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数学必修三概率的知识点及练习


第三章 概率
3.1 随机事件的概率 1.随机事件的概念——在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。 (1)随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件; (2)必然事件:在一定条件下必然要发生的事件; (3)不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件。 2. 频数与频率, 概率: 事件 A 的概率 ——在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率
m n

总接近于某个常数, 在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件 A 的概率,记作 P(A) 。——由定义可知 0≤P (A)≤1 3.事件间的关系 (1)互斥事件:不能同时发生的两个事件叫做互斥事件; (2)对立事件:不能同时发生,但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件; (3)包含:事件 A 发生时事件 B 一定发生,称事件 A 包含于事件 B(或事件 B 包含事件 A) ; 4.事件间的运算 (1)并事件 P( A ? B) 或 P( A ? B) (和事件)若某事件发生是事件 A 发生或事件 B 发生, 则此事件称为事件 A 与事件 B 的并事件。——P(A+B)=P(A)+P(B) (A.B 互斥) ;且有 P (A+ A )=P(A)+P( A =1。 交事件 P( A ? B)或P( AB) (积事件)若某事件发生是事件 A 发生和事件 B 同时发生,则此 事件称为事件 A 与事件 B 的交事件。 【典型例题】 1、指出下列事件是必然事件,不可能时间,还是随机事件: (1) “天上有云朵,下雨” ; (2) “在标准大气压下且温度高于 0 ? C 时,冰融化” ; (3) “某人射击一次,不中靶” ; (4) “如果 a ? b ,那么 a ? b ? 0 ” ; 2、判断下列各对事件是否是互斥事件,并说明道理。 某小组有 3 名男生和 2 名女生,从中任选 2 名同学去参加演讲比赛,其中: (1)恰有 1 名男生和恰有 2 名男生; (2)至少有 1 名男生和至少有 1 名女生; (3)至少有 1 名男生和全是男生; (4)至少有 1 名男生和全是女生 3、给出下列命题,判断对错: (1)互斥事件一定对立; (2)对立事件一定互斥; (3)互斥事件不一定对立。 4、 (1)抛掷一个骰子,观察出现的点数,设事件 A 为“出现 1 点” ,B 为“出现 2 点” 。已 知 P(A) ? P(B) ?

1 ,求出现 1 点或 2 点的概率。 6

(2)盒子里装有 6 只红球,4 只白球,从中任取三只球,设事件 A 表示“三只球只有一只 红球,2 只白球” ,B 表示“三只球中只有 2 只红球,1 只白球” 。已知 P(A) ?

3 1 , P(B) ? , 10 2

求这三只球中既有红球又有白球的概率。 【练习】 1、下面事件:①在标准大气压下,水加热到 80℃时会沸腾;②抛掷一枚硬币,出现反面;③ 实数的绝对值不小于零;其中是不可能事件的是 ( ) A. ② B. ① C. ① ② D. ③ 2、有下面的试验:①如果 a, b ? R ,那么 a ? b ? b ? a ;②某人买彩票中奖;③实系数一 次方程必有一个实根;④在地球上,苹果抓不住必然往下掉;其中必然现象有 ( A. ① B. ④ C. ①③ D. ①④ 3、从 12 个同类产品(其中有 10 个正品,2 个次品)中,任意取 3 个的必然事件是( A.3 个都是正品 B.至少有 1 个是次品 C.3 个都是次品 D.至少有 1 个是正品 4、下列事件是随机事件的有( ) A.若 a 、 b 、 c 都是实数,则 a ? ?b ? c ? ? ? a ? b ? ? c B.没有空气和水,人也可以生存下去。 C.抛掷一枚硬币,出现反面。 D.在标准大气压下,水的温度达到 90℃时沸腾。 5、某人将一枚硬币连掷了 10 次,正面朝上出现了 6 次,若用 A 表示正面朝上这一事件,则 A 的频率为( ) A. ) )

2 3

B.

