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高一数学下册期末考试试题精选


高一数学期末测试
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,用时 120 分钟。

第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,选择一 个符合题目要求的选项.) 1.下列命题中正确的是 ( ) A.第一象限角必是锐角 B.终边相同的角相等 C.相等的角终边必相同 D.不相等的角其终边必不相同

3m 2.已知角 α 的终边过点 P (? 4m, ) , (m ≠ 0 ) ,则 2 sin α + cos α 的值是
A.1 或-1 3.下列命题正确的是 A.若 a · b = a · c ,则 b = c
→ → → → →






B.

2 2 或? 5 5
→ →

C.1 或 ?

2 5

D.-1 或

2 5
( )







B.若 | a + b | =| a ? b | ,则 a · b =0 D.若 a 与 b 是单位向量,则 a · b =1
o
→ → → →





C.若 a // b , b // c ,则 a // c
o



4.计算下列几个式子,① tan 25 + tan 35 +
1 + tan 15o 1 ? tan 15
o

3 tan 25 o tan 35 o ,
tan

π
6

②2(sin35°cos25°+sin55°cos65°), ③

, ④

1 ? tan 2

π
6

,结果为 3 的是(



A.①②

B.③

C.①②③

D.②③④

5.函数 y=cos( A.[kπ+

π
4

-2x)的单调递增区间是 B.[kπ-





5 π] 8 8 π 5 C.[2kπ+ ,2kπ+ π] 8 8
,kπ+

π

3 π π,kπ+ ] 8 8 3 π D.[2kπ- π,2kπ+ ](以上 k∈Z) 8 8
2 2

6.△ABC 中三个内角为 A、B、C,若关于 x 的方程 x ? x cos A cos B ? cos 1,则△ABC 一定是 A.直角三角形 B.等腰三角形

C = 0 有一根为 2

C.锐角三角形

( ) D.钝角三角形

7.将函数 f ( x ) = sin( 2 x ? 得到的图象的解析式为 A. y = sin x C. y = sin( 4 x ? 8. 化简
2π ) 3

π
3

) 的图像左移 π ,再将图像上各点横坐标压缩到原来的 1 ,则所
3 2





π B. y = sin(4 x + ) 3
D. y = sin( x +

π
3

)
( ) )

1+ sin 10 + 1? sin 10 ,得到
C.2sin5 D.2cos5

A.-2sin5 B.-2cos5 9.函数 f(x)=sin2x·cos2x 是 A.周期为π的偶函数 C.周期为 10.若| a |= A.

( B.周期为π的奇函数 D.周期为

π
2

的偶函数

π
2

的奇函数. (
5 π 12

2

, | b |= 2 且( a ? b )⊥ a ,则 a 与 b 的夹角是 B.



π
6

π
4
?→


C.
?→

π
3


D.
?→


11.正方形 ABCD 的边长为 1,记 AB = a ,BC = b , AC = c ,则下列结论错误的是 ( ..
→ → → → → → →



A.( a - b )· c =0
→ → → → →

B.( a + b - c )· a =0 D.| a + b + c |= 2
→ → →

C.(| a - c | -| b |) a = 0

12.2002 年 8 月,在北京召开的国际数学家大会会标如图所示, 它是由 4 个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正 方形,若直角三角形中较小的锐角为 θ ,大正方形的面积是 1, 小正方形的面积是 A.1

1 , 则 sin 2 θ ? cos 2 θ 的值等于( 25 24 7 B. ? C. 25 25

) D. -

7 25
π
8

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。请把正确答案填在题中的横线上) 13.已知曲线 y=Asin(ωx+?)+k (A>0,ω>0,|?|<π)在同一周期内的最高点的坐标为( 最低点的坐标为(
5π , -2),此曲线的函数表达式是 8

, 4),

. .

1 1 14.设 sinα-sinβ= ,cosα+cosβ= , 则 cos(α+β)= 2 3

15. 已知向量 OP = (2,1), OA = (1,7), OB = (5,1), 设X是直线OP 上的一点 (O 为坐标原点) ,

那么

XA ? XB

的最小值是___________.

16.关于下列命题:①函数 y = tan x 在第一象限是增函数;②函数 y = cos 2( ③函数 y = 4 sin(2 x ? 间 [?

π
4

? x) 是偶函数;

π
3

) 的一个对称中心是( π ,0) ;④函数 y = sin( x +
6

π
4

) 在闭区

π π

, ] 上是增函数; 写出所有正确的命题的题号: 2 2



三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知 π < α < 3π , 0 < β < π , cos( π + α ) = ? 3 , sin( 3π + β ) = 5 ,求 sin (α + β ) 的值.
4 4

4

4

5

4

13

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = sin x + 3 cos x 。 (I)求 f (x ) 的周期和振幅; (II)用五点作图法作出 f (x ) 在一个周期内的图象; (III)写出函数 f (x ) 的递减区间.

