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解三角形讲义


正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即

a b c ? ? sin A sinB sinC

[理解定理] (1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即 存在正数 k 使 a ? k sin A , b ? k sin B , c ? k sinC ;

b c b a c a b c 等价于 a , , ? ? ? ? ? sin A sinB sinC sin A sin B sinC sin B sin A sinC 从而知正弦定理的基本作用为:
(2) ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如 a ?

b sin A ; sin B

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如 sin A ? sin B . 一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形. (1)定理的表示形式:

a b

a

sin A sin B sinC c ? k sinC (k ? 0)

?

b

?

c

?

a ? b ?c ? k ? k ? 0? sin A ? sin B ? sinC ;或 a ? k sin A , b ? k sin B ,

(2)正弦定理的应用范围:①已知两角和任一边,求其它两边及一角;②已知两边和其中 一边对角,求另一边的对角. 联系已经学过的知识和方法, 可用什么途径来解决这个问题?用正弦定理试求, 发现因 A、B 均未知,所以较难求边 c.由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题. 如图 1.1-5,设 CB ? a , CA ? b , AB ? c ,那么 c ? a ? b ,则
A b a C
2 2 2

c ? c ?c ? ? a ? b ?? a ? b ? ? a ? a ? b ?b ? 2a ?b ? a ? b ? 2a ?b
2 2 2

c

从而

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC
2 2 2

同理可证 a ? b ? c ? 2bc cos A , b ? a ? c ? 2ac cos B

(图 1.1-5)

B

于是得到以下定理 余弦定理: 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角 的余弦的积的两倍.即

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B , c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC
思考:这个式子中有几个量?从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由 三边求出一角? (由学生推出)从余弦定理,又可得到以下推论:

cos A?

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 b2 ? a 2 ? c 2 cos B ? cosC ? 2bc 2ac 2ba , ,

[理解定理] 从而知余弦定理及其推论的基本作用为: ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边; ②已知三角形的三条边就可以求出其它角. 思考: 勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系, 余弦定理则指出了一般三角

形中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系? (由学生总结)若 ? ABC 中,C= 90 0 ,则 cos C ? 0 ,这时 c 2 ? a 2 ? b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例. 例 1.在 ? ABC 中,已知 a ? 2 3 , c ? 6 ? 2 , B ? 600 ,求 b 及 A ⑴解:∵ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B = (2 3)2 ? ( 6 ? 2)2 ? 2?2 3 ?( 6 ? 2) cos 450 = 12 ? ( 6 ? 2)2 ? 4 3( 3 ?1) = 8 ∴ b ? 2 2. 求 A 可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理: ⑵解法一:∵cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 (2 2)2 ? ( 6 ? 2 )2 ? (2 3)2 1 ? ? , 2bc 2 2? 2 2 ?( 6 ? 2)

∴ A ? 600.

a 2 3 ?sin450 , 解法二:∵sin A ? sin B ? b 2 2
又∵ 6 ? 2 > 2.4 ?1.4 ? 3.8, ∴ a < c ,即 00 < A < 900 ,

2 3 < 2?1.8 ? 3.6,
∴ A ? 600.

评述:解法二应注意确定 A 的取值范围. 例 2.在 ? ABC 中,已知 a ?134.6cm , b ? 87.8cm , c ?161.7cm ,解三角形 (见课本第 8 页例 4,可由学生通过阅读进行理解) 解:由余弦定理的推论得: cos A? cos B ?

b2 ? c2 ? a2 87.82 ?161.72 ?134.62 ? 0.5543, A ? 56020? ; ? 2bc 2?87.8?161.7 c2 ? a2 ?b2 134.62 ?161.72 ?87.82 ? 2ca 2?134.6?161.7
? 0.8398, B ? 32053? ;

