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广东省肇庆市2015届高中毕业班第二次模拟检测数学文试卷 Word版含答案


试卷类型:A
广东省肇庆市中小学教学质量评估 2015 届高中毕业班第二次模拟检测数学文试题 本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔,将自己所在县(市、区) 、姓名、试室 号、座位号填写在答题卷上对应位置,再用 2B 铅笔将准考证号涂黑. 2. 选择题每小题选出答案后,用 2

B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑;如需要改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能写在试卷上或草稿纸上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域 内相应的位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂 改液. 不按以上要求作答的答案无效. 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高. 3

一组数据 x1 , x2 ,? , xn 的标准差 s ? 中 x 表示这组数据的平均数.

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] ,其 n

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设 i 为虚数单位,则复数 A. ?4 ? 3i

3 ? 4i = i B. ?4 ? 3i

C. ? ? ?i
2

D. ? ? ?i

2.已知集合 A ? {( x, y ) | x, y 为实数,且 y ? x } , B ? {( x, y ) | x, y 为实数,且 x ? y ? 1} , 则 A∩B 的元素个数为 A.无数个 B.3

C.2

D.1

3.已知向量 a ? (1, 2), b ? (1, 0), c ? (4, ?3) .若 ? 为实数, (a ? ? b) ? c ,则 ? ?

1 1 B. 4 2 4.若 p 是真命题, q 是假命题,则
A. A. p ? q 是真命题 B. p ? q 是假命题

C.1

D.2

C. ?p 是真命题

D. ?q 是真命题

5.已知等差数列{ an }, a6 ? 2 ,则此数列的前 11 项的和 S11 ? A.44 B.33 C.22 D.11

6.下列函数为偶函数的是( A. y ? sin x B. y ? ln

?

)

x ? ?? ? x

?

C. y ? e

x

D. y ? ln

x ? ??

7.某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示,则该几何体的俯视图不可能 是 ...
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8.设变量 x,

y 满足约束条件

? x ? 2 y ? 2, ? ?2 x ? y ? 4, 则 目 ?4 x ? y ? ?1, ?
标 函 数 围是
3 A. [? , 6] 2 3 B. [? , ?1] 2

z ? 3x ? y 的 取 值 范

C. [?1, 6]

3 D. [?6, ] 2

9.已知 f1 ? x ? ? sin x ? cos x , f n ?1 ? x ? 是 f n ? x ? 的导函数,即 f 2 ? x ? ? f1? ? x ? ,

f3 ? x ? ? f 2? ? x ? ,?, f n ?1 ? x ? ? f n? ? x ? , n ? N * ,则 f 2015 ? x ? ?
A. sin x ? cos x B. ? sin x ? cos x C. sin x ? cos x D. ? sin x ? cos x 10.集合 M 由满足:对任意 x1 , x2 ? [ ?1,1] 时,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 | x1 ? x2 | 的函数 f ( x) 组成.对于两个函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 2, g ( x) ? e ,以下关系成立的是
2 x

A. f ( x ) ? M , g ( x ) ? M C. f ( x ) ? M , g ( x ) ? M

B. f ( x ) ? M , g ( x ) ? M D. f ( x) ? M , g ( x) ? M

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.在 ?ABC 中,若 b ? 5, ?B ? 12.若 f ? x ? ?

?

1 ,sin A ? ,则 a ? 4 3



.

1 3 单调函数,则 a 的范围是 ▲ . x ? ax 2 ? x 在 ? ??, ?? ? 不是 .. 3

13.已知函数 f ? x ? ? ? sin x ? cos x ? sin x , x ? R ,则 f ( x) 的最小值是 ▲ .

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( ) 14 . (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线 l 的方程为

B

? π? ? cos ? ? 5 ,则点 ? 4, ? 到直线 l 的距离为 ▲ . ? 3?
15. (几何证明选讲选做题) 如图,PT 是圆 O 的切线,PAB 是圆 O 的 割线,若 PT ? 2 , PA ? 1 ,?P ? 60 o ,则圆 O 的半径 r ? ▲ .

?O

A P

T

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ?

?

?

? ? 3,sin ? 与b ? ?1, cos ? ? 互相平行,其中 ? ? (0, ) . 2

?

(1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)求 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? 的最小正周期和单调递增区间.

17. (本小题满分 12 分) 贵广高速铁路自贵阳北站起,经黔南州、黔东南、广西桂林、贺州、广东肇庆、佛山终 至广州南站. 其中广东省内有怀集站、广宁站、肇庆东站、三水南站、佛山西站、广州南站共 6 个站. 记者对广东省内的 6 个车站的外观进行了满意度调查,得分情况如下: 车站 满意度得分 怀集站 70 广宁站 76 肇庆东站 72 三水南站 70 佛山西站 72 广州南站 x

已知 6 个站的平均得分为 75 分. (1)求广州南站的满意度得分 x,及这 6 个站满意度得分的标准差; (2)从广东省内前 5 个站中,随机地选 2 个站,求恰有 1 个站得分在区间(68,75) 中的概率. 18. (本小题满分 14 分) 如图, 将一副三角板拼接, 使他们有公共边 BC, 且使这两个三角形所在的平面互相垂直,

?BAC ? ?CBD ? 90? , AB ? AC , ?BCD ? 30? ,BC=6.
(1)证明:平面 ADC ?平面 ADB;

A

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C

B

(2)求 B 到平面 ADC 的距离.

