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2014年高三数学大一轮复习配套课件(浙江专用·人教版A)第一章 集合与常用逻辑用语1.1


数学

浙(理)

§1.1 集合的概念与运算
第一章 集合与常用逻辑用语

基础知识·自主学习
要点梳理
1.集合与元素 (1)集合元素的三个特征:
难点正本 疑点清源

1.正确理解集合的概念
正确理解集合的有关概念,特别是 集合中元素 的三个

特 征,尤其是 “确定性和互异性 ” 在解题中要注 意运用.在解决含参数问题时,要 注意检验,否则很可能会因为不满 足“互异性”而导致结论错误.

确定性 、互异性 、无序性 .
(2)元素与集合的关系是属于 或 不属于 关系,用符号∈ 或

2.注意空集的特殊性

? 表示.
(3)集合的表示法: 列举法 、

描述法 、 图示法 .

空集是不含任何元素的集合,空集 是任何集合的子集.在解题时,若 未明确说明集合非空时,要考虑到 集合为空集的可能性. 例如: A?B, 则需考虑 A=?和 A≠?两种可能的 情况.
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类

基础知识·自主学习
要点梳理
(4)常见数集的记法
难点正本 疑点清源

1.正确理解集合的概念
整 数 集 Z

集 合 符 号

自 然 数 集
N

正整 数集 N*(或 N+)

有 理 数 集
Q

实 数 集 R

正确理解集合的有关概念,特别是 集 合中 元素 的三 个特征 ,尤 其是 “ 确定性和互异性”在解题中要注 意运用.在解决含参数问题时,要 注意检验,否则很可能会因为不满 足“互异性”而导致结论错误.

2.注意空集的特殊性

2.集合间的关系 (1)子集:对任意的 x∈A,都有 x∈B,则 A ? B(或 B?A).
基础知识 题型分类

空集是不含任何元素的集合,空集 是任何集合的子集.在解题时,若 未明确说明集合非空时,要考虑到 集合为空集的可能性. 例如: A?B, 则需考虑 A=?和 A≠?两种可能的 情况.
思想方法 练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
(2)真子集:若 A?B,且 A≠B,则 A? B(或 B? A). (3)空集:空集是任意一个集合的子集, 是任何非空集合的真子集.即??A, ?? B(B≠?). (4)若 A 含有 n 个元素,则 A 的子集有
难点正本 疑点清源

3.正确区分?,{0},{?}
?是不含任何元素的集 合,即空集. {0} 是含有 一个元素 0 的集合, 它不 是空集, 因为它有一个元 素,这个元素是 0.{?}是 含有一个元素?的集合. ? ?{0},??{?},?∈{?}, {0}∩{?}=?.

2n

个,A 的非空子集有

2n-1

个.

(5)集合相等:若 A?B,且 B?A, 则 A=B .
基础知识 题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
3.集合的运算
集合的 并集 图 形 符 号 A∪B= A∩B= ?UA= 集合的 交集 集合的 补集

难点正本 疑点清源

3.正确区分?,{0},{?}
?是不含任何元素的集 合,即空集. {0} 是含有 一个元素 0 的集合, 它不 是空集, 因为它有一个元 素,这个元素是 0.{?}是 含有一个元素?的集合. ? ?{0},??{?},?∈{?}, {0}∩{?}=?.

{x|x∈A 或x∈B}

{x|x∈A 且x∈B}

{x|x∈U,
且x?A}

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
4.集合的运算性质 并集的性质: A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A; A∪B=A? B?A 交集的性质: A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A; A∩B=A? A?B . 补集的性质: A∪(?UA)= U ;A∩(?UA)= ? ; ?U(?UA)= A .
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

难点正本 疑点清源

3.正确区分?,{0},{?}
?是不含任何元素的集 合,即空集. {0} 是含有 一个元素 0 的集合, 它不 是空集, 因为它有一个元 素,这个元素是 0.{?}是 含有一个元素?的集合. ? ?{0},??{?},?∈{?}, {0}∩{?}=?.

.

基础知识·自主学习
基础自测

题号
1 2 3 4 5

答案
{1,2,4,6}
(2,3)
? 1? ? ? ?0,1,- ? 2? ? ? ?