? C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (56020? ? 32053)

b ,A ,讨论三角形解的情况 例 1.在 ? ABC 中,已知 a ,

b sin A a sinC 可进一步求出 B;则 C ? 1800 ?(A ? B ) 从而 c ? a A 1.当 A 为钝角或直角时,必须 a ? b 才能有且只有一解;否则无解.
分析:先由 sin B ? 2.当 A 为锐角时, 如果 a ≥ b ,那么只有一解; 如果 a ? b , 那么可以分下面三种情况来讨论: (1) 若 a ? b sin A , 则有两解; (2) 若 a ? b sin A , 则只有一解; (3)若 a ? b sin A ,则无解. (以上解答过程详见课本第 9 10 页) 评述:注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,只有当 A 为锐角且 b sin A ? a ? b 时,有两解;其它情况时则只有一解或无解. [随堂练习 1]

(1)在 ? ABC 中,已知 a ? 80 , b ? 100 , ?A ? 450 ,试判断此三角形的解的情况. (2)在 ? ABC 中,若 a ? 1 , c ?

1 , ?C ? 400 ,则符合题意的 b 的值有_____个. 2

(3)在 ? ABC 中, a ? xcm , b ? 2 cm , ?B ? 450 ,如果利用正弦定理解三角形有两解,求 x 的取值范围. (答案: (1)有两解; (2)0; (3) 2 ? x ? 2 2 ) 例 2.在 ? ABC 中,已知 a ? 7 , b ? 5 , c ? 3 ,判断 ? ABC 的类型. 分析:由余弦定理可知

a 2 ? b 2 ? c 2 ? A是直角 ? ?ABC是直角三角形 a 2 ? b 2 ? c 2 ? A是钝角 ? ?ABC是钝角三角形 (注意: A是锐角? ?ABC是锐角三角形 ) a 2 ? b 2 ? c 2 ? A是锐角? ?ABC是锐角三角形
解: 72 ? 52 ? 32 ,即 a 2 ? b 2 ? c 2 , ∴ ?ABC是钝角三角形 . (1)在 ? ABC 中,已知 sin A:sin B :sinC ? 1:2:3 ,判断 ? ABC 的类型. (2)已知 ? ABC 满足条件 a cosA ? b cosB ,判断 ? ABC 的类型. (答案: (1) ?ABC是钝角三角形 ; (2) ? ABC 是等腰或直角三角形) 例 3.在 ? ABC 中, A ? 600 , b ? 1 ,面积为

3 a ? b ?c ,求 的值 2 sin A ? sin B ? sinC 1 1 1 分析:可利用三角形面积定理 S ? ab sinC ? ac sin B ? bc sin A 以及正弦定理 2 2 2

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

?

a ? b ?c sin A ? sin B ? sinC

1 3 解:由 S ? bc sin A ? 得c ? 2 , 2 2
则 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A =3,即 a ? 3 ,从而

a ? b ?c a ? ?2 sin A ? sin B ? sinC sin A

(1)在 ? ABC 中,若 a ? 55 , b ? 16 ,且此三角形的面积 S ? 220 3 ,求角 C (2)在 ? ABC 中,其三边分别为 a、b、c,且三角形的面积 S ? (答案: (1) 600 或 1200 ; (2) 450 ) Ⅴ.课后作业 (1)在 ? ABC 中,已知 b ? 4 , c ? 10 , B ? 300 ,试判断此三角形的解的情况. (2)设 x、x+1、x+2 是钝角三角形的三边长,求实数 x 的取值范围. (3)在 ? ABC 中, A ? 600 , a ? 1 , b ?c ? 2 ,判断 ? ABC 的形状. (4)三角形的两边分别为 3cm,5cm,它们所夹的角的余弦为方程 5x 2 ? 7x ? 6 ? 0 的根,

a2 ? b 2 ?c2
4

,求角 C

求这个三角形的面积. [例题讲解] 例 1.如图,设 A、B 两点在河的两岸,要测量两点之间的距离, 测量者在 A 的同侧,在所在的河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离 是 55m, 求 A、 B 两点的距离(精确到 0.1m) ? BAC= 51 ? , ? ACB= 75 ? . 启发提问 1: ? ABC 中,根据已知的边和对应角,运用哪个定 理比较适当? 启发提问 2:运用该定理解题还需要那些边和角呢?请 学生回答. 分析: 这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达 的点之间的距离的问题,题目条件告诉了边 AB 的对角,AC 为已知边, 再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知 角算出 AC 的对角,应用正弦定理算出 AB 边. 解:根据正弦定理,得
AB sin ?ACB

=

AC sin ?ABC
55sin 75? ≈ 65.7(m) sin54?

