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山西省晋中市晋商四校2013届高三第一学期11月联考数学(文)试题


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山西省晋中市晋商四校 2013 届高三第一学期 11 月联考数学 (文)试题
(本试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟)

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.

若复数

a+3i 1+2i

(a∈R,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为( B. 4 C. -6 D. 6 )



A.-2

2. 已知集合 A ? ?x y ? lg( 4 ? x 2 )? , B ? ?y y ? 1?,则 A ? B ? ( A. { x | ?2 ? x ? 1} B. { x | 1 ? x ? 2}

C. { x | x ? 2} D. {x | ?2 ? x ? 1 或 x ? 2} )

3. 公差不为零的等差数列 ? a n ? 中, a 2 , a3 , a6 成等比数列,则其公比为( .. A.1 B.2 4. 下列判断错误的是(
2 2
3

C.3 )
2

D.4

A.“ am ? bm ”是“a<b”的充分不必要条件 B.命题“ ?x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ”
3 2

C.若 p?q 为假命题,则 p,q 均为假命题 D.”x=2”是“x2=4”的充分不必要条件 5. 已知非零向量 a 、 b ,若 a ? 2b 与 a ? 2b 互相垂直,则 A.
|a| |b|

等于(



1 4

B.4

C.

1 2

D.2

? x ? y ?1 ? 0 6. 已知 x, y 满足线性约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,若 a ? ( x , ? 2) , b ? (1, y ) ,则 z ? a ? b 的 ? ?x ? 4 y ?1 ? 0 ? 最大值是( )

A. ?1

B. 5
0

C.

?

5 2

D.

7

7. 已知△ ABC 的一个内角是 120 ,三边长构成公差为 4 的等差数列,则三角形的面积 是( ) B.

A. 10 3

30 3
?

C.

20 3 ?

D. 15 3 )

x y 8. 已知向量 a ? ( x ? 1, 2), b ? (4, y ), 且 a ? b, 则 9 ? 3 的最小值为(

?

?

A. 2 3

B.6

C.12

D. 3 2

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?
2 ) 在区间 [

9. 函数 y ? sin(? x ? ? ) (? ? 0 且 ? ?

? 2?
6 , 3

] 上单调递减,且函数值从 1 减小

到 ?1 ,那么此函数图像与 y 轴交点的纵坐标为(



A.

1 2

B.

2 2
1? x 2

C.

3 2

D.

6? 2 4


10. 函数 f ( x ) ? e

的部分图象大致是(

11. 已知函数 f ( x ) ? e ? 1, g ( x ) ? ? x ? 4 x ? 3 ,若有 f ( a ) ? g (b) ,则 b 的取值范围为
x 2





A. 2 ? 2, 2 ? 2
3

?

?
2

B. ? 2 ? 2, 2 ? 2 ?

?

?

C. ?1, 3 ?

D. ?1, 3?

12. 已知函数 f ( x ) ? x ? 2 x ? 4 x ? 7 ,其导函数为 f ?(x ) . ① f ( x ) 的单调减区间是 ?

?2 ? ,2 ? ; ?3 ?

② f ( x ) 的极小值是 ? 15 ; ③当 a ? 2 时,对任意的 x ? 2 且 x ? a ,恒有 f ( x ) ? f ( a ) ? f ?( a )( x ? a ) ④函数 f ( x ) 满足 f ( 其中假命题的个数为 A.0 个 B.1 个 C.2 个 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13. 函数 f ( x ) ? A sin(? x ? ? ) ( A , ? , ? 是常数, D.3 个

2

2 ? x) ? f ( ? x) ? 0 3 3
( )

y
.
?
3
7? 12

A ? 0 ,? ? 0 )的部分图象如图所示,则 f (0) 的值是
14. 已知 f (3 ) ? 4 x log 2 3 ? 233 ,则
x

O
? 2

x

f ( 2) ? f ( 4) ? f (8) ? … ? f ( 2 8 ) 的值等于________.
15. ?ABC 中, ?A ? 60?, ?A 的平分线 AD 交边 BC 于 D,

???? 1 ???? ??? ? 已知 AB=3,且 AD ? AC ? ? AB (? ? R ) ,则 AD 的长为________。 3
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3 2

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16.已知函数 f ( x ) ? mx ? nx 的图象在点(-1,2)处的切线恰好与直线 3 x ? y ? 0 平行, 若 f ( x )在区间[t , t ? 1] 上单调递减,则实数 t 的取值范围是________. 三、解答题:解答应写文字说明,证明过程或演算步骤. 17.( 本 小 题 满 分 10 分 ) 记 函 数 f ( x ) ? lg( 2 x ? 3) 的 定 义 域 为 集 合 M , 函 数

g ( x) ? 1 ?