解析

C

C

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 集合的基本概念
思维启迪 解析 答案 探究提高

【例 1】 (1)下列集合中表示同一集合 的是 A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={2,3},N={3,2} C.M={(x,y)|x+y=1}, N={y|x+y=1} D.M={2,3},N={(2,3)} (2)设 a,b∈R,集合{1,a+b,a} ? ? b ? ? ? =?0,a,b? ,则 b-a=_____. ? ? ?
基础知识 题型分类

(

)

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 集合的基本概念
思维启迪 解析 答案 探究提高

【例 1】 (1)下列集合中表示同一集合 的是 A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={2,3},N={3,2} C.M={(x,y)|x+y=1}, N={y|x+y=1} D.M={2,3},N={(2,3)} (2)设 a,b∈R,集合{1,a+b,a} ? ? b ? ? ? =?0,a,b? ,则 b-a=_____. ? ? ?
基础知识 题型分类

(

)

解决集合问题首先要考虑集 合的“三性”:确定性、互 异性、无序性,理解集合中 元素的特征.

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 集合的基本概念
思维启迪 解析 答案 探究提高

【例 1】 (1)下列集合中表示同一集合 的是 A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={2,3},N={3,2} C.M={(x,y)|x+y=1}, N={y|x+y=1} D.M={2,3},N={(2,3)} (2)设 a,b∈R,集合{1,a+b,a} ? ? b ? ? ? =?0,a,b? ,则 b-a=_____. ? ? ?
基础知识 题型分类

(

) (1)选项 A 中的集合 M 表示由点 (3,2)所组成的单点集,集合 N 表

示由点 (2,3)所组成的单点集,故 集合 M 与 N 不是同一个集合. 选 项 C 中的集合 M 表示由直线 x+ y=1 上的所有的点组成的集合, 集合 N 表示由直线 x+y=1 上的 所有的点的纵坐标组成的集合, 即 N={y|x+y=1}=R, 故集合 M
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 集合的基本概念
思维启迪 解析 答案 探究提高

【例 1】 (1)下列集合中表示同一集合 的是 A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={2,3},N={3,2} C.M={(x,y)|x+y=1}, N={y|x+y=1} D.M={2,3},N={(2,3)} (2)设 a,b∈R,集合{1,a+b,a} ? ? b ? ? ? =?0,a,b? ,则 b-a=_____. ? ? ?
基础知识 题型分类

(

)

与 N 不是同一个集合. 选项 D 中 的集合 M 有两个元素, 而集合 N 只含有一个元素, 故集合 M 与 N 不是同一个集合.对选项 B,由 集合元素的无序性,可知 M,N 表示同一个集合.
? b ? ? ? ? (2)因为{1,a+b,a}= 0,a,b?, ? ? ? ?

b a≠0,所以 a+b=0,得 =-1, a 所以 a=-1,b=1.所以 b-a=2.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 集合的基本概念
思维启迪 解析 答案 探究提高

【例 1】 (1)下列集合中表示同一集合 的是 A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={2,3},N={3,2} C.M={(x,y)|x+y=1}, N={y|x+y=1} D.M={2,3},N={(2,3)} (2)设 a,b∈R,集合{1,a+b,a} ? ? b ? ? ? 2 =?0,a,b? ,则 b-a=_____. ? ? ?
基础知识 题型分类

( B )

与 N 不是同一个集合. 选项 D 中 的集合 M 有两个元素, 而集合 N 只含有一个元素, 故集合 M 与 N 不是同一个集合.对选项 B,由 集合元素的无序性,可知 M,N 表示同一个集合.
? ? b ? ? ? (2)因为{1,a+b,a}=?0,a,b? , ? ? ?

b a≠0,所以 a+b=0,得a=-1, 所以 a=-1,b=1.所以 b-a=2.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 集合的基本概念
思维启迪 解析 答案 探究提高

【例 1】 (1)下列集合中表示同一集合 的是 A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={2,3},N={3,2} C.M={(x,y)|x+y=1}, N={y|x+y=1} D.M={2,3},N={(2,3)} (2)设 a,b∈R,集合{1,a+b,a} ? ? b ? ? ? 2 =?0,a,b? ,则 b-a=_____. ? ? ?
基础知识 题型分类

( B )

(1) 用描述法表示集合时要把 握元素的特征,分清点集、数 集;(2)要特别注意集合中元素 的互异性,在解题过程中最容 易被忽视,因此要对计算结果 进行检验,防止所得结果违背 集合中元素的互异性.

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 1 若集合 A={x|ax2-3x+2=0}的子集只有两个,则 9 0 或8 实数 a=________.

解析

∵集合 A 的子集只有两个,∴A 中只有一个元素.

2 当 a=0 时,x=3符合要求.

9 9 当 a≠0 时,Δ=(-3) -4a×2=0,∴a=8.故 a=0 或8.
2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 集合间的基本关系
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】

已知集合 A={x|-2

≤x≤7}, B={x|m+1<x<2m-1}, 若 B?A,求实数 m 的取值范围.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 集合间的基本关系
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】

已知集合 A={x|-2
若 B?A,则 B=?或 B≠?,要分 两种情况讨论.

