绳跨过位于倾角? =30? 的光滑斜面顶端的轻滑轮, 滑轮与转轴之间的磨擦不计, 斜面固定在水平桌面上, 如图所示。 第一次,m1 悬空,m2 放在斜面上,用 t 表示 m2 自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端所需 的时间。第二次,将 m1 和 m2 位置互换,使 m2 悬空,m1 放在斜面上,发现 m1 自斜面底端 由静止开始运动至斜面顶端所需的时间为 t/3。求 ml 与 m2 之比。

动力学答案
基础题:1、D,2、D,3、C,4、B,5、C,6、A。 7.4.5 ? 10
4

8.504

9..解题思路:两质点碰撞问题要特别注意两质点位移、时间的关系! 本题中汽车的驾驶员发现货车到停止走的总位移要小于等于 s,这就需要汽车轮与地面间 的动摩擦因数 μ 要尽可能大(以增加阻力);要注意汽车的总位移要包括在反应时间内的匀 速运动的位移以及匀减速运动的位移。 特别注意解答的规范性。如单位的统一;必要的文字说明;必要的表达式。看参考答案, 细心体会一下怎样才能很好的写出得分点从而取悦于评卷员! 解、小汽车的初速度 v0=108km/h=30m/s (1 分) 在反应时间内小汽车作匀速运动,位移设为 s1,s1=v0t=30m/s×0.6s=18m (1 分) 刹车后汽车滑行的距离设为 s2 ,s2=s-s1=110m-18m=92m (1 分) 即刹车后汽车匀减速运动位移为 92m 刹车过程小汽车的加速度

a?

2 vt2 ? v0 0 ? 302 ? ? ?4.9 m (1 分,无负号同样给分) 2s 2 ? 92

根据牛顿第二定律 a=

F m

(1 分)

a?

? mg
m

? ?g

(1 分)

??

a 4.9 ? ? 0.5 g 9.8

(1 分)

车轮与地面间的动摩擦因数 μ 至少要达到 0.50 才不会发生碰撞事故 提高题 1。(1)以 A 为研究对象,其受力如左图

F1 ? f
以 B 为研究对象,其受力如右图

f ? f 地 ? ? 2 ( m A ? mB ) g
即 F1 ? ? 2 (m A ? mB ) g ? 0.1 ? (2 ? 5) ? 10 N ? 7 N (2)以 A、B 组成的整体为研究对象,其受力如图

a?

F2 ? ? 2 (m A ? m B ) g F2 ? 7 ? (1) (m A ? m B ) 7
F2 ? f 静 mA ? F2 ? f 静 5
(2)

以 A 为研究对象,其受力如右上图: a ?

f 静 ? ?1 N ? ?1m A g ? 0.2 ? 5 ? 10 N ? 10 N (3) (1) (2) (3) 由 、 、 式可得 F2 ? 17.5 N
故要使 A、B 一起做匀加速运动,必须满足 7 N ? F2 ? 17.5 N 。

2。以物块 m 为研究对象,设其加速度大小为 a ,方向沿斜面向下 由 2ax ? v ? v0 可得
2 2

a?

2 v 2 ? v0 1.4 2 ? m / s 2 ? 0.7m / s 2 2x 2 ? 1.4

将加速度 a 分解为水平向左的加速度 a x ,和竖直向下的加速度 a y ,如右上图

a x ? a cos?,a y ? a sin?
以斜面和物块组成的整体为研究对象,设其所受摩擦力水平向左, 其受力如图所示,由质点组牛顿第二定律可得

f ? MaMx ? ma x ? ma x ? 1 ? 0.7 ?

3 N ? 0.61N 2

正号表示 f 的方向跟假设方向相同,即水平向左。 3。物体放上传送带后,开始的阶段,由于传送带速度大于物体的速度,传送带给物体一沿 传送带向下的滑动摩擦力,物体受力情况是受重力、垂直传送带向上的支持力、沿传送带向 下的摩擦力,物体由静止加速,由牛顿第二定律得:

mg sin? ? ?mg cos? ? ma1 , a1 ? 10m / s 2 21 世纪教育网
物体加速至与传送带速度相等需要的时间 t1 ?

v ? 1s , 由于 ? ? tan? ,物体在重力作用 a1

下将继续加速运动, 当物体速度大于传送带速度时, 传送带给物体一沿传送带向上的滑动摩 擦力,此时物体受力情况是受重力、垂直传送带向上的支持力、沿传送带向上的摩擦力,由 牛顿第二定律有:

mg sin? ? ?mg cos? ? ma 2 ,
设后一阶段物体运动时间为 t 2 ,由 L ? S ? vt2 ? 所以物体由 A ? B 的时间 t ? t1 ? t 2 ? 2s 4。 F ?

a 2 ? 2m / s 2

1 2 a2 t 2 ,解得 t 2 ? 1s,t 2 ? ?11s(舍去) , 2

(m1 ? m2 ? m3 )m2 g m3

解:要使三个物体无相对滑动,必须满足三个物体具有相同的加速度,即加速度方向水平向 右。 以 m 2 为研究对象,其受力如左图

T ? m2 g
以 m3 为研究对象,其受力如右中图

a?

m g T ? 2 (1) m3 m3

以三个物体组成的整体为研究对象,其受力如右图

a?

F (2) m1 ? m2 ? m3

由(1)、(2)可得

F?

(m1 ? m2 ? m3 )m2 g [来源:21 m3

世纪教育网] 5。 8N ? N ? 10 N 对整体:

提示:设 A、B 间的压力为 N 。 对 A:

F1 ? F2 ? (m A ? mB )a
N ? 10 ? 4m A ? 10 ? m A ? mB

F1 ? N ? m A a

代入数值

4 m 1? B mA

因为 m A ? mB ,所以当 m A ? mB 时, N min ? 8 N 当 m A ?? mB 时, N max ? 10 N

6。A、B 在水平方向受力 情况及运动情况的示意图如图所示,要使 A、B 不发生接触,必 须满足:当 v A ? v B 时 由牛顿第二定律有 由运动学公式

S A ? S B ? L ? 2r F ? 2ma B

F ? ma A
v A ? v0 ? a A t

vB ? aB t

1 S A ? v0 t ? a A t 2 2
联立解得:

SB ?

1 aBt 2 2

v0 ?

3F ( L ? 2r ) m
0

7。以 m1 为研究对象,其受力分析如图,由牛顿第二定律有 F ? N sin 45 ?m1 a1 (1)

以 m 2 为研究对象,其受力分析如右上图,由牛顿第二定律有

1 a t2 S2 2 2 N cos 45 0 ? m2 g ? m2 a 2 (2) 由位移关系 ? ? tan 45 0 可知 a1 ? a2 (3) S1 1 2 a1t 2
由(1)、(2)、(3)可得: N ?
Fm2 ? m1 m2 g 280 ? 20 ? 15 ? 20 ? 9.8 ? N ? 345 N 0 0 m1 cos 45 ? m2 sin 45 2 2 15 ? ? 20 ? 2 2

a1 ? a 2 ?

F ? m2 g 280 ? 20 ? 9.8 ? m / s 2 ? 2.4m / s 2 m1 ? m2 15 ? 20

a1 方向水平向右, a 2 方向竖直向上。

8。分析:细线未断时,台秤示数为杯、水和木球重力之和;细线断开后,木球加速上浮, 处于超重状态,但在木球上浮的同时,在由杯、水和木球组成的系统中有一与木球等体积的 “水球”在加速下沉,所以系统质心的加速度方向向下,系统处于失重状态,可见,对系统 (整体)使用牛顿定律可以方便地求解此题。 解:设静止时台秤读数为 F0 ,水和杯的总质量为 M ,有 F0 ? ( M ? m) g 细线断开后,根据质点组的牛顿第二定律,对杯、水和木球系统(向上为正)有

F ? ( M ? m) g ? ma ? m水 a
式中 F 为台秤读数, m ? ? m 为与木球等体积的水球质量。所以台秤读数的变化 1 水
?2

?F ? F ? F0 ? (m ? m水)a
又根据牛顿第二定律,对木球有: m水 g ? mg ? ma 。( F浮 ? m水 g ) 解得 ?F ?

? ( m ? m水 ) 2 m
2

mg ? ?(1 ?

?1 2 ) mg 。(负号表示减小) ?2

故台秤读数减小了 (1 ?

?1 2 ) mg 。 ?2

9。分析:物体 A、B 间是否发生相对运动,应看 A、B 间的静摩擦力是否达到最大值

f m ? ?N ? ?m A g ? 12 N ,而不应看拉力是否等于最大静摩擦力 F ? f m 。无论 A、B 间
是否有相对滑动,根据质点组的牛顿定律作整体分析可知,A、B 两物体组成的系统所受的 合外力 F ? 0 ,故 A、B 总具有加速度。解此题还应注意的最大值受限制的。 解: 因为无论是否小于 f m , 相对于地面都不会静止, A 所以选项 A 错。 因为当 F ? f m ? 12 N 或略大于 f m 时,A、B 间的摩擦力还不能达到 f m ,A、B 不能发生相对滑动。即使 F 达到 最大值 F ? 20 N ,此时 A、B 间的摩擦力 f ?

