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第三课时 函数导数及其应用 专题测试


函数导数及其应用 专题测试
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。) 1.函数 f(x)=x3+ax2+3x-9,已知 f(x)有两个极值点 x1,x2,则 x1· x2 等于( A.9 B.-9 C.1
2

)

D.-1[ : ] )

2.(2011· 江西高考)若 f(x)=x -2x-4lnx,则 f ′(x)>0 的解集为( A.(0,+∞) C.(2,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞) D.(-1,0)

3.(2011· 湖南高考)曲线 y= 1 A.- 2 1 B. 2 C.- 2 2

sinx 1 π - 在点 M( ,0)处的切线的斜率为( 4 sinx+cosx 2 D. 2 2

)

4.(2011· 浙江高考)设函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R).若 x=-1 为函数 f(x)ex 的一个极值点,则 下列图像不可能为 y=f(x)的图像是( )

5.(2011· 合肥模拟)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,若 f(x)在区间(-1,0)上单调递减,则 a2+b2 的取值 范围是( ) 9 B.(0, ] 4 9 D.(0, ] 5 )

9 A.[ ,+∞) 4 9 C.[ ,+∞) 5

1 x 6.(2011 年山西四校联考)已知 a 是函数 f(x)=2 -log x 的零点,若 0<x0<a,则 f(x0)的值满足( 2 Af(x0)=0 C.f(x0)<0 B.f(x0)>0 D.f(x0)的符号不能确定 )

7、(2012 年辽宁省锦州市模拟)如图,阴影部分的面积是(

A.2 3 C. 32 3

B.2- 3 D. 1 3 35 3 )

8.(2010 年济宁联考)若 a>2,则函数 A.0 个零点 B.1 个零点

f(x)= x3-ax2+1 在区间(0,2)上恰好有(
D.3 个零点

C.2 个零点

9.(2012 年湛江调研)已知函数

f(x)=

lna+lnx 在[1,+∞)上为减函数,则实数 a 的取值范围是(

x

)

1

1 A.0<a< e

B.0<a≤e

C.a≤e

D.a≥e

10.(2011 年黄山模拟)已知函数 大值,则 a 的取值范围是( A.(-1,0) C.(0,1) )

f(x)的导函数 f ′(x)=a(x+1)(x-a),若 f(x)在 x=a 处取到极
B.(2,+∞)

D.(-∞,-3)

11 . (2011 年黄山调研 ) 某产品的总成本 y( 万元 ) 与产量 x( 台 ) 之间的函数关系是 y = 3000 + 20x - 0.1x (0<x<240,x∈N ),若每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最 低产量是( A.100 台 ) B.120 台 C.150 台 D.180 台 0<x≤10,
2 *

12. (2010 年全国新课标卷)已知函数

|lgx|, ? ? f ( x ) =? 1 ?-2x+6, ? )

x>10.

若 a, b, c 互不相等, 且 f(a)

=f(b)=f(c),则 abc 的取值范围是( A.(1,10) C(10,12) B.(5,6) D.(20,24)

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上.) 1 13.若 a>2,则方程 x3-ax2+1=0 在(0,2)上恰好有________个根 3

14. 15.设函数 ________.

4-x dx 的值为__________.

2

f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意 x∈[-1,1],都有 f(x)≥0 成立,则实数 a 的值为

16.已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx,其导函数 y=f′(x)的图像经过点(1,0),(2,0),如图所示,则下列说法中 不正确的是________. 3 ①当 x= 时函数取得极小值; 2 ②f(x)有两个极值点; ③当 x=2 时函 值. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,17 题 10 分, 证明过程或演算步骤.) 1 2 17. .设 a>0,函数 f(x)= x -(a+1)x+aln x. 2 (1)若曲线 y=f(x)在(2,f(2))处切线的斜率为-1,求 a 的值; (2)当 0<a<1 时,求函数 f(x)的极值点. 18.(2011 年江南十校联考)已知函数 f(x)=ax +bx +cx 在 x=±1 处取得极值,且在 x=0 处的切线的斜 率为-3.(1)求 f(x)的解析式; (2)若过点 A(2,m)可作曲线 y=f(x)的三条切线,求实数 m 的取值范围. 1 3 lnx 2 19.(2011 年东北三校联考)已知函数 f(x)= x -ex +mx+1(m∈R),g(x)= . 3 x (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)对任意 x1,x2∈R ,若 g(x1)<f′(x2)恒成立,求实数 m 的取值范围.
+ 3 2

