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函数与方程(零点问题)


函数与方程 基础知识
1.函数零点的定义 对于函数 y=f(x)(x∈D),把使 f(x)=0 成立的实数 x 叫做函数 y=f(x)(x ∈D)的零点.

2.二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 Δ=0 二次函数 y=ax + bx+c(a>0)的图 象 与 x 轴的交点 零点个数 (x1,0),(x2,0) 两个 (x1,0) 一个
2

Δ<0

无交点 零个

3.二分法 对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断 地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 4.规律总结 a.辨明三个易误点 (1)函数 f(x)的零点是一个实数,是方程 f(x)=0 的根,也是函数 y=f(x) 的图象与 x 轴交点的横坐标. (2)连续函数在一个区间端点处的函数值异号是这个函数在这个区间上存在 零点的充分条件,但不是必要条件. (3)精确度不是近似值. b.会用判断函数零点个数的三种方法 (1)直接求零点:令 f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点; (2)零点存在性定理:利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上是连续不断的 曲线,且 f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才 能确定函数有多少个零点; (3)利用图象交点的个数:画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交 点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点. c.明确三个等价关系(三者相互转化)

经典例题(理解定义) 1. 若函数 f(x)=ax+b 有一个零点是 2, 那么函数 g(x)=bx2-ax 的零点是( ) 1 A.0,2 B.0, 2 1 1 C.0,- D.2,- 2 2 2.函数 y=f(x)在区间(2,4)上连续,验证 f(2)·f(4)<0,取区间(2,4)的中 2+4 点 x1= =3,计算得 f(2)·f(x1)<0,则此时零点 x0 所在的区间为________. 2 3.函数 f(x)=2x+3x 的零点所在的一个区间是( ) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)

考点一 函数零点所在区间的确定
6 例 1.(2014·高考北京卷)已知函数 f(x)= -log2x,在下列区间中,包含 f(x)

x

零点的区间是( A.(0,1) C.(2,4)

) B.(1,2) D.(4,+∞)

例 2.(1)(2015·广东揭阳联考)下列说法,正确的是( ) 1 A.对于函数 f(x)= ,因为 f(-1)·f(1)<0,所以函数 f(x)在区间(-1,

x

1)内必有零点 B.对于函数 f(x)=x2-x,因为 f(-1)·f(2)>0,所以函数 f(x)在区间(- 1,2)内没有零点 3 2 C.对于函数 f(x)=x -3x +3x-1,因为 f(0)·f(2)<0,所以函数 f(x)在 区间(0,2)内必有零点 D.对于函数 f(x)=x3-3x2+2x,因为 f(-1)·f(3)<0,所以函数 f(x)在 区间(-1,3)内有唯一零点

(2)(2013·高考重庆卷)若 a<b<c,则函数 f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x -c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间( ) A.(a,b)和(b,c)内 B.(-∞,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内



考点二

函数零点个数的问题(高频考点)

[规律方法] 判断函数 y=f(x)零点个数的三种常用方法: (1)直接法.令 f(x)=0,则方程实根的个数就是函数零点的个数. (2)零 点 存 在 性 定 理 法 . 判 断 函数 在 区间 [a , b] 上 是连 续 不断 的曲线 , 且 f(a)·f(b)<0,再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数. (3)数形结合法. 转化为两个函数的图象的交点个数问题. (画出两个函数的图象, 其交点的个数就是函数零点的个数) [注意] 若已知 f(x)有几个零点,则用数形结合法,转化为两个熟悉的函数图 象有几个交点问题,数形结合求解 例 1.(2014·高考湖北卷)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x) =x2-3x,则函数 g(x)=f(x)-x+3 的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{-3,-1,1,3} C.{2- 7,1,3} D.{-2- 7,1,3}

?a ,x≥0, 例 2.已知 0<a<1,k≠0,函数 f(x)=? 若函数 g(x)=f(x)-k ?kx+1,x<0, 有两个零点,则实数 k 的取值范围是________.

x


x ?2 -1,x≤1, 例 3.(1)已知函数 f(x)=? 则函数 f(x)的零点为( ) ?1+log2x,x>1, 1 A. ,0 B.-2,0 2 1 C. D.0 2 (2)若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x),且当 x∈[0,1]时, f(x)=x,则方程 f(x)=log3|x|的解的个数是( ) A.0 B.2 C.4 D.6

考点三

与二次函数有关的零点分布

例 1. 已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内, 求 m 的取值范围; (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的取值范围.