F m B ? 5 N ? f m ,A、B 仍不会相 m A ? mB

对滑动,所以选项 B 不对。又因为可求出当 F ? 16 N 时, f ? 4 N ,故选项 C 对。所以 C、

D 选项正确。 10。设卡车的加速度为 a 时,圆木与绳成一直线,假设地面对 圆木有弹力的作用,以卡车为参考系,圆木的受力如图所示。 以质心为转动轴,圆木相对于卡车处于转动平衡,因为 mg ,

F绳 和惯性力 F惯 都对圆木没有转动效果。
而 N、f 的转动效果都是顺时针方向的,故圆木不可能 处于转动平衡状态。因此地面对圆木没有弹力作用,也没有摩擦力作用。即圆木受力应为:

F绳 cos? ? ma

F绳 sin ? ? mg
( L ? b) 2 ? h 2 h

由上面两式可得: a ? g cot? ? g

也就是当 a ? g

( L ? b) 2 ? h 2 时,圆木与绳成一直线。 h

11、第一次,小物块受力情况如图所示,设T1为绳中张力,a1为两物块加速度的大小,l为斜 面长,则有

m1 g ? T1 ? m1a1 T1 ? m2 g sin ? ? m2 a1

(1) (2) (3)

1 l ? a1t 2 2

第二次,m1与m2交换位置.设绳中张力为T2,两物块加速度的大小为a2,则有

m2 g ? T2 ? m2 a2

(4)

T2 ? m1 g i n ? m a s ? 1 2

(5)

1 ?t? l ? a2 ? ? 2 ? 3?

2

(6)

由(1)、(2)式注意到? =30?得

a1 ?

2m1 ? m2 g 2(m1 ? m2 ) 2m2 ? m1 g 2(m1 ? m2 )
(9)

(7)

由(4)、(5)式注意到? =30?得

a2 ?

(8)

由(3)、(6)式得: a1 ?

a2 9

由(7)、(8)、(9)式可解得

m1 11 ? m2 19

(10)

4 曲线运动

一、复习基础知识点
一、考点内容 1.运动的合成与分解。 2.曲线运动中质点的速度沿轨道的切线方向,且必具有加速度。21 世纪教育网 3.平抛运动;斜抛运动。 4.匀速率圆周运动、线速度和角速度、周期;圆周运动的向心力、向心加速度。 5.离心运动 二、知识结构

? ?曲线运动的速度方向 ?曲线运动? ?做曲线运动的条件 ? ? ? ?合速度 ? ?合运动? ? ?合位移 ? ? ? ? ?分速度 ? ?运动的合成和分解?分运动? ? ?分位移 ? ? ? ? ? ?运动的合成与分解 ? 平行四边形定则 ? ? ? ?水平方向匀速直线运动 ? 曲线运动?平抛物体运动规律? ?竖直方向自由落体运动 ? ? ?水平方向以初速度v0 x ? v0 cos?做匀速运动 ?斜抛运动的规律? ? ? ?竖直方向以初速度v y ? v0 sin ?做竖直上(或下)抛运动 ? ? ? ? ?线速度、角速度 ? ? ? ?基本概念?周期、频率 ? ?向心力、向心加速度 ?匀速圆周运动? ? ? ? 三、 ?应用实例 ? ? ? ? ? ?
复习思路 复习本单元除了掌握基础知识点外, 要掌握处理问题的基本方法, 如运动合成和分解的方 法、平行四边形定则等;同时要学会应用基本规律处理实际问题,如运动学公式、牛顿第二 定律、万有引力规律的应用;还要掌握主要物体运动形式的规律,如平抛物体运动的规律和 匀速圆周运动的规律。 做好本单元的复习,应注意做好以下几点: 1.运动的合成与分解是本单元的难点,在学习中,要明确合成与分解的定则,以及实际 运动或运动量的合成与分解,并了解运动的独立性和等时性。 2.小船渡河问题和绳拉物体问题都是运动的合成与分解的典型例子,分析这些问题时要 搞清运动分解的根据——效果。通过训练,应熟练掌握。 3.对于曲线运动要搞清曲线运动瞬时速度的方向、曲线运动的条件,能按照曲线运动的 形状判断合力的大体方向。结合平抛运动和圆周运动弄清曲线运动的条件和性质。 4.在圆周运动中,要明确向心力与物体的合外力的关系。在匀速圆周运动中,合外力就

是向心力,另外对具体问题要会分析什么力提供向心力。

F ?m

v2 ? m? 2 r 是牛顿第二 r

定律在圆周运动中的应用。 5.从近几年高考看,本单元主要考查对平抛运动是水平方向匀速直线运动和竖直方向自 由落体运动的合运动的 理解。熟练掌握运动的合成与分解,理解并掌握匀速圆周运动及重 要公式,如线速度、角速度、向心力等。考题多为主观性较强的综合性试题,考题知识覆盖 面宽,一题中考查的知识点多,更多的是与电场、磁场、机械能相结合的综合题,以及与实 际生活、新科技、新能源等相结合的应用性题型,在学习过程中要加强本单元知识的综合及 应用题训练。 基础题 1.平抛物体的运动规律可以概括为 两点:(1)水平方 向做匀速运动;(2)竖直方向做 自由落体运动。为了研究平抛物体的运动,可做下面的实验:如图所示,用小锤打击弹性金 属片,A 球就水平飞出,同时 B 球被松开,做自由落体运动,两球同时落 到地面。这个实验: A、只能说明上述规律中的第(1)条 B、只能说明上述规律中的第(2)条 C、不能说明上述规律中的任何一条 D、能同时说明上述两条规律 2.一物体由静止开始自由下落一小段时间后突然受一恒定的水平风力的影响,则其运动 轨 迹 可 能 的 情 况 是 图 中 的: 3.甲、乙两物体做匀速圆周运动,其质量之比为 1:2,转动半径之比为 1:2,在相等时 间里甲转过 600,乙转过 450,则它们所受合外力之比为: A、1:4 B、2:3 C、4:9 D、9:16 4.排球场总长 18m,网高 2.25 m,如图所示,设对方飞来一球,刚好在 3m 线正上方被 我方运动员后排强攻击回。 假设排球被击回的初速度方向是水平的, 那么可认为排球被击回 时做平抛运动。(g 取 10m/s2) (1)若击球的高度 h=2.5m,球击回的水平速度与底线垂直,球既不能触网又不出底线, 则球被击回的水平速度在什么范围内? (2)若运动员仍从 3m 线处起跳,起跳高度 h 满足一定条件 时,会出现无论球的水平初速多大都是触网或越界,试 求 h 满足的条件。

二、从高考到初赛要求知识要点分析 一、运动的合成与分解 1、标量和矢量

物理量分为两大类:凡是只须数值就能决定的物理量叫做标量,例如:时间、路程、质 量、温度、功和能量等;另一类,既有大小,也需要方位和指向才能确定的物理量叫做失 量,例如:位移、速度、加速度、力、动量都是矢量。标量和矢量在进行运算时遵守不同 的法则,标量的运算遵守代数法则如加、减、乘、除等。而矢量的运算不能用上述法则。中 学常用的矢量运算是所谓矢量的合成与分解, 这种运算都遵守平行四边形定则 (或三角形法 则)。当矢量在一条直线上合成和分解时,规定正方向后,可转化为代数运算。 2.运动的合成 由已知的分运动求其合运动叫运动的合成.这既可能是一个实际问题,即确有一个物体 同时参与几个分运动而存在合运动; 又可能是一种思维方法, 即可以把一个较为复杂的实际 运动看成是几个基本的运动合成的, 通过对简单分运动的处理, 来得到对于复杂运动所需的 结果. 描述运动的物理量如位移、速度、加速度都是矢量,运动的合成应遵循矢量运算的法则: (1)如果分运动都在同一条直线上,需选取正方向,与正方向相同的量取正,相反的量取 负,矢量运算简化为代数运算. (2)如果分运动互成角度,运动合成要遵循平行四边形定则. 3.合运动的性质取决于分运动的情况: ①两个匀速直线运动的合运 动仍为匀速直线运动. ②一个匀速运动和一个匀变速运动的合运动是匀变速运动, 二者共线时, 为匀变速直线运动, 二者不共线时,为匀变速曲线运动。 ③两个匀变速直线运动的合运动为匀变速运动, 当合运动的初速度与合运动的加速度共线时 为匀变速直线运动,当合运动的初速度与合运动的加速度不共线时为匀变速曲线运动。 3、运动的分解 1.已知合运动求分运动叫运动的分解. 2.运动分解也遵循矢量运算的平行四边形定则. 3.将速度正交分解为 vx=vcosα 和 vy=vsinα 是常用的处理方法. 4.速度分解的一个基本原则就是按实际效果来进行分解,常用的思想方法有两种:一种思 想方法是先虚拟合运动的一个位移, 看看这个位移产生了什么效果, 从中找到运动分解的办 法; 另一种思想方法是先确定合运动的速度方向 (物体的实际运动方向就是合速度的方向) , 然后分析由这个合速度所产生的实际效果,以确定两个分速度的方向. 4、合运动与分运动的特征: (1)等时性:合运动所需时间和对应的每个分运动所需时间相等. (2)独立性:一个物体可以同时参与几个不同的分运动,各个分运动独立进行,互不影响. (3)等效性:合运动和分运动是等效替代关系,不能并存; (4)矢量性:加速度、速度、位移都是矢量,其合成和分解遵循平行四边形定则。 【例1】如图所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A,小车下装有吊着物体B的吊 钩. 在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时, 吊钩将物体B向上吊起, A、B之间的距离以 d ? H ? 2t
2

(SI)(SI表示国际单位制,式中H为

吊臂离地面的高度)规律变化,则物体做 (A)速度大小不变的曲线运动. (B)速度大小增加的曲线运动. (C)加速度大小方向均不变的曲线运动. (D)加速度大小方向均变化的曲线运动. 答案:B C 5、物体做曲线运动的条件

1.曲线运动是指物体运动的轨迹为曲线;曲线运动的速度方向是该点的切线方向;曲线运 动速度方向不断变化,故曲线运动一定是变速运动. 2.物体做一般曲线运动的条件:运动物体所受的合外力(或加速度)的方向跟它的速度方 向不在同一直线上(即合外力或加速度与速度的方向成一个不等于零或π 的夹角). 说明: 当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为锐角时, 物体做曲线运动速率将增 大, 当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为钝角时, 物体做曲线运动的速率将减小。 3.重点掌握的两种情况:一是加速度大小、方向都不变的曲线运动,叫匀变曲线运动,如平 抛运动;另一是加速度大小不变、方向时刻改变的曲线运动,如匀速圆周运动. 规律方法 1、运动的合成与分解的应用 合运动与分运动的关系:满足等时性与独立性.即各个分运动是独立进行的,不受其他运动 的影响,合运动和各个分运动经历的时间相等,讨论某一运动过程的时间,往往可直接分析 某一分运动得出. 【例 2】小船从甲地顺水到乙地用时 t1,返回时逆水行舟用时 t2,若水不流动完成往返用时 t3,设船速率与水流速率均不变,则( ) A.t3>t1+t2 ; B.t3=t1+t2; C.t3<t1+t2 ; D.条件不足,无法判断 解析:设船的速度为 V,水的速度为 v0, 则 t1 ?