≤x≤7}, B={x|m+1<x<2m-1}, 若 B?A,求实数 m 的取值范围.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 集合间的基本关系
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】

已知集合 A={x|-2



当 B=?时, 有 m+1≥2m-1,

则 m≤2.

≤x≤7}, B={x|m+1<x<2m-1}, 当 B≠?时,若 B?A,如图. 若 B?A,求实数 m 的取值范围.
?m+1≥-2 ? 则?2m-1≤7 ?m+1<2m-1 ?

,解得 2<m≤4.

综上,m 的取值范围为 m≤4.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 集合间的基本关系
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】

已知集合 A={x|-2

(1)集合中元素的互异性, 可以作为

(2)对于数集 ≤x≤7}, B={x|m+1<x<2m-1},解题的依据和突破口; 关系问题,往往利用数轴进行分 若 B?A,求实数 m 的取值范围. 析; (3)对含参数的方程或不等式求 解,要对参数进行分类讨论.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 2 已知集合 A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若 A

4 ?B,则实数 a 的取值范围是(c,+∞),其中 c=______.
解析 由 log2x≤2,得 0<x≤4,即 A={x|0<x≤4},而 B=(-∞,a),

由于 A?B,如图所示,则 a>4,即 c=4.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 集合的基本运算
思维启迪 解析

答案

探究提高

【例 3】 设 U=R,集合 A={x|x2 +3x+2=0}, B={x|x2+(m+1)x +m=0}.若(?UA)∩B=?,则 m 的值是________.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 集合的基本运算
思维启迪 解析 答案 探究提高

【例 3】 设 U=R,集合 A={x|x2

本题中的集合 A,B 均是一元二次
+3x+2=0}, B={x|x2+(m+1)x

方程的解集,其中集合 B 中的一元

+m=0}.若(?UA)∩B=?,则 m 二次方程含有不确定的参数 m,需

要对这个参数进行分类讨论,同时
的值是________.

需要根据(?UA)∩B=?对集合 A,B 的关系进行转化.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 集合的基本运算
思维启迪 解析 答案 探究提高

【例 3】 设 U=R,集合 A={x|x2 +3x+2=0}, B={x|x2+(m+1)x +m=0}.若(?UA)∩B=?,则 m 的值是________.

A={-2,-1},由(?UA)∩B=?, 得 B?A,

∵方程 x2+(m+1)x+m=0 的判别 式 Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0, ∴B≠?.
∴B={-1}或 B={-2}或 B={-1, -2}.
①若 B={-1},则 m=1;

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 集合的基本运算
思维启迪 解析 答案 探究提高

【例 3】 设 U=R,集合 A={x|x2 +3x+2=0}, B={x|x2+(m+1)x +m=0}.若(?UA)∩B=?,则 m 的值是________.

②若 B={-2},则应有-(m+1)= (-2)+(-2)=-4,且 m=(-2)· ( - 2) = 4 ,这两式不能同时成立, ∴B≠{-2};
③若 B={-1,-2},则应有-(m +1)=(-1)+(-2)=-3,且 m= (-1)· (-2)=2,由这两式得 m=2.

经检验知 m=1 和 m=2 符合条件.
∴m=1 或 2.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 集合的基本运算
思维启迪 解析 答案 探究提高

【例 3】 设 U=R,集合 A={x|x2 +3x+2=0}, B={x|x2+(m+1)x +m=0}.若(?UA)∩B=?,则 m

②若 B={-2},则应有-(m+1)= (-2)+(-2)=-4,且 m=(-2)· ( - 2) = 4 ,这两式不能同时成立, ∴B≠{-2};
③若 B={-1,-2},则应有-(m +1)=(-1)+(-2)=-3,且 m= (-1)· (-2)=2,由这两式得 m=2.
经检验知 m=1 和 m=2 符合条件.
∴m=1 或 2.

1或2 . 的值是________

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 集合的基本运算
思维启迪 解析
答案 探究提高

【例 3】 设 U=R,集合 A={x|x2 +3x+2=0}, B={x|x2+(m+1)x +m=0}.若(?UA)∩B=?,则 m

本题的主要难点有两个:一是集合 A,B 之间关系的确定;二是对集 合 B 中方程的分类求解. 集合的交、 并、补运算和集合的包含关系存在 着一些必然的联系,这些联系通过 Venn 图进行直观的分析不难找出 来, 如 A∪B=A?B?A, (?UA)∩B =??B?A 等,在解题中碰到这种 情况时要善于转化,这是破解这类 难点的一种极为有效的方法.