19. (本小题满分 12 分) 已知关于 x 的方程 2 x 2 ? ( 3 + 1) x + m = 0 的两根为 sin θ 和 cos θ ,θ ∈(0,π). 求:

(I)m 的值; (II)

(III)方程的两根及此时 θ 的值.

tan θ sin θ cos θ + 的值; tan θ ? 1 1 ? tan θ

20. (本小题满分 12 分) 已知点 A、B、C 的坐标分别为 A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),α∈( (I)若| AC |=| BC |,求角 α 的值; (II)若 AC · BC =-1,求

π 3π
2
,

2

).

2 sin 2 α + sin 2α 的值. 1 + tan α

21. (本小题满分 12 分) 某港口海水的深度 y (米)是时间 t (时) 0 ≤ t ≤ 24 )的函数,记为: y = f (t ) ( 已知某日海水深度的数据如下:

t (时)

0

3 13.0

6 9.9

9 7.0

12 10.0

15 13.0

18 10.1

21 7.0

24 10.0

y (米) 10.0

经长期观察, y = f (t ) 的曲线可近似地看成函数 y = A sin ωt + b 的图象 (I)试根据以上数据,求出函数 y = f ( t ) = A sin ω t + b 的振幅、最小正周期和表达式; (II)一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为 5 米或 5 米以上时认为是安全的(船 舶停靠时,船底只需不碰海底即可) 。某船吃水深度(船底离水面的距离)为 6.5 米,

如果该船希望在同一天内安全进出港,请问,它至多能在港内停留多长时间(忽略 进出港所需时间)?

22. (本小题满分 14 分)

r r 已知向量 a = (2 cos( ?θ ),2 sin( ?θ ) ), b = cos(90 o ? θ ), sin(90 o ? θ )
(I)求证: a ⊥ b ;

(

)
r r
r r

r

r

(II)若存在不等于 0 的实数 k 和 t ,使 x = a + (t 2 ? 3)b , y = ? ka + tb 满足 x ⊥ y 。试求

r

r

r r

此时

k + t2 的最小值。 t

参考答案
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 ) 1.C 2.B 3.B 4.C 5.B 6.B 7.B 8.A 9.D 10.B 11.D 12.D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13. y = 3 sin( 2 x +

π
4

) +1

14. ?

59 72

15.-8

16.③

三、解答题: 17. (本小题满分 12 分)

π 3π π π <α< ∴ < + α < π ---------------1 分 4 4 2 4 π 3 π 4 又 cos( + α ) = ? ∴ sin( + α ) = ---------------3 分 4 5 4 5 π 3π 3π ∵0 < β < ∴ < + β < π -------------4 分 4 4 4 3π 5 3π 12 又 sin( + β) = ∴ cos( + β) = ? ----------6 分 4 13 4 13
解:∵ ∴sin(α + β) = ?sin[π + (α + β)] = ? sin[( ----------------8 分

π 3π + α ) + ( + β)] 4 4 π 3π π 3π = ?[sin( + α ) cos( + β) + cos( + α ) sin( + β)] ------10 分 4 4 4 4 4 12 3 5 63 = ?[ × (? ) ? × ] = -----------12 分 5 13 5 13 65

18. (本小题满分 12 分)

π π 1 3 解: (I) y = 2( sin x + cos x) = 2(sin x cos + cos x sin ) 3 3 2 2 π = 2 sin( x + ) -----------2 分 3
函数 f (x ) 的周期为 T= 2π ,振幅为 2。 (II)列表:
x

----------------4 分

?

π
3

π
6

2π 3

7π 6

5π 3

x+

π
3

0

π
2

π

3π 2



y = 2 sin( x +

π
3

)

0

2

0

-2

0

-----------------7 分

图象如上。

----------------9 分

3π (III)由 2kπ + ≤ x + ≤ 2kπ + (k ∈ Z ) 解得: ---------10 分 2 3 2 π 7π 2kπ + ≤ x ≤ 2kπ + (k ∈ Z ) 6 6 π 7π 所以函数的递减区间为 [ 2kπ + ,2kπ + ], (k ∈ Z ) -------12 分 6 6
19. (本小题满分 12 分) (I)由韦达定理得: sin θ + cosθ =