2VS S S 2S , t2 ? , t3 ? , 因此t1 ? t 2 ? 2 2 V ? v0 V ? v0 V V ? v0
<
V

?

2S v2 V? 0

2S ,故选 C V

【例 3】如图所示,A、B 两直杆交角为 600,交点为 M,若两杆 各以垂直于自身的速度 V1、V2 沿着纸面运动,V1= V2=1m/s,则 交点 M 的速度为多大? 解析:如图所示,若 B 杆不动,A 杆以 V1 速度运动,交点将沿 B
/ / 杆移动,速度为 V 1 ,V 1 =V1/sinθ.若 A 杆不动,B 杆移动时, / / 交点 M 将沿 A 杆移动,速度为 V 2 ,V 2 =V2/sinθ.两杆一起移动时,交点 M 的速度 vM 可看

成 两 个 分 速 度

V

/ 1



V

/ 2

的 合 速 度 , 故

vM

的 大 小 为

/ / 2 2 vM= v1/ 2 ? v 2 2 ? 2v1/ v 2 cos 180 0 ? ? = v1 ? v 2 ? 2v1v 2 cos ? / sin ? = 3 /2 m/s

?

?

【例 4】玻璃板生产线上,宽 9m 的成型玻璃板以 4 3 m/s 的速度连续不 断地向前行进,在切割工序处,金刚钻的走刀速度为 8m/s,为了使割下的 玻璃板都成规定尺寸的矩形, 金刚钻割刀的轨道应如何控制?切割一次的时 间多长? 解析:要切成矩形则割刀相对玻璃板的速度垂直 v,如图 设 v 刀与 v 玻方向夹角为θ,cosθ=v 玻/v 刀=4 3 /8,则θ=30 。
2 2 v= v刀 ? v玻 = 64 ? 48 =4m/s。
0

时间 t=s/v=9/4=2.45s
【例 5】如图所示的装置中,物体 A、B 的质量 mA>mB。最初,滑轮 两侧的轻绳都处于竖直方向,若用水平力 F 向右拉 A,起动后,使 B 匀速上升。设水平地面对 A 的摩擦力为 f,绳对 A 的拉力为 T, ↑B A 则力 f,T 及 A 所受合力 F 合的大小( ) F A.F 合≠O,f 减小,T 增大; B.F 合≠O,f 增大,T 不变; C. F 合=O,f 增大,T 减小; D. F 合=O,f 减小,T 增大;21 世纪教育网 分析:显然此题不能整体分析。B 物体匀速上升为平衡状态, 所受的绳拉力 T 恒等于自身的重力,保持不变。A 物体水平运动, 其速度可分解为沿绳长方向的速度(大小时刻等于 B 物体的速度) 和垂直于绳长的速度 (与 B 物体的速度无关) 写出 A 物体速度与 B 物体速度的关系式, , 可以判断是否匀速,从而判断合力是否为零。 解:隔离 B 物体:T=mBg,保持不变。隔离 A 物体:受力分 析如图所 示,设绳与水平线夹角为θ,则: ①随 A 物体右移,θ变小,由竖直平衡可以判断支持力变 大。由 f= μN,得 f 变大。 ②将 A 物体水平运动分解如图所示,有 vB=vAcosθ,故随 θ变小, cosθ变大,VB 不变,VA 变小,A 物体速度时时改变,必有 F 合≠ O。 所得结论为:F 合≠O,f 变大, T 不变。B 项正确。 【例 6】如图所示,A、B 两物体系在跨过光滑定滑轮的一根轻 绳的两端,当 A 物体以速度 v 向左运动时,系 A,B 的绳分别与 水平方向成 a、β 角,此时 B 物体的速度大小为 , 方向水平向右 解析:根据 A,B 两物体的运动情况,将两物体此时的速度 v 和 vB 分别分解为两个分速度 v1(沿绳的分量) 和 v2(垂直绳的分量)以及 vB1(沿绳的分量) 和 vB2(垂直绳的分量),如图,由于两物体沿绳 的速度分量相等,v1=vB1,vcosα=vBcosβ. 则 B 物体的速度方向水平向右,其大小为 vB ?
cos ? v 21 世纪教育网 cos ?

【例 7】一个半径为 R 的半圆柱体 沿水平方向向右以速度 V0 匀速运动。在半圆柱体上搁置 一根竖直杆,此杆只能沿竖直方向运动,如图 7 所示。当杆与半圆柱体接触点 P 与柱心的 连线与竖直方向的夹角为θ ,求竖直杆运动的速度。 解析:设竖直杆运动的速度为 V1,方向竖直向上, 由于弹力方向沿 OP 方向,所以 V0、V1 在 OP 方向的投影相等,即有 V

V0 sin ? ? V1 cos? ,解得 V1=V0.tgθ.

R θ P O

1

V
0

2、小船渡河问题分析 【例 8】一条宽度为 L 的河,水流速度为 vs,已知船在静水中的航速为 vc,那么,(1)怎 样渡河时间最短?(2)若 vs<vc 怎样渡河位移最小?(3)若 vs>vc,怎样渡河船漂下的距 离最短? 分析与解: (1)如图 2 甲所 B E Vc Vc 示,设船上头斜向上游与河 V1 V V Vc 岸成任意角θ,这时船速在 Vs Vs A α θ Vs θ θ 垂直于河岸方向的速度分量 V2 图 2 甲 图2乙 图2丙 V1=Vcsin θ , 渡 河 所 需 时 间 为:t ?

L .可以看出: Vc sin ?
0

L、Vc 一定时,t 随 sinθ增大而减小;当θ=90 时,sinθ=1,所以,当船头与河岸垂直时, 渡河时间最短, t min ?

L . Vc

(2)如图 2 乙所示,渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于 L,必须使船的合速 度 V 的方向与河岸垂直。这是船头应指向河的上游,并与河岸成一定的角度θ。根据三角函 数关系有:Vccosθ ─Vs=0. 所以θ =arccosVs/Vc,因为 0≤cosθ ≤1,所以只有在 Vc>Vs 时,船才有可能垂直于河岸 横渡。 (3)如果水流速度大于船上在静水中的航行速度,则不论船的航向如何,总是被水冲向下 游。怎样才能使漂下的距离最短呢? 如图 2 丙所示,设船头 Vc 与河岸成θ角,合速度 V 与河岸成α角。可以看出:α角越大, 船漂下的距离 x 越短,那么,在什么条件下α角最大呢?以 Vs 的矢尖为圆心,以 Vc 为半径 画圆, V 与圆相切时, 当 α角最大, 根据 cosθ=Vc/Vs,船头与河岸的夹角应为: θ=arccosVc/Vs. 船漂的最短距离为: x min ? (Vs ? Vc cos? )

L . Vc sin ?

此时渡河的最短位移为: s ?

L V ? s L. cos? Vc

思考:①小船渡河过程中参与了哪两种运动? 这两种运动有何关系? ②过河的最短时间和最短位移分别决定于什么?

二、抛体运动
将质点以一定的初速度抛出后, 只在重力作用下的运动叫做抛体运动, 可分为以下几种: 1.自由落体运动以及竖直上抛运动。(轨迹为直线,我们在第二部分的讲义中有详尽 的分析,在此不再讲解!) 2.平抛物体的运动:将物体沿水平方向抛出,其运动为平抛运动.

(1)运动特点:a、只受重力;b、初速度与重力垂直.尽管其速度大小和方向时刻在改变, 但其运动的加速度却恒为重力加速度 g,因而平抛运动是一个匀变速曲线运动 (2)平抛运动的处理方法:平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由 落体运动。水平方向和竖直方向的两个分运动既具有独立性,又具有等时性.

(3)平抛运动的规律:以物体的出发点为原点,沿水平和竖直方向建成立坐标。 ax=0??① ay=0??④ 水平方向 vx=v0 ??② 竖直方向 vy=gt??⑤ x=v0t??③ y=?gt2??⑥ ①平抛物体在时间 t 内的位移 S 可由③⑤两式推得 s=

?v 0 t ?2 ? ? 1 gt 2 ? ? ?
?2 ?

