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第七节 匀变速直线运动规律的应用1


第二章

直线运动

第七节

匀变速直线运动规律的应用

知识要点: 一、匀变速直线运动的基本规律 1、 速度公式:vt=v0+at 2、 位移公式:s=v0t+at2/2 3、 速度位移公式:vt2-v02=2as 4、 平均速度公式:v=(v0+vt)/2 说明:⑴以上公式只适用于匀变速直线运动

。 ⑵四个公式中只有两个是独立的即由任意两式可推出另外两式。四个公式中有五个物 理量,而两个独立方程只能解两个未知量,所以解题时需要三个已知条件。 ⑶式中的 v0、vt、a、s 均为矢量,应用时要规定正方向,凡与正方向相同者取正值, 相反者取负值;所求矢量为正值者,表示与正方向相同,为负值者表示与正方向相 反。通常以 v0 方向为正方向,以 v0 的位置做初始位置。 ⑷以上各式给出了匀变速直线运动的普遍规律,一切匀变速直线运动的差异就在于它 们各自的 v0、a 不完全相同。 二、三个推论: 1、 变速直线运动的物体,在任意两个连续相等的时间里的位移之差是一个恒量, 即:Δ s=si+1-si=aT2=恒量。 2、 匀变速直线运动的物体, 在某段时间内的平均速度, 等于该段时间的中间时刻的瞬时速度, 即 v=vt/2=(v0+vt)/2 3、某段位移中点的瞬时速度为:vs/2=√(v02+vt2)/2 >vt/2 三、四个比例式:初速度为零(v0=0)的匀加速直线运动具有如下公式: (设 T 为等分时间间隔) 1、1T 末、2T 末、3T 末??速度之比为: v1︰v 2︰v 3︰??︰v n=1︰2︰3︰??︰n 2、 1T 内、2T 内、3T 内??位移之比为: s1︰s2︰s3︰??︰s n=12︰22︰32︰??︰n2 3、 第一个 T 内、第二个 T 内、第三个 T 内、??位移之比为: sⅠ︰sⅡ︰sⅢ︰??︰s N=1︰3︰5︰??︰(2n-1) 4、 从静止开始通过连续相等的位移所用时间之比为: t1︰t 2︰t 3︰??︰t n=1︰(√2-1)︰(√3-√2)︰??︰(√n-√n-1) 四、 “追击”与“避碰”问题 “追击”与“避碰”是研究同一直线上两个物体运动时常常会遇到的两类问题,它们既有区 别又有联系。 1、 “追击”问题的关键是两个物体在相遇时位置坐标相同。解题的主要思路是:根据二者相 遇时位置坐标相同,建立各自的位移方程和二者在时间上和位移上的关联方程,然后联合 求解。能够追上的条件是,当两者的位置坐标相同时,追者的速度大于被追者的速度。 2、物体恰能“避碰”的临界条件为两物体的位置坐标相同时,两者的速度也恰好相同。讨论 这类问题时,一般以大地为参照物,但有时选取被追者为参照物,则解题更方便。另外解 这类题时,应养成画图分析的习惯,更能帮助理解题意和启迪思维。 典型例题: 例 1、从静止开始作匀加速直线运动的质点,通过第一个 s 所用的时间为 T,则通过第 n 个 s 所用 的时间为多少? 解:由比例式 t1︰t n=1︰(√n-√n-1)得 t n=(√n-√n-1)T
高一物理讲义:赵春光 1