例 2.是否存在这样的实数 a,使函数 f(x)=x2+(3a-2)x+a-1 在区间[-1, 3]上恒有一个零点,且只有一个零点?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在, 说明理由.

练习题:
? 1? ?1? 1.设 f(x)=x3+bx+c 是[-1,1]上的增函数,且 f?- ?·f? ?<0,则方程 f(x) ? 2? ?2? =0 在[-1,1]内( ) A.可能有 3 个实数根 B.可能有 2 个实数根 C.有唯一的实数根 D.没有实数根

2.函数 f(x)=-|x-5|+2x-1 的零点所在的区间是( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

)

3.函数 f(x)=(x2-2 014x-2 015)ln(x-2 015)的零点有( A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

)

4. (2015· 广东六校联考(一))在用二分法求方程 x3-2x-1=0 的一个近似解时, 已经将一根锁定在区间(1,2)内,则下一步可以断定该根所在区间为( ) 7? ?7 ? ? A.? ,2? B.?1, ? 5? ?5 ? ? 3? ? ?3 ? C.?1, ? D.? ,2? 2? ? ?2 ?

5.若函数 f(x)=x2+2a|x|+4a2-3 的零点有且只有一个,则实数 a=( 3 3 3 A. 或- B.- 2 2 2 C. 3 2 D.以上都不对

)

6.函数 f(x)=

(x-2)ln x 的零点个数是________. x-3

7.若函数 f(x)=3ax+1-2a 在区间(-1,1)内存在一个零点,则 a 的取值范围 是________. ?1?|x| 8.函数 y=? ? -m 有两个零点,则 m 的取值范围是________. ?2? 1? x 1 ? 3 2 9.已知函数 f(x)=x -x + + .证明:存在 x0∈?0, ?,使 f(x0)=x0. 2? 2 4 ? 2 10.已知 a 是正实数,函数 f(x)=2ax +2x-3-a.如果函数 y=f(x)在区间[- 1,1]上有零点,求 a 的取值范围.

高考水平训练

1.(2015·湖北武汉模拟)若函数 f(x)在(1,2)内有一个零点,要使零点的近似 值满足精确度为 0.01,则对区间(1,2)至少二等分( ) A.5 次 B.6 次 C.7 次 D.8 次 2.(2015·皖西七校联考)已知函数 f(x)=e|x|+|x|,若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(1,+∞) C.(-1,0) D.(-∞,-1) 3.(2015·南宁模拟)已知函数 f(x)=ln x+3x-8 的零点 x0∈[a,b],且 b-a =1,a,b∈N*,则 a+b=________.

?log2x,x>0, 4. (2015· 北京西城期末)设函数 f(x)=? x 则 f[f(-1)]=________; ?4 ,x≤0, 若函数 g(x)=f(x)-k 存在两个零点,则实数 k 的取值范围是________. 1? ? 5.设函数 f(x)=?1- ?(x>0). x? ? (1)作出函数 f(x)的图象; 1 1 (2)当 0<a<b,且 f(a)=f(b)时,求 + 的值;

a b

(3)若方程 f(x)=m 有两个不相等的正根,求 m 的取值范围.

6.(选做题)(1)已知 f(x)=x2+2mx+3m+4.m 为何值时,有两个零点且均比-1 大; (2)若函数 f(x)=|4x-x2|+a 有 4 个零点,求实数 a 的取值范围.


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