1或2 . 的值是________

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 3 设全集是实数集 R,A={x|2x2-7x+3≤0}, B={x|x2+a<0}. (1)当 a=-4 时,求 A∩B 和 A∪B;
解 1 (1)∵A={x|2≤x≤3},

当 a=-4 时,B={x|-2<x<2},
1 ∴A∩B={x|2≤x<2},A∪B={x|-2<x≤3}.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 3 设全集是实数集 R,A={x|2x2-7x+3≤0}, B={x|x2+a<0}. (2)若(?RA)∩B=B,求实数 a 的取值范围.
解 1 (2)?RA={x|x<2或 x>3},

当(?RA)∩B=B 时,B??RA,即 A∩B=?.
①当 B=?,即 a≥0 时,满足 B??RA;

②当 B≠?,即 a<0 时,B={x|- -a<x< -a}, 1 1 要使 B??RA,需 -a≤2,解得-4≤a<0. 1 综上可得,实数 a 的取值范围是 a≥-4.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型四 集合中的新定义问题
思维启迪 解析 答案
(2011· 广东)设 S 是整数集 Z 的非

【例 4】

探究提高

空子集,如果?a,b∈S,有 ab∈S,则 称 S 关于数的乘法是封闭的.若 T,V 是 Z 的两个不相交的非空子集,T∪V=Z, 且?a, b, c∈T, 有 abc∈T; ? x, y, z∈V, 有 xyz∈V,则下列结论恒成立的是 ( )

A. T, V 中至少有一个关于乘法是封闭的 B.T,V 中至多有一个关于乘法是封闭的 C.T,V 中有且只有一个关于乘法是封 闭的 D.T,V 中每一个关于乘法都是封闭的

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型四 集合中的新定义问题
思维启迪 解析 答案
(2011· 广东)设 S 是整数集 Z 的非

【例 4】

探究提高

空子集,如果?a,b∈S,有 ab∈S,则 称 S 关于数的乘法是封闭的.若 T,V 是 Z 的两个不相交的非空子集,T∪V=Z, 且?a, b, c∈T, 有 abc∈T; ? x, y, z∈V, 有 xyz∈V,则下列结论恒成立的是 ( )

本题是一道新定义问题试题,较 为抽象, 题意难以理解, 但若“以 退为进” ,取一些特殊的数集代 入检验,即可解决.

A. T, V 中至少有一个关于乘法是封闭的 B.T,V 中至多有一个关于乘法是封闭的 C.T,V 中有且只有一个关于乘法是封 闭的 D.T,V 中每一个关于乘法都是封闭的

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型四 集合中的新定义问题
思维启迪 解析 答案 探究提高
(2011· 广东)设 S 是整数集 Z 的非

【例 4】

空子集,如果?a,b∈S,有 ab∈S,则 称 S 关于数的乘法是封闭的.若 T,V 是 Z 的两个不相交的非空子集,T∪V=Z, 且?a, b, c∈T, 有 abc∈T; ? x, y, z∈V, 有 xyz∈V,则下列结论恒成立的是 ( )

A. T, V 中至少有一个关于乘法是封闭的 B.T,V 中至多有一个关于乘法是封闭的 C.T,V 中有且只有一个关于乘法是封 闭的 D.T,V 中每一个关于乘法都是封闭的

不妨设 1∈T,则对于?a,b∈T, ∵?a,b,c∈T,都有 abc∈T,不 妨令 c=1, 则 ab∈T, 故 T 关于乘法 是封闭的,故 T、V 中至少有一个关 于乘法是封闭的;若 T 为偶数集,V 为奇数集, 则它们符合题意, 且均是 关于乘法是封闭的, 从而 B、 C 错误; 若 T 为非负整数集,V 为负整数集, 显然 T、V 是 Z 的两个不相交的非空 子集,T∪V=Z,且?a,b,c∈T, 有 abc∈T, ?x, y, z∈V, 有 xyz∈V, 但是对于?x, y∈V,有 xy>0,xy?V, D 错误.故选 A.
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类

题型分类·深度剖析
题型四 集合中的新定义问题
思维启迪 解析
(2011· 广东)设 S 是整数集 Z 的非

【例 4】

答案

探究提高

空子集,如果?a,b∈S,有 ab∈S,则 称 S 关于数的乘法是封闭的.若 T,V 是 Z 的两个不相交的非空子集,T∪V=Z, 且?a, b, c∈T, 有 abc∈T; ? x, y, z∈V, 有 xyz∈V,则下列结论恒成立的是 (

A

)

