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2014高三数学二轮专题复习课件:1-5导数及其应用


2014 高三数学专题复习课件 1-5 导数及其应用
考向分析 (1)利用导数的几何意义求曲线的切线方程. (2)利用导数的有关知识,研究函数的单调性、极值和最值,进而解(证)不等式. (3)用导数解决日常生活中的一些实际问题,以及与其他知识相结合,考查常见的数学思想方法. (4)(理)考查定积分的性质及几何意义.

命题规律
这是高考的重

点必考内容,一般命制一个大题或一大一小两个题. (1)导数的几何意义是高考考查的重点内容,常与解析几何的知识交汇命题,多以选择题、填空题 的形式考查,有时也会出现在解答题中的关键一步. (2)利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及解决生活中的优化问题,已成为近几年高考的主 要考点. (2)导数的四则运算法则 ①[f(x)± g(x)]′=f ′(x)± g′(x); ②[f(x)· g(x)]′=f ′(x)g(x)+f(x)g′(x); ③[ f ′?x?g?x?-f?x?g′?x? f ?x ? ]′= . g?x? g2 ? x ?

④(理)设 y=f(u),u=φ(x),则 y′x=y′uu′x.

3.导数的运算
(1)基本初等函数的导数公式 ①c′=0(c 为常数); ③(sinx)′=cosx; ②(xm)′=mxm 1;


④(cosx)′=-sinx;

⑤(ex)′=ex; ⑥(ax)′=axlna; 1 ⑦(lnx)′=x ; 1 ⑧(logax)′=xlna.

(2)求函数 f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤 ①求 f(x)在区间[a,b]上的极值; ②求区间端点的函数值 f(a),f(b); ③比较极值与 f(a),f(b)的大小,下结论. (3)利用导数解决优化问题的步骤 ①审题,设未知数;②结合题意列出函数关系式;③确定函数的定义域;④在定义域内求极值、 最值;⑤下结论.

5.导数的应用
(1)求可导函数 f(x)极值的步骤
1

①求导数 f ′(x); ②求方程 f ′(x)=0 的根; ③检验 f ′(x)在方程 f ′(x)=0 的根的左、右的符号,如果在根的左侧附近为正,右侧附近为负, 那么函数 y=f(x)在这个根处取得极大值;如果在根的左侧附近为负,右侧附近为正,那么函数 y=f(x) 在这个根处取得极小值. (2)求函数 f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤 ①求 f(x)在区间[a,b]上的极值; ②求区间端点的函数值 f(a),f(b); ③比较极值与 f(a),f(b)的大小,下结论. (3)利用导数解决优化问题的步骤 ①审题,设未知数;②结合题意列出函数关系式;③确定函数的定义域;④在定义域内求极值、 最值;⑤下结论. (4)定积分在几何中的应用(理) 被积函数为 y=f(x),由曲线 y=f(x)与直线 x=a,x=b(a<b)和 y=0 所围成的曲边梯形的面积为 S. ①当 f(x)>0 时,S=?bf(x)dx; ?a ②当 f(x)<0 时,S=-?bf(x)dx; ?a ③当 x∈[a,c]时,f(x)>0;当 x∈[c,b]时,f(x)<0,则 S=?c f(x)dx-?bf(x)dx. ?a ?c

疑难误区警示
1 - 1.(sinx)′=cosx 与(cosx)′=-sinx,(xn)′=nxn 1(n∈N*)与(ax)′=axlna(a>0),而(logax)′=xlna (a>0 且 a≠1),这是应用公式中易混易错的地方. 2.求过某点的曲线的切线方程与求曲线在某点处的切线方程应区分. 3.f(x)的极大(小)值与最大(小)值要区分;导数为零的点不一定是极值点. 4.(理)曲边梯形的面积与定积分的关系.

