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第一章+解三角形测试题(含详解)


必修五 第一章解三角形测试卷
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一、选择题 1.在△ABC 中,AB=5,BC=6,AC=8,则△ABC 的形状是( )

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.非钝角三角形 答案 C 2.在△ABC 中,已知 a=1,b= 3,A=30° ,B 为锐角,那么 A,B, C 的大小关系为( ) C.C>B>A D.C>A>B

A.A>B>C B.B>A>C

a b bsinA 3 解析 由正弦定理sinA=sinB,∴sinB= a = 2 . ∵B 为锐角,∴B=60° ,则 C=90° ,故 C>B>A. 答案 C 3.在△ABC 中,已知 a=8,B=60° ,C=75° ,则 b 等于( A.4 2 B.4 3 32 C.4 6 D. 3 答案 C ) )

asinB 解析 A=45° ,由正弦定理,得 b= sinA

a+b+c 4.在△ABC 中,A=60° ,a=3,则 等于( sinA+sinB+sinC 8 3 A. 3 2 39 B. 3 26 3 C. 3 D.2 3

解析 利用正弦定理及比例性质,得 a+b+c a 3 3 =sinA=sin60° = =2 3. sinA+sinB+sinC 3 2 答案 D

5.若三角形三边长之比是 1: 3:2,则其所对角之比是( A.1:2:3 B.1: 3 :2 C.1: 2 : 3

)

D. 2 : 3 :2

解析

设三边长分别为 a , 3 a,2a ,设最大角为 A ,则 cosA = ∴A=90° .

a2+? 3a?2-?2a?2 =0, 2· a· 3a

?2a?2+? 3a?2-a2 3 设最小角为 B,则 cosB= =2, 2· 2a· 3a ∴B=30° ,∴C=60° . 因此三角之比为 1:2:3. 答案 A )

6.在△ABC 中,若 a=6,b=9,A=45° ,则此三角形有( A.无解 B.一解 C.两解 D.解的个数不确定

2 9× 2 b a bsinA 3 2 解析 由sinB=sinA,得 sinB= a = 6 = 4 >1. ∴此三角形无解. 答案 A

7 .已知△ ABC 的外接圆半径为 R ,且 2R(sin2A - sin2C) = ( 2 a - b)sinB(其中 a,b 分别为 A,B 的对边),那么角 C 的大小为( A.30° B.45° C.60° D.90° )

解析 根据正弦定理,原式可化为 c ? ?a b 2R?4R2-4R2?=( 2a-b)· , ∴a2-c2=( 2a-b)b, ∴a2+b2-c2= 2 2 R ? ? a2+b2-c2 2 ab,∴cosC= 2ab = 2 ,∴C=45° . 答案 B
2 2

8.在△ABC 中,已知 sin2A+sin2B-sinAsinB=sin2C,且满足 ab=4, 则该三角形的面积为( A.1 B.2 ) C. 2 D. 3

a b c 解析 由sinA=sinB=sinC=2R,又 sin2A+sin2B-sinAsinB=sin2C, 可得 a +b -ab=c
2 2 2

a2+b2-c2 1 3 ∴cosC= 2ab =2,∴C=60° ,sinC= 2 . 答案 D

1 ∴S△ABC=2absinC= 3.

sinB 9.在△ABC 中,A=120° ,AB=5,BC=7,则sinC的值为( 8 A.5 5 B.8 5 C.3 3 D.5

)

AB2+AC2-BC2 解析 由余弦定理,得 cosA= ,解得 AC=3. 由正 2AB· AC sinB AC 3 弦定理sinC=AB =5. 答案 D

10.在三角形 ABC 中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC 的大小为 ( ) 2π A. 3 5π B. 6 3π C. 4 π D.3

AB2+AC2-BC2 52+32-72 解析 由余弦定理,得 cos∠BAC= = =- 2AB· AC 2×5×3 1 2π ,∴∠ BAC = 2 3. 答案 A

11.有一长为 1 km 的斜坡,它的倾斜角为 20° ,现要将倾斜角改为 10° ,则坡底要加长( A.0.5 km ) C.1.5 km 3 D. 2 km

B.1 km

解析 如图,AC=AB· sin20° =sin20° , AC BC=AB· cos20° =cos20° ,DC=tan10° =2cos210° , ∴DB=DC-BC=2cos210° -cos20° =1.

答案

B

12.已知△ABC 中,A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a=c= 6 + 2,且 A=75° ,则 b 为( )

A.2

B.4+2 3

C.4-2 3

D. 6- 2

解析 在△ABC 中,由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccosA,∵a =c,∴0=b2-2bccosA=b2-2b( 6+ 2)cos75° ,而 cos75° =cos(30° 2 3 1 1 +45° )=cos30° cos45° -sin30° sin45° = 2 ( 2 -2)=4( 6- 2),∴b2 1 2 -2b( 6+ 2)cos75° =b2-2b( 6+ 2)· ( 6 - 2) = b -2b=0,解得 4 b=2,或 b=0(舍去).故选 A. 二、填空题 13.在△ABC 中,A=60° ,C=45° ,b=4,则此三角形的最小边是 ____________. 解析 由 A+B+C=180° ,得 B=75° ,∴c 为最小边,由正弦定 bsinC 4sin45° 理,知 c= sinB = sin75°=4( 3-1). 答案 4( 3-1) 答案 A

14.在△ABC 中,若 b=2a,B=A+60° ,则 A=________. 解析 由 B=A+60° ,得 1 3 sinB=sin(A+60° )=2sinA+ 2 cosA.又由 b=2a,知 sinB=2sinA. 1 3 3 3 ∴2sinA=2sinA+ 2 cosA 即2sinA= 2 cosA. 3 ∵cosA≠0,∴tanA= 3 .∵0° <A<180° ,∴A=30° . 答案 30° 15.在△ABC 中,A+C=2B,BC=5,且△ABC 的面积为 10 3, 则 B=________,AB=________. 解析 由 A+C=2B 及 A+B+C=180° ,得 B=60° . 1 又 S=2AB· BC· sinB∴10 1 3=2AB×5×sin60° ,∴AB=8.答案 60° 8

16. 在△ABC 中, 已知(b+c) : (c+a) : (a+b)=8:9:10, 则 sinA:sinB:sinC

=________.解析

b+c=8k, ? ? 设?c+a=9k, ? ?a+b=10k,

可得 a:b:c=11:9:7.

