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(23)人教A版必修一同步训练2.2.2-对数函数及其性质(第三课时)


对数函数及其性质(第三课时) 1、若 loga2<1,则实数 a 的取值范围是( ) A.(1,2) B.(0,1)∪(2,+∞) C.(0,1)∪(1,2) D.(0,) 1、解、选 B.当 a>1 时,loga2<logaa,∴a>2;当 0<a<1 时,loga2<0 成立,故选 B. 2、若 loga2<logb2<0,则下列结论正确的是( ) A.0<a<b<1 B.0<b<a<1C.a>b>1 2、解、选 B.∵loga2<logb2<0,如图所示,∴0<b<a<1.

D.b>a>1

3、已知函数 f(x)=2logx 的值域为[-1,1],则函数 f(x)的定义域是( ) A.[,] B.[-1,1] C.[,2] D.(-∞,]∪[,+∞) 3、解、选 A.函数 f(x)=2logx 在(0,+∞)上为减函数,则-1≤2logx≤1,可得-≤logx≤, 解得≤x≤. 4、若函数 f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为 a,则 a 的值为( ) A. B. C.2 D.4 4、解、选 B.当 a>1 时,a+loga2+1=a,loga2=-1,a=,与 a>1 矛盾;当 0<a<1 时, 1+a+loga2=a, loga2=-1,a=. 5、函数 f(x)=loga[(a-1)x+1]在定义域上( ) A.是增函数 B.是减函数 C.先增后减 D.先减后增 5、解、选 A.当 a>1 时,y=logat 为增函数,t=(a-1)x+1 为增函数,∴f(x)=loga[(a-1)x +1]为增函数;当 0<a<1 时,y=logat 为减函数,t=(a-1)x+1 为减函数,∴f(x)=loga[(a -1)x+1]为增函数. 6、设 a=lge,b=(lg e)2,c=lg ,则( ) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 6、解析:选 B.∵1<e<3,则 1<<e<e2<10,∴0<lg e<1.则 lg =lg e<lg e,即 c<a. ∵0<lg e<1,∴(lg e)2<lg e,即 b<a.又 c-b=lg e-(lg e)2=lg e(1-2lg e) =lg e·lg>0,∴c>b,故选 B. 7、已知 0<a<1,0<b<1,如果 alogb(x-3)<1,则 x 的取值范围是________. 7、解、∵0<a<1,alogb(x-3)<1,∴logb(x-3)>0.又∵0<b<1,∴0<x-3<1,即 3< x<4.答案:3<x<4 8、f(x)=log2 的图象关于原点对称,则实数 a 的值为________. 8、解析:由图象关于原点对称可知函数为奇函数,所以 f(-x)+f(x)=0,即 log2+log2=0?log2=0=log21,所以=1?a=1(负根舍去).答案:1 9、函数 y=logax 在[2,+∞)上恒有|y|>1,则 a 取值范围是________. 9、解、若 a>1,x∈[2,+∞),|y|=logax≥loga2,即 loga2>1,∴1<a<2;若 0<a<1,

x∈[2,+∞),|y|=-logax≥-loga2,即-loga2>1,∴a>,∴<a<1.答案:<a<1 或 1 <a<2 10、已知 f(x)=是 R 上的增函数,求 a 的取值范围. 10、解:f(x)是 R 上的增函数,则当 x≥1 时,y=logax 是增函数,∴a>1.又当 x<1 时,函数 y=(6-a)x-4a 是增函数.∴6-a>0,∴a<6.又(6-a)×1-4a≤loga1,得 a≥.∴≤a<6.综上 所述,≤a<6. 11、解下列不等式. (1)log2(2x+3)>log2(5x-6);(2)logx>1. 11、解:(1)原不等式等价于,解得<x<3,所以原不等式的解集为(,3). (2)∵logx>1?>1?1+<0?<0?-1<log2x<0??<x<1. ∴原不等式的解集为(,1). 12、函数 f(x)=log(3x2-ax+5)在[-1,+∞)上是减函数,求实数 a 的取值范围. 12、 解: 令 t=3x2-ax+5, 则 y=logt 在[-1, +∞)上单调递减, 故 t=3x2-ax+5 在[-1, +∞)单调递增,且 t>0(即当 x=-1 时 t>0). 因为 t=3x2-ax+5 的对称轴为 x=,所以??-8<a≤-6.