AB = AC sin ?ACB = 55sin ?ACB =
sin ?ABC sin ?ABC

55 sin 75? = sin(180? ? 51? ? 75?)

答:A、B 两点间的距离为 65.7 米 变式练习: 两灯塔 A、 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 30 ? , 灯塔 B 在观察站 C 南偏东 60 ? ,则 A、B 之间的距离为多少? 老师指导学生画图,建立数学模型.解略: 2 a km 例 2.如图,A、B 两点都在河的对岸(不可到达) ,设计一种测量 A、B 两点间距离的方法. 分析:这是例 1 的变式题,研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题.首先需要构造 三角形,所以需要确定 C、D 两点.根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可 求出另两边的方法,分别求出 AC 和 BC,再利用余弦定理可以计算出 AB 的距离. 解:测量者可以在河岸边选定两点 C、D,测得 CD=a,并且在 C、D 两点分别测得 ? BCA= ? ,

? ACD= ? , ? CDB= ? , ? BDA = ? ,在 ? ADC 和 ? BDC 中,应用正弦定理得
AC = BC =
a sin(? ? ? ) sin[180? ? ( ? ? ? ? ? )] a sin ? sin[180? ? (? ? ? ? ? )]

= =

a sin(? ? ? ) sin(? ? ? ? ? ) a sin ? sin(? ? ? ? ? )

计算出 AC 和 BC 后,再在 ? ABC 中,应用余弦定理计算出 AB 两点间的距离 AB =
AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cos ?

分组讨论:还没有其它的方法呢?师生一起对不同方法进行对比、分析. 变式训练: 若在河岸选取相距 40 米的 C、 D 两点, 测得 ? BCA=60 ? ,? ACD=30 ? ,? CDB=45 ? ,

? BDA =60 ? (略解:将题中各已知量代入例 2 推出的公式,得 AB=20 6 )

例 2、如图,在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角 ? =54 ? 40? ,在塔底 C 处测得 A 处 的俯角 ? =50 ? 1? .已知铁塔 BC 部分的高为 27.3 m,求出山高 CD(精确到 1 m) 师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗? (给时间给学生讨论思考) 若在 ? ABD 中求 CD, 则关键需要求出哪条边呢?生:需求出 BD 边. 师:那如何求 BD 边呢?生:可首先求出 AB 边,再根据 ? BAD= ? 求得. 解:在 ? ABC 中, ? BCA=90 ? + ? , ? ABC =90 ? - ? , ? BAC= ? - ? , ? BAD = ? .根据正弦定 理,

BC sin(90? ? ? ) BC cos ? BC AB = ,所以 AB = = sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) sin(90 ? ? ? )
BC cos ? sin ? sin(? ? ? )

解 Rt ? ABD 中,得 BD =ABsin ? BAD= 将测量数据代入上式,得 BD =

27.3 cos 50?1? sin 54?40? sin(54?40? ? 50?1?)

=

27.3 cos 50?1? sin 54?40? sin 4?39?

≈ 177

(m) CD =BD -BC≈177-27.3=150(m) 答:山的高度约为 150 米. 师:有没有别的解法呢?生:若在 ? ACD 中求 CD,可先求出 AC. 师: 分析得很好, 请大家接着思考如何求出 AC?生: 同理, 在 ? ABC 中, 根据正弦定理求得. (解 题过程略) 例 3、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到 A 处时测得公路南侧远处一山顶 D 在东偏南 15 ? 的方向上,行驶 5km 后到达 B 处,测得此山顶在东偏南 25 ? 的方向上,仰角为 8 ? , 求此山的高度 CD. 师:欲求出 CD,大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢? 生:在 ? BCD 中 师:在 ? BCD 中,已知 BD 或 BC 都可求出 CD,根据条件,易计算出哪条边的长? 生:BC 边 解:在 ? ABC 中, ? A=15 ? , ? C= 25 ? -15 ? =10 ? ,根据正弦定理,

