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上海市2013年高考一模数学试题青浦数学


青浦区 2012 学年第一学期高三年级期终学习质量调研测试

数学试题
(满分 150 分,答题时间 120 分钟) 学生注意: 1. 本试卷包括试题纸和答题纸两部分.

Q.2013.01.18

2. 在试题纸上答题无效,必须在答题纸上的规定位置按照要求答题. 3. 可使用符合规定的计算器答题.


[来源:学#科#网]

一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.已知集合 A ? x x ? 2 , B ? x x ? a ,且 A ? B ? R ,则实数 a 的取值范围是 ____________.
[来源:学科网]

?

?

?

?

2.函数 f ( x) ? 1 ? log2 x ( x ? 2) 的反函数 f

?1

( x) ? ________________.

3.抛物线 y ? 2x 2 的焦点坐标是_______________.

1
4.若 a 2

3 b2 4

5 c 2 ? a2 A2 ? b2 B2 ? c2 C2 ,则 C 2 化简后的最后结果等于____ 6
_______.

2

5.已知正三棱柱的底面正三角形边长为 2,侧棱长为 3,则它的体积 V ? 6.若圆柱的侧面展开图是一个正方形,则它的母线长和底面半径的 比值是 . 7.在 ?ABC 中, AB ? 3, AC ? 2 , BC ? 10 ,则



AB ? AC ?



8.若三个互不相等 的实数成等差数列,适当交换这三个数的位置后 变成一个等比数列,则此等比数列的公比为 一个即可) . 9.如果执行右面的框图,输入 N ? 4 ,则输出的数 S 等 于 . 10. 甲、 乙等五名社区志愿者被随机分配到 A、B、C、D 四个不同 (写 出

岗位服务 ,每个岗位至少有一名 志愿者,则甲、乙两人 同时参加岗位 A 服务的概 率 是 .
[来源:Z.xx.k.Com]

2 11 . 已 知 a sin ? ? a cos? ? 1 ? 0 与 b 2 sin? ? b cos ? ? 1 ? 0 ( a ? b ) . 直 线 MN 过 点

M (a, a 2 ) 与点 N (b, b 2 ) ,则坐标原点到直线 MN 的距离是
12.已知 f ( x) ? ?



?(2 ? a) x ? 1 , x ? 1 ?a
x

, x ?1

满足对任意 x1 ? x 2 都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 成立,则 x1 ? x2

a 的取值范围是___

____.

13. 正六边形 A1 B1C1 D1 E1 F1 的边长为 1, 它的 6 条对角线又围成了 一个正六边形 A2 B2 C2 D2 E2 F2 , 如此继续下去, 则所有这些六边形 的面积和是 .

1 ? ( x ? 4) 5 ? 2013 x ? 4) 3 ? ?4 ( ? 14.设 x , y ? R ,且满足 ? ,则 1 ?( y ? 1) 5 ? 2013 y ? 1) 3 ? 4 ( ?

x? y ?



二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案.考生应在 答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.设双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的虚轴长为 2,焦距为 2 3 ,则双曲线的渐近线方 a2 b2

程为????????????????????????????????? ( ) .

A . y ? ?2 x

B. y ? ? 2 x

C.

1 y?? x 2

D. y??

2 x 2
) .

16. 对于原命题 “周期函数不是单调函数” 下列陈述正确的是????????? , (

A .逆命题为“单调函数不是周期函数”

B. 否命题为“周期函数是单调函数”
D . 以上三者都不对

C .逆否命题为“单调函数是周期函数”

17.已知复数 z 0 ? 1 ? 2i 在复平面上对应点为 P0 ,则 P0 关于直线 l : z ? 2 ? 2i ? z 的对称 点的复数表示是?????????????????????????????? ( ) .