3 5

C. 6

D. 接近

3 5

6、 从存放号码分别为 1,2,?,10 的卡片的盒子中,有放回地取 100 次,每次取一张卡片,并记 下号码,统计如下: 卡片号码 取到的次数 1 13 2 8 3 5 4 7 5 6 6 13 7 18 8 10 9 11 10 9

则取到号码为奇数的频率是( ) A. 0.53 B. 0.5 C.0.47 D. 0.37 7、随机事件 A 发生的概率的范围是 ( ) A. PA.>0 B.PA.<1 C. 0<PA.<1 D. 0≤PA.≤1 8、气象台预报“本市明天降雨概率是 70%”,以下理解正确的是 ( ) A.本市明天将有 70%的地区降雨; B.本市明天将有 70%的时间降雨; C.明天出行不带雨具肯定淋雨; D.明天出行不带雨具淋雨的可能性很大. 9、某人抛掷一枚硬币 100 次,结果正面朝上有 53 次,设正面朝上为事件 A,则事件 A 出现的 频数为_____,事件 A 出现的频率为_______。 10、一批产品共有 100 件,其中 5 件是次品,95 件是合格品,从这批产品中任意抽 5 件,现给 以下四个事件:A.恰有 1 件次品;B.至少有 2 件次品;C.至少有 1 件次品;D.至多有 1 件次 品;并给出以下结论:①A+B=C;②B+D 是必然事件;③A+C=B;④A+D=C; 其中正确的结论为__________(写出序号即可).

11、先后抛掷 2 枚均匀的硬币. ①一共可能出现多少种不同的结果? ②出现“1 枚正面,1 枚反面”的结果有多少种? ③出现“1 枚正面,1 枚反面”的概率是多少? ④有人说: “一共可能出现‘2 枚正面’ 、 ‘2 枚反面’ 、 ‘1 枚正面,1 枚反面’ 这 3 种结果, 因此出 现‘1 枚正面,1 枚反面’的概率是

1 .”这种说法对不对? 3

12、从 1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 9 个数字中任取两个数,分别有下列事件: ①恰有一个是奇数或恰有一个是偶数; ②至少有一个是奇数和两个都是奇数; ③至少有一个是奇数和两个数都是偶数; ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数. 其中为互斥事件的是 ( ) A. ① B.②④ C.③ D.①③ 13、一箱产品中有正品 4 件,次品 3 件,从中任取 2 件,其中事件: ①恰有 1 件次品和恰有 2 件次品; ②至少有 1 件次品和全是次品; ③至少有 1 件正品和至少有 1 件次品; ④至少有 1 件次品和全是正品. 是互斥事件的组数有 ( ) A. 1 组 B. 2 组 C. 3 组 D. 4 组 14、某人射击一次,设事件 A: “中靶” ;事件 B: “击中环数大于 5” ;事件 C: “击中环数大于 1 且小于 6” ;事件 D: “击中环数大于 0 且小于 6”,则正确的关系是 ( ) A. B 与 C 为互斥事件 B. B 与 C 为对立事件 C. A 与 D 为互斥事件 D. A 与 D 为对立事件 15、 从装有 2 个红球和 2 个白球的中袋内任取 2 个球,那么互斥而不对立的两个事件是 ( ) A. 至少有 1 个白球,都是白球. B.至少有 1 个白球,至少有 1 个红球. C. 恰有 1 个白球,恰有 2 个白球. D.至少有 1 个白球,都是红球. 16、在某一时期内,一条河流某处的最高水位在各个范围内的概率如下表: 年最高水位 (单位:m) 概率

?8,10?
0.1

?10,12? ?12,14? ?14,16? ?16,18?
0.28 0.38 0.16 0.08

计算在同一时期内,河流这一处的年最高水位在下列范围内的概率: ⑴. ?10,16 ? ? m ? ; ⑵. ?8,12? ? m ? ; ⑶. ?14,18? ? m ? ;

17、某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是 0.3、0.2、0.1、0.4, 求: ⑴他乘火车或乘飞机去的概率. ⑵他不乘轮船去的概率. ⑶如果他去的概率为 0.5,请问他有可能是乘何种交通工具去的? 3.2 古典概型 (1)基本事件:一次实验中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。

备注:①基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件,其他时间可以用它们来表示; ②所以的基本事件都是有限个; ③每个基本事件的发生都是等可能的。 (2)基本事件的特点:①任何两个基本事件都是互斥的。一次实验中,只可能出现一种结 果,即产生一 个基本事件。 ②任何事件都可以表示成基本事件的和。 (3)古典概型:满足①实验中所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个基本事件出现 的可能性相等 的概率模型称为古典概型 (4)概率的古典意义 对于古典概型,任何事件的概率为 P(A) ?