BC AB AB sin A 5 sin15? = , BC = = ≈ 7.4524(km) sin10? sin A sin C sin C
CD=BC ? tan ? DBC≈BC ? tan8 ? ≈1047(m) 答:山的高度约为 1047 米 1、 为测某塔 AB 的高度,在一幢与塔 AB 相距 20m 的楼的楼顶处测得塔顶 A 的仰角为 30 ? , 测得塔基 B 的俯角为 45 ? ,则塔 AB 的高度为多少 m?

答案:20+

20 3 (m) 3 [范例讲解]

例 1.如图,一艘海轮从 A 出发,沿北偏东 75 ? 的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B,然后 从 B 出发,沿北偏东 32 ? 的方向航行 54.0 n mile 后达到海岛 C.如果下次航行直接从 A 出发 到达 C,此船应该沿怎样的方向航行 ,需要航行多少距离 ?(角度精确到 0.1 ? , 距离精确到 0.01n mile) 学生看图思考并讲述解题思路,教师根据学生的回答归纳分析:首先根据三角形的内角和定 理求出 AC 边所对的角 ? ABC,即可用余弦定理算出 AC 边,再根据正弦定理算出 AC 边和 AB 边的夹角 ? CAB. 解:在 ? ABC 中, ? ABC=180 ? - 75 ? + 32 ? =137 ? ,根据余弦定理, AC= AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos ?ABC = 67.52 ? 54.0 2 ? 2 ? 67.5 ? 54.0 ? cos137? ≈113.15 根据正弦定理, 0.3255, 所以
54.0 sin137 ? sin ? CAB = BC sin ?ABC = ≈
AC

113.15

? CAB =19.0 ? , 75 ? - ? CAB =56.0 ?

答:此船应该沿北偏东 56.1 ? 的方向航行,需要航行 113.15n mile 例 2.在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为 ? , 沿 BE 方向前进 30m, 至点 C 处测得顶 端 A 的仰角为 2 ? ,再继续前进 10 3 m 至 D 点,测得顶端 A 的仰角为 4 ? ,求 ? 的大小和建 筑物 AE 的高. 师:请大家根据题意画出方位图.生:上台板演方位图(上图) 教师先引导和鼓励学生积极思考解题方法, 让学生动手练习, 请三位同学用三种不同方法板 演,然后教师补充讲评. 解法一: (用正弦定理求解)由已知可得在 ? ACD 中, AC=BC=30, AD=DC=10 3 , 因为

? ADC =180 ? -4 ? ,
sin4 ? =2sin2 ? cos2 ?

? 10 3 =
sin 2?

30 . sin(180? ? 4? )

? cos2 ? =

3 ,得 2

2 ? =30 ? ?

? =15 ? ,

?在 Rt ? ADE 中,AE=ADsin60 ? =15
答:所求角 ? 为 15 ? ,建筑物高度为 15m

解法二: (设方程来求解)设 DE= x,AE=h 在 Rt ? ACE 中,(10 3 + x) 2 + h 2 =30 2 在 Rt ? ADE 中,x 2 +h 2 =(10 3 ) 2 两式相减,得 x=5 3 ,h=15

?在 Rt ? ACE 中,tan2 ? =

h 10 3 ? x

=

3 3

?2 ? =30 ? , ? =15 ?