A .?i

B. i

C .1 ? i

D .1 ? i

18.已知函数 f (x) 是定义在 R 上的单调增函数且为奇函数,数列 ?an ? 是等差数列,

a1007 ? 0





f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) ? ? ? f (a2012 ) ? f (a2013 )



值????????????( ) . A .恒为正数 D .可正可负 B. 恒为负数 C .恒为 0 三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分) 本题共 有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分, 第 2 小题满分 6 分. 如图已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 6 的正方形,侧 棱 PA 的长为 8, 且垂直于底面, M、N 分别是 DC、AB 的 点 中点.求 (1 )异面直线 PM 与 CN 所成角的大小(结果用反三角函数值 表示) ; (2)四棱锥 P ? ABCD 的表面积.

20.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , an?1 ? 3an ? 3n?1 ? 2 n (n ? N * ) . (1)设 bn ?

an ? 2 n ,证明:数列 ?bn ? 为等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; 3n

(2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n .

21.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知 m ? (2 cos x ? 2 3 sin x , 1) , n ? (cosx ,? y) ,满足 m ? n ? 0 . (1)将 y 表示为 x 的函数 f (x) ,并求 f (x) 的最小正周期; (2)已知 a , b , c 分别为 ?ABC 的三个内角 A , B , C 对应的边长,若 f ( x) ? f ( ) 对所有

A 2

x ? R 恒成立,且 a ? 2 ,求 b ? c 的取值范围.

22.(本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小 题满分 2 分.

设直线 L1:y ? k1 x ? p, p ? 0 交椭圆 ?: 2 ?

x2 a

y2 ? 1 (a ? b ? 0) 于 C、D 两点,交直线 b2

L2:y ? k 2 x 于点 E .
(1)若 E 为 CD 的中点,求证: k1 ? k 2 ? ?

b2 ; a2
[来源:Z+xx+k.Com]

(2)写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真; (3)请你类比椭圆中(1)(2)的结论,写出双曲线中类似性质的结论(不必证明) 、 .

23.(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 我们把定义在 R 上,且满足 f ( x ? T ) ? af ( x) (其中常数 a, T 满足 a ? 1, a ? 0, T ? 0 )的 函数叫做似周期函数. (1)若某个似周期函数 y ? f (x) 满足 T ? 1 且图像关于直线 x ? 1 对称.求证:函数 f (x) 是偶函数; (2)当 T ? 1, a ? 2 时,某个似周期函数在 0 ? x ? 1 时的解析式为 f ( x) ? x(1 ? x) ,求函 数 y ? f (x) , x ? ?n , n ? 1?, n ? Z 的解析式;
x (3)对于确定的 T ? 0且0 ? x ? T 时, f ( x) ? 3 ,试研究似周期函数函数 y ? f (x) 在区

间 (0,??) 上是否可能是单调函数?若可能,求出 a 的取值范围;若不可能,请说明理由.

青浦区 2012 学年第一学期高三年级期终数学参考解答
(满分 150 分,答题时间 120 分钟)Q.2013.01.18 一.填空题(本大题满分 56 分)本大 题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. a ? 2 ;2. f
?1

( x) ? 2

x ?1

( x ? 2) ;3.

1 3 ( 0, ) 8 ;4.2;5. 3 3 ;6. 2? ;7. ; 2

8. ? 2或 -

P3 4 1 9 3 1 ?3 ? ;9. ;10. 2 3 4 ? ;11.1;12. ? ,2 ? ;13. ;14.-3. 5 2 4 40 C5 P4 ?2 ?

1. 已知集合 A ? x x ? 2 , B ? x x ? a , A ? B ? R , 且 则实数 a 的取值范围__ a ? 2 ____. 2.函数 f ( x) ? 1 ? log2 x ( x ? 2) 的反函数 f
?1

?

?

?

?

( x) ? 2 x?1 ( x ? 2) .

1 ( 0, ) 3.抛物线 y ? 2x 的焦点坐标是____ 8
2



1
4.若 a 2

3 b2 4

5 c 2 ? a2 A2 ? b2 B2 ? c2 C2 ,则 C 2 化简后的最后 6

2

结果等于_____2 . 5.已知:正三棱柱的底面正三角形边长为 2,侧棱长为 3,则它 的体积 V ?

3 3



6.若圆柱的侧面展开图是一个正方形,则它的母线长和底面半 径的比值是

2?