19. (本小题满分 14 分) 已知在数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , ? n ? 1? an ? nan ?1 ? 1 , n ? N ? . (1)证明数列 ?an ? 是等差数列,并求 an 的通项公式; (?)设数列 ?

? 1 ? 1 ? 的前 n 项和为 Tn ,证明: Tn ? .? 6 ? an an ?1 ?

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? (1)若 ? ?

1 ? . ? x ?1 ? 3 ( ? 1 ? x ? 2 ) x 4 2

3 时,求函数 f ( x) 的值域; 2

(2)若函数 f ( x) 的最小值是 1,求实数 ? 的值.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ?

kx ,k ?R . 1? x

(1)讨论 f ( x) 的单调区间; (2)当 k ? 1 时,求 f ( x) 在 [0, ??) 上的最小值, 并证明

1 1 1 1 ? ? ?? ? ? ln ?1 ? n ? . 2 3 4 n ?1

肇庆市 2015 届高中毕业班第二次统测 数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题 题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 D 5 C 6 D 7 D 8 A 9 B 10
A

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二、填空题 11.

5 2 3

12. ? ??, ?1? ? ?1, ?? ?

13.

1? 2 2

14. 3

15. 3

三、解答题 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)因为 a 与 b 互相平行,则 sin ? ? 3 cos ? , tan ? ? 3 , 又 ? ? ? 0, (3 分) (6 分)

? ?

??

3 1 ? , cos ? ? . ? ,所以 ? ? ,所以 sin ? ? 2 2 3 2?
? ?

(2)由 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? sin ? 2 x ? 由 2 k? ?

??

? ,得最小正周期 T ? ? 3?

(8 分)

?
2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

, k ? Z ,得 k? ?

5? ? ? x ? k? ? , k ? Z (11 分) 12 12
(12 分)

所以 f ( x) 的单调递增区间是 ? k? ?

? ?

5? ?? , k? ? ? , k ? Z 12 12 ?

17. (本小题满分 12 分) 解: (1)由题意,得

1 (70 ? 76 ? 72 ? 70 ? 72 ? x) ? 75 ,解得 x ? 90 . 6

(2 分)

s?

1 1 2 2 2 2 2 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( x6 ? x) 2 ] ? (5 ? 1 ? 3 ? 5 ? 3 ? 152 ) ? 7 (5 分) 6 6

(2)前 5 个站中随机选出的 2 个站,基本事件有 (怀集站,广宁站) , (怀集站,肇庆东站) , (怀集站,三水南站) , (怀集站,佛山西站) , (广宁站,肇庆东站) , (广宁站,三水南站) , (广宁站,佛三西站) , (肇庆东站,三水南站) , (肇庆东站,佛山西站) , (三水南站,佛山 西站)共 10 种, 这 5 个站中,满意度得分不在区间(68,75)中的只有广宁站. 设 A 表示随机事件“从前 5 个站中,随机地选 2 个站,恰有 1 个站得分在区间(68,75)中” , 则 A 中的基本事件有 4 种, 则 P ( A) ? (10 分) (12 分) (8 分)

4 2 ? 10 5

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18. (本小题满分 14 分) (1)证明:因为 面ABC ? 面BCD, BD ? BC , 面ABC ? 面BCD ? BC , BD ? 面BCD , 所以 BD ? 面ABC . 又 AC ? 面ABC ,所以 BD ? AC . 又 AB ? AC ,且 BD ? AB ? B , 所以 AC ? 面ADB . (5 分)

A
(3 分) (4 分)

C

B

又 AC ? 面ADC ,所以 面ADC ? 面ADB .(6 分)
0 0

D

(2)在 Rt ?BCD 中, BC ? 6, ?BCD ? 30 ,得 BD ? BC ? tan 30 ? 2 3 , (7 分) 在等腰 Rt ?ABC 中, BC ? 6 ,得 AB ? AC ? 3 2 . 由(1)知 BD ? 面ABC ,所以 BD ? AB , 在 Rt?ABD 中, AB ? 3 2 , DB ? 2 3 ,得 AD ? 又 AC ? 面ADB ,设 B 到面 ADC 的距离为 h , 由 VC ? ABD ? VB ? ACD , 得 ? ( ? AB ? BD) ? AC ? 解得 h ? (12 分) (8 分) (9 分)

AB 2 ? DB 2 ? 30 , (10 分)

1 3

1 2

1 1 ? ( ? AC ? AD) ? h , 3 2

(13 分)

6 5 6 5 ,即 B 到平面 ADC 的距离 . 5 5

(14 分)

19. (本小题满分 14 分) 解: (1)方法一: 由 ? n ? 1? an ? nan ?1 ? 1 ,得 ? n ? 2 ? an ?1 ? ? n ? 1? an ? 2 ? 1 , 两式相减,得 ? 2n ? 2 ? an ?1 ? ? n ? 1?? an ? 2 ? an ? ,即 2an ?1 ? an ? 2 ? an , 所以数列 ?an ? 是等差数列. (2 分) (4 分) (5 分)

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由?