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例 2、物体从静止开始沿斜面滑下作匀加速直线运动,经 3s 钟后开始在水平面上做匀减速直线运 动,经 9s 钟停止,则物体在斜面上的位移和在平面上的位移之比。 解:由 s=vt 得 s 斜=v 斜 t1=vt1/2(v 为斜面底端的速度) s 平=v 平 t2=vt2/2 ∴s 斜︰s 平=t1︰t2=1︰3 例 3、汽车关闭油门后作匀减速运动最后停下来,在此过程中,最后三段连续相等时间间隔内的 平均速度之比为多少? 解:逆向思维,看成初速为零的匀加速直线运动,由比例式可得:位移之比为 5︰3︰1, 因时间相同,所以速度之比为 5︰3︰1。 例 4、某质点做匀加速直线运动,前 4s 的位移是 12m,后 4s 的位移是 20m,求质点的加速度和初 速度。 解:由推论Δ s=aT2 得 a=Δ s/ T2=0.5m/s2 由 s=v0t+at2/2 得 v0=s/t-at/2=2m/s 例 5、物体由静止开始作匀加速直线运动,加速度大小是 2m/s2,它在某 1s 内通过的距离是 15m, 求:⑴物体在这 1s 初的速度是多少? ⑵物体在这 1s 以前已经运动了多长时间? ⑶物体在这 1s 以前已经通过了多少位移。 解: 设物体经 t 时间由静止开始由 A 运动到 B, 接下来 1s 钟时间内, B 运动到 C, , 由 位移为 15m, ⑴BC 中间时刻速度 v 等于 BC 段的平均速度,∴v=15/1=15m/s 此速度 v=vB+a×0.5 ∴vB=v-a×0.5=14m/s ⑵又∵vB=vA+at=at ∴t=vB/a=7s ∴物体在这 1s 之前已经运动了 7s ⑶sAB=at2/2=2×72/2=49m ∴在这 1s 以前通过的位移为 49m 例 6、如图所示,物体以 4m/s 的初速度自斜面底端 A 点滑上光滑斜面,途 B 经斜面中点 C,到达最高点 B,已知 vA︰vC=4︰3,从 C 点到 B 点历 C 时(3-√2)s,试求:⑴到达斜面最高点的速度;⑵斜面的长度。 A 2 2 2 解:⑴由中点速度公式得 vC =(vA ︰vB )/2 由 vA︰vC=4︰3 及 vA=4m/s 解上述方程得 vB=√2 m/s,vC=3 m/s ⑵∴sBC=vBC·tBC=(vB+vC)·tBC/2=3.5m ∴sAB=2sBC=7m 例 7、摩托车从静止开始,以 a1=1m/s2 的加速度行驶了一段距离后做了一段匀速运动,又以 a2= -4m/s2 的加速度做匀减速运动,直到停止,共走了 1440m,历时 100s,求此过程中摩托车的 最大速度。 解:根据题意画出草图,摩托车的整个运动可分为三个阶 vA=0 加速 vB=v 匀速 vC=v 减速 vD=0 段,即加速、匀速、减速,前一段运动的末速度就是 A a1s1t1 B s2t2 C a3s3t3 D 后段运动的初速度,最大速度即匀速运动时的速度。 t1=v/a1, s1=v2/2a1, t3=v/a3, s3=v2/2a3, s2=v t2 ∴s=s1+s2+s3=v2/2a1+vt2+v2/2a3 ① ∴t=t1+t2+t3=v/a1+t2+v/a3 ② 解方程①②可得 v=16m/s 或 v=144m/s 将 v=144m/s 代入 t1=v/a1=144s,又∵总时间 t=100s,∴v=144m/s 不合理,舍去。 所以摩托车的最大速度为 16m/s 例 8、一辆汽车在十字路口等候绿灯,当绿灯亮时汽车以 3m/s2 的加速度开始行驶,恰在这时一辆 自行车以 6m/s 的速度匀速驶来,试求: ⑴汽车从路口开动后,在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远?此时距离是多少? ⑵什么时候汽车追上自行车,此时汽车的速度是多少?
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解:⑴两车速度相等时车距最大,v 汽=at=v 自,∴t=v 自/a=6/3=2s 即经 2s 两车相距最远,此时两车相距Δ s, ∴Δ s=v 自 t-at2/2=6×2-3×22/2=6m ⑵当汽车追上自行车时,两车位移相等,则:vt′=at′2/2 ∴t′=4s 此时汽车的速度为 v′=at′=3×4=12m/s 同步训练: ? 知识掌握 1、在高速公路行驶的汽车速度可达 120km/h,若要在 5s 内把速度降为 48km/h,则汽车匀减速直 线运动的加速度大小 a=_________ m/s2,加速度的方向与速度方向_________。 2、汽车以 5m/s 的初速度开始匀加速直线行驶,已知加速度为 1.5m/s2。那么汽车在前 5s 内的位移 是_________m,汽车在第 5s 内的位移是_________m。 3、一质点从静止开始做匀加速直线运动,它在第 1s 内的位移是 2m,那么它在前 4s 内的位移是 ________m,它在第 4s 内通过的位移是________m,该质点在第 4s 末的速度是________m/s, 在第 4s 内的平均速度是________m/s。 4、做匀加速直线运动的物体,速度从 v 增加到 2v 时经过的位移是 s,则它的速度从 2v 增加到 4v 时发生的位移是________。 