7.在 ?ABC 中, AB ? 3, AC ? 2 , BC ? 10 ,则

AB ? AC ?

3 2



8.若三个互不相等的实数成等差数列,适当交换这三个数的位 置后变成一个等比数列,则此等比数列的公比为 (写出一个即可) ? 2或 .

1 . 2
4 5


9.如果执行右面的框图,输入 N ? 4 ,则输出的数 S 等于

10.甲、乙等五名社区志愿者被随机分配到 A、B、C、D 四个不同岗位服务,每个岗位至

少有一名志愿者,则甲、乙两人同时参加岗位 A 服务的概率是

P33 1 ? 2 4 40 C5 P4



2 11 . 已 知 a sin ? ? a cos? ? 1 ? 0 与 b 2 sin? ? b cos ? ? 1 ? 0 ( a ? b ) . 直 线 MN 过 点

M (a, a 2 ) 与点 N (b, b 2 ) ,则坐标原点到直线 MN 的距离是
12.已知 f ( x) ? ?

1



?(2 ? a) x ? 1 , x ? 1
x ?a

, x ?1
?3 ?2 ? ?

满足对任意 x1 ? x 2 都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 成立,那 x1 ? x2

么 a 的取值范围是_____ ? ,2 ?



13.正六边形 A1 B1C1 D1 E1 F1 的边长为 1,它的 6 条对角线又围成了一个正六边形

A2 B2 C2 D2 E2 F2 ,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是

9 3 4



1 ? ( x ? 4) 5 ? 2013 x ? 4) 3 ? ?4 ( ? 14.设 x , y ? R 且满足 ? ,则 x ,? y ? _____ ? 3 1 ?( y ? 1) 5 ? 2013 y ? 1) 3 ? 4 ( ?



二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案.考生应在 答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.设双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的虚轴长为 2,焦距为 2 3 ,则双曲线的渐近线方 a2 b2

程为??????????????????????????????????? ( D ) .

A . y ? ?2 x

B. y ? ? 2 x

C.

1 y?? x 2

D. y??

2 x 2

16.对于原命题“周期函数不是单调函数” ,下列陈述正确的是?????????? ( D ) .

A .逆命题为“单调函数不是周期函数”

B. 否命题为“周期函数是单调函数”

C .逆否命题为“单调函数是周期函数”

D . 以上三者都不对

17 .已知复数 z 0 ? 1 ? 2i 在复平面上对应点为 P0 ,则 P0 关于直线 l : z ? 2 ? 2i ? z 的对称 点的复数表示是????????????????????????????? ( B. ) .

A .?i

B. i

C .1 ? i

D .1 ? i

18.已知函数 f (x) 是定义在 R 上的单调增函数且为奇函数,数列 ?an ? 是等差数列,

a1007 ? 0





f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) ? ? ? f (a2012 ) ? f (a2013 )



值????????????( A ) . A .恒为正数 D .可正可负 B. 恒为负数 C .恒为 0 三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分, 第 2 小题满分 6 分. 如图已知四棱锥 P ? ABCD 中的底面是边长为 6 的正方形, 侧棱

PA 的长为 8,且垂直于底面,点 M、N 分别是 DC、AB 的
中点.求 (1)异面直线 PM 与 CN 所成角的大小(结果用反三角函数值 表示) ; (2)四棱锥 P ? ABCD 的表面积. (1)解法 一:连结 AM ,可证 CN ∥ AM , 直线 PM 与 AM 所成角等于直线 PM 与 CN 所成角. 因为 PA 垂直于底面,所以 PA ? AM , 点 M 分别是 DC 的中点, DC ? 6 ? AM ? 3 5 在 Rt?PAM 中, PA ? 8 , AM ? 3 5 , ??????????2 分

tan?PMA ?

8 3 5

?

8 5 8 5 ,? ?PMA ? arctan ? 15 15

?????????4 分 即 异 面 直 线 PM 与 CN 所 成 角 的 大 小 为

8 5 arctan .??????????6 分 15
解法二:以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系可得 M (3,6,0) , P(0,0,8) , N (3,0,0) ,

C (6,6,0) , ?PM ? (3,6,?8) , ?CN ? (?3,?6,0)
分 直线 PM 与 CN 所成角为 ? ,向量 PM与CN 的夹角为 ?