A. T, V 中至少有一个关于乘法是封闭的 B.T,V 中至多有一个关于乘法是封闭的 C.T,V 中有且只有一个关于乘法是封 闭的 D.T,V 中每一个关于乘法都是封闭的

不妨设 1∈T,则对于?a,b∈T, ∵?a,b,c∈T,都有 abc∈T,不 妨令 c=1,则 ab∈T,故 T 关于乘法 是封闭的,故 T、V 中至少有一个关 于乘法是封闭的;若 T 为偶数集,V 为奇数集,则它们符合题意,且均是 关于乘法是封闭的, 从而 B、 C 错误; 若 T 为非负整数集,V 为负整数集, 显然 T、V 是 Z 的两个不相交的非空 子集,T∪V=Z,且?a,b,c∈T, 有 abc∈T, ?x, y, z∈V, 有 xyz∈V, 但是对于?x,y∈V, 有 xy>0,xy?V, D 错误.故选 A.
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类

题型分类·深度剖析
题型四 集合中的新定义问题
思维启迪 解析
(2011· 广东)设 S 是整数集 Z 的非

【例 4】

答案

探究提高

空子集,如果?a,b∈S,有 ab∈S,则 称 S 关于数的乘法是封闭的.若 T,V 是 Z 的两个不相交的非空子集,T∪V=Z, 且?a, b, c∈T, 有 abc∈T; ? x, y, z∈V, 有 xyz∈V,则下列结论恒成立的是 (

本题旨在考查我们接受和处理新 信息的能力,解题时要充分理解 题目的含义,进行全面分析,灵 活处理.

A

)

A. T, V 中至少有一个关于乘法是封闭的 B.T,V 中至多有一个关于乘法是封闭的 C.T,V 中有且只有一个关于乘法是封 闭的 D.T,V 中每一个关于乘法都是封闭的

基础知识

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练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 4 已知集合 S={0,1,2,3,4,5},A 是 S 的一个子集,当 x∈A 时,若有 x-1?A,且 x+1?A,则称 x 为 A 的一个“孤立元素”,那

6 么 S 中无“孤立元素”的 4 个元素的子集共有________ 个.

解析

由成对的相邻元素组成的四元子集都没有“ 孤立元

素”, 如{0,1,2,3}, {0,1,3,4}, {0,1,4,5}, {1,2,3,4}, {1,2,4,5}, {2,3,4,5},这样的集合共有 6 个.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 1.集合中元素特征认识不明致误
( D.10 ) 典例: (5 分)(2012· 课标全国)已知集合 A={1,2,3,4,5}, B={(x, y)|x∈A, y∈A, x-y∈A},则 B 中所含元素的个数为 A.3 B.6 C.8

易 错 分 析

解 析

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 1.集合中元素特征认识不明致误
( D.10 ) 典例: (5 分)(2012· 课标全国)已知集合 A={1,2,3,4,5}, B={(x, y)|x∈A, y∈A, x-y∈A},则 B 中所含元素的个数为 A.3 B.6 C.8

易 错 分 析

解 析

温 馨 提 醒

本题属于创新型的概念理解题,准确地理解集合 B 是解决本题的关键, 该题解题过程易出错的原因有两个,一是误以为集合 B 中的元素(x,y) 不是有序数对, 而是无序的两个数值; 二是对于集合 B 的元素的性质中 的“x∈A,y∈A,x-y∈A”,只关注“x∈A,y∈A”,而忽视“x- y∈A”的限制条件导致错解.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 1.集合中元素特征认识不明致误
( D ) D.10 典例: (5 分)(2012· 课标全国)已知集合 A={1,2,3,4,5}, B={(x, y)|x∈A, y∈A, x-y∈A},则 B 中所含元素的个数为 A.3 B.6 C.8

易 错 分 析

解 析

温 馨 提 醒

∵B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},A={1,2,3,4,5},
∴x=2,y=1;x=3,y=1,2;x=4,y=1,2,3;x=5,y=1,2,3,4.

∴B={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)}, ∴B 中所含元素的个数为 10.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 1.集合中元素特征认识不明致误
( D ) D.10 典例: (5 分)(2012· 课标全国)已知集合 A={1,2,3,4,5}, B={(x, y)|x∈A, y∈A, x-y∈A},则 B 中所含元素的个数为 A.3 B.6 C.8

易 错 分 析

解 析

温 馨 提 醒

判断集合中元素的性质时要注意两个方面:一是要注意集合中代表元 素的字母符号,区分 x、y、(x,y);二是准确把握元素所具有的性质 特征,如集合{x|y=f(x)}表示函数 y=f(x)的定义域,{y|y=f(x)}表示函 数 y=f(x)的值域,{(x,y)|y=f(x)}表示函数 y=f(x)图象上的点.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 2.遗忘空集致误
典例:(4 分)若集合 P={x|x2+x-6=0},S={x|ax+1=0},且 S?P,则由 a 的可取值组成的集合为__________.