A包含的基本事件个数 总的基本事件个数

(5)基本事件数的探求方法 列举法;②树状图法; 【典型例题】 1、连续掷 3 枚硬币,观察落地后这 3 枚硬币是出现正面还是反面 (1)写出这个实验的基本事件空间; (2)求这个实验的基本事件的总数; (3) “恰有两枚正面朝上”这个事件包含哪几个基本事件。 2、把一枚骰子抛 6 次,设正面向上的点数为 X, (1)求出 X 的可能取值情况(即全体基本事件) ; (2)下列事件有哪些基本事件组成(用 X 的取值回答)? ① X 的取值为 2 的倍数(记为事件 A) ; ② X 的取值大于 3(记为事件 B) ; ③ X 的取值不超过 2(记为事件 C) ; ④X 的取值是质数(记为事件 D) 。 判断上述事件是否为古典概型,并求其概率。 3、连续掷三枚硬币观察落地后这三枚硬币出现正面还是反面, (1)写出这个实验的基本事 件; (2)求这个实验的基本事件总数; (3) “恰有两枚正面向上”这一事件包含了哪几个基 本事件? 4、复杂)在大小相同的 6 个球中,2 个是红球,4 个是白球,若从中任意选取 3 个,则所选 的 3 个球中至少有一个红球的概率是多少? 5、甲、乙两人参加普法知识竞答,共有 10 个不同的题目,其中选择题 6 个,判断题 4 个, 甲、乙二人依次各抽一题。 (1)甲抽到选择题,乙抽到判断题的概率是多少; (2)甲、乙二 人中至少有一个人抽到选择题的概率是多少? 【练习】 1、在所有的两位数(10-99)中,任取一个数,则这个数能被 2 或 3 整除的概率是( ) A.

1 3

B.

2 3

C.

1 2

D.

5 6

2、甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为 40%,甲不输的概率为 90%,则甲、乙两人下成和棋的概 率为( ) A. 60% B. 30% C. 10% D. 50%

3、根据多年气象统计资料,某地 6 月 1 日下雨的概率为 0.45,阴天的概率为 0.20,则该日晴 天的概率为( ) A. 0.65 B. 0.55 C. 0.35 D. 0.75 4、某射手射击一次,命中的环数可能为 0,1,2,?10 共 11 种,设事件 A: “命中环数大于 8”, 事件 B: “命中环数大于 5”,事件 C: “命中环数小于 4”,事件 D: “命中环数小于 6”,由事 件 A.B.C.D 中,互斥事件有 ( ) A. 1 对 B. 2 对 C. 3 对 D.4 对 5、 产品中有正品 4 件,次品 3 件,从中任取 2 件,其中事件: ①恰有一件次品和恰有 2 件次品; ②至少有 1 件次品和全都是次品; ③至少有 1 件正品和至少有一件次品; ④至少有 1 件次品 和全是正品.4 组中互斥事件的组数是 ( ) A. 1 组 B. 2 组 C. 3 组 D. 4 组 6、某人在打靶中连续射击 2 次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( ) A.至多有一次中靶 B. 两次都中靶 C.两次都不中靶 D.只有一次中靶 7、 对飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设 A=﹛两次都击中﹜,B=﹛两次都没击中﹜,C= ﹛恰有一次击中﹜,D=﹛至少有一次击中﹜,其中彼此互斥的事__________________; 互为对 立事件的是_________。 8、从甲口袋中摸出 1 个白球的概率是

1 1 ,从乙口袋中摸出一个白球的概率是 ,那么从两个 3 2

口袋中各摸 1 个球,2 个球都不是白球的概率是___________。 9、袋中装有 100 个大小相同的红球、白球和黑球,从中任取一球,摸出红球、白球的概率各 是 0.40 和 0.35,那么黑球共有____个 10、随意安排甲、乙、丙三人在三天节日里值班,每人值一天,请计算: ①这三人的值班顺序共有多少种不同的安排方法? ②甲在乙之前的排法有多少种? ③甲排在乙之前的概率是多少??? 11、 假如小猫在如图所示的地板上自由的走来走去,并随意停留在某块方砖上,它最终停留在 黑色方砖上的概率是多少?(图中每一块方砖除了颜色外完全相同)