2 x ?1

g(x)=的定义域为集合 N ,求:

(1)集合 M , N ; (2)集合 M I N , M U N 18.(本题满分 12 分)已知等差数列 ? a n ? 满足 a1 ? 8, a5 ? 0 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为

S n ? 2 n ?1 ? 1 ? n ? N ? ? .求(1)数列 ? a n ? 和 ?bn ? 的通项公式; 2
(2)求数列 {8a n ? 30} 前几项和最大?并求其前 n 项和 T n 的最大值
2 19.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? 3 sin x cos x ? cos x ?

1 2

, x ? R.

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最大值和最小正周期;

i (Ⅱ) ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别 a, b, c, 且 c ? 3 , f (C ) ? 0 , n 设 若s
求 a, b 的值.

n s ? A ?C ?2i?

A ,

20. ( 本 题 满 分 12 分 ) 当 a ? 0 且 a ? 1 时 , 解 关 于 x 的 不 等 式 :

1 ? log 1 ( 4 ? a x ) ? log 1 ( a x ? 1)
2 4

21. ( 本 小 题 满 分 12

分 ) 定 义 域 为 [ ?1, 0) ? (0,1] 上 的 奇 函 数
ax a2x ? 1 ( a ? 0且 a ? 1).

f ( x )满足f ( x ) ? f ( x ? 2), 且当x ? (0,1) 时 f ( x ) ?

求函数 f(x)的解析式; 22.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? ax 2 ? 2 x ? ln x . (Ⅰ)若 f ( x ) 无极值点,但其导函数 f ?( x ) 有零点,求 a 的值;
3 (Ⅱ)若 f ( x ) 有两个极值点,求 a 的取值范围,并证明 f ( x ) 的极小值小于 ? . 2

山西省晋中市 2012-2013 学年度第一学期高三晋商四校联考数学试题(文科) 答案与评分标准
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) CBCC DBDB ACAC
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二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13.

6 2

14. 2008

15. 2 3

16. [—2,—1]

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(本小题满分 10 分) 2 3 17.解:(1) M ? { x | 2 x ? 3 ? 0} ? { x | x ? } , N ? { x | 1 ? ? 0} ? { x | x ? 3 或 x ? 1} x ?1 2 (2) M ? N ? { x | x ? 3} , M ? N ? { x | x ? 1 或 x ?

3 2

}

18.解: (1)设数列 ? a n ? 的公差为 d ,由 a5 ? a1 ? 4 d ,得 d ? ?2 ,∴ an ? ?2 n ? 10 . 由数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ? 2 n ?1 ? 1 n ? N ? 可知

2

?

?

n?2 当 n ? 1 时, b1 ? S1 ? 1 ,当 n≥ 2 时, bn ? S n ? S n ?1 ? 2 ,该式对 n ? 1 也成立.

2

n?2 所以数列 ? a n ? 的通项公式为 an ? ?2 n ? 10, ?bn ? 的通项公式为 bn ? 2 .

(2)由(1) ? a n ? 等差数列且 a n ? 10 ? 2 n 令 8a n ? 30 ? 0 ,则 n ?

则 {8a n ? 30} 也为等差数列

55 8



即 n ? 6 时, 8a n ? 30 ? 0 , n ? 7 时, 8a n ? 30 ? 0 则 {8a n ? 30} 前 6 项和最大,值为 S 6 ? 324

1 9 . 解 : Ⅰ ) f ( x) ? ( 则

3 2

sin 2 x ?

1 ? cos 2 x 2

?

1 2

? sin(2 x ?

?
6

) ?1 … … … … … … 2 分

f ( x) 的 最 大 值 为

0 , 最 小 正 周 期 是 T ?