2

=

t 4 4v0 ? g 2 t 2 , 2

②位移的方向与水平方向的夹角α 由下式决定 tgα =y/x=?gt2/v0t=gt/2v0
2 ③平抛物体经时间 t 时的瞬时速度 vt 可由②⑤两式推得 vt= v 0 ? ?gt ?2 ,

④速度 vt 的方向与水平方向的夹角β 可由下式决定 tgβ =vy/vx=gt/v0 ⑤平抛物体的轨迹方程可由③⑥两式通过消去时间 t 而推得:y= 体运动的轨迹是一条抛物线. ⑥运动时间由高度决定,与 v0 无关,所以 t= 2h / g ,水平距离 x=v0t=v0 2h / g ⑦Δ t 时间内速度改变量相等,即△v=gΔ t,Δ V 方向是竖直向下的.说明平抛运动是匀变 速曲线运动. (4)处理平抛物体的运动时应注意: ① 水平方向和竖直方向的两个分运动是相互独立的, 其中每个分运动都不会因另一个分运 动的存在而受到影响——即垂直不相干关系; ② 水平方向和竖直方向的两个分运动具有等时性,运动时间由高度决定,与 v0 无关; ③ 末速度和水平方向的夹角不等于位移和水平方向的夹 角,由上证明可知 tgβ =2tgα 【例 1】 物块从光滑曲面上的 P 点自由滑下,通过粗糙的 静止水平传送带以后落到地面上的 Q 点,若传送带的皮带 轮沿逆时针方向转动起来,使传送带随之运动,如图 1-16 所示,再把物块放到 P 点自由滑 下则 A.物块将仍落在 Q 点 B.物块将会落在 Q 点的左边 C.物块将会落在 Q 点的右边 D.物块有可能落不到地面上 解答:物块从斜面滑下来,当传送带静止时,在水平方向受到与运动方向相反的摩擦力,物 块将做匀减速运动。 离开传送带时做平抛运动。 当传送带逆时针转动时物体相对传送带都是 向前运动,受到滑动摩擦力方向与运动方向相反。 物体做匀减速运动,离开传送带时,也 做平抛运动,且与传送带不动时的抛出速度相同,故落在 Q 点,所以 A 选项正确。
g
2 2v 0

·x2, 可见,平抛物

【小结】若此题中传送带顺时针转动,物块相对传送带的运动情况就应讨论了。 (1)当 v0=vB 物块滑到底的速度 等于传送带速度,没有摩擦力作用,物块做匀速运动,离开 传送带做平抛的初速度比传送带不动时的大,水平位移也大,所以落在 Q 点的右边。 (2)当 v0>vB 物块滑到底速度小于传送带的速度,有两种情况,一是物块始终做匀加速运 动,二是物块先做加速运动,当物块速度等于传送带的速度时,物体做匀速运动。这两种情 况落点都在 Q 点 右边。 (3)v0<vB 当物块滑上传送带的速度大于传送带的速度,有两种情况,一是物块一直减速, 二是先减速后匀速。第一种落在 Q 点,第二种落在 Q 点的右边。 规律方法 1、平抛运动的分析方法 用运动合成和分解方法研究平抛运动, 要根据运动的独立性理解平抛运动的两分运动, 即水 平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动. 其运动规律 V0 有两部分:一部分是速度规律,一部分是位移规律.对具体的平 V0 A 抛运动, 关键是分析出问题中是与位移规律有关还是与速度规律 Vy1 有关 B θ 【例 2】如图在倾角为 θ 的斜面顶端 A 处以速度 V0 水平抛出一 小球,落在斜面上的某一点 B 处,设空气阻力不计,求 图8 (1)小球从 A 运动到 B 处所需的时间; (2)从抛出开始计时,经过多长时间小球离斜面的距离达到最大? 解析:(1)小球做平抛运动,同时受到斜面体的限制,设从球从 A 运动到 B 处所需的 时间为 t,则:水平位移为 x=V0t

竖直位移为 y=

2V tan? 1 1 2 gt , 由数学关系得到: gt 2 ? (V0 t ) tan? , t ? 0 2 g 2

(2)从抛出开始计时,经过 t1 时间小球离斜面的距离达到最大,当小球的速度与斜面平行 时,小球离斜面的距离达到最大。因 Vy1=gt1=V0tanθ,所以 t1 ?

V0 tan? g

【例 3】 已知方格边长 a 和闪光照相的频闪间隔 T,求:v0、g、 vc21 世纪教育网 解:水平方向: v0 ? 2a 竖直方向: ?s ? gT 2 ,? g ? a T T2 先求 C 点的水平分速度 vx 和竖直分速度 vy,再求合速度 vC:

A

B C D

v x ? v0 ?

2a 5a a ,vy ? ,? vc ? T 2T 2T

41

【例 4】如图所示,一高度为 h=0.2m 的水平面在 A 点处与一倾角 为θ =30°的斜面连接,一小球以 V0=5m/s 的速度在平面上向右运动。求小球从 A 点运动到 E 地面所需的时间 (平面与斜面均光滑, g=10m/s2) 取 。 某同学对此题的解法为:小球沿斜面运动,则 A B A h 1 ? V t ? g sin ? ? t , 由此可求得落地的时间 t。问: h sin ? 2 θ 你同意上述解法吗?若同意,求出所需的时间;若不
2 0

同意,则说明理由并求出你认为正确的结果。 解析:不同意。小球应在 A 点离开平面做平抛运动,而不 下滑。 正 确 做 法 为 : 落 地 点 与 A 点 的 水 平 距 离
s ? V0 t ? V0 2h 2 ? 0.2 ? 5? ? 1(m) g 10

是沿斜面

斜面底宽

l ? hctg? ? 0.2 ? 3 ? 0.35(m)

因为 s ? l ,所以小球离开 A 点后不会落到斜面, 因此落地 平抛运动时间。 ∴
t? 2h ? g 2 ? 0.2 ? 0.2( s) 10

时间即为

2、平抛运动的速度变化和重要推论 ①水平方向分速度保持 vx=v0.竖直方向,加速度恒为 g,速度

vy =gt,从抛出点起,每隔Δ t 时间的速度的矢量关系 如图所示.这一矢量关系有两个特点: (1)任意时刻的速度水平分量均等于初速度 v0; (2)任意相等时间间隔Δ t 内的速度改变量均竖直向下, 且Δ v=Δ vy=gΔ t. ②平抛物体任意时刻瞬时时速度方向的 反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点 的距离都等于水平位移的一半。 证明:设时间 t 内物体的水平位移为 s, v0 竖直位移为 h,则末速度的水平分量 vx=v0=s/t, 而竖直分量 vy=2h/t,
tan? ? vy vx ? 2h , s

α

s/

h s vy α vx vt

所以有 s ? ?

h s ? tan? 2

【例 5】从倾角为θ =30°的斜面顶端以初动能 E=6J 向下坡方向平抛出一个小球,则小球落 到斜面上时的动能 E /为______J。

解:以抛出点和落地点连线为对角线画出矩形 ABCD,可以证明末速度 vt 的反向 延长线必然交 AB 于其中点 O,由图中可知 AD∶AO=2∶ 3 ,由相似形可知 vt∶

v0= 7 ∶ 3 ,因此很容易可以得出结论:E /=14J。
3、平抛运动的拓展(类平抛运动)

【例 7】如图所示,光滑斜面长为 a,宽为 b,倾角为θ ,一物块沿斜面左上方

顶点 P 水平射入,而从右下方顶点 Q 离开斜面,求入射初速度. 解析: 物块在垂直于斜面方向没有运动,物块沿斜面方向上的曲线运动可分解为 水平方向上初速度 v0 的匀速直线运动和沿斜面向 下初速度为零的匀加速运动. 在沿斜面方向上 mgsinθ =ma 加 a 加=gsinθ ???①, 水平方向上的位移 s=a=v0t??②, 沿斜面向下的位移 y=b=? a 加 t2??③, 由①②③得 v0=a·
g sin ? 2b

说明: 运用运动分解的方法来解决曲线运动问题, 分析好两个分运动,根据分运动的运动性质,选 适的运动学公式求解

就是 择合

【例 8】从高 H 处的 A 点水平抛出一个物体,其水平射 程 为 2s。 若在 A 点正 上方高 H 的 B 点抛出另一个物体, 其水 平 射 程为 s。 已知两物体的运动轨迹在同一竖直平面内, 且都 从 同 一竖屏 M 的顶端擦过,如图所示,求屏 M 的高度 h? 分析:思路 1:平抛运动水平位移与两个因素有关:初速大小和抛出高度,分别写出水平位 移公式,相比可得初速之比,设出屏 M 的顶端到各抛出点的高度,分别写出与之相应的竖 直位移公式,将各自时间用水平位移和初速表示,解方程即可。 思路 2:两点水平抛出,轨迹均为抛物线,将“都从同一竖屏 M 的顶端擦过”转化为 数学条件:两条抛物线均过同一点。按解析几何方法求解。 解析:画出各自轨迹示意图 法一:由平抛运动规律根据题意得 2 2 2s=VAtA?①,s=VBtB??②,H=?gtA ?③, 2H=?gtB ??④ 可得: t ?
A

2 tB , vA ? 2 2vB ,又设各自经过时间 t1、t2 从屏 M 2
2 2

的顶端擦过,则在竖直方向上有 H-h=?gt1 ,2H-h=?gt2 , 在水平方向上有 x=vAt1=vBt2,由以上三式解得 h=6H/7。 法二:由平抛运动规律可得抛物线方程 y ?
g x ,依题意有 2v
2 0

yA=H-h,yB=2H-h 时所对应的 x 值相同,将(x,yA)(x,yB)分别代入各自的抛物线方程 联立求出 h=6H/7。 三、圆周运动的应用 知识简析 (一) 圆周运动的临界问题 1.圆周运动中的临界问题的分析方法 首先明确物理过程,对研究对象进行正确的受力分析,然后确定向心力,根据向心力公 式列出方程,由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系,从而分析找到临界值. 2.特例(1)如图所示,没有物体支撑的小球,在竖 直平面做圆周运动过最高点的情况:

注意:绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力 ①临界条件:绳子或轨道对小球没有力的作用:mg=mv2/R→v 临界= Rg (可理解为恰好转过 或恰好转不过的速度) 注意:杆与绳不同,杆对球既能产生拉力,也能对球产生支持力. ①当 v=0 时,N=mg(N 为支持力) ②当 0<v< Rg 时, N 随 v 增大而减小,且 mg>N>0,N 为支持力. ③当 v= Rg 时,N=0 ④ 当 v> Rg 时,N 为拉力,N 随 v 的增大而增大(此时 N 为拉力,方 向指向圆心) 注意:管壁支撑情况与杆子一样 若是图(b)的小球,此时将脱离轨道做平抛运动.因为轨道对小球不能产生拉力.