高频考点
(文)(2012· 山西四校联考)曲线 y=xex+2x-1 在点(0,-1)处的切线方程为( A.y=3x-1 C.y=3x+1 [解析] k=y′|x=0=(ex+xex+2)|x=0=3, ∴切线方程为 y=3x-1,故选 A. 1 (理)已知曲线 y=x . (1)求曲线在点 P(1,1)处的切线方程;
2

)

B.y=-3x-1 D.y=-2x-1

(2)求曲线过点 Q(1,0)的切线方程; 1 (3)求满足斜率为-3的曲线的切线方程. 1 [解析] (1)∵y′=- 2. x 又 P(1,1)是曲线上的点, ∴P 是切点,所求切线的斜率为 k=f ′(1)=-1. 所以曲线在 P 点处的切线方程为 y-1=-(x-1). 即 y=-x+2. 1 1 (2)显然 Q(1,0)不在曲线 y= 上, 则可设过该点的切线的切点为 A(a, ), 则该切线斜率为 k1=f ′(a) x a 1 =-a2. 1 1 则切线方程为 y-a=-a2(x-a).① 1 1 将 Q(1,0)代入方程①得 0-a=-a2(1-a), 1 解得 a=2, 故所求切线方程为 y=-4x+4. 1 1 1 (3)设切点坐标为 A(a,a),则切线的斜率为 k2=-a2=-3,解得 a=± 3, 3 3 ∴A( 3, 3 )或 A′(- 3,- 3 ). 代入点斜式方程得 3 1 3 1 y- 3 =-3(x- 3)或 y+ 3 =-3(x+ 3). 即切线方程为 x+3y-2 3=0 或 x+3y+2 3=0. [点评] (1)在点 P 处的切线即是以 P 为切点的切线,P 一定在曲线上. (2)过点 Q 的切线即切线过点 Q,Q 不一定是切点,所以本题的易错点是把点 Q 作为切点.因此在 求过点 P 的切线方程时,应首先检验点 P 是否在已知曲线上. (2012· 北京西城区期末 ) 若曲线 y = x3 + ax 在坐标原点处的切线方程是 2x - y = 0 ,则实数 a = ________. [解析] ∵曲线 y=x3+ax 的切线斜率 k=y′=3x2+a, 又曲线在坐标原点处的切线方程为 2x-y=0, ∴3×02+a=2,故 a=2.
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[方法规律总结] 1.求曲线 y=f(x)的切线方程的类型及方法 (1)已知切点 P(x0,y0),求 y=f(x)过点 P 的切线方程: 求出切线的斜率 f ′(x0),由点斜式写出方程; (2)已知切线的斜率为 k,求 y=f(x)的切线方程: 设切点 P(x0,y0),通过方程 k=f ′(x0)解得 x0,再由点斜式写出方程; (3)已知切线上一点(非切点),求 y=f(x)的切线方程: 设切点 P(x0,y0),利用导数求得切线斜率 f ′(x0),再由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解得 x0,再由点斜式或两点式写出方程. 2.若曲线的切线与已知直线平行或垂直,求曲线的切线方程时,先由平行或垂直关系确定切线的 斜率,再由 k=f′ (x0)求出切点坐标(x0,y0),最后写出切线方程. (2012· 北京理,18)已知函数 f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求 a、b 的值; (2)当 a2=4b 时,求函数 f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1]上的最大值. [分析] (1)运用导数的几何意义即可求解; (2)根据导函数的正负可求出函数的单调区间;根据导函数的零点与-1 的关系分类讨论,求得函 数的最值. [解析] (1)f ′(x)=2ax,g′(x)=3x2+b. 因为曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以 f(1)=g(1),且 f ′(1)= g′(1). 即 a+1=1+b,且 2a=3+b. 解得 a=3,b=3. 1 (2)记 h(x)=f(x)+g(x).当 b=4a2 时, 1 h(x)=x3+ax2+4a2x+1, 1 h′(x)=3x2+2ax+4a2. a a 令 h′(x)=0,得 x1=-2,x2=-6. a>0 时,h(x)与 h′(x)的变化情况如下表: x h′(x) a (-∞,- ) 2 + - 0
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a 2

a a (- ,- ) 2 6 -

- 0

a 6

a (- ,+∞) 6 +

h(x)



