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1981年第二十二届IMO试题(不含答案)


第二十二届(1981 年) 美国 华盛顿特区(Washington DC,United States of America)
1. P 是三角形 ABC 内一点。D、E、F 是 P 点分别向 BC、CA、AB 作的垂线的垂

BC CA AB 的值最小。 (英国) ? ? PD PE PF 2. 设 1≤r≤n, 考虑集合{1,2,…,n}的有 r

个元素的子集。 每个子集都有一个值最小
足。找到所有的点 P,使 的元素。令 F(n,r)代表这些最小的数的算术平均值;证明 F (n, r ) ? 德国) 3. 判断 m3+n3 的最大值, 其中 m、 n 是满足 m,n∈{1,2, …, 1981}及(n2-mn-m2)2=1 的整数。 (荷兰) 4. a) 当 n 取哪些值时(n>2) ,有一个由 n 个连续整数组成的集合,其最大的元 素是剩下的 n-1 个数的最小公倍数的因数? b) 当 n 取哪些值时(n>2) ,正好存在一个集合满足条件?(比利时) 5. 三个全等的圆有一个公共点 O,并处于一个三角形内。每个圆都与这个三角 形的两条边相切。求证:这个三角形的内心、外心和点 O 共线。 (苏联) 6. 函数 f(x, y)对于所有非负整数 x,y 都满足 (1) f(0, y) = y+1; (2) f(x+1, 0) = f(x, 1); (3) f(x+1, y+1)=f(x, f(x+1, y))。判断 f(4,1981)的值。 (芬兰)

n ?1 。 (联邦 r ?1


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