数取得极小值;④当 x=1 时函数取得极大

2

20.已知函数 f(x)=x +ax+bln x(x>0,实数 a,b 为常数). (1)若 a=1,b=-1,求函数 f(x)的极值; (2)若 a+b=-2,且 b<1,讨论函数 f(x)的单调性. 21.(2010 年临沂模拟)某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在 2010 年度进行一系列促销活动, 经过市场调查和测算,化妆品的年销量 x 万件与年促销费 t 万元之间满足 3-x 与 t+1 成反比例,如果不 搞促销活动,化妆品的年销量只能是 1 万件,已知 2010 年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为 3 万元,每生产 1 万件化妆品需要再投入 32 万元的生产费用,若将每件化妆品的售价定为“其生产成本的 150%”与“平均每件促销费的一半”之和,则当年生产的化妆品正好能销完.假设 2010 年生产的化妆品 正好销完, (1)将 2010 年的利润 y(万元)表示为促销费 t(万元)的函数; (2)该企业 2010 年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大? 22.(2010 年陕西高考改编)已知函数

2

f(x)= x,g(x)=alnx,a∈R.

(1)若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)相交,且在交点处有共同的切线,求 a 的值和该切线方程; (2)设函数 h(x)=

f(x)-g(x),当 h(x)存在最小值时,求其最小值 φ (a)的解析式;

周末测试题答案
1、解析:f′(x)=3x2+2ax+3,则 x1· x2=1.答案:C 4 2?x-2??x+1? 2、解析:令 f ′(x)=2x-2- = >0,利用数轴标根法可解得-1<x<0 或 x>2,又 x x x >0,所以 x>2.[ : ]答案:C 3、解析:y′= cosx?sinx+cosx?-sinx?cosx-sinx? 1 π 1 = ,把 x= 代入得导数值为 .答案:B 4 2 ?sinx+cosx?2 1+sin2x

4、解析:若 x=-1 为函数 f(x)ex 的一个极值点,则易得 a=c.因选项 A、B 的函数为 f(x)=a(x+1)2, 则[f(x)ex]′=f′(x)ex+f(x)(ex)′=a(x+1)(x+3)ex,∴x=-1 为函数 f(x)ex 的一个极值点满足条件;选项 b C 中,对称轴 x=- >0,且开口向下, 2a ∴a<0,b>0.∴f(-1)=2a-b<0.也满足条件;选项 D 中,对称轴 x=- ∴a>0,b>2a.∴f(-1)=2a-b<0.与图矛盾,故答案选 D. 5、解析:由题意得 f′(x)=3x2+2ax+b,f′(x)≤0 在 x∈(-1,0)上恒成立,即 3x2+2ax+b≤0 在 x ∈(-1,0)上恒成立, ?2a-b-3≥0, ∴? ∴a,b 所满足的可行域如图中的阴影部分所示.则点 O 到直线 2a-b-3=0 的距 ?b≤0. 离 d= 3 9 9 .∴a2+b2≥d2= .∴a2+b2 的取值范围为[ ,+∞). 5 5 5 b <-1,且开口向上, 2a

答案:C 8、解析:解答本题要结合二分法和函数的单调性判断.由已知得:f ′(x)=x(x-2a),由于 a>2, 11 故当 0<x<2 时 f ′(x)<0,即函数为区间(0,2)上的单调递减函数,又当 a>2 时 f(0)f(2)= -4a<0,故 3 据二分法及单调性可知函数在区间(0,2)上有且只有一个零点.答案:B 1 9、解析:f ′(x)=

x

·x-

a+lnx x
2



1-

a+lnx ,因为 f(x)在[1,+∞) x2

3

上为减函数,故

f ′(x)≤0 在[1,+∞)上恒成立,即 lna≥1-lnx 在[1,+∞)上恒成立.设 φ (x)= f(x)在 x=a 处取得极大值可知,当 x<a 时,f ′(x)>0,当 x>a 时,f ′(x)<0,即

1-lnx,φ (x)max=1,故 lna≥1,a≥e,选 D. 10、解析:由

a(x+1)(x-a)>0 的解集为 x<a 且 a(x+1)(x-a)<0 的解集为 x>a,通过对这两个不等式的解集讨论可知
-1<a<0.故选 A. 11、解析:设利润为

f(x)(万元),则 f(x)=25x-(3000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3000≥0,∴

x≥150.答案:C
|lgx|, ? ? f(x)=? 1 ?-2x+6, ? 0<x≤10

12、解析:∵

x>10

,因此可以画出其图象,如图.