极大值



极小值



a a a a 所以函数 h(x)的单调递增区间为(-∞,- )和(- ,+∞);单调递减区间为(- ,- ). 2 6 2 6 a 当-2≥-1,即 0<a≤2 时, 1 函数 h(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为 h(-1)=a- a2. 4 a a 当-2<-1,且-6≥-1,即 2<a≤6 时, a a 函数 h(x)在区间(-∞,-2)内单调递增,在区间(-2,-1]上单调递减,h(x)在区间(-∞,-1]上 a 的最大值为 h(-2)=1. a a a a 当-6<-1,即 a>6 时,函数 h(x)在区间(-∞,-2)内单调递增,在区间(-2,-6)内单调递减, a 在区间(-6,-1]上单调递增, a 1 1 a 又因 h(-2)-h(-1)=1-a+4a2=4(a-2)2>0,所以 h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为 h(-2)= 1. [点评] 本题考查了切线、函数单调性、极值等基础知识,考查分类讨论的数学思想.本题是较常 规的题目,学生一般都能掌握,难点在于第二问,两个极值点和最值的求解,对学生的概念理解要求 很高,数学思维也要清晰,因此在复习中,应加大这方面的训练. (2012· 无锡市调研)已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0, x∈R)为奇函数, 且 f(x)在 x=1 处取得极大值 2. (1)求函数 y=f(x)的解析式; f ?x ? (2)记 g(x)= x +(k+1)lnx,求函数 y=g(x)的单调区间; (3)在(2)的条件下,当 k=2 时,若函数 y=g(x)的图象在直线 y=x+m 的下方,求 m 的取值范围. [解析] (1)f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)为奇函数, 所以 f(-x)=-f(x). 代入得 b=0. 所以 f ′(x)=3ax2+c,且 f(x)在 x=1 取得极大值 2.

?f ′?1?=0, ?3a+c=0, 所以? ?? ?f?1?=2, ?a+c=2.
解得 a=-1,c=3,所以 f(x)=-x3+3x. (2)因为 g(x)=-x2+3+(k+1)lnx,

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2 1 -2x +?k+1? 所以 g′(x)=-2x+(k+1)· . x= x

因为函数定义域为(0,+∞),所以 ①当 k=-1 时,k+1=0,g′(x)=-2x<0,函数在(0,+∞)上单调递减; ②当 k<-1 时,k+1<0,因为 x>0, -2x2+?k+1? 所以 g′(x)= <0. x 所以函数在(0,+∞)上单调递减; ③k>-1 时,k+1>0, -2x2+?k+1? 令 g′(x)>0,得 >0, x 因为 x>0,所以-2x2+(k+1)>0, 即- k+1 2 <x< k+1 2 ,结合 x>0,得 0<x< k +1 2 ;

-2x2+?k+1? 令 g′(x)<0,得 <0, x 同上得 2x2>(k+1),x> k+1 , 2 k+1 2 ),单调递减区间为( k+1 2 ,+∞).

所以 k>-1 时,单调递增区间为(0,

综上,当 k≤-1 时,函数的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间; 当 k>-1 时,函数的单调递增区间为(0, 单调递减区间为( k+1 2 ,+∞). k+1 2 ),