2? 2

??

… 4



(Ⅱ) f (C ) ? sin(2C ?

?
6

) ? 1 ? 0 则 sin(2C ?

?
6 6 ?

) ?1

? 0 ? C ? ? ? 0 ? 2C ? 2? ? ?

?
6

? 2C ?

?
6

? a b

11

?

? 2C ?

?
6

?

?

? C ? …6 分 2 3

?

? sin( A ? C ) ? 2 sin A 由 正 弦 定 理 得
由余弦定理得 c ? a ? b ? 2 ab cos
2 2 2

1 2

① … … … … … … … … … … … 9 分

?
3

即 a ? b ? ab ? 9
2 2



由①②解得 a ?
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3,

b?2 3

……………12 分

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x 2 4

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x

20.解:由 1 ? log 1 ( 4 ? a ) ? log 1 ( a ? 1)
? ?4 ? a x ? 0 ? ? x ?a ? 1 ? 0 ? 1 ?log 1 ( 4 ? a x ) 2 ? log 1 ( a x ? 1) ? 44 4 ?
A1

D1

E B1

C1




D A F B C

?1 ? a x ? 4 ? ?1 x 2 x ? ( 4 ? a ) ? ( a ? 1) ?4

即2 ? a ? 4
x

当 0 ? a ? 1 时,解集为 { x | log a 4 ? x ? log a 2}; 当 a ? 1 时,解集为 { x | log a 2 ? x ? log 2 4}. 21.解:当 x ? (?1 , 0) 时, ? x ? (0 , 1) ,由 f ( x ) ?
ax a2x ? 1 ( a ? 0且 a ? 1).



f (? x) ?

a ?x a ?2 x ? 1 ax

?

ax a 2x ? 1

,又 f ( x ) 为 [ ?1, 0) ? (0,1] 上的奇函数

则 f ( x) ? ?

a 2x ? 1

∵ f ( ?1) ? ? f (1) , f ( x ) ? f ( x ? 2) ∴ f (1) ? f (1 ? 2) ? f ( ?1) ? ? f (1) ∴

f ( ?1) ? f (1) ? 0


0 ? x ?1 x ? ?1 ?1 ? x ? 0

函数的解析式为

? ax ? 2x ?a ?1 ? f ( x ) ? ?0 ? x ?? a 2x ? a ?1 ?

22.解 (Ⅰ)首先, x ? 0 ---------------2 分 ? x x f / (x ) 有零点而 f ( x ) 无极值点,表明该零点左右 f / (x ) 同号,故 a ? 0 ,且 1 -----------4 分 2ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0 的 ? ? 0. 由此可得 a ? . 2 2 (Ⅱ)由题意, 2ax ? 2 x ? 1 ? 0 有两不同的正根,故 ? ? 0, a ? 0 . 1 解得: 0 ? a ? -------------5-分 2 2 设 2ax ? 2 x ? 1 ? 0 的两根为 x1 , x 2 ,不妨设 x1 ? x 2 ,因为在区间 (0, x1 ), ( x 2 ,?? ) 上,


f ( x ) ? 2 ax ? 2 ?

1

2 ax 2 ? 2 x ? 1

f / ( x ) ? 0 ,而在区间 ( x1 , x 2 ) 上, f / ( x ) ? 0 ,故 x 2 是 f ( x ) 的极小值点.------8 分
因 f ( x ) 在 区 间 ( x1 , x 2 ) 上 f ( x ) 是 减 函 数 , 如 能 证 明 f (
x1 ? x2 2 3 )?? , 则更有 2

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3 f ( x2 ) ? ? . 2

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--------------10 分

由韦达定理, 令

x1 ? x 2 2

?

1 2a

, f(
3 2

1 2a
3 2

) ? a(

1 2a

) 2 ? 2(

1 2a

) ? ln

1 2a

? ln

1 2a

?

3

2 2a

?

1

1 2a

? t , 其中 t ? 1. 设 g (t ) ? ln t ? t ?

,利用导数容易证明 g (t ) 当 t ? 1 时单调递减,而 -------12 分

g (1) ? 0 ,因此 g (t ) ? 0 ,即 f ( x ) 的极小值 f ( x 2 ) ? 0.

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