易 错 分 析

解 析

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 2.遗忘空集致误
典例:(4 分)若集合 P={x|x2+x-6=0},S={x|ax+1=0},且 S?P,则由 a 的可取值组成的集合为__________.

易 错 分 析

解 析

温 馨 提 醒

从集合的关系看,S?P,则 S=?或 S≠?,易遗忘 S=?的情况.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 2.遗忘空集致误
典例:(4 分)若集合 P={x|x2+x-6=0},S={x|ax+1=0},且 S?P,则由 a
? 1 1? ? ? ?0, ,- ? 3 2? ? ?. ? 的可取值组成的集合为__________

易 错 分 析

解 析

温 馨 提 醒

(1)P={-3,2}.当 a=0 时,S=?,满足 S?P; 1 当 a≠0 时,方程 ax+1=0 的解集为 x=-a, 1 1 为满足 S?P 可使-a=-3 或-a=2,
? 1 1? 1 1 ? ? ? 即 a=3或 a=-2.故所求集合为 0,3,-2?. ? ? ? ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 2.遗忘空集致误
典例:(4 分)若集合 P={x|x2+x-6=0},S={x|ax+1=0},且 S?P,则由 a
? 1 1? ? ? ?0, ,- ? 3 2? ? ?. ? 的可取值组成的集合为__________

易 错 分 析

解 析

温 馨 提 醒

(1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容.解答此类问题的 关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征.(2)在解答本题时,存 在两个典型错误.一是忽略对空集的讨论,如 S=?时,a=0;二是易 1 忽略对字母的讨论.如-a可以为-3 或 2.因此,在解答此类问题时, 一定要注意分类讨论,避免漏解.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高
1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互 异性在解题时经常用到.解题后要进行检验,

方 法 与 技 巧

要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.

2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进 行合理转化;对已知连续数集间的关系,求其 中参数的取值范围时,要注意单独考察等号.
3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算, 可借助 Venn 图. 这是数形结合思想的又一体现.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高
1.空集在解题时有特殊地位,它是任何集合的子集,是任何 非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏解.

2.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系;

失 误 与 防 范

二是集合与集合的包含关系.
3.解答集合题目,认清集合元素的属性(是点集、数集或其 他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.
4.Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算 的常用方法,其中运用数轴图示法要特别注意端点是实 心还是空心.

5. 要注意 A?B、 A∩B=A、 A∪B=B、 ?UA??UB、 A∩(?UB) =?这五个关系式的等价性.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

1.(2012· 广东)设集合 U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则?UM 等于 ( A.U B.{1,3,5} C.{3,5,6} D.{2,4,6} )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

1.(2012· 广东)设集合 U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则?UM 等于 (C ) A.U B.{1,3,5} C.{3,5,6} D.{2,4,6}

解 析
∵U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},

∴?UM={3,5,6}.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9

2. (2011· 课标全国)已知集合 M={0,1,2,3,4}, N={1,3,5}, P=M∩N, 则 P 的子集共有 A.2 个 B. 4 个 C.6 个 ( D.8 个 )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9

2. (2011· 课标全国)已知集合 M={0,1,2,3,4}, N={1,3,5}, P=M∩N, 则 P 的子集共有 A.2 个 B. 4 个 C.6 个 ( B ) D.8 个

解 析
∵M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},∴M∩N={1,3}.

∴M∩N 的子集共有 22=4 个.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6

7

8

9

3. (2012· 山东)已知全集 U={0,1,2,3,4}, 集合 A={1,2,3}, B={2,4}, 则(?UA)∪B 为 A.{1,2,4} C.{0,2,4} B.{2,3,4} D.{0,2,3,4} ( )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6

7

8

9

3. (2012· 山东)已知全集 U={0,1,2,3,4}, 集合 A={1,2,3}, B={2,4}, 则(?UA)∪B 为 A.{1,2,4} C.{0,2,4} B.{2,3,4} D.{0,2,3,4} ( C )

解 析
∵?UA={0,4},B={2,4},
∴(?UA)∪B={0,2,4}.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组
2

专项基础训练

7 9 3 4 6 8 5 x 4. 已知集合 M={x| ≥0, x∈R}, N={y|y=3x2+1, x∈R}, 则 M∩ N x- 1

等于 A.? C.{x|x>1} B.{x|x≥1} D.{x|x≥1 或 x<0}

(

)

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组
2

专项基础训练

7 9 3 4 6 8 5 x 4. 已知集合 M={x| ≥0, x∈R}, N={y|y=3x2+1, x∈R}, 则 M∩ N x- 1

等于 A.? C.{x|x>1} B.{x|x≥1} D.{x|x≥1 或 x<0}

(C )