??????????2

? cos? ?

PM ? CN PM CN

?

? 45 109 ? 45

??

3 545 109

??????????4 分

又 cos? ? cos? ?

3 545 3 545 , ? ? arccos , 109 109 3 545 .?? ????????6 分 109

即异面直线 PM 与 CN 所成角的大小为 arccos (说明:两种方法难度相当)

(2) 因为 PA 垂直于底面,所以 PA ? AB , PA ? AD 即 Rt?PAB ≌ Rt?PDC

?PA ? BC ? BC ? PB ,同理 CD ? PD ? Rt?PBC ≌ Rt?PAD ????8 分 ? ? AB ? BC
底面四边形 ABCD 是边长为 6 的正方形,所以 S 底 ? 36 又

? S ?PAD S 侧 ? S ?PAB ? S ?PBC 1 1 ? 2 ? ( PA ? AB ) ? 2 ? ( PB ? BC ) ? 48 ? 60 ? 108 2 2

? S ?PCD

S 表 ? 108? 36 ? 144
所以四棱锥 P ? ABCD 的表面积是 144 ????????????????12 分

20.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , an?1 ? 3an ? 3n?1 ? 2 n (n ? N * ) .

an ? 2 n (1)设 bn ? 证明:数列 ?bn ? 为等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; 3n
(2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n . 解: (1)? bn ?1 ? bn ? 2分

a n?1 ? 2 n?1 a n ? 2 n 3a n ? 3 n ?1 ? 2 n ? 2 n ?1 a n ? 2 n ? ? ? ? 1,?? 3n?1 3n 3 n ?1 3n

? {bn } 为等差数列.又 b1 = 0 ,?bn ? n ?1 .?????????????????
4分

?an ? ?n ?1?? 3n ? 2n .???????????????????????????
6分 (2)设 Tn ? 0 ? 31 ? 1? 32 ? ?? (n ? 1) ? 3n ,则 3 Tn ? 0 ? 32 ? 1? 33 ? ? ? (n ? 1) ? 3n?1 .

? ? 2Tn ? 32 ? ? ? 3n ? (n ? 1) ? 3n?1 ?


9(1 ? 3n?1 ) ? (n ? 1) ? 3n?1 . ???????10 1? 3

? Tn ?

9 ? 3n?1 (n ? 1) ? 3n?1 (2n ? 3) ? 3n?1 ? 9 ? ? . 4 2 4

? S n ? Tn ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ?

?

? ?2n ? 3?3 4 ? 2
n ?1

n ?3

?1



??????????14

分 21.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知 m ? (2 cos x ? 2 3 sin x , 1) , n ? (cosx ,? y) ,满足 m ? n ? 0 . (1)将 y 表示为 x 的函数 f (x) ,并求 f (x) 的最小正周期;
[来源:Zxxk.Com]

(2)已知 a , b , c 分别为 ?ABC 的三个内角 A , B , C 对应的边长,若 f ( x) ? f ( ) 对所有

A 2

x ? R 恒成立,且 a ? 2 ,求 b ? c 的取值范围.
解: (I)由 m ? n ? 0 得 2 cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? y ? 0 分 即 y ? 2 cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2 sin( 2 x ? 4分 所以 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? 分 (II)因为 f ( x) ? f ( ) 对所有 x ? R 恒成立 所以 f ( ) ? 3 ,且 A ? 分 ??????????2

?
6

) ? 1 ?????

?
6

) ? 1 ,其最小正周期为 ? .

??????????6

A 2

A 2

?
6

? 2k? ?

?
2

,k ? Z

????????????8

因为 A 为三 角形内角,所以 0 ? A ? ? ,所以 A ? 分 由正弦定理得 b ?

?
3



????????????9

4 3 4 3 4 3 4 3 sin B , c ? sin C , b ? c ? sin B ? sin C 3 3 3 3
??????????????12

?


