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第六课时 正弦定理和余弦定理及其应用


2012 届高三理科数学一轮复习资料

第四章 三角函数、解三角形
第六课时 正弦定理和余弦定理及其应用
一、 知识梳理 1、内角和定理: 在 ? ABC 中, A ? B ? C ? ? ; sin( A ? B) ? sin C ; cos( A ? B) ? ? cos C
cos A? B C ? sin 2 2

>
1 1 ab sin C ? bc sin A 2 2 3、正弦定理:在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.

2、面积公式: S?ABC ?

a b c ? ? ? 2R 形式一: sin A sin B sin C

(解三角形的重要工具)

(边角转化的重要工具) 4.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹 角的余弦的积的两倍.. 2 2 2 形式一: a ? b ? c ? 2bc cos A (解三角形的重要工具) 形式二: cos A ?
b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 , cos B ? , cos C ? ; 2bc 2ac 2ab

?a ? 2R sin A ? ?b ? 2R sin B ?c ? 2R sin C 形式二: ?

二、基础过关 1. 在△ABC 中,A=60°,AB=5,BC=7,则△ABC 的面积为

.
3

2.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB= 的值为 .
a b?c

ac,则角 B

3. 在△ABC 中,若∠C=60°,则

+

b c?a

=

. 三角形.

4. 在△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 一定是 三、典例解析 考点 1、正、余弦定理的直接运用

例 1:在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A,B,C 的对边,且 cos B = cos C

b 2a ? c

.

(1)求角 B 的大小; (2)若 b=

13

,a+c=4,求△ABC 的面积.

1

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考点 2、判断三角形形状 例 2: 在△ABC 中, a、 b、 c 分别表示三个内角 A、 B、 C 的对边, 如果 (a2+b2) sin (A-B) 2 2 =(a -b )sin(A+B) ,判断三角形的形状.

考点 3:、三角形中的三角变换 例 3:设 ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 A= 60 ,c=3b.求: (Ⅰ)求
a 的值; (Ⅱ)tanB +tan C 的值. c

考点 4、与三角形相关的应用题 例:4 某观测站 C 在 A 城的南偏西 20°的方向.由 A 城出发的一条公路, 走向是南偏东 40°, 在C
处测得公路上 B 处有一人距 C 为 31 千米正沿公路向 A 城走去,走了 20 千米后到达 D 处,此时 CD 间的距离为 21 千米,问这人还要走多少千米才能到达 A 城?

2

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第六课时 正弦定理和余弦定理及其应用
巩固练习 1. △ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asinAsinB+
b ? 则a

1 bcos2A= 2a , 2

. .

2 2 2 2.在 ? ABC 中. sin A ? sin B ? sin C ? sin B sin C .则 A 的取值范围是

3.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.若( cosA= .

3

b-c)cosA=acosC,则

4.线段 AB 外有一点 C,∠ABC=60°,AB=200 km,汽车以 80 km/h 的速度由 A 向 B 行驶, 同时摩托车以 50 km/h 的速度由 B 向 C 行驶,则运动开始 离最小. h 后,两车的距

5. 在△ABC 中,边 a,b,c 所对角分别为 A,B,C,且 sin A = cos B = cos C ,则∠A=
a b c

.

6. ?ABC 中, B ? 60?, AC ? 3, ,则 AB+2BC 的最大值为_________.
7. 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 csinA=acosC. (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 3 sinA-cos(B+

? )的最大值,并求取得最大值时角 A、B 的大小。 4

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8. 在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知

cos A-2 cos C 2c-a = . cos B b

sin C 的值; sin A 1 (II)若 cosB= ,b=2, ?ABC 的面积 S。 4
(I)求

9. 如图所示,扇形 AOB,圆心角 AOB 等于 60°,半径为 2,在弧 AB 上有一动点 P,

过 P 引平行于 OB 的直线和 OA 交于点 C,设∠AOP= ? ,求△POC 面积的最大值及此时 ? 的值.

10. 所示,要求∠ACB=60°,BC 的长度大于 1 米,且 AC 比 AB 长 0.5 米.为了使广告牌稳固,要求 AC 的长度越短越 好,求 AC 最短为多少米?且当 AC 最短时,BC 长度为多 少米?

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