答:所求角 ? 为 15 ? ,建筑物高度为 15m 解法三: (用倍角公式求解)设建筑物高为 AE=8,由题意,得 ? BAC= ? , ? CAD=2 ? , AC = BC =30m , AD = CD =10 3 m 在 Rt ? ACE 中,sin2 ? = 在 Rt ? ADE 中,sin4 ? =

x 30
4 10 3
,

--------- ①

--------- ②

②?① 得

cos2 ? =

3 ,2 ? =30 ? , ? =15 ? ,AE=ADsin60 ? =15 2

答:所求角 ? 为 15 ? ,建筑物高度为 15m

例 3.某巡逻艇在 A 处发现北偏东 45 ? 相距 9 海里的 C 处有一艘走私船,正沿南偏东 75 ? 的 方向以 10 海里/小时的速度向我海岸行驶, 巡逻艇立即以 14 海里/小时的速度沿着直线方向 追去,问巡逻艇应该沿什么方向去追?需要多少时间才追赶上该走私船? 师:你能根据题意画出方位图?教师启发学生做图建立数学模型 分析:这道题的关键是计算出三角形的各边,即需要引入时间这个 参变量. 解:如图,设该巡逻艇沿 AB 方向经过 x 小时后在 B 处追上走私船, 则 CB=10x, AB=14x,AC=9, ? ACB= 75 ? + 45? = 120?

?(14x)

2

= 9 2 + (10x)

2

-2 ? 9 ? 10xcos 120?

3 9 ?化简得 32x 2 -30x-27=0,即 x= ,或 x=- (舍去) 2 16
所以 BC = 10x =15,AB =14x =21, 又因为 sin ? BAC =

3 5 3 BC sin120? 15 = = ? 2 AB 14 21

, ? ? BAC =38 ? 13? ,或 ? BAC =141 ? 47? (钝角不合题意,舍去)

?38 ? 13? + 45? =83 ? 13?
答:巡逻艇应该沿北偏东 83 ? 13? 方向去追,经过 1.4 小时才追赶上该走私船. 例 3.在 ? ABC 中,求证: (1)

a 2 ? b 2 sin 2 A ? sin 2 B ? ; (2) a 2 + b 2 + c 2 =2(bccosA+cacosB+abcosC) 2 2 c sin C

分析:这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题,观察式子左右两边的特点,联想到 用正弦定理来证明 证明: (1)根据正弦定理,可设 显然 k ? 0,所以 左边=
b = a = c = k sin A sin B sin C

a 2 ? b 2 k 2 sin 2 A ? k 2 sin 2 B sin 2 A ? sin 2 B ? = =右边 c2 k 2 sin 2 C sin 2 C

(2)根据余弦定理的推论, 右边=2(bc

b2 ? c2 ? a2 a2 ? b2 ? c2 c2 ? a2 ? b2 +ca +ab ) 2bc 2ca 2ab

=(b 2 +c 2 - a 2 )+(c 2 +a 2 -b 2 )+(a 2 +b 2 -c 2 ) =a 2 +b 2 +c 2 =左边 变式练习 1:已知在 ? ABC 中, ? B=30 ? ,b=6,c=6 3 ,求 a 及 ? ABC 的面积 S 提示:解有关已知两边和其中一边对角的问题,注重分情况讨论解的个数. 答案:a=6,S=9 3 ;a=12,S=18 3 变式练习 2:判断满足下列条件的三角形形状,(1)acosA = bcosB, (2)sinC = 提示:利用正弦定理或余弦定理, “化边为角”或“化角为边” 师:大家尝试分别用两个定理进行证明. 生 1: (余弦定理)得 a ?

sin A ? sin B cos A ? cos B

b2 ? c2 ? a2 c2 ? a2 ? b2 =b ? 2bc 2ca

?c 2 (a 2 ? b 2 ) ? a 4 ? b 4 = (a 2 ? b 2 )(a 2 ? b 2 ) ,? a 2 ? b 2或c 2 ? a 2 ? b 2 ?根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形
生 2: (正弦定理)得 sinAcosA=sinBcosB,

?sin2A=sin2B,

?2A=2B, ?A=B

?根据边的关系易得是等腰三角形
师:根据该同学的做法,得到的只有一种情况,而第一位同学的做法有两种,请大家思考,

谁的正确呢? 生:第一位同学的正确.第二位同学遗漏了另一种情况,因为 sin2A=sin2B,有可能推出 2A 与 2B 两个角互补,即 2A+2B=180 ? ,A+B=90 ? (2)(解略)直角三角形


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