12、从一个装有 2 黄 2 绿的袋子里有放回的两次摸球,两次摸到的都是绿球的概率是多少? 13、现有一批产品共有 10 件,其中 8 件为正品,2 件为次品: (1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续 3 次取出的都是正品的概率; (2)如果从中一次取 3 件,求 3 件都是正品的概率. 14、抛掷 2 颗质地均匀的骰子,求点数和为 8 的概率_______________。

15、从 1,2,3,4,5,6 这 6 个数字中, 任取 2 个数字相加, 其和为偶数的概率是 ______ . 16、有五条线段长度分别为 1,3,5, 7,9 ,从这 5 条线段中任取 3 条,则所取 3 条线段能构成一 个三角形的概率为( A. ) B.

1 10

3 10

C.

1 2

D.

7 10

17、从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成 三角形的概率是________ 18、现有 5 根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为 2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一 次随机抽取 2 根竹竿,则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为 . 19、一袋中装有大小相同,编号分别为 1, 2,3, 4,5,6,7,8 的八个球,从中有放回地每次取一 个球,共取 2 次,则取得两个球的编号和不小于 15 的概率为 ( )

A.

1 32

B.

1 64

C.

3 32

D.

3 64

3.3 几何概型 (1)几何概型的定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积) 成比例,称这样的概率模型为集合概率模型,简称集合概型。 备注: (1)几何概型的特点①无限性,即在一次实验中,基本事件的个数可以是无限的;② 等可能性,即每个基本事件发生的可能性是均等的。 (2)几何概型的概率计算公式

P( A) ?

构成事件A的区域长度(面积或体 积) 实验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体 积)

【典型例题】 1、 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上 6:30—7:30 之间把报纸送到你家,你父亲离开 家去工作的时间在早上 7:00—8:00 之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件 A)的概 率是多少? 2、在边长为 2 的正方形中随机撒一大把豆子,计算落在正方形的内切圆的豆子数与落在正 方形中的豆子数之比,并以此估计圆周率 ? 的值。 3、在墙上挂着一块边长为 16cm 的正方形木板,上面画了小、中、大三个同心圆,半径分别 为 2cm,4cm,6cm,某人站在 3m 之外向此版投镖,设投镖击中线上或没有投中木板时不算, 可重投,问: (1) 投中大圆的内的概率是多少?(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少? (3)投中大圆之外的概率是多少?

【练习】

1、一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口,已知该港口每天涨潮的时间为早晨 5: 00 至

7 : 00 和下午 5: 00 至 6: 00 ,则该船在一昼夜内可以进港的概率是(
1 1
1



1

A. 4

B. 8

C. 10

D. 12

2、如图 1,分别以正方形 ABCD 的四条边为直径画半圆,重叠部分如图中阴影区域,若向 该正方形内随机投一点,则该点落在阴影区域的概率为 ( ) D.

4 ?? A. 2

B.

? ?2
2
2

4 ?? C. 4

? ?2
4
图1

3、设 a, b ? (0,1) ,则关于 x的方程x ? 2ax ? b ? 0 在 (??, ?) 上有两个不同的零点的概率 为___________ 4、在 500ml 的水中有一个草履虫,现从中随机取出 2 ml 水样放到显微镜下观察,则发现草 履虫的概率是_____________。 5、已知地铁列车每 10min 一班,在车站停1min,则乘客到达站台立即乘上车的概率为_. 6、在线段[0,3]上任取一点,其坐标小于 1 的概率是_____________. 7、 在地球上海洋占 70.9%的面积,陆地占 29.1%的面积,现在太空有一颗陨石正朝着地球的方 向飞来,将落在地球的某一角.你认为陨石落在陆地的概率约为_____________,落在我国国 土内的概率为________.(地球的面积约为 5.1 亿平方千米) 8、已知集合 A= ??9, ?7, ?5, ?3, ?1,0,2,4,6,8? ,在平面直角坐标系 x0 y 中,点 ? x, y ? 的坐标

x ? A, y ? A ,点 ? x, y ? 正好在第二象限的概率是 (
A.

) D.

1 3

B.

1 4

C.

1 5

2 5

9、取一根长度为3m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于1m 的概 率有多大? 10、 在 10 立方米的沙子中藏有一个玻璃球,假定这个玻璃球在沙子中的任何一个位置是等可 能的,若取出 1 立方米的沙子.求取出的沙子中含有玻璃球的概率.


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