(二)“质点做匀速圆周运动”与“物体绕固定轴做匀速转动”的区别与联系 (1)质点做匀速圆周运动是在外力作用下的运动, 所以质点在做变速运动, 处于非平衡状态。 [来 源:21 世纪教育网]

(2) 物体绕固定轴做匀速转动是指物体处于力矩平衡的转动状态。对于物体上不 在转动轴上的任意微小质量团(可说成质点),则均在做匀速圆周运动。
规律方法 1.圃周运动中临界问题分析,应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态,然后分析该状 态下物体的受力特点.结合圆周运动的知识,列出相应的动力学方程 / 【例 1】在图中,一粗糙水平圆盘可绕过中心轴 OO 旋转,现将轻质弹簧的一端固定在圆盘 中心,另一端系住一个质量为 m 的物块 A,设弹簧劲度系数为 k,弹簧原长为 L。将物块置 于离圆心 R 处,R>L,圆盘不动,物块保持静止。现使圆盘从静止开始转动,并使转速ω 逐 渐增大,物块 A 相对圆盘始终未惰动。当ω 增大到 ? ? 的静摩擦力,如果受到静摩擦力,试确定其方向。
5k ? R ? l ? 4mR

时,物块 A 是否受到圆盘 O R

【解析]对物块 A,设其所受静摩擦力为零时的临界角度为ω0, 此时向心力仅为弹簧弹力;若ω>ω0,则需要较大的向心力, 故需添加指向圆心的静摩擦力;若ω<ω0,则需要较小的向心 力,物体受到的静摩擦力必背离圆心。 依 向 心 力 公 式 有 m ω 02R=k(R - L) , 所 以 ? ?
0

k ?R ?l? mR

,故

O
/

??

5k ? R ? l? 4mR

时,得ω>ω0。可见物块所受静摩擦力指向圆心。

【例 2】如图所示,赛车在水平赛道上作 900 转弯,其内、外车道转弯处的半径分别为 r1 和 r2,车与路面间的动摩擦因数和静摩擦因数都是μ .试问:竞赛中车手应选图中的内道转弯 还是外道转弯?在上述两条弯转路径中, 车手做正确选择较错误选择所赢得的时间是多少? 分析:赛车在平直道路上行驶时,其速度值为其所能达到的最大值,设为 vm。转弯时,车做

圆周运动,其向心力由地面的静摩擦力提供,则车速受到轨道半径和向心加速度的限制, 只能达到一定的大小.为此,车在进入弯道前必须有一段减速过程,以使其速度大小减小 到车在弯道上运行时所允许的速度的最大值,走完弯路后,又要加速直至达到 vm。车道的 选择,正是要根据内外道上的这些对应过程所历时间的比较来确定.

对于外车道,设其走弯路时所允许的 最大车速为 v2,则应有 mv22/r2=μ mg 解 得 v2= ? r2 g 如图所示,设车自 M 点开始减速, 至 N 点其速度减为 v2,且刚好由此点进 入弯道,此减速过程中加速度的大小为 a=μ mg/m=μ g 此减速过程中行驶的路径长度(即 MN 的长度)为 x2=
2 2 v2 vm ? v2 r = m - 2 2 ?g 2a 2

车沿弯道到达 A 点后,由对称关系不难看出,它又要在一段长为 x2 的路程上加 速,才能达到速度 vm。上述过程所用的总时间为 t2=t 减速+t 圆弧+t 加速=
2v r ?r vm ? v2 v ?v ? + 2 + m 2 = m -(2- ) 2 ?g 2v 2 ?g a a 2 2v m r ? -(2- ) 1 ?g ?g 2

同样的道理可以推得车走内车道所用的总时间为 t1=

另一方面,对内车道和外车道所历路程的直线部分进行比较,由图可见,车 往内车道多走了长度 Δ L= r2- rl

同时,在直线道上车用于加速和减速的行程中,车往内道也多走了长度 Δ x=2x1-2x2= r2- rl21 世纪教育网 由于上述的Δ L 和Δ x 刚好相等,可见车在直道上以 vm 匀速行驶的路程长度对于 内外两道来说是相等的.这样,为决定对内外道的选择,只需比较上述的 t1 和 t2 即可由于 t2<t1,显然,车手应选择走外道,由此赢得的时间为
? r ? r1 Δ t=t1 一 t2= (2 ? ) 2 2 ?g

2.求解范围类极值问题,应注意分析两个极端状态,以确定变化范围
【例 3】如图,直杆上 0102 两点间距为 L,细线 O1A 长为 3L ,O2A 长为 L,A 端 小球质量为 m,要使两根细线均被拉直,杆应以多大的角速度ω 转动? 解析:当ω 较小时线 O1A 拉直,O2A 松弛,而当ω 太大时 O2A 拉直, O1A 将松弛. 设 O2A 刚好拉直,但 FO2A 仍为零时角速度为ω 1,此时∠O2O1A =300,对小球:

在竖直方向 FO1A·cos300=mg??①
O

B a L ω

A

在水平方向:FO1A·sin300= m? 3L ? sin 30 ?②
2 0 1

由①②得 ? ? 2 g 3L
1

设 O1A 由拉紧转到刚被拉直, FO1A 变为零时角速度为ω 2 对小球:FO2A·cos600=mg??③ FO2A·sin600=mω 22L·sin600???④ 由③④得 ? ? 2g L ,故 2 g 3L ??? 2 g L
2

处理曲线运动的科学方法 一、微元法
例 1:一质量为 M 、均匀分布的圆环,其半径为 r ,几何轴与水平面垂直, 若它能经受的最大张力为 T,求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度。
解析:因为向心力 F = mrω2 ,当 ω 一定时,r 越大,向 心力越大,所以要想求最大张力 T 所对应的角速度 ω ,r 应 取最大值。 如图 3—6 所示, 在圆环上取一小段 ΔL , 对应的圆心角 为 Δθ ,其质量可表示为 Δm =
?? M ,受圆环对它的张力为 2?

T ,则同上例分析可得:[来源:21 世纪教育网] 2Tsin
?? = Δmrω2 2 ?? ?? ?? ?? ≈ ,即:2T ? = M rω2 2 2 2 2?

因为 Δθ 很小,所以:sin 解得最大角速度:ω =

2?T Mr

例 2: 如图 3—11 所示, 小环 O 和 O′分别套在不动的竖直杆 AB 和 A′B′ 上,一根不可伸长的绳子穿过环 O′,绳的两端分别系在 A′点和 O 环上,设 环 O′以恒定速度 v 向下运动,求当∠AOO′= α 时,环 O 的速度。
解析:O 、O′之间的速度关系与 O 、O′的位置有关,即与α 角有关,因此要用微 元法找它们之间的速度关系。 设经历一段极短时间 Δt ,O′环移到 C′,O 环移到 C , 自 C′与 C 分别作为 O′O 的垂线 C′D′和 CD , 从图中看出。 OC =
OD O?D? ,O′C′= ,因此: cos ? cos ?

OC + O′C′=

OD ? O?D? cos ?



因 Δα 极小,所以 EC′≈ED′,EC≈ED ,从而: OD + O′D′≈OO′-CC′ ② 由于绳子总长度不变,故:OO′- CC′= O′C′ ③ 由以上三式可得:OC + O′C′= 即:OC = O′C′(
1 -1) cos ? 1 -1) cos ? O?C? , cos ?

