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2015赢在高考第一轮复习数学 课后作业5


第2讲

函数的单调性及值域

基础巩固

1.函数 y=-x2+2x-3(x<0)的单调增区间是( A.(0,+∞) C.(-∞,0) 答案:C B.(-∞,1] D.(-∞,-1]

)

解析:因为函数 y=-x2+2x-3 的图象的对称轴为 x=1,又二次项系数为负数,即抛物线开口 向下,对称轴在定义域的右侧,所以其单调增区间为(-∞,0). 2.若函数 y=x-1的定义域是(-∞,1)∪ [2,5),则其值域是 ( A.(-∞,0)∪ 2 ,2 B.(-∞,2] C. -∞, 2 ∪ [2,+∞) D.(0,+∞) 答案:A 解析:∵ x∈ (-∞,1)∪ [2,5),则 x-1∈ (-∞,0)∪ [1,4),∴ ∈ (-∞,0)∪ 2 ,2 . x-1 3.若函数 f(x)=4x2-mx+5 在[-2,+∞)上递增,在(-∞,-2]上递减,则 f(1)=( A.-7 答案:D 解析:依题意,知函数图象的对称轴为 x=- 8 = 8 =-2,即 m=-16,从而可知 f(x)=4x2+16x+5,f(1)=4+16+5=25. 4.函数 f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是( A. -∞, 2
3 -m m 2 1 1 1 2

)

)

B.1

C.17

D.25

)

B. 2 , + ∞

3

1

C. -1, 2 答案:D

3

D. 2 ,4

3

解析:函数 f(x)的定义域是(-1,4),u(x)=-x2+3x+4=- x- 2 数 f(x)的单调减区间为 2 ,4 .
3

3 2

+ 4 的减区间为 2 ,4 ,∵ e>1,∴ 函

25

3

5.若函数 y=x-a-2在(-1,+∞)上单调递增,则 a 的取值范围是( A.a=-3 C.a≤-3 答案:C 解析:y=x-a-2=1+x-(a+2),需 解得 a≤-3. 6.已知函数 f(x)= ( ) B. 0, 3 D. 8 ,1
3 2 x-5 a-3

x-5

)

B.a<3 D.a≥-3 a-3 < 0, a + 2 ≤ -1,

(3a-2)x + 6a-1,x < 1, 在(-∞,+∞)上单调递减,那么实数 a 的取值范围是 ax ,x ≥ 1

A.(0,1) C. 8 , 3 答案:C
3 2

解析:本题考查对函数单调性概念的理解程度;注意函数在两个区间上如果分别单调,并 不能简单地说函数在这两个区间的并区间上单调, 3a-2 < 0, 0 < < 1, 故由题意知实数 a 需满足 (3a-2)·1 + 6a-1 ≥ a1 , 解得8≤a<3. 7.(2014 届天津月考)若存在正数 x 使 2x(x-a)<1 成立,则 a 的取值范围是( A.(-∞,+∞) C.(0,+∞) B.(-2,+∞) D.(-1,+∞) 2 )
3 2

答案:D 解析:由题意可得,a>x令 f(x)=x1 x 2 1 x 2

(x>0).

,该函数在(0,+∞)上为增函数,可知 f(x)的值域为(-1,+∞),故 a>-1 时,存

在正数 x 使原不等式成立. 8.函数 y=-(x-3)|x|的递增区间是 答案: 0, 2 解析:y=-(x-3)|x|= -x 2 + 3x,x > 0, x 2 -3x,x ≤ 0.
3 3

.

作出该函数的图象,观察图象知递增区间为 0, 2 .

9.若 f(x)为 R 上的增函数,则满足 f(2-m)<f(m2)的实数 m 的取值范围是 答案:(-∞,-2)∪ (1,+∞) 解析:∵ f(x)在 R 上为增函数,∴ 2-m<m2, 即 m2+m-2>0,解得 m>1 或 m<-2. 10.求下列函数的定义域和值域. (1)y= 1-x ? x; (2)y=log2(x2-2x+1); (3)
x y 0 2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7

.