(3)当 k=2 时,g(x)=-x2+3+3lnx, 令 h(x)=g(x)-(x+m)=-x2-x+3lnx+3-m, 3 h′(x)=-2x-1+x , -2x2-x+3 令 h′(x)=0, =0,得 x 3 x=1,x=-2(舍去). 由函数 y=h(x)定义域为(0,+∞)知, 当 0<x<1 时,h′(x)>0,当 x>1 时 h′(x)<0, 所以当 x=1 时,函数 h(x)取得最大值 1-m. 要使函数 y=g(x)的图象在直线 y=x+m 的下方,则 1-m<0,所以 m>1. 故 m 的取值范围是(1,+∞).
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[方法规律总结]
1.(1)若求单调区间(或证明单调性),只需在函数 f(x)的定义域内解(或证明)不等式 f ′(x)>0 或 f ′(x)<0. (2)若已知函数的单调性求参数的值或取值范围,只需转化为不等式 f ′(x)≥0 或 f ′(x)≤0 在单调 区间内恒成立的问题求解,解题过程中要注意分类讨论;函数单调性问题以及一些相关的逆向问题, 都离不开分类讨论思想. 2.利用导数研究函数的单调性的步骤. (1)找出函数 f(x)的定义域; (2)求 f ′(x); (3)在定义域内解不等式 f ′(x)>0,f ′(x)<0. (文)函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极小值 10,求 a、b 的值. [解析] f ′(x)=3x2+2ax+b,由题意知 f ′(1)=0,且 f(1)=10,即 2a+b+3=0,且 a2+a+b+ 1=10, 解之得 a=4,b=-11 或 a=-3,b=3. 当 a=4,b=-11 时, f ′(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1)在 x=1 附近两侧的符号相反, ∴a=4,b=-11 满足题意; 当 a=-3,b=3 时,f ′(x)=3(x-1)2 在 x=1 附近两侧的符号相同, ∴a=-3,b=3 应舍去. 综上所述,a=4,b=-11. [点评] 此题中“f(x)在 x=1 处有极值 10”与“f ′(1)=0 且 f(1)=10”不等价.事实上,“f(x)在 x=1 处有极值 10”?“1 是 f ′(x)=0 的变号零点且 f(1)=10”.准确理解极值的定义才能准确解答与 极值有关的函数问题. 1 (理)已知函数 f(x)=2ax2+lnx,其中 a∈R. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)在(0,1]上的最大值是-1,求 a 的值. ax2+1 [解析] (1)f ′(x)= x ,x∈(0,+∞). 当 a≥0 时, f ′(x)>0, 从而函数 f(x)在(0, +∞)上单调递增; 当 a<0 时, 令 f ′(x)=0, 解得 x= 1 -a,

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舍去 x=-

1 -a.

此时,f(x)与 f ′(x)的情况如下: x f ′( x ) f (x ) (0, + ↗ 1 -a); f( 1 -a) 1 -a 0 1 - ) a ( 1 -a,+∞) - ↗

所以,f(x)的单调递增区间是(0, 单调递减区间是( 1 -a,+∞).

a (2)①当 a≥0 时,由(1)得函数 f(x)在(0,1]上的最大值为 f(1)=2. a 令2=-1,得 a=-2,这与 a≥0 矛盾,舍去 a=-2. ②当-1≤a<0 时, 1 a -a≥1,由(1)得函数 f(x)在(0,1]上的最大值为 f(1)=2.

a 令2=-1,得 a=-2,这与-1≤a<0 矛盾,舍去 a=-2. ③当 a<-1 时,0< 令 f( 1 -a<1,由(1)得函数 f(x)在(0,1]上的最大值为 f( 1 -a).

1 -a)=-1,解得 a=-e,满足 a<-1.

综上,当 f(x)在(0,1]上的最大值是-1 时,a=-e. 1 (文)设 a>0 且 a≠1,函数 f(x)=2x2-(a+1)x+alnx. (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在(3,f(3))处切线的斜率; (2)求函数 f(x)的极值点. [解析] (1)由已知 x>0, 2 当 a=2 时,f ′(x)=x-3+x , 2 曲线 y=f(x)在(3,f(3))处切线的斜率为 f ′(3)=3. a x2-?a+1?x+a (2)f ′(x)=x-(a+1)+x= x = ?x-1??x-a? . x

由 f ′(x)=0 得 x=1 或 x=a,
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①若 0<a<1,则 当 x∈(0,a)时,f ′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x∈(a,1)时,f ′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x∈(1,+∞)时,f ′(x)>0,函数 f(x)单调递增. 此时 x=a 是 f(x)的极大值点,x=1 是 f(x)的极小值点. ②若 a>1,则 当 x∈(0,1)时,f ′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x∈(1,a)时,f ′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x∈(a,+∞)时,f ′(x)>0,函数 f(x)单调递增. 此时 x=1 是 f(x)的极大值点,x=a 是 f(x)的极小值点. 综上,当 0<a<1 时,x=a 是 f(x)的极大值点,x=1 是 f(x)的极小值点; 当 a>1 时,x=1 是 f(x)的极大值点,x=a 是 f(x)的极小值点. (理)已知函数 f(x)=x2-4x+(2-a)lnx,(a∈R,a≠0). (1)当 a=18 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)求函数 f(x)在区间[e,e2]上的最小值. [解析] (1)f(x)=x2-4x-16lnx, 16 2?x+2??x-4? f ′(x)=2x-4- = . x x 由 f ′(x)>0 及 x>0 得 x>4. 所以函数 f(x)的单调递增区间是(4,+∞). 由 f ′(x)<0 及 x>0 得 0<x<4, 所以函数 f(x)的单调递减区间是(0,4). 综上所述,函数 f(x)的单调增区间是(4,+∞),单调递减区间是(0,4). (2)在 x∈[e,e2]时,f(x)=x2-4x+(2-a)lnx, 2-a 2x2-4x+2-a 所以 f ′(x)=2x-4+ x = , x 设 g(x)=2x2-4x+2-a. 当 a<0 时,有 Δ=16-4×2(2-a)=8a<0,此时 g(x)>0,所以 f ′(x)>0,f(x)在[e,e2]上单调递增. 所以 f(x)min=f(e)=e2-4e+2-a. 当 a>0 时,Δ=16-4×2(2-a)=8a>0, 令 f ′(x)>0,即 2x2-4x+2-a>0,解得 x>1+ 2a 2a 或 x<1- ; 2 2