解 析
? ?x≠1, x 由 ≥0,得? ? x-1 ?x?x-1?≥0,

∴x>1 或 x≤0,∴M={x|x>1 或 x≤0},N={y|y≥1},

M∩N={x|x>1}.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

5.已知集合 A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且 B?A,则 a= __________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

5.已知集合 A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且 B?A,则 a=

-1或2 __________. 解 析
由 a2-a+1=3, 得 a=-1 或 a=2, 经检验符合. 由 a2-a+1=a, 得 a=1, 由于集合中不能有相同元素,
所以舍去.故 a=-1 或 2.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

6.已知集合 A={(0,1),(1,1),(-1,2)},B={(x,y)|x+y-1=0, x,y∈Z},则 A∩B=__________________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

6.已知集合 A={(0,1),(1,1),(-1,2)},B={(x,y)|x+y-1=0,

{(0,1),(-1,2)} x,y∈Z},则 A∩B=__________________. 解 析
A、B 都表示点集,A∩B 即是由 A 中在直线 x+y-1 =0 上的所有点组成的集合,代入验证即可.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

7.(2012· 天津)已知集合 A={x∈R||x+2|<3},集合 B={x∈R|(x-m) · (x-2)<0},且 A∩B=(-1,n),则 m=_____,n=_____.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

7.(2012· 天津)已知集合 A={x∈R||x+2|<3},集合 B={x∈R|(x-m)

1 -1 ,n=_____. · (x-2)<0},且 A∩B=(-1,n),则 m=_____ 解 析
A={x|-5<x<1},因为 A∩B={x|-1<x<n}, B={x|(x-m)(x-2)<0},所以 m=-1,n=1.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

8. (10 分 )已知集合 A= {x|x2 - 2x- 3≤0},B = {x|x2 - 2mx+m2- 4≤0,x∈R,m∈R}. (1)若 A∩B=[0,3],求实数 m 的值; (2)若 A??RB,求实数 m 的取值范围.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

8. (10 分 )已知集合 A= {x|x2 - 2x- 3≤0},B = {x|x2 - 2mx+m2- 4≤0,x∈R,m∈R}. (1)若 A∩B=[0,3],求实数 m 的值; (2)若 A??RB,求实数 m 的取值范围.

解 析
解 由已知得 A={x|-1≤x≤3},
B={x|m-2≤x≤m+2}.
? ?m-2=0, (1)∵A∩B=[0,3] ,∴? ? ?m+2≥3.

∴m=2.

(2)?RB={x|x<m-2 或 x>m+2},∵A??RB,
∴m-2>3 或 m+2<-1,即 m>5 或 m<-3.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6

7

8

9

9. (12 分)设符号@是数集 A 中的一种运算: 如果对于任意的 x, y∈A, 都有 x@y=xy∈A,则称运算@对集合 A 是封闭的.设 A={x|x= m+ 2n,m、n∈Z},判断 A 对通常的实数的乘法运算是否封闭?

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6

7

8

9

9. (12 分)设符号@是数集 A 中的一种运算: 如果对于任意的 x, y∈A, 都有 x@y=xy∈A,则称运算@对集合 A 是封闭的.设 A={x|x= m+ 2n,m、n∈Z},判断 A 对通常的实数的乘法运算是否封闭?

解 析
解 设 x=m1+ 2n1,y=m2+ 2n2,那么 xy=(m1+ 2n1)×

(m2+ 2n2)=(m1n2+m2n1) 2+m1m2+2n1n2.
令 m=m1m2+2n1n2,n=m1n2+m2n1,则 xy=m+ 2n,
由于 m1,n1,m2,n2∈R,所以 m,n∈R.

故 A 对通常的实数的乘法运算是封闭的.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

1. (2012· 湖北)已知集合 A={x|x2-3x+2=0, x∈R}, B={x|0<x<5, x∈N},则满足条件 A?C?B 的集合 C 的个数为 A.1 B. 2 C.3 D.4 ( )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

1. (2012· 湖北)已知集合 A={x|x2-3x+2=0, x∈R}, B={x|0<x<5, x∈N},则满足条件 A?C?B 的集合 C 的个数为 A.1 B. 2 C.3 D.4 ( D )

解 析
用列举法表示集合 A,B,根据集合关系求出集合 C 的个数.
由 x2-3x+2=0 得 x=1 或 x=2,∴A={1,2}.