解:(1)要使函数有意义,则

1-x ≥ 0, x ≥ 0,

解得 0≤x≤1,函数的定义域为[0,1].

3

∵ 函数 y= 1-x ? x为减函数, ∴ 函数的值域为[-1,1]. (2)要使函数有意义,则 x2-2x+1>0, 解得 x≠1,函数的定义域为{x|x≠1}. ∵ x2-2x+1∈ (0,+∞), ∴ 函数的值域为 R. (3)函数的定义域为{0,1,2,3,4,5}, 函数的值域为{2,3,4,5,6,7}. 11.已知函数 f(x)=a ? x(a>0,x>0), (1)求证:f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数; (2)若 f(x)在 2 ,2 上的值域是 2 ,2 ,求 a 的值. 解:(1)证明:设 x2>x1>0,则 x2-x1>0,x1x2>0, ∵ f(x2)-f(x1)= a - x =x ? x =
1 2

1

1

1

1

1

1
2

?

1 a

-x

1
1

1

1

x2 -x1 x1 x2

>0,

∴ f(x2)>f(x1). ∴ f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数. (2)∵ f(x)在 2 ,2 上的值域是 2 ,2 , 又 f(x)在 2 ,2 上单调递增, ∴ f
1 2 1 1 1

= 2,f(2)=2.
2

1

∴ 易得 a=5.

4

12.已知函数 f(x)=a-|x|. (1)求证:函数 y=f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)若 f(x)<2x 在(1,+∞)上恒成立,求实数 a 的取值范围. 解:(1)证明:∵ 当 x∈ (0,+∞)时,f(x)=a-x, 设 0<x1<x2,则 x1x2>0,x2-x1>0, ∴ f(x1)-f(x2)= a- x
1
1

1

1

? a- x

1
2

=x ?x =
2 1

1

1

x1 -x2 x1 x2

<0.

∴ f(x1)<f(x2),即 f(x)在(0,+∞)上是增函数. (2)由题意知 a-x<2x 在(1,+∞)上恒成立, 设 h(x)=2x+x,则 a<h(x)在(1,+∞)上恒成立. 可证 h(x)在(1,+∞)上单调递增. 因此 a≤h(1),即 a≤3. 故 a 的取值范围为(-∞,3].
拓展延伸
1 1

13.已知函数 f(x)对任意实数 x 均有 f(x)=kf(x+2),其中常数 k 为负数,且 f(x)在区间[0,2]上 有表达式 f(x)=x(x-2). (1)求 f(-1),f(2.5)的值; (2)写出 f(x)在区间[-3,3]上的表达式,并讨论函数 f(x)在区间[-3,3]上的单调性. 解:(1)f(-1)=kf(1)=-k, ∵ f(0.5)=kf(2.5), ∴ f(2.5)=kf(0.5)=k(0.5-2)× 0.5=-4k. (2)∵ 对任意实数 x,f(x)=kf(x+2), ∴ f(x-2)=kf(x). ∴ f(x)=kf(x-2).
1 1 1 3

5

当-3≤x<-2 时,1≤x+4<2, f(x)=kf(x+2)=k2f(x+4)=k2(x+2)(x+4); 当-2≤x<0 时,0≤x+2<2, f(x)=kf(x+2)=kx(x+2); 当 2≤x≤3 时,0≤x-2≤1, f(x)=kf(x-2)=k(x-2)(x-4). k 2 (x + 2)(x + 4),-3 ≤ x < -2, kx(x + 2),-2 ≤ x < 0, 故 f(x)= x(x-2),0 ≤ x < 2,
1 k 1 1

(x-2)(x-4),2 ≤ x ≤ 3.

∵ k<0,∴ f(x)在[-3,-1]与[1,3]上为增函数,在[-1,1]上为减函数.

6


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