2a 2a 令 f ′(x)<0,即 2x2-4x+2-a<0,解得 1- 2 <x<1+ 2 .
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①若 1+ -2a.

2a 2 ≥e ,即 a≥2(e2-1)2 时,f(x)在区间[e,e2]单调递减,所以 f(x)min=f(e2)=e4-4e2+4 2

②若 e<1+

2a 2 2a 2a <e , 即 2(e-1)2<a<2(e2-1)2 时, f(x)在区间[e,1+ ]上单调递减, 在区间[1+ , 2 2 2

2a a 2a e2]上单调递增,所以 f(x)min=f(1+ 2 )=2- 2a-3+(2-a)ln(1+ 2 ). ③若 1+ -a. 综上所述,当 a≥2(e2-1)2 时,f(x)min=e4-4e2+4-2a; a 2a 当 2(e-1)2<a<2(e2-1)2 时,f(x)min= - 2a-3+(2-a)ln(1+ ); 2 2 当 a≤2(e-1)2 时,f(x)min=e2-4e+2-a. 1 1 (文)设 f(x)=- x3+ x2+2ax 3 2 2 (1)若 f(x)在(3,+∞)上存在单调递增区间,求 a 的取值范围. 16 (2)当 0<a<2 时,f(x)在[1,4]上的最小值为- 3 ,求 f(x)在该区间上的最大值. 1 1 [解析] (1)由 f ′(x)=-x2+x+2a=-(x-2)2+4+2a 2 2 2 2 1 当 x∈[ ,+∞)时,f ′(x)的最大值为 f ′( )= +2a;令 +2a>0,得 a>- 3 3 9 9 9 1 2 所以,当 a>- 时,f(x)在( ,+∞)上存在单调递增区间. 9 3 1- 1+8a 1+ 1+8a (2)令 f ′(x)=0,得两根 x1= ,x 2 = . 2 2 所以 f(x)在(-∞,x1)、(x2,+∞)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增 当 0<a<2 时,有 x1<1<x2<4,所以 f(x)在[1,4]上的最大值为 f(x2), 27 又 f(4)-f(1)=- 2 +6a<0,即 f(4)<f(1) 40 16 所以 f(x)在[1,4]上的最小值为 f(4)=8a- 3 =- 3 ,得 a=1,x2=2, 10 从而 f(x)在[1,4]上的最大值为 f(2)= 3 . 1 (理)(2013· 江西八校联考)已知函数 f(x)=x-2ax2-ln(1+x),其中 a∈R. (1)求 f(x)的单调区间;
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2a ≤e,即 0<a≤2(e-1)2 时,f(x)在区间[e,e2]单调递增,所以 f(x)min=f(e)=e2-4e+2 2