? 4 3 4 3 2? sin B ? sin( ? B) ? 4 sin( B ? ) 6 3 3 3

? B ? (0 ,

2? ? 1 ) ,? sin( B ? ) ? ( ,1] , b ? c ? (2 ,4 ] 3 6 2
?????????? ????????14

所以 b ? c 的取值范围为 (2 ,4 ] 分

22.(本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 2 分 .

x2 y2 设直线 L1:y ? k1 x ? p, p ? 0 交椭圆 ?: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 于 C、D 两点,交直线 a b

L2:y ? k 2 x 于点 E .
(1)若 E 为 CD 的中点,求证: k1 ? k 2 ? ?

b2 ; a2

(2)写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真; (3)请你类比椭圆中(1)(2)的结论,写出双曲线中类似性质的结论(不必证明) 、 . 解: (1)解法一:设 C ( x1 , y1 ) D( x2 , y 2 ) E ( x0 , y0 )

? y ? k1 x ? p ? 2 ? (b 2 ? a 2 k12 ) x 2 ? 2k1 pa2 x ? a 2 p 2 ? a 2 b 2 ? 0 ?????????2 ?x y2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a


? 2k1 pa2 ? 2k1 pa2 2 pb2 , y1 ? y 2 ? k1 ? 2 ??????4 ? x1 ? x2 ? 2 ? 2p ? 2 b ? a 2 k12 b ? a 2 k12 b ? a 2 k12


x1 ? x 2 ? ? x0 ? 2 y ? y2 b2 2 pb2 ? ? k2 ? 1 ? k1 ? k 2 ? ? 2 ?????????7 又? ? x1 ? x 2 a ? 2k1 pa2 ? y ? y1 ? y 2 0 ? 2 ?
分 解法二(点差法) :设 C ( x1 , y1 ) D( x2 , y 2 ) E ( x0 , y0 )

x1 y x y ? 12 ? 1 (1) , 22 ? 22 ? 1 (2) 2 a b a b
两式相减得

2

2

2

2

( x1 ? x2 )(x1 ? x 2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? ?0 a2 b2



2 x0 ( x1 ? x2 ) 2 y 0 ( y1 ? y 2 ) ? ? 0 ????????????????????3 分 a2 b2

? k1 ?

y1 ? y 2 ? b 2 ? x0 b2 ? 2 ?? 2 x1 ? x2 a ? y0 a ? k2
b2 ???????????????????????????7 分 a2 x2 a y2 ? 1 (a ? b ? 0) 于 C、D 两点, b2

? k1 ? k 2 ? ?

(2)逆命题:设直线 L1:y ? k1 x ? p 交椭圆 ?: 2 ?

交直线 L2:y ? k 2 x 于点 E .若 k1 ? k 2 ? ? 分

b2 ,则 E 为 CD 的中点.?????????9 a2

? y ? k1 x ? p ? 证法一:由方程组 ? x 2 ? (b 2 ? a 2 k12 ) x 2 ? 2k1 pa2 x ? a 2 p 2 ? a 2 b 2 ? 0 y2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
??????????????????????????? ????????10 分 因为直线 L1:y ? k1 x ? p 交椭圆 ? 于 C、D 两点, 所以 ? ? 0 ,即 a k1 ? b ? p ? 0 ,设 C ( x1 , y1 ) 、 D( x2 , y 2 ) 、 E ( x0 , y0 )
2 2 2 2

则? x0 ?

x1 ? x2 ? k pa2 y ? y2 pb2 ????????12 分 ? 2 1 2 2 , y0 ? 1 ? 2 2 2 b ? a k1 b ? a 2 k12

p ? ? y ? k1 x ? p ? x ? b2 k 2 ? k1 又因为? k1 ? k 2 ? ? 2 ,所以 ?? ? a ? y ? k2 x ?y ? k x 2 ?
? ? a 2 k1 p p x? ? 2 ? x0 ? k 2 ? k1 b ? a 2 k12 ? ,故 E 为 CD 的中点.???????????14 分 ? 2 ?y ? k x ? b p ? y0 2 ? b 2 ? a 2 k12 ?
证法二:设 C ( x1 , y1 ) D( x2 , y 2 ) E ( x0 , y0 )



x1 y x y ? 12 ? 1 (1) , 22 ? 22 ? 1 (2) 2 a b a b
( x1 ? x2 )(x1 ? x 2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? ?0 a2 b2