5、一静止的物体沿光滑斜面匀加速下滑时,速度为 v,当物体下滑速度达到 v/2 时,它沿斜面下 滑的长度是_________。 6、物体作匀加速直线运动,初速度是 5m/s,物体在 10s 内通过 100m 路程,则第 10s 末物体的速 度达到目的_________ m/s 7、汽车经过电线杆 A 以后的最初 5 分钟内以 15m/s 的速度做匀速运动,后来以大小为 0.25m/s2 的加速度做匀减速直线运动,过 20s 经过另一电线杆 B,求 A、B 两根电线杆之间的距离。 8、质点在作匀加速直线运动中,已知有两个连续的 4s 内通过的位移分别是 10m 和 26m,求该质 点运动的加速度及走完第二个 4s 时的速度。 9、火车从甲站开出做匀加速运动 4 分钟,接着匀速运动 10 分钟,最后做匀减速运动 2 分钟,刚 好在乙站停下,若甲、乙两站相距 13km,则火车的最大速度是多少? 10、作匀变速运动的物体,经一段时间 t,发生一段位移 s,则位移 s 与时间 t 的比值是( ) A.物体在这段时间内的平均速度; B.物体通过该位移中点的速度; C.物体在这段时间中点的速度; D.物体在这段位移初、末速度之和的一半。 11、一物体由静止开始沿直线运动,第 1s 内、第 2s 内、第 3s 内、第 4s 内的位移分别是 1m、2m、 3m、4m,对于这一运动的下列说法中,正确的是( ) A.4s 末的即时速度是 4m/s; B.这一运动的匀加速运动,加速度 a=1m/s2; C.4s 内的平均速度是 2.5m/s; D.这一运动不是匀变速运动 12、物体由静止开始运动,在第 1s、第 2s 和第 3s 内的位移分别是 2m、4m、6m,则( ) A.物体做匀加速运动; B.物体做非匀速直线运动; C.3s 内物体的平均速度是 4m/s; D.3s 末的物体的瞬时速度为 6m/s。 13、汽车关闭发动机后前进 60m 的过程中,速度由 7m/s 减到 5m/s,若再滑行 10s 则汽车又前进 了( ) A.60m; B.40m; C.70m; D.80m。 14、物体从静止开始做匀加速直线运动,测得第 n 秒内的位移为 s,则物体的加速度为( )
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A.n2/2s; B.2s/n2; C.2s/(2n-1); D.2s/(2n+1)。 15、质点做初速度为零的匀加速直线运动,5s 末到 19s 末运动的平均速度为 3.6m/s,则质点在前 8s 内的位移是( ) A.9.6m; B.16.8m; C.14.7m; D.18.9m。 16、如图所示,做匀加速直线运动的物体,依次通过 A、B、C 三点,位 移 sAB=sBC。已知物体在 AB 段的平均速度大小为 3m/s,在 BC 段的 A B C 平均速度大小为 6m/s,那么物体在 B 点的瞬时速度的大小为( ) 16 题图 A.4m/s; B. 4.5m/s; C.5m/s; D.5.5m/s。 2 17、某质点的运动方程为 s=-2t -3t+1,则( ) A.该质点每秒末的速度成等差数列; B.该质点在 1s、2s、3s、4s 内的位移成等差数列; C.该质点在连续相等时间间隔内的位移成等差数列; D.该质点做匀减速运动。 ? 能力提高 18、一列火车从静止开始作匀加速运动,某人站在第一节车厢前端观察,第一节车厢全部通过他, 历时 2s,全部列车通过他历时 6s,设各车厢长度相等,且不计车厢间的距离,则这列车共有 车厢多少节。 19、汽车正以 10m/s 的速度在平直公路上前进,突然发现正前方 s 处有一辆自行车以 4m/s 的速度 作同方向的匀速直线运动,汽车立即刹车作加速度大小为 6m/s2 的匀减速运动,若汽车恰好 不碰上自行车,则 s 的大小为多少? 20、A、B 两车停于同一点,某时刻 A 车以 2m/s2 的加速度匀加速开出,3s 后 B 车以同向的 3m/s2 的加速度开出,问 B 追上 A 之前,在 A 起动后多少时间两车相距最远?最远距离是多少? ? 拔高挑战 21、一辆摩托车以 v1=30m/s 的速度前进,在它正前方 s0=300m 处有一辆载重车下以 v2=10m/s 的速度同向行驶,若摩托车以 a1=-0.5m/s2 或 a=-1.5m/s2 的加速度紧急刹车,试分析在上 述两种情况下,摩托车是否与载重车相撞?如果相撞,相撞处距摩托车刚刹车处的距离是多 少? 22、 质点以加速度 a 从静止出发做直线运动, 在时刻 t, 加速度为 2a, 在时刻 2t 加速度变为 3a, ??, 在时刻 nt,加速度变(n+1)a,求出 nt 时刻质点的速度。 答案:1、4,相反;2、43,75,11.75;3、32,14,16,14;4、4s;5、L/4;6、15;7、4750m; 8、5m/s;9、16.7m/s;10、ACD;11、CD;12、BC;13、B;14、C;15、A;16、C;17、AC; 18、9;19、3m;20、9s,27m;21、相撞,500m 处,不相撞;22、n(n+1)at/2;

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