5n+6 ln2 ln3 ln4 ln3n (2)求证: 2 + 3 + 4 +?+ 3n <3n- 6 (n∈N*). x?1-a-ax? [解析] (1)∵f ′(x)= ,x∈(-1,+∞), x+1 1 若 0<a<1,则 f(x)的单调增区间是(0, -1), a 1 单调减区间是(-1,0)和(a-1,+∞); 若 a=1,则 f(x)的单调减区间是(-1,+∞),无增区间, 1 1 若 a>1,则 f(x)的单调增区间(a-1,0),单调减区间是(-1,a-1)和(0,+∞). 若 a≤0,f(x)的减区间是(-1,0),增区间是(0,+∞). (2)由(1)知:当 a=0 时,f(x)≥f(0)=0,即 x≥ln(1+x), 即 x-1≥lnx,x∈(0,+∞)恒成立, 1 lnx ∴1-x ≥ x ,当且仅当 x=1 时取“=”, ln2 ln3 ln4 ln3n n 1 1 1 1 1 1 1 5n ∴ 2 + 3 + 4 +?+ 3n <3 -1-(2+3+?+3n),转化为证明:2+3+4+?+3n≥ 6 ,(n∈N*) 用数学归纳法证明如下: 1 1 5 5 当 n=1 时,左端=2+3=6≥6=右端成立, 1 1 1 1 5 假设当 n=k(k≥1)时,有 + + +?+ k≥ k 成立, 2 3 4 3 6 1 1 1 1 1 1 5k 1 1 1 则当 n=k+1 时,∵ + + +?+ k+ k +?+ k+1≥ + k +?+ k +?+ k+ 2 3 4 3 3 +1 6 3 +1 3 3 +3 2· 3k+1 1 5k 3k 3k 5?k+1? 3· 3k> 6 +2· 3k+3· 3k= 6 1 1 1 1 5n 由数学归纳法原理知, + + +?+ n≥ 对 n∈N*均成立, 2 3 4 3 6 ln2 ln3 ln4 ln3n n 5n+6 即有: 2 + 3 + 4 +?+ 3n <3 - 6 (n∈N*)恒成立. (文)已知函数 f(x)=ex+2x2-3x. (1)求证:函数 f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极值点. 1 5 (2)当 x≥2时,若关于 x 的不等式 f(x)≥2x2+(a-3)x+1 恒成立,试求实数 a 的取值范围. [解析] (1)f ′(x)=ex+4x-3, ∵f ′(0)=e0-3=-2<0,f ′(1)=e+1>0, ∴f ′(0)· f ′(1)<0.
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令 h(x)=f ′(x)=ex+4x-3,则 h′(x)=ex+4>0, ∴f ′(x)在区间[0,1]上单调递增, ∴f ′(x)在区间[0,1]上存在唯一零点, ∴f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极小值点. 5 5 (2)由 f(x)≥2x2+(a-3)x+1,得 ex+2x2-3x≥2x2+(a-3)x+1, 1 即 ax≤ex- x2-1, 2 1 ex-2x2-1 1 ∵x≥2,∴a≤ . x 1 ex-2x2-1 令 g(x)= ,则 x 1 ex?x-1?-2x2+1 g′(x)= . x2 1 令 φ(x)=ex(x-1)-2x2+1,则 φ′(x)=x(ex-1). 1 ∵x≥2,∴φ′(x)>0. 1 ∴φ(x)在[2,+∞)上单调递增. 1 7 1 ∴φ(x)≥φ(2)=8-2 e>0. 1 1 e2-8-1 1 1 9 因此 g′(x)>0,故 g(x)在[2,+∞)上单调递增,则 g(x)≥g(2)= =2 e-4, 1 2 9 ∴a 的取值范围是 a≤2 e-4. (理)(2013· 天津十二区县联考)已知函数 f(x)=xlnx,g(x)=(-x2+ax-3)· ex(其中 a 实数,e 是自然对 数的底数). (Ⅰ)当 a=5 时,求函数 y=g(x)在点(1,e)处的切线方程; (Ⅱ)求 f(x)在区间[t,t+2](t>0)上的最小值;
1 x (Ⅲ)若存在 ..x1,x2∈[e ,e](x1≠x2),使方程 g(x)=2e f(x)成立,求实数 a 的取值范围.