设 f(a)=f(b)=f(c)=k.则由图象可知 y=k 与 y=f(x)的图象有三个互不相同的交点时,k∈(0,1), 1 1 即 f(a)=|lga|=-lga=lg =k,即 a= k. a 10

f(b)=lgb=k,即 b=10k.
∴ab= 1 k k×10 =1. 10 2

c f(c)=- +6=k,∴c=12-2k.
又∵k∈(0,1),∴c∈(10,12), ∴abc∈(10,12),故选择 C. 1 13、解析:设 f(x)= x3-ax2+1,则 f′(x)=x2-2ax=x(x-2a).当 x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)在(0,2) 3 8 11 上为减函数.又 f(0)· f(2)=1×( -4a+1)= -4a<0, 3 3 ∴f(x)=0 在(0,2)上恰好有 1 个根. 答案:1 14、解析:由定积分的意义可知,

4-x dx 表示由 y= 4-x ,x=-2,x=2 和 x 轴所围成的图形的面积,即圆 x +y =4 的面积的一半.答案:2π 15、解析:若 x=0,则不论 a 取何值, 当 x>0,即 x∈(0,1]时,

2

2

2

2

f(x)≥0 显然成立;
3 1

f(x)=ax3-3x+1≥0 可化为 a≥ 2- 3. x x
-2x

3 1 设 g(x)= 2- 3,则 g′(x)=

x

x

x4



所以 g(x)在区间?0,

?

1? 1 上单调递增,在区间? ,1?上单调递减, 2? ?2 ?

4

1 因此 g(x)max=g? ?=4,从而 a≥4. ?2? 3 1 当 x<0,即 x∈[-1,0)时,同理 a≤ 2- 3.

x

x

g(x)在区间[-1,0)上单调递增,
∴g(x)min=g(-1)=4,从而 a≤4, 综上可知 a=4.答案:4 16、解析:从图像上可以看到:当 x∈(0,1)时,f′(x)>0;当 x∈(1,2)时,f′(x)<0;当 x∈(2,+∞) 时, f′(x)>0, 所以 f(x)有两个极值点 1 和 2, 且当 x=2 时函数取得极小值, 当 x=1 时函数取得极大值. 只 有①不正确. 答案:① 17、解:(1)由已知得 x>0,

a f′(x)=x-(a+1)+ . x
因为曲线 y=f(x)在(2,f(2))处切线的斜率为-1, 所以 f′(2)=-1. 即 2-(a+1)+ =-1,所以 a=4. 2 (2)f′(x)=x-(a+1)+ =

a

a x x-a x


x2- a+ x

x+a



x-

因 0<a<1, 当 x∈(0,a)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x∈(a,1)时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0, 函数 f(x)单调递增. 此时 x=a 是 f(x)的极大值点,x=1 是 f(x)的极小值点.

18、解:(1)f′(x)=3ax +2bx+c ?f 依题意? ?f =3a+2b+c=0 - =3a-2b+c=0 ?b=0 ?? ?3a+c=0

2

又 f′(0)=-3 ∴c=-3 ∴a=1
3

∴f(x)=x -3x

3

(2)设切点为(x0,x0 -3x0), ∵f′(x)=3x -3,∴f′(x0)=3x0 -3 ∴切线方程为 y-(x0 -3x0)=(3x0 -3)(x-x0) 又切线过点 A(2,m) ∴m-(x0 -3x0)=(3x0 -3)(2-x0) ∴m=-2x0 +6x0 -6 令 g(x)=-2x +6x -6 则 g′(x)=-6x +12x=-6x(x-2)
2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2

5

由 g′(x)=0 得 x=0 或 x=2 ∴g(x)在(-∞,0)单调递减,(0,2)单调递增,(2,+∞)单调递减. ∴g(x)极小值=g(0)=-6,g(x)极大值=g(2)=2 画出草图知,当-6<m<2 时,m=-2x +6x -6 有三解, 所以 m 的取值范围是(-6,2).
3 2

19、解:(1)f′(x)=x -2ex+m,令 Δ =4(e -m) (ⅰ)当 m≥e 时,f′(x)≥0 ∴f(x)在 R 上递增 (ⅱ)当 m<e 时,Δ >0 令 f′(x)>0? x<e- e -m或 x>e+ e -m
2 2 2 2