13、求下列函数的反函数: (1)y=0.2-x+1; (2)y=loga(4-x). 13、答案(1) ; (2) 14、 已知函数 y=loga(1-ax) (a>0,a≠1).(1)求函数的定义域与值域; (2)求函数的 单调区间; (3)证明函数图象关于 y=x 对称. 14、分析:有关于对数函数的定义域要注意真数大于 0;函数的值域取决于 1-ax 的范围, 可应用换元法,令 t=1-ax 以减小思维难度;运用复合函数单调性的判定法求单调区间;函 数图象关于 y=x 对称等价于原函数的反函数就是自身, 本题要注意对字母参数 a 的范围讨论. 解: (1)1-ax>0,即 ax<1, ∴a>1 时,定义域为(-∞,0) ;0<a<1 时,定义域为(0,+∞). 令 t=1-ax,则 0<t<1,而 y=loga(1-ax)=logat. ∴a>1 时,值域为(-∞,0) ;0<a<1 时,值域为(0,+∞). (2)∵a>1 时,t=1-ax 在(-∞,0)上单调递减,y=logat 关于 t 单调递增, ∴y=loga(1-ax)在(-∞,0)上单调递减. ∵0<a<1 时,t=1-ax 在(0,+∞)上单调递增,而 y=logat 关于 t 单调递减, ∴y=loga(1-ax)在(0,+∞)上单调递减. (3)∵y=loga(1-ax) , ∴ay=1-ax. ∴ax=1-ay,x=loga(1-ay). ∴反函数为 y=loga(1-ax) ,即原函数的反函数就是自身. ∴函数图象关于 y=x 对称. 15、 已知函数 f(x)=()x(x>0)和定义在 R 上的奇函数 g(x).当 x>0 时,g(x)=f (x) ,试求 g(x)的反函数.

15、分析:分段函数的反函数应注意分类讨论.由于 f(x)为奇函数,故应考虑 x>0,x<0, x=0 三种情况. 解:∵g(x)是 R 上的奇函数, ∴g(-0)=-g(0) ,g(0)=0. 设 x<0,则-x>0,∴g(-x)=()-x. ∴g(x)=-g(-x)=-()-x=-2x. ∴g(x)= 当 x>0 时,由 y=()x 得 0<y<1 且 x=logy, ∴g-1(x)=logx(0<x<1=; 当 x=0 时,由 y=0,得 g-1(x)=0(x=0) ; 当 x<0 时,由 y=-2x, 得-1<y<0,且 x=log2(-y) , ∴g-1(x) =log2(-x) (-1<x<0=. 综上,g(x)的反函数为 g-1(x)= 16、 探究函数 y=log3(x+2)的图象与函数 y=log3x 的图象间的关系. 16、分析:函数的图象实际上是一系列点的集合,因此研究函数 y=log3(x+2)的图象与函数 y=log3x 的图象间的关系可以转化为研究两个函数图象上对应点 的坐标之间的关系. 解:将对数函数 y=log3x 的图象向左平移 2 个单位长度,就得到函数 y=log3(x+2)的图象. 小结:由函数 y=f(x)的图象得到函数 y=f(x+a)的图象的变化规律为: 当 a>0 时,只需将函数 y=f(x)的图象向左平移 a 个单位就可得到函数 y=f(x+a)的图象; 当 a<0 时,只需将函数 y=f(x)的图象向右平移|a|个单位就可得到函数 y=f(x+a)的图象. (2)由函数 y=f(x)的图象得到函数 y=f(x)+b 的图象的变化规律为: 当 b>0 时, 只需将函数 y=f (x) 的图象向上平移 b 个单位就可得到函数 y=f (x) +b 的图象; 当 b<0 时,只需将函数 y=f(x)的图象向下平移|b|个单位就可得到函数 y=f(x)+b 的图 象. 17、函数的反函数的图象经过点(1,4) ,求的值. 17、 【解析】根据反函数的概念,知函数 的反函数的图象经过点(4,1) , ∴, ∴. 【小结】若函数的图象经过点 ,则其反函数的图象经过点. 18、 求函数 y = log4 (7 + 6 x – x2)的单调区间和值域. 18、 【分析】考虑函数的定义域,依据单调性的定义确定函数的单调区间,同时利用二次函 数的基本理论求得函数的值域. 解、由 7 + 6 x – x2>0,得(x – 7) (x + 1)<0,解得–1<x<7. ∴函数的定义域为{x|–1<x<7.

设 g (x) = 7 + 6x – x2 = – (x – 3)2 + 16. 可知,x<3 时 g (x)为增函数,x>3 时,g (x)为减 函数. 因此,若–1<x1<x2<3. 则 g (x1)<g (x2) 即 7 + 6x1 – x12<7 + 6x2 – x22, 而 y = log4x 为增函数. ∴log4 (7 + 6 x1 – x12)<log4 (7 + 6x2 – x22), 即 y1<y2. 故函数 y = log4 (7 + 6x – x2)的单调增区间 为(–1, 3), 同理可知函数 y = log4 (7 + 6x – x2)的单调减区 间为(3, 7). 又 g (x) = – (x – 3)2 + 16 在(–1, 7)上的值域为 (0, 16. 所以函数 y = log4(7 + 6x – x2)的值域为 (–∞, 2. 【小结】我们应明白函数的单调区间必须使函数有意义. 因此求函数的单调区间时,必先求 其定义域,然后在定义域内划分单调区间. 求函数最值与求函数的值域方法是相同的,应用 函数的单调性是常用方法之一.


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