[解析] (1)当 a=5 时,g(x)=(-x2+5x-3)· ex,g′(x)=(-x2+3x+2)· ex, 故切线的斜率为 g′(1)=4e, 所以切线方程为:y-e=4e(x-1),
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即 4ex-y-3e=0. (2)f′(x)=lnx+1, 1 令 f′(x)=0,得 x=e , 1 ①当 t≥e时,在区间(t,t+2)上,f′(x)>0,f(x)为增函数, 所以 f(x)min=f(t)=tlnt; 1 1 ②当 0<t<e时,在区间(t,e )上 f′(x)<0,f(x)为减函数, 1 在区间( ,e)上 f′(x)>0,f(x)为增函数, e 1 1 所以 f(x)min=f( )=- . e e (3)由 g(x)=2exf(x)可得 2xlnx=-x2+ax-3, 3 a=x+2lnx+x, 3 令 h(x)=x+2lnx+x, 2 3 ?x+3??x-1? h′(x)=1+x -x2= , x2 x h′(x) h(x) 1 ( e,1) - 单调递减 1 0 极小值(最小值) (1,e) + 单调递增

1 1 3 h(e )=e +3e-2,h(1)=4,h(e)=e +e+2, 1 2 h(e)-h(e)=4-2e+e <0, 3 ∴实数 a 的取值范围为(4,e+2+e]. [方法规律总结] 1.利用导数研究函数最值的一般步骤 (1)求定义域;(2)求导数 f ′(x);(3)求极值,先解方程 f ′(x)=0,验证 f ′(x)在根左右两侧值的符 号确定单调性,若在 x=x0 左侧 f ′(x)>0,右侧 f ′(x)<0,则 f(x0)为极大值,反之 f(x0)为极小值,若在 x=x0 两侧 f(x)的值不变号,则 x=x0 不是 f(x)的极值点;(4)求最值,比较各极值点与区间[a,b]的端点 值 f(a)、f(b)的大小,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 2. 已知 f(x)在某区间上的极值或极值的存在情况, 则转化为方程 f ′(x)=0 的根的大小或存在情况. 导数的实际应用 (文)(2013· 江苏苏北四市调研)某开发商用 9000 万元在市区购买一块土地,用于建一幢写字楼,规 划要求写字楼每层建筑面积为 2000 平方米.已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米 4000 元,从
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第二层开始,每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加 100 元. (1)若该写字楼共 x 层,总开发费用为 y 万元,求函数 y=f(x)的表达式; (总开发费用=总建筑费用+购地费用) (2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低,该写字楼应建为多少层? [解析] (1)由已知,写字楼最下面一层的总建筑费用为 4000×2000=8000000(元)=800(万元), 从第二层开始,每层的建筑总费用比其下面一层多 100×2000=200000(元)=20(万元), 写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以 800 为首项,20 为公差的等差数列, 所以函数表达式为 x?x-1? y=f(x)=800x+ ×20+9000 2 =10x2+790x+9000(x∈N*). (2)由(1)知写字每平方米平均开发费用为 5?10x2+790x+9000? f ?x ? g(x)=2000x×10000= x 900 =50(x+ x +79) 900 g′(x)=50(1- x2 ),由 g′(x)=0 及 x∈N*得,x=30. 易知当 x=30 时,g(x)取得最小值. 答:该写字楼建为 30 层时,每平方米平均开发费用最低. (理)水库的蓄水量随时间而变化,现用 t 表示时间,以月为单位,年初为起点,据历年数据,某水 库的蓄水量(单位:亿立方米)关于 t 的近似函数关系式为 1 ? ??-t2+14t-40?e t+50,0<t≤10. 4 V(t)=? ? ?4?t-10??3t-41?+50,10<t≤12. (1)该水库的蓄水量小于 50 的时期称为枯水期,以 i-1<t<i 表示第 i 月份(i=1,2?,12)问一年内 哪几个月份是枯水期? (2)求一年内该水库的最大蓄水量(取 e=2.7 计算) [解析] (1)①当 0<t≤10 时, 1 V(t)=(-t2+14t-40)e4t+50<50, 化简得 t2-14t+40>0, 解得 t<4,或 t>10,又 0<t≤10,故 0<t<4. ②当 10<t≤12 时,V(t)=4(t-10)(3t-41)+50<50,
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化简得(t-10)(3t-41)<0, 41 解得 10<t< 3 ,又 10<t≤12,故 10<t≤12. 综上得 0<t<4,或 10<t≤12. 故知枯水期为 1 月,2 月,3 月,11 月,12 月,共 5 个月. (2)由(1)易知,V(t)的最大值只能在(4,10)内达到. 1 1 3 由 V′(t)=e t(- t2+ t+4) 4 4 2 1 1 =- e t(t+2)(t-8). 4 4 令 V′(t)=0,解得 t=8(t=-2 舍去). 当 t 变化时,V′(t)与 V(t)的变化情况如下表: t V′(t) V (t ) (4,8) + ↗ 8 0 极大值 (8,10) - ↘