2

2

∴f(x)在(-∞,e- e -m)和(e+ e -m,+∞)递增 令 f′(x)<0? e- e -m<x<e+ e -m
2 2

2

2

∴f(x)在(e- e -m,e+ e -m)递减 1-lnx (2)∵g′(x)= 2

2

2

x

令 g′(x)=

1-lnx =0 时,x=e 2

x

∴g(x)在(0,e)递增,(e,+∞)递减 1 ∴g(x)max=g(e)=

e
2 2

又∵f′(x)=(x-e) +m-e ∴当 x>0 时,f(x)min=m-e
+ 2

∴? x1,x2∈R ,g(x1)<f′(x2)?g(x)max<f′(x)min 1 2 ∴ <m-e

e

1 2 即:m>e + .

e

20、解:(1)函数 f(x)=x +x-ln x, 1 则 f′(x)=2x+1- ,

2

x

1 令 f′(x)=0,得 x1=-1(舍去),x2= . 2 1 当 0<x< 时,f′(x)<0,函数单调递减; 2 1 当 x> 时,f′(x)>0,函数单调递增; 2 1 3 ∴f(x)在 x= 处取得极小值 +ln 2. 2 4 (2)由于 a+b=-2,则 a=-2-b, 从而 f(x)=x -(2+b)x+bln x,则
2

6

b f′(x)=2x-(2+b)+ = x b

x-b x

x-



令 f′(x)=0,得 x1= ,x2=1. 2 ①当 ≤0,即 b≤0 时,函数 f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞); 2 ②当 0< <1,即 0<b<2 时,列表如下: 2

b

b

x f′(x) f(x)

?0,b? ? 2?


?b,1? ?2 ?


(1,+∞) +

所以,函数 f(x)的单调递增区间为?0,

?

b?
2?

,(1,+∞),单调递减区间为? ,1?. ?2 ?

b

21、解析:(1)由题意,得 3-x=

k , t+1
2

将 t=0,x=1 代入,得 k=2,∴x=3-

t+1

. 2 )+3,当销售 x 万件

当年生产 x 万件时,年生产成本=年生产费用+固定费用=32x+3=32(3- 时,年销售收入=150%·[32(3- 2 1 )+3]+ t. 2

t+1

t+1

由题意,生产 x 万件化妆品正好销完, 所以年利润=年销售收入-年生产成本-年促销费, 即 y= -t +98t+35 (t≥0). t+
2

(2)∵y=50-( 当且仅当

t+1
2 32



32

t+1

)≤50-2 16=42(万元),

t+1
2



t+1



即 t=7 时,ymax=42, ∴当促销费定在 7 万元时,企业的年利润最大. 1 a 22、解:(1)f ′(x)= ,g′(x)= (x>0), x 2 x

x=alnx, ? ? 由已知得? 1 a = , ? ?2 x x
2

e 2 解得 a= ,x=e , 2 1 1 2 .∴切线的方程为 y-e= (x-e ). 2e 2e

∴两条曲线交点的坐标为(e ,e),切线的斜率为 k=f ′(e )= (2)由条件知 h(x)= x-2lnx(x>0), ∴h′(x)=

2

a 2 x x
1
2

- =

x-2a . 2x
2

①当 a>0 时,令 h′(x)=0,解得 x=4a , ∴当 0<x<4a 时,h′(x)<0,h(x)在(0,4a )上递减; 7
2

当 x>4a 时,h′(x)>0,h(x)在(4a ,+∞)上递增. ∴x=4a 是 h(x)在(0,+∞)上的惟一极值点,且是极小值点,从而也是 h(x)的最小值点. ∴最小值 φ (a)=h(4a )=2a-aln4a =2a(1-ln2a). ②当 a≤0 时,h′(x)=
2 2 2

2

2

x-2a >0,h(x)在(0,+∞)上递增,无最小值.故 h(x)的最小值 φ (a)的解 2x

析式为 φ (a)=2a(1-ln2a)(a>0). (3)由(2)知 φ ′(a)=-2ln2a,对任意的 a>0,b>0, φ

a +φ
2

b

=-

2ln2a+2ln2b a+b a+b =- ln4ab ,① φ ′( ) =-2ln(2· ) =- ln(a + 2 2 2

b)2≤-ln4ab,②φ ′(

2ab 2ab 4ab )=-2ln(2· )≥-2ln =-ln4ab,③ a+b a +b 2 ab

故由①②③得 φ ′(

a+b
2

)≤

φ

a +φ
2

b

≤φ ′(

2ab ). a+b

8


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