等式两边同除以 Δt 得环 O 的速度为:v0 = v( 21 世纪教育网

等效法
在一些物理问题中, 一个过程的发展、 一个状态的确定, 往往是由多个因素决定 的,在这一决定中,若某些因素所起的作用和另一些因素所起的作用相同,则前一 些因素与后一些因素是等效的,它们便可以互相代替,而对过程的发展或状态的确 定,最后结果并不影响,这种以等效为前提而使某些因素互相代替来研究问题的方 法就是等效法。 等效思维的实质是在效果相同的情况下, 将较为复杂的实际问题变换为简单的熟 悉问题,以便突出主要因素,抓住它的本质,找出其中规律。因此应用等效法时往 往是用较简单的因素代替较复杂的因素,以使问题得到简化而便于求解。 例:如图 4—1 所示,水平面上,有两个竖直的光滑墙壁 A 和 B ,相距为 d =2.5m,一个小球以初速度 v0=10m/s 从两墙之间的 O 点斜向上抛出,与 A 和 B 各发生一次碰撞后,每次碰撞时速度大小保持不变,正好落回抛出点,求小球的 抛射角 θ 。g=10m/s2 解析:将弹性小球在两墙之间的反弹运动, 可等效为一个完整的斜抛运动(见图)。所以可 用解斜抛运动的方法求解。 由题意得:2d = v0cosθ ? t = v0cosθ ? 可解得抛射角:sin2θ =
2v 0 sin ? g

2gd ,代入数据,得 2 v0

θ=150 对称法 由于物质世界存在某些对称性,使得物理学理论也具有相应的对称性,从而 使对称现象普遍存在于各种物理现象和物理规律中。应用这种对称性它不仅能 帮助我们认识和探索物质世界的某些基本规律, 而且也能帮助我们去求解某些具 体的物理问题, 这种思维方法在物理学中称为对称法。 利用对称法分析解决物理 问题,可以避免复杂的数学演算和推导,直接抓住问题的实质,出奇制胜,快速 简便地求解问题。 例 1:沿水平方向向一堵竖直光滑的墙壁抛出一个弹性小球 A ,抛出点离水 平地面的高度为 h ,距离墙壁的水平距离为 s ,小球与墙壁发生弹性碰撞(碰 撞后速度大小保持不变)后,落在水平地面上,落地点距墙壁的水平距离为 2s , 如图 7—1 所示。求小球抛出时的初速度。

[来源:21 世纪教育网] 解析:因小球与墙壁发生弹性碰撞, 故与墙壁碰撞前后入射速度与反射速 度具有对称性, 碰撞后小球的运动轨迹与无墙壁阻挡时小球继续前进的轨迹相 对称,如图 7—1—甲所示,所以小球的运动可以转换为平抛运动处理, 效果上 相当于小球从 A′点水平抛出所做的运动。 根据平抛运动的规律: ? ?
? x ? v0 t 1 2 ? y ? 2 gt ?

因为抛出点到落地点的距离为 3s ,抛出点的高度为 h ,代入后可解得: v0 = x
g 2y

= 3s

g 2h

例 2:A 、B 、C 三只猎犬站立的位置构成一个 边长为 a 的正三角形,每 只猎犬追捕猎物的速度均为 v ,A 犬想追捕 B 犬,B 犬想追捕 C 犬,C 犬想追 捕 A 犬,为追捕到猎物,猎犬不断调整方向,速度方向始终“盯”住对方,它 们同时起动,经多长时间可捕捉到猎物? 解析:以地面为参考系,三只猎犬运动轨迹都是一条复杂的曲线,但根据对 称性,三只猎犬最后相交于三角形的中心点,在追捕过程中,三只猎犬的位置构 成三角形的形状不变,以绕点旋转的参考系来描述,可认为三角形不转动,而是 三个顶点向中心靠近,所以只要求出顶点到中心运动的时间即可。

由题意作图 7—3 ,设顶点到中心的距离为 s ,则由已知条件得:s =

3 a 3

由运动合成与分解的知识可知,在旋转的参考系中顶点向中心运动的速度 为: v′= vcos30°=
3 v 2

由此可知三角形收缩到中心的时间为:t =

s 2a = v ? 3v

(此题也可以用递推法求解,读者可自己试解。)

近似法 近似法是在观察物理现象、进行物理实验、建立物理模型、推导物理规律和 求解物理问题时, 为了分析认识所研究问题的本质属性,往往突出实际问题的主 要方面,忽略某些次要因素,进行近似处理.在求解物理问题时,采用近似处理 的手段简化求解过程的方法叫近似法.近似法是研究物理问题的基本思想方法之 一,具有广泛的应用.善于对实际问题进行合理的近似处理,是从事创造性研究 的重要能力之一.纵观近几年的物理竞赛试题和高考试题,越来越多地注重这种 能力的考查. 例 1:一只狐狸以不变的速度 ? 1 沿着直线 AB 逃跑,一只猎犬以不变的速率

? 2 追击,其运动方向始终对准狐狸.某时刻狐狸在 F 处,猎犬在 D 处,FD⊥AB,
且 FD=L,如图 14—1 所示,求猎犬的加速度的大小. 解析:猎犬的运动方向始终对准狐狸且速度大小不 变, 故猎犬做匀速率曲线运动, 根据向心加速度 a ?
2 ?2

r

,r

为猎犬所在处的曲率半径,因为 r 不断变化,故猎犬的 加速度的大小、方向都在不断变化,题目要求猎犬在 D 处的加速度大小,由于 ? 2 大小不变,如果求出 D 点的曲 率半径,此时猎犬的加速度大小也就求得了. 猎犬做匀速率曲线运动,其加速度的大小和方向都 在不断改变.在所求时刻开始的一段很短的时间 ?t 内,猎 犬运动的轨迹可近似看做是一段圆弧, 设其半径为 R, 则 加速度
图 14—1

a?

2 ?2

R

图 14—2—甲

其方向与速度方向垂直,如图 14—1—甲所示.在 ?t 时间内,设狐狸与猎犬 分别 到达 F ?与D ? ,猎犬的速度方向转过的角度为 ? ? ? 2 ?t /R 而狐狸跑过的距离是: ? 1 ?t ≈ ?L 因而 ? 2 ?t /R≈ ? 1 ?t /L,R=L ? 2 / ? 1 所以猎犬的加速度大小为 a ?
2 ?2

R

= ? 1 ? 2 /L

提高题:
1.降落伞在下落一定时间以后的运动是匀速的.设无风时某跳伞员着地的速度是 5.0m/s. 现有正东风,风速大小是 4.0m/s,跳伞员将以多大的速度着地?这个速度的方向怎样?

2. 如 图 所 示 , 实 线 为 某 质 点 平 抛 轨 迹 的 一 部 分 , 测 得 AB 、 BC 间 水 平 距 离 △s1=△s2=0.4m,高度差△h1=0.25m,△h2=0.35m,问: (1)质点平抛的初速度 v0 为多大? (2)抛出点到 A 点的水平距离和竖直距离各为多少?

3.如图所示,在离地高为 h、离竖直光滑墙的水平距离为 s1 处

有一小球以 v0 的速度向墙水平抛出,与墙碰后落地,不考虑碰撞的时间及能量损失,则落 地点到墙的距离 s2 为多大?

[来源:21 世纪教育网]

4.如图所示,M、N 是两个共轴的圆筒,外筒半径为 R,内筒半径比 R 小很多,可以忽略不计,筒的两端是封闭的,两筒之间抽成真空,两 筒以相同的角速度 ω 绕其中心轴线(图中垂直于纸面)作匀速转动.设从 M 筒内部可以通过平行于轴线的窄缝 S,不断地向外射出两种不同速率 v1 和 v2 的微粒.微粒从 S 处射出时的初速度的方向沿筒的半径方向, 微粒 到达 N 筒后就附着在 N 筒上,如果 R、v1 和 v2 都不变,而 ω 取某一合适 的值,则( ) (A)有可能使微粒落在 N 筒上的位置都在 a 处一条与 S 缝平行的窄条上 (B)有可能使微粒落在 N 筒上的位置都在某处如 b 处一条与 S 缝平行的窄条上 (C)有可能使微粒落在 N 筒上的位置分别在某两处如 b 和 c 处与 S 缝平行的窄条上 (D)只要时间足够长,N 筒上将到处落有微粒 5.如图所示,直径为 d 的纸筒以角速度 ω 绕轴 O 匀速转动,从枪口发射的子弹沿直径穿过 圆筒.若子弹在圆筒旋转不到半周时在圆筒上留下 a、b 两个弹孔,已知 aO 和 b0 夹角为 φ, 则子弹的速度大小为______.

6.如图,一个大轮通过皮带拉着小轮转动,皮带和两轮之间无滑动,大轮的半径是小轮的 2 倍,大轮上的一点 s 离转动轴的距离是半径的 5,20,当大轮边缘上 P 点的向心加速度是

10m/s2 时,大轮上的 S 点和小轮上的 Q 点的向心加速度为 aS=______m/s2,aQ=______m 。 /s

7.如图所示,半径为 r 的圆筒绕竖直中心轴 OO′转动,小物块 A 靠在圆筒的内壁上,它与 圆筒的静摩擦因数为 μ,现要使 A 不下落,则圆筒转动的角速度 ω 至少应为______.

8、放映电影时,看到影片中的一辆马车从静止起动,逐渐加快。在某一时刻车轮开始倒转。 已知电影放映机的速率是每秒 30 幅画面,车轮的半径是 0.6 米,有 12 根辐条。车轮开始倒 转时马车的瞬时速度是 米/秒。(第十二届全国中学生物理竞赛预赛试题)

曲线运动答案
基础题: 1.B; 2.B; 3.C

4、【解析】 (1)球以 vl 速度被击回,球正好落在底线上,则 t1= 2h / g ,vl=s/t1 将 s=12m,h=2.5m 代入得 v1= 12 2m / s ; 球以 v2 速度被击回,球正好触网,t2= 2h / / g ,v2=s//t2 将 h/=(2.5-2.25)m=0.25m,s/=3m 代入得 v2= 3 10m / s 。故球被击目的 速度范围是 3 10m / s <v≤ 12 2m / s 。 (2)若 h 较小,如果击球速度大,会出界,如果击球速度小则会触网,临界情 况是球刚好从球网上过去,落地时又刚好压底线,则
s 2h / g

=

s/ 2h / / g



s、s/的数值同(1)中的值,h/= h-2.25(m),由此得 故若 h<2.4m,无论击球的速度多大,球总是触网或出界。 提高题: 1. 41m / s ,与竖直方向成 ? 角, tan? ? 0.8 2.(1)4m/s;(2)水平距离 0.8m,竖直距离 0.2 提示:△h2-△h1=gT , s2=△s1=v0T, v By ?
2

h=2.4m

?h 1 ? ?h 2 , 2T

v Ay ? v By ? gT, v Ay
3. v 0
2h ? s1 g

gt 2 ? gt , x A ? v 0 t, y A ? 2

4.ABC 5.
d? ? ??