π

π

3 +1 2

----------1 分

∴ 1 + 2 sin θ cosθ =

2 3+4 4

∴ 2 sin θ cosθ =

3 2 3 2

---------2 分

由韦达定理得 sin θ ? cos θ =

m 3 = 2 4

∴m =

--------3 分

(II)∵ 1 ? 2 sin θ cosθ = (

1? 3 2 ) 2

∴ sin θ ? cosθ = ±

3 ?1 2

---4 分

tan θ sin θ cos θ sin 2 θ cos 2 θ ∵ + = + tan θ ? 1 1 ? tan θ sin θ ? cosθ cosθ ? sin θ
=

sin 2 θ ? cos 2 θ = sin θ + cosθ sin θ ? cosθ 3 +1 2 3 >0 2

---------6 分

∴原式= sin θ + cosθ =

-----------------------7 分

(III) 2 sin θ cos θ =

∵ sin θ 与 cos θ 同号,又∵ sin θ + cos θ >0 ∴ sin θ 与 cos θ 同正号 -------------------------8 分

∵ θ ∈(0,π) ∴ θ ∈(0, ∵ sin θ + cos θ =

π
2



------------------9 分

3 +1 3 ?1 ,且 sin θ ? cosθ = ± 2 2
--------11 分

∴ sin θ = ∴θ =

3 3 1 1 , cos θ = ;或 sin θ = , cos θ = 2 2 2 2

π
6

或θ =

π
3

.

---------------------------12 分

20. (本小题满分 12 分) 解: (I)∵ AC =(cosα-3,sinα), BC =(cosα,sinα-3), --2 分 ∴| AC |= (cos α ? 3) 2 + sin 2 α = 10 ? 6 cos α , | BC |= cos 2 α + (sin α ? 3) 2 = 10 ? 6 sin α . 由| AC |=| BC |得 sinα=cosα. 又∵α∈( --------------4 分

π 3π
2
,

2

),∴α=

5π . 4

----------------------6 分

(II)由 AC · BC =-1, 得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1.∴sinα+cosα= 由上式两边平方得 1+2sinαcosα= ∴2sinαcosα= ?

2 ---8 分 3

4 , 9

5 . ----------------------------10 分 9 2 又 2 sin α + sin 2α = 2 sin α (sin α + cos α ) =2sinαcosα. sin α 1 + tan α 1+ cos α

2 ∴ 2 sin α + sin 2α = ? 5 . -------------------------12 分 1 + tan α 9 21. (本小题满分 12 分) 解: (I)依题意有:最小正周期为: T=12 --------1 分

振幅:A=3,b=10, ω =

y = f (t ) = 3 sin( ? t ) + 10 6

π

2π π = T 6

---------2 分 ----------------------4 分

(II)该船安全进出港,需满足: y ≥ 6.5 + 5 即: 3 sin(

π
6

? t ) + 10 ≥ 11.5

π 1 sin( ? t ) ≥ 6 2

---------6 分

∴ 2kπ +

π
6



π
6

? t ≤ 2kπ +

5π 6

k∈Z
-----------------------8 分 ------------10 分

12k + 1 ≤ t ≤ 12k + 5 k ∈ Z
又 0 ≤ t ≤ 24

∴ 1 ≤ t ≤ 5 或 13 ≤ t ≤ 17

依题意:该船至多能在港内停留: 17 ? 1 = 16 (小时) ----12 分 22. (本小题满分 14 分) 解:由诱导公式得: a = (2 cos θ , ? 2 sin θ ) , b = (sin θ , cos θ ) ) -------2 分

r

r

r a =2 r r
r

r b =1

-------------------------3 分

(I) a ? b = 2 cos θ ? sin θ + ( ?2 sin θ ) ? cos θ = 0 则 a ⊥ b (II) x = a + (t 2 ? 3)b , y = ? ka + tb

r

r
---------5 分

r

r r

r

r

r r r r Q x ⊥ y ∴ x?y =0
r r r r

-------------------------6 分

即: [ a + (t 2 ? 3)b ] ? [ ? ka + tb ] = 0

r r r r ? ka 2 + [t + (t 2 ? 3)( ? k )]a ? b + (t 2 ? 3)tb 2 = 0
∴ ? 4k + (t 2 ? 3)t = 0

(t 2 ? 3)t -----------------------9 分 4 k + t 2 t 2 + 4t ? 3 1 1 7 ∴ f (t ) = ------12 分 = = [(t + 2) 2 ? 7] = (t + 2) 2 ? t 4 4 4 4 k=

即当 t = ?2 时,

k + t2 7 的最小值为 ? . t 4

---------------14 分


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