由题意知 B={1,2,3,4},∴满足条件的 C 可为{1,2},{1,2,3}, {1,2,4},{1,2,3,4}.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

2.(2011· 安徽)设集合 A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8},则满足 S?A 且 S∩B≠?的集合 S 的个数是 A.57 B.56 C.49 D.8 ( )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

2.(2011· 安徽)设集合 A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8},则满足 S?A 且 S∩B≠?的集合 S 的个数是 A.57 B.56 C.49 D.8 ( B )

解 析
由 S?A 知 S 是 A 的子集,又∵A={1,2,3,4,5,6},
∴满足条件 S?A 的 S 共有 26=64(种)可能.
又∵S∩B≠?,B={4,5,6,7,8}, ∴S 中必含 4,5,6 中至少一个元素,而在满足 S?A 的所有子集
S 中,不含 4,5,6 的子集共有 23=8(种),

∴满足题意的集合 S 的可能个数为 64-8=56.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

1 3.(2011· 湖北)已知 U={y|y=log2x,x>1},P={y|y=x,x>2},则 ?UP 等于 ?1 ? A.?2,+∞? ? ? C.(0,+∞) (
? 1? B.?0,2? ? ? ?1 ? D.(-∞,0]∪?2,+∞? ? ?

)

解 析

基础知识

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2 3

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4
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1 3.(2011· 湖北)已知 U={y|y=log2x,x>1},P={y|y=x,x>2},则 ?UP 等于 ?1 ? A.?2,+∞? ? ? C.(0,+∞) ( A )
? 1? B.?0,2? ? ? ?1 ? D.(-∞,0]∪?2,+∞? ? ?

解 析
∵U={y|y=log2x,x>1}={y|y>0},

1 1 P={y|y= x,x>2}={y|0<y<2}, ? 1 ?1 ∴?UP={y|y≥2}=?2,+∞?. ? ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
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5

6

7

4.(2012· 陕西改编)集合 M={x|lg x>0},N={x|x2≤4},则 M∩N =____________.

解 析

基础知识

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1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

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7

4.(2012· 陕西改编)集合 M={x|lg x>0},N={x|x2≤4},则 M∩N

(1,2] =____________. 解 析
M={x|lg x>0}={x|x>1}, N={x|x2≤4}={x|-2≤x≤2},
∴M∩N={x|x>1}∩{x|-2≤x≤2}={x|1<x≤2}.

基础知识

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练出高分

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1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

y-3 5.已知 M={(x,y)| =a+1},N={(x,y)|(a2-1)x+(a-1)y x-2 =15},若 M∩N=?,则 a 的值为________________.

解 析

基础知识

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1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

y-3 5.已知 M={(x,y)| =a+1},N={(x,y)|(a2-1)x+(a-1)y x-2 5 1,-1, ,-4 2 =15},若 M∩N=?,则 a 的值为________________ .

解 析
集合 M 表示挖去点(2,3)的直线, 集合 N 表示一条直线, 因此由 M∩N=?知,点(2,3)在集合 N 所表示的直线上 5 或两直线平行,由此求得 a 的值为 1,-1, ,-4. 2

基础知识

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1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

6.设 A={x||x|≤3},B={y|y=-x2+t},若 A∩B=?,则实数 t 的取值范围是____________.

解 析

基础知识

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练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

6.设 A={x||x|≤3},B={y|y=-x2+t},若 A∩B=?,则实数 t

(-∞,-3) . 的取值范围是____________ 解 析
A={x|-3≤x≤3},B={y|y≤t}, 由 A∩B=?知,t<-3.

基础知识

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1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

7.(13 分)已知集合 A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B= 1 2 5 {y|y= x -x+ ,0≤x≤3}. 2 2 (1)若 A∩B=?,求 a 的取值范围;

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

7.(13 分)已知集合 A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B= 1 2 5 {y|y= x -x+ ,0≤x≤3}. 2 2 (1)若 A∩B=?,求 a 的取值范围;

解 析
解 A={y|y<a 或 y>a2+1},B={y|2≤y≤4}.
2 ? ?a +1≥4, A∩B=?时,? ? ?a≤2,

(1)当

∴ 3≤a≤2 或 a≤- 3.
思想方法

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练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

7.(13 分)已知集合 A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B= 1 5 {y|y= x2-x+ ,0≤x≤3}. 2 2 (2)当 a 取使不等式 x2+1≥ax 恒成立的 a 的最小值时, 求(?RA)∩B.

解 析
解 (2)由 x2+1≥ax,得 x2-ax+1≥0,
依题意 Δ=a2-4≤0,∴-2≤a≤2.

∴a 的最小值为-2. 当 a=-2 时,A={y|y<-2 或 y>5}.
∴?RA={y|-2≤y≤5},∴(?RA)∩B={y|2≤y≤4}.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分


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