6.5,20 7.
g r?

8.

5 万有引力定律
一、复习基础知识点
一、考点内容 1.万有引力;万有引力定律;万有引力定律的应用。 2.人造地球卫星;宇宙速度。21 世纪教育网 二、知识结构

?地球附近重力变化规律:与纬度、高度的关系 ? ?天体质量计算:极地称;自由落体或平抛;近地卫星 ?开普勒三定律 ? ? ? 定律应用? ? ?三个宇宙速度 ? ? ?人造天体(或卫星)发射与运转 ? ? ? ? ?种类?地面卫星 ? ? ? ?地球同步卫星 ? ?
三、复习思路 建议分两条主线展开复习,一是万有引力=向心力;另一个是重力=向心力。由于向心力 的表达式有多种形式,表面看来本单元公式多,实际上则只有一个,那就是 F ? ma 。切实 理解好加速度 a 的含义至关重要。 复习时应注意做好以下几点: 1.万有引力、人造卫星属于现代科技发展的重要领域,所以近年的高考对万有引力、人 造卫星的考查是热点。在学习中要多联系一些现代科技知识,扩大知识面,把这部分知识规 律与实际应用联成一体去认识。 2.应用万有引力定律研究天体、人造地球卫星的运动是该部分的重点。要熟练地应用

Mm v2 4? 2 Mm 2 G 2 ?m ? m? r ? m 2 r 及地球表面附近 mg ? G 2 等公式来求解天体及卫 r r T r
星问题,要熟练地运用比例法解题。 3.要知道卫星的运行速度、发射速度和环绕速度三者的区别,要知道卫星的轨道越高, 其运动速度越小,但发射时所需的发射速度却越大。 4.要知道三种宇宙速度都是指发射速度,并了解火箭发射卫星的实际过程,了解一下现 代科技。 四、牢固掌握基础知识 1、万有引力定律的应用 (1)、基本模型:匀速圆周运动 (2)、基本方法:一切问题来源于向心力的提供 (3)、一条线索:向心力=万有引力=所在位置处的重力 (4)、一串公式: G

Mm ? r2
Mm R地
2

= 等公式。

=

以及地球表面附近 mg ? G

上述式子适用于卫星围绕天体作匀速圆周运动时的情景。由以上线索和公式可以: A、估算天体质量 B、估算天体质量 C、求卫星的线速度、角速度、周期

v?

GM ;w ? r

r3 GM ; T ? 2? 。由 v、w、T 的表达式可发现 r 变化,表征卫 GM r3

星运动的物理量均变化,即“一变均变”。 (5)、关于地球同步卫星的“七定”

A、定轨道平面:轨道平面与 B、定周期:与 相同。 C、定高度:由 G

共面。

Mm = ( R ? h) 2

得: h ? 3

GMT 2 ?R 4? 2

2? ( R ? h) ;。 T 2? E、定角速度: w ? T
D、定速率: v ?

4? 2 F、定加速度大小: a ? 2 ( R ? h) T
G、定纬度:由“同步”的含义可知:所有的同步卫星将固定在赤道平面上空离地面 36000km 的大圆上,相对地面任一点均静止,即“一点一星”。
五、基础题: 1.假设行星绕恒星的运动轨道是圆,则其运行周期 T 的平方与其运行轨道半径 R 的三次 方之比为常数,即

T2 ? k ,那么 k 的大小: R3

A、只与行星的质量有关 B、只与恒星的质量有关 C、与行星、恒星的质量均有关系 D、与恒星的质量与行星的运行速度有关 2.某天体半径是地球的 m 倍,密度是地球的 n 倍,则该天体表面处的重力加速度是地球 表面处重力加速度的: A、

m 倍 n2

B、

m 倍 n

C、 m? n 倍

D、

n2 倍 m

3.在圆轨道上的质量为 m 的人造地球卫星,它到地面的距离等于地球的半径 R,地面上 的重力加速度为 g ,则: A、卫星运动的速度为 2 Rg B、卫星运动的周期为 4 ?

2R g

C、卫星运动的加速度为

1 g 2

D、卫星的动能为

1 mRg 2

4.下列关于地球同步通信卫星的说法中,正确的是 A、为避免通信卫星在轨道上相撞,应使它们运行在不同的轨道上 B、通信卫星定点在地球上空某处,各个通信卫星的角速度相同,但线速度可以不同 C、不同国家发射通信卫星的地点不同,这些卫星轨道不一定在同一平面内 D、通信卫星只能运行在赤道上空某一高度上

5.设在地球上和在 x 天体上,以相同的初速度竖直上抛一物体,物体上升的最大高度比 为 k (均不计阻力),且已知地球和 x 天体的半径比也 为 k ,则地球质量与 x 天体的质量比 为: A、1 B、 k C、 k
2

D、

1 k

6.某人造卫星因受高空稀薄空气的阻力作用,绕地球运转的轨道会慢慢改变,每次测 量中卫星的运动可近似看作圆周运动, 某次测量卫星的轨道半径为 r1 , 后来变为 r2 , 2 ? r1 ; r 以 E k1 、 E k 2 表示卫星在这个轨道上的动能, T 1、T2 表示卫星在这两个轨道上绕地球运转 的周期。则: A、 E k1 > E k 2 ,T1>T2 C、 E k1 < E k 2 ,T1>T2 B、 E k1 > E k 2 ,T1<T2 D、 E k1 < E k 2 ,T1<T2 [来源:21 世纪教育网]

7.(2005 年全国高考理综(北京卷))已知地球质量大约是月球质量的 81 倍,地球 半径大约是月球半径的 4 倍。不考虑地球、月球自转的影响,由以上数据可推算出: A、地球的平均密度与月球的平均密度之比约为 9:8 B、地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比约为 9:4 C、靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的周期与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器的 周期之比约为 8:9 D、靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器线速度与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器线 速度之比约为 81:4 21 世纪教育网 8、(2004 年全国高考理综)在勇气号火星探测器着陆的最后阶段,着陆器降落到火星 表面上,再经过多次弹跳才停下来。假设着陆器第一次落到火星表面弹起后,到达最高点时 高度为 h,速度方向是水平的,速度大小为 υ0,求它第二次落到火星表面时速度的大小,计 算时不计大气阻力。已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为 r,周期为 T。火星可视为半径 为 r0 的均匀球体。

二、从高考到初赛要求知识要点分析
<一>、万有引力定律及其公式的适用条件

<二>、地球上物体重力变化的原因

<三>、计算中心天体的质量和密度

1.中心天体的质量

密度?为什么?

<四>、人造卫星的基本规律与应用

从而可推证出三个极值分别为:7.9km/s,1/(800)rad/s, 85 分钟

例:试证明开普勒第二定律

讨论天体运动规律的基本思路
基本方法:把天体的运动看成是匀速圆周运动,其所需向心力由万有引力提供。 21 世纪教育网
G Mm r2 ?m v2 ? 2? ? 2 ? m? 2 r ? m? ? ? m?2?f ? r r ? T ?
2

【例 1】2000 年 1 月 26 日我国发射了一颗同步卫星,其定点位置与东经 980 的 经线在同一平面内.若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似为东经 980 和北纬α =400,已知地球半径 R、地球自转周期 T,地球表面重力加速度 g(视为常数) 和光速 c, 试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间 (要 求用题给的已知量的符号表示). 解析:设 m 为卫星质量,M 为地球质量,r 为卫星到地球中心的距离,ω 为卫星 绕地心转动的角速度.由万有引力定律和牛顿定律有 G
Mm r2 ? mr? 2 ,式中 G 为万

有引力恒量, 因同步卫星绕地心转动的角速度ω 与地球自转的角速度相等,有ω =2π/T;因 G
Mm R
2

? mg ,得 GM=gR .

2

L 设嘉峪关到同步卫星的距离为 L, 如图所示, 由余弦定律得: ? r 2 ? R 2 ? 2rR cos?

所求的时间为 t=L/c.
3

由以上各式得 t ?

? R 2 gT 2 ? ? ? ? R 2 ? 2 R cos? 3 ? 4? ? ? ? c

2

? R 2 gT 2 ? ? ? ? 4? ? ? ?

【例 2】在天体运动中,将两颗彼此相距较近的行星称为双星。它们在相互的万有引力作用 下间距保持不变,并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动。如果双星间距为 L,质量分 别为 M1 和 M2,试计算:(1)双星的轨道半径;(2)双星的运行周期;(3)双星的线速 度。 解析:因为双星受到同样大小的万有引力作用,且保持距离不变,绕同一圆心做匀速圆周 运动,所以具有周期、频率和角速度均相同;而轨道半径、线速度不同的特点。 (1)根据万有引力定律 F ? M 1? 2 R1 ? M 2? 2 R2 及L ? R1 ? R2 可得: R1 ?
M2 M1 L,, 2 ? L M1 ? M 2 M1 ? M 2
M 1M 2 L2 ? 2? ? ? 2? ? ? M1? ? R1 ? M 2 ? ? R2 T ? ? ? T ?
2 2

(2)同理,还有 G 所以,周期为
T? 4? 2 L2 R1 ? GM 2

4? 2 L2 R2 L ? 2?L GM 1 G ?M 1 ? M 2 ?