∴sinA:sinB:sinC=11:9:7. 三、解答题

答案 11:9:7

a2 sinAcosB 17.(10 分)在△ABC 中,若b2=cosAsinB,判断△ABC 的形状. a2 a cosB 解 依据正弦定理,得b2=b· cosA,所以 acosA=bcosB.再由正弦 定理,得 sinAcosA=sinBcosB,即 sin2A=sin2B,因为 2A,2B∈(0,2π), π 故 2A=2B,或 2A+2B=π.从而 A=B,或 A+B=2,即△ABC 为等 腰三角形,或直角三角形.

18.(12 分)锐角三角形 ABC 中,边 a,b 是方程 x2-2 3x+2=0 的 两根,角 A,B 满足 2sin(A+B)- 3=0.求: (1)角 C 的度数;(2)边 c 的长度及△ABC 的面积. 解 3 (1)由 2sin(A+B)- 3=0,得 sin(A+B)= 2 .

∵△ABC 为锐角三角形,∴A+B=120° ,∴∠C=60° . (2)∵a,b 是方程 x2-2 3x+2=0 的两个根, ∴a+b=2 3,ab=2.∴c2=a2+b2-2abcosC =(a+b)2-3ab=12-6=6.∴c= 6. 1 1 3 3 S△ABC=2absinC=2×2× 2 = 2 .

19.(12 分)如右图,某货轮在 A 处看灯塔 B 在货轮的北偏东 75° ,距 离为 12 6 nmile, 在 A 处看灯塔 C 在货轮的北偏西 30° , 距离为 8 3 nmile, 货轮由 A 处向正北航行到 D 处时, 再看灯塔 B 在北偏东 120° , 求: (1)A 处与 D 处的距离; (2)灯塔 C 与 D 处的距离. 分析 (1)要求 AD 的长,在△ABD 中,AB=12 6,B=45° ,可

由正弦定理求解;(2)要求 CD 的长,在△ACD 中,可由余弦定理求 解. 解 (1)在△ABD 中,∠ADB=60° ,B=45° ,AB=12 6,由正

2 12 6× 2 ABsinB 弦定理,得 AD= = =24(nmile). sin∠ADB 3 2 (2)在△ADC 中,由余弦定理,得 CD2=AD2+AC2-2AD· AC· cos30° . 解得 CD=8 3(nmile). ∴A 处与 D 处的距离为 24 nmile,灯塔 C 与 D 处的距离为 8 3 nmile. 20.(12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,

A 2 5 → → 且满足 cos 2 = 5 ,AB · AC=3. (1)求△ABC 的面积; (2)若 b+c=6,求 a 的值. 解 A 2 5 (1)∵cos 2 = 5 ,

A 3 4 ∴cosA=2cos2 2 -1=5,sinA=5. →· → =3,得 bccosA=3,∴bc=5. 又由AB AC 1 因此 S△ABC=2bcsinA=2. (2)由(1)知,bc=5,又 b+c=6, ∴b=5,c=1,或 b=1,c=5. 由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccosA=20. ∴a=2 5. π 21.(12 分)在△ABC 中,已知内角 A=3,边 BC=2 3,设内角 B=x,周长为 y. (1)求函数 y=f(x)的解析式和定义域; (2)求 y 的最大值. 解 π (1)△ABC 的内角和 A+B+C=π,由 A=3,B>0,C>0,得

2π 0<B< 3 .应用正弦定理,得 BC 2 3 AC=sinA· sinB= π· sinx=4sinx. sin3
?2π ? BC AB=sinAsinC=4sin? 3 -x?. ? ?

∵y=AB+BC+CA, 2π? ?2π ? ? ∴y=4sinx+4sin? 3 -x?+2 3?0<x< 3 ?.
? ? ? ?

3 1 (2)y=4(sinx+ 2 cosx+2sinx)+2 3 π =4 3sin(x+6)+2 3. π π 5π ∵6<x+6< 6 , π π π ∴当 x+6=2,即 x=3时,y 取得最大值 6 3. 22.(12 分)△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,tanC sinA+sinB = ,sin(B-A)=cosC. cosA+cosB (1)求 A,C; (2)若 S△ABC=3+ 3,求 a,c. 解 sinA+sinB (1)因为 tanC= , cosA+cosB

sinC sinA+sinB 即cosC= , cosA+cosB 所以 sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB, 即 sinCcosA- cosCsinA= cosCsinB- sinCcosB,得 sin(C- A) = sin(B-C). 所以 C-A=B-C,或 C-A=π-(B-C)(不成立), π 2π 即 2C=A+B,得 C=3,所以 B+A= 3 . 1 又因为 sin(B-A)=cosC=2, π 5π 则 B-A=6,或 B-A= 6 (舍去).

π 5π 得 A=4,B=12.

π π 所以 A=4,C=3.

6+ 2 1 a c a c (2)S△ABC=2acsinB= 8 ac=3+ 3,又sinA=sinC,即 = . 2 3 2 2 得 a=2 2,c=2 3.


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