2

2

2

2

两式相减得

即 k1 ?

y1 ? y 2 ? b 2 ? ( x1 ? x2 ) ?????????????????????9 分 ? 2 x1 ? x2 a ? ( y1 ? y 2 ) y y ? y 2 x0 b2 即 ? , k2 ? 0 , 1 2 x1 ? x2 y0 x0 a
????????????????????12 分

又? k1 ? k 2 ? ?

k1 x1 ? p ? k 2 x2 ? p kx0 ? p ? x1 ? x2 x0
? k1 ? 2p p ? k1 ? x1 ? x2 x0

得 x1 ? x2 ? 2x0 ? y1 ? y 2 ? 2y0 ,即 E 为 CD 的中点.???????????14 分 (3)设直线 L1:y ? k1 x ? p, p ? 0 交双曲线 ?: 2 ?

x2 a

y2 ? 1 (a ? 0 , b ? 0) 于 C、D 两 b2

点,交直线 L2:y ? k 2 x 于点 E .则 E 为 CD 中点的充要条件是

k1 ? k 2 ?

b2 .???????16 分 a2

23.(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 我们把定义在 R 上,且满足 f ( x ? T ) ? af ( x) (其中常数 a, T 满足 a ? 1, a ? 0, T ? 0 )的

函数叫做似周期函数. (1)若某个似周期函数 y ? f (x) 满足 T ? 1 且图像关于直线 x ? 1 对称.求证:函数 f (x) 是偶函数; (2)当 T ? 1, a ? 2 时,某个似周期函数在 0 ? x ? 1 时的解析式为 f ( x) ? x(1 ? x) ,求函 数 y ? f (x) , x ? ?n , n ? 1?, n ? Z 的解析式; (3)对于确定的 T ? 0且0 ? x ? T 时, f ( x) ? 3 x ,试研究似周期函数函数 y ? f (x) 在区 间 (0,??) 上是否可能是单调函数?若可能,求出 a 的取值范围;若不可能,请说明理由. 解:因为 x ? R 关于原点对称,????????????????????1 分 又函数 y ? f (x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,所以

f (1 ? x) ? f (1 ? x) ①
又 T ? 1 ,? f ( x ? 1) ? af ( x) ,

?????????????????????2 分

用 ? x 代替 x 得 f (? x ? 1) ? af (? x) , ③ ?????????????????3 分 由①②③可知 af ( x) ? af (? x) , ? a ? 1且 a ? 0 ,

? f ( x) ? f (? x) .即函数 f (x) 是偶函数;????????????????4 分
(2)当 n ? x ? n ? 1 (n ? Z ) 时, 0 ? x ? n ? 1 (n ? Z )

f ( x) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 2 f ( x ? 2) ? ? ? 2 n f ( x ? n) ? 2 n ( x ? n)(n ? 1 ? x) ;??10 分
(3)当 nT ? x ? (n ? 1 )T (n ? N ) 时, 0 ? x ? nT ? T (n ? N )

f ( x) ? af ( x ? T ) ? a 2 f ( x ? 2T ) ? ? ? a n f ( x ? nT) ? a n 3x?nT ???????12 分
显然 a ? 0 时,函数 y ? f (x) 在区间 (0,??) 上不是单调函数 ???????13 分

n x ?nT 又 a ? 0 时, f ( x) ? a 3 , x ? (nT, (n ? 1)T ], n ? N 是增函数,

此时 f ( x) ? (a , a 3 ], x ? (nT, (n ? 1)T ], n ? N ??????????????14 分
n n T

若函数 y ? f (x) 在区间 (0,??) 上是单调函数,那么它必须是增函数,则必有

a n?1 ? a n 3T ,
解得 a ? 3
T

?????????????????????16 分 ?????????????????????18 分




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