( 3 ) 根 据 线 速 度 公 式 v1 ?
2?R2 ? M1 T

2?R1 ? M2 T

G , L?M 1 ? M 2 ?

v2 ?

G L?M 1 ? M 2 ?

【例 3】兴趣小组成员共同协作,完成了下面的两个实验:①当飞船停留在距 X 星球一定高 度的 P 点时,正对着 X 星球发射一个激光脉冲,经时间 t1 后收到反射回来的信号,此时观 察 X 星球的视角为θ ,如图所示.②当飞船在 X 星球表面着陆后,把一个弹射器固定在星 球表面上,竖直向上弹射一个小球,经测定小球从弹射 到落回的时间为 t2. 已知用上述弹射器在地球上做同样实验时,小球在空中运动的时间为 t,又已知地球表 面重力加速度为 g,万有引力常量为 G,光速为 c,地球和 X 星球的自转以及它们对物体的 大气阻力均可不计,试根据以上信息,求: (1)X 星球的半径 R;(2)X 星球的质量 M;(3)X 星球的第一宇宙速度 v; (4)在 X 星球发射的卫星的最小周期 T. 解析:(1)由题设中图示可知: (R+? ct1)sinθ=R,∴R=

ct1 sin ? 2?1 ? sin ? ?
2v 0 ,在 g/

P

θ

X 星球

(2)在 X 星球上以 v0 竖直上抛 t2=

地 球 上 以 v0 竖 直 上 抛 : t =

2v 0 t Mm / , ? g ? g , 又 由 G 2 ? mg/ , t1 R g

?M ?

gtc2 t1 sin 2 ? R2g / ? G 4Gt 2 ?1 ? sin ? ?2

(3)mg'= m

v2 ,? v ? Rg / ? R

gctt1 sin ? 2t 2 ?1 ? sin ? ?
T? 2ct1t 2 sin ? 2?R ?? v gt?1 ? sin ? ?

(4)当 v 达第一宇宙速度时,有最小周期 T.

提高题:
1、试分析:地球的自转角速度如何变化 ?它变到多大赤道上的物体将处于完全失重状态?

2、有一个行星的一昼夜时间为 T。在该行星上用弹簧称测一个物体的重力,发现在行星赤 道上的示数比在两极小 10%。求行星的平均密度是多少?

3、

4、

21 世纪教育网 5、

6、

7、

8、(2009 年上海综合小明同学在学习了圆周运动的知识后,设计了一个课题,名称为:快 速测量自行车的骑行速度。他的设想是:通过计算踏脚板转动的角速度,推算自行车的骑行 速度。经过骑行,他得到如下的数据:在时间 t 内踏脚板转动的圈数为 N,那么脚踏板转动的 角速度ω = 有 21 世纪教育网 ;要推算自行车的骑行 速度,还需要测量的物理量 ;自行车骑行速度的计算公式 v= .

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9、

10、

11、 要使一颗人造地球通讯卫星 (同步卫星) 能覆盖赤道上东经 75.0?到东经 135.0? 之间的区域,则卫星应定位在哪个经度范围内的上空?地球半径 R0 =6.37× 106m。地球表面处的重力加速度 g=9.80m/s2。 (第 21 届全国中学生物理竞赛预 赛题试卷)

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12..潮汐是一种常见的自然现象,发生在杭州湾钱塘江入海口的“钱江潮”是闻

名世界的潮汐现象. 在农历初一和十五前后各有一次大潮,在两次大潮之间又各 有一次小潮. 试把每月中出现两次大潮时地球、月球和太阳的相对位置示意图定 性地画在下面. 试把每月中出现两次小潮时地球、月球和太阳的相对位置示意图定性地画在下 面.

13..地球赤道上的 N 城市想实施一个“人造月亮”计划,在地球同步卫星上用一 面平面镜将太阳光射到地球上,使这座城市在午夜时分有“日出”时的效果,若 此时的 N 城市正值盛夏季节,地球的半径为 R,自转周期为 T,地球表面重力加 速度为 g,太阳在非常遥远的地方.求 (1)地球同步卫星离地心的距离 (2)悬挂平面镜的同步卫星所在经度平面的经度与 N 城的经度差α 。 (3)此时平面镜与卫星所在经度平面的夹角θ

14.天体运动的演变猜想。在研究宇宙发展演变的理论中,有一种说法叫做“宇 宙膨胀说”,认为引力常量在慢慢减小。根据这种理论,试分析现在太阳系中地 球的公转轨道平径、周期、速率与很久很久以前相比变化的情况。

15、(2009 年全国卷Ⅱ)如图,P、Q 为某地区水平地面上的两点,在 P 点正下方一球形区 域内储藏有石油,假定区域周围岩石均匀分布,密度为 ρ 石油密度远小于 ρ,可将上述球形 区域视为空腔。如果没有这一空腔,则该地区重力加速度(正常值)沿竖直方向,当存在空 腔时, 该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏高, 重力回速度在原竖直方向 (即 PO 方向)上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。为了探寻石油区域的 位置和石油储量,常利用 P 点到附近重力加速度反常现象,已知引力常数为 G (1)设球形空腔体积为 V,球心深度为 d(远小于地球半径), PQ ? x 求 空腔所引起的 Q 点处的重力加速度反常 (2)若在水平地面上半径 L 的范围内发现:重力加速度反常值在 δ 与 kδ(k>1)之间变化,

且重力加速度反常的最大值出现在半为 L 的范围的中心,如果这种反常是于地下存在某一 球形空腔造成的,试求此球形空腔球心的深度和空 腔的体积 x P d Q

R

O

16.

万有引力定律部分答案 基础题: 1、B,2、C,3、B,4、D,5、B,6、B,7、A。 8、C 解析:设靠近任一行星(质量为 M)表面沿圆轨道运行(轨道半径约 R 为该行星的半径 r )的航天器的质量为 m (或设任一行星表面的物体的质量为 m ),
Mm ? ?g ? r 2 Mm ? ? 2 ?mg ? G r 2 4? 2 ?T ? 则有: ? 得: ? 3 ? 2 GM ?r ?m 4? r ? G Mm 2 ? T2 3? ? r ? ? ? ? GT 2 ?

因此地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比为 81:16;.靠近地球 表面沿圆轨道运行的航天器的周期与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器的周 期之比约为 8:9;地球的平均密度与月球的平均密度之比为 81:64! Mm 11、解析:对于火星上的物体( m / )有:G── ′= m′ g′ ① r2 0 Mm 对于火星上的卫星有:G── = m( 2π )2r ─ ─ r2 T ②
2

设着陆器第二次落到火星表面时竖直方向的速度的大小为 v1 ,则有:υ1 =2 g′ h ③ ── ─ 2 2 因此着陆器第二次落到火星表面速度的大小 v 有:υ = √─── υ─── 1 +υ0 ─ 2─ ─ ─ ─ ─3 ─ r 8π ─ ─ +υ 2 由①、②、③、④式得 υ =√─ 2h─ ── ─ 2 0 r0 T 提高题:
1、





2、

3、如图

4、

5、

6、

7、

8.【答案】 2?

N ;牙盘的齿轮数 m、飞轮的齿轮数 n、自行车后轮的半径 R(牙盘的半径 r1、 t
rN r m mN R?或2? R(2? 1 或 1 R? ) n nt r2t r2

飞轮的半径 r2、自行车后轮的半径 R); 【解析】依据角速度的定义是 ? ?

?
t

?

2N ? ;要求自行车的骑行速度,还要知道自行车后 t

轮的半径 R,牙盘的半径 r1、飞轮的半径 r2、自行车后轮的半径 R;由 v1 ? ?r1 ? v2 ? ?2 r2 , 又 ?2 ? ?后 ,而 v ? ?后 R ,以上各式联立解得 v ? [来源:21 世纪教育网]

r1 Nr R? ? 2? R 1 。 r2 tr2

9、

10、

11、如图所示,圆为地球赤道,S为卫星所在处,用R表示卫星运动轨道的半径。由万有引 力定律、牛顿运动定律和卫星周期T(亦即地球自转周期)可得

G

Mm ? 2? ? ? mR ? ? 2 R ? T ?

2

(1)

式中M为地球质量,G为万有引力常量,m为卫星质量,另有
2 GM ? R0 g

(2)由图可知
1/ 3

Rcos? =R0

(3)

? 4? 2 R ? 由以上各式可解得: ? ? arccos ? 2 0 ? ? T g ?

(4)

取T=23小时56分4秒(或近似取T=24小时),代入数值,可得:? =81.3? (5) 由此可知,卫星的定位范围在东经135.0?-81.3?=53.7?到75.0?+81.3?=156.3?之间的上空。

12.

13.解析: (1)设地球 及同步卫 星的质量 分别 为 M,m, 则
G Mm r2 ? 2? ? ? m? ? r ? T ?
gR 2T 2 4? 2
2

O

α

又:g=GM/R2,可得: r ? 3

θ

(2)过赤道平面的截面图如图所示,水平入射光线 MA 经反射 后的反射光线 AN 与地球相切,故∠MAN=900 卫星所在经线在平面内的投影为 OA,N 城市所在经线在平面内的投影为 ON, 所以:α =arccos ( R/r) θ =450+arcsin(R/r) 说明:本题的关键是理解“午夜万分有‘日出’时的效果”的含义,并要有一定的空间想象 力,且能画出截面图,能力要求较高. 14.【解析】地球在半径为 R 的圆形轨道上以速率 v 运动的过程中,引力常数 G 减小了

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