?a1 ? 3 ,得 a 2 ? 5 ,所以 d ? a 2 ? a1 ? 2 , ?2a1 ? a 2 ? 1

(6 分)

故 a n ? a1 ? (n ? 1) ? d ? 2n ? 1 an ? 2n ? 1 . 方法二: 将 (n ? 1)a n ? na n ?1 ? 1 两边同除以 n(n ? 1) ,得

(8 分)

a n a n ?1 1 1 ? ? ? , (3 分) n n ?1 n n ?1
(4 分)



a n ?1 ? 1 a n ? 1 ? . n ?1 n a n ? 1 a1 ? 1 ? n 1

所以

(5 分) (6 分) (8 分)

所以 a n ? 2n ? 1 因为 an ?1 ? an ? 2 ,所以数列 ?an ? 是等差数列. (2)因为

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ,??????????????????(11 分)? an an ?1 ? 2n ? 1?? 2n ? 3? 2 ? 2n ? 1 2n ? 3 ?
1 1 1 ? ??? a1 a 2 a 2 a3 a n a n ?1

所以 Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3 1 1 1 ? ? ? (n? N*) 6 4n ? 6 6

(14 分)

20. (本小题满分 14 分) 解: (1) f ( x) ?

1 ? 1 1 ? x ?1 ? 3 ? ( ) 2 x ? 2? ? ( ) x ? 3 ( ? 1 ? x ? 2 ) (1 分) x 2 2 4 2
2

设 t ? ( ) x ,得 g (t ) ? t ? 2?t ? 3 ( 当? ?

1 2

1 ? t ? 2 ). 4

(2 分) (3 分) (5 分)

3 3 3 1 时, g (t ) ? t 2 ? 3t ? 3 ? (t ? ) 2 ? ( ? t ? 2 ). 2 2 4 4 1 4 37 3 3 , g (t ) min ? g ( ) ? . 16 2 4

所以 g (t ) max ? g ( ) ?

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所以 f ( x) max ?

37 3 3 37 , f ( x) min ? ,故函数 f ( x) 的值域为[ , ]. (6 分) 16 4 4 16 1 ?t ? 2) 4
(7 分) (8 分) (9 分) (10 分) (11 分) (12 分) (13 分)

(2)由(1) g (t ) ? t 2 ? 2?t ? 3 ? (t ? ? ) 2 ? 3 ?? 2 ( ①当 ? ? 令? ②当

1 1 ? 49 时, g (t ) min ? g ( ) ? ? ? , 4 4 2 16 49 33 1 ? 1 ,得 ? ? ? ,不符合舍去; 16 8 4

?
2

?

1 ? ? ? 2 时, g (t ) min ? g (? ) ? ??2 ? 3 , 4

令 ? ?2 ? 3 ? 1 ,得 ? ?

2 ,或 ? ? ? 2 ?

1 ,不符合舍去; 4

③当 ? ? 2 时, g (t ) min ? g (2) ? ?4? ? 7 , 令 ? 4? ? 7 ? 1 ,得 ? ?

3 ? 2 ,不符合舍去. 2

综上所述,实数 ? 的值为 2 .

(14 分)

21. (本小题满分 14 分) 解: (1) f ? x ? 的定义域为 ? ?1, ?? ? . (1 分)

f ?( x) ?

1 (1 ? x) ? x x ? 1 ? k ?k ? 1? x (1 ? x) 2 (1 ? x) 2

(3 分)

当 k ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 在 ? ?1, ?? ? 上恒成立,所以 f ? x ? 的单调递增区间是 ? ?1, ?? ? ,无单 调递减区间. (5 分)

当 k ? 0 时,由 f ' ? x ? ? 0 得 x ? k ? 1 ,由 f ' ? x ? ? 0 得 x ? k ? 1 ,所以 f ? x ? 的单调递增区 间是 ? k ? 1, ?? ? ,单调递减区间是 ? ?1, k ? 1? , (7 分)

(2)由(1)知,当 k ? 1 时, f ? x ? 在 [0, ??) 上单调递增,所以 f ? x ? 在 [0, ??) 上的最小 值为 f ? 0 ? ? 0 . 所以 (9 分) (10 分)

x ? ln(1 ? x) ( x ? 0 ) 1? x

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1 1 1 所以 n ? ln(1 ? ) ,即 ? ln(n ? 1) ? ln n ( n ? N * ). (12 分) 1 n 1? n 1? n 1 1 1 所以 ? ? ? ? ? (ln 2 ? ln 1) ? (ln 3 ? ln 2) ? ? ? (ln(n ? 1) ? ln n) ? ln(n ? 1) 2 3 n ?1
(14 分)

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