由上表,V(t)在 t=8 时取得最大值 V(8)=8e2+50=108.32(亿立方米) 故知一年内该水库最大蓄水量是 108.32 亿立方米. (2012· 济南模拟)济南市“两会”召开前,某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境 状况进行了实地调研,据测定,该处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源的距离成反 比,比例常数为 k(k>0).现已知相距 36km 的 A、B 两家化工厂(污染源)的污染强度分别为正数 a、b, 它们连线上任意一点 C 处的污染指数 y 等于两化工厂对该处的污染指数之和.设 AC=x(km). (1)试将 y 表示为 x 的函数; (2)若 a=1 时,y 在 x=6 处取得最小值,试求 b 的值. ka kb [解析] (1)设点 C 受 A 污染源污染指数为 ,点 C 受 B 污染源污染指数为 ,其中 k 为比例系 x 36-x 数,且 k>0. ka kb 从而点 C 处污染指数 y= x + (0<x<36). 36-x k kb (2)因为 a=1,所以,y=x+ , 36-x 1 b y′=k[-x2+ ], ?36-x?2 36 令 y′=0,得 x= , 1+ b 36 36 当 x∈(0, )时,函数单调递减;当 x∈( ,+∞)时,函数单调递增. 1+ b 1+ b

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36 ∴当 x= 时,函数取得最小值, 1+ b 又此时 x=6,解得 b=25,经验证符合题意. 所以,污染源 B 的污染强度 b 的值为 25. [方法规律总结] 解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数,把“问题情景”转化为数学语言,抽象为数 学问题,选择合适的求解方法.而最值问题的应用题,写出目标函数利用导数求最值是首选的方法, 若在函数的定义域内函数只有一个极值点,该极值点即为函数的最值点. 定积分及其应用(理) 求曲线 y=x2,直线 y=x,y=3x 围成的图形的面积. [分析] 画出函数图象,求出交点坐标,用积分求解. [解析] 作出曲线 y=x2,直线 y=x,y=3x 的图象,所求面积为图中阴影部分的面积.

2 ?y=x 解方程组? ,得交点(1,1)、(0,0), ?y=x 2 ?y=x 解方程组? ,得交点(3,9)、(0,0), ?y=3x

因此,所求图形的面积为 S=?1(3x-x)dx+?3(3x-x2)dx ?0 ?1

?3x2-1x3??3 =?12xdx+?3(3x-x2)dx=x2|1 0+ 3 ??1 ?2 ?0 ?1
1 3? 13 ?3 32-1· ? 3· 3? 2 3 1 - 1 = . =1+ 2· - 3 ? ?2 3· ? ? 3
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[点评] 求函数 f(x)在某个区间上的定积分,关键是求出满足 F′(x)=f(x)的原函数 F(x),要正确应 用定积分的性质,正确运用求导运算与求原函数 F(x)的运算互为逆运算的关系及微积分基本定理. 由直线 x-y-2=0 与抛物线 y2=x 围成的图形的面积为________. 9 [答案] 2 [解析] 如图.

?x-y-2=0 解方程组? 2 ?y =x
得交点 A(1,-1),点 B(4,2). 视 y 为自变量,所求面积为
2 2 ? -1[(y+2)-y ]dy ?

1 1 =(2y2+2y-3y3)|2 -1 1 1 1 1 9 =(2×22+2×2-3×23)-(2×(-1)2+2×(-1)-3×(-1)3)=2. [方法规律总结] 1.利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤:①画出图形;②确定被积函数;③求出交点坐标, 确定积分的上、下限;④运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积.特别注意平面图形 的面积为正值,定积分值可能是负值. 2. 如果被积函数为分段函数, 那么需要根据公式?bf(x)dx=?cf(x)dx+?bf(x)dx 分别求得每段区间 ?a ?a ?c 的积分,再求和.
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