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四川省眉山市2014-2015学年高一下学期数学期末统考试题


眉山市高中 2017 届第二学期期末教学质量检测

数 学 试 题 卷
分钟.

2015.07

本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120

注意事项:
1.答题前,务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.考试结束后,将答题卡交回.

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,有且只有一项是符合题目要求的.
1. 设 a, b 是非零实数,若 a ? b ,则下列不等式成立的是 A. a ? b
2 2

B. ab ? a b
2 2

C.

1 1 ? 2 2 ab ab

D.

1 1 ? a b

2. 已知 a ? ?1, 2 ? , b ? ? x,1? ,且 a 与 b 是共线向量,则 x ? A.1 B .2 C.

?

??

?

?

1 2

D.

1 3

3. 若等比数列 {an } 满足 an an?1 ? 16n ,则 {an } 的公比为 A.2 B .4 C.8 D.16

4. 将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图 1 所示,则该几何体的侧视图为

A B C D 5. 已知某正方体的外接球的表面积是 16? ,则这个正方体的棱长是 A.

图1

2 3 4 3 4 2 C. D. 3 3 3 2 6. 对于任意实数 x ,不等式 ? a ? 2? x ? 2 ?a ? 2 ?x ? 4 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 2 2 3
B. A. (?2, 2) B. (?2, 2] C. (??, 2) D. (??, 2] 7. 已知等差数列 {an } 中, Sn 是它的前 n 项和,若 S16 ? 0, S17 ? 0 ,则当 Sn 取最大值时, n 的

值为 A.8 B. 9 C.10
2

D.16

8. 在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边,若 cos A.正三角形 C.等腰三角形 B.直角三角形

B a?c ? ,则 ?ABC 的形状为 2 2c

D.等腰三角形或直角三角形

9. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数, 例如:他们研究过图①中的

1, 3, 6, 10, ...由于这些数能表示成三角形,将其称 ,
为三角形数;类似地,将图②中的 1, 4, 9,16, ... , 这 样的数称为正方形数 . 下列数中既是三角形数又是 正方形数的是 A.189 C.1225 B.1024 D.1378
1 4 9 16 . . . 1 3 6 10 . . .

10. ?ABC 的 外 接 圆 圆 心 为 O , 半 径 为 2 ,

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? OA ? AB ? AC ? 0 ,且 OA ? AB ,则 CB 在 CA 方向上的投影为
A.1 B.2 C. 3 D.3

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二. 填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 请将答案填在答题卷中的 相应位置.
11. 如图 2 所示,向量 a ? b ? .(用 e1 , e2 表示) .

12. 一个几何体的三视图如图 3 所示,则这个几何体的体积为
1 1

B e2 e1

b

C
2 2

a
1 正视图 1 侧视图

2

A
2 俯视图

图2 13. 已知 a, b 为单位向量,若 a ? b ?

图3

? ?

? ?

1 ? 4k 4k

2

? k ? 0? ,则 k ?
.

.

14. 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 3 ? 2n ,则 an ?

15. 如图 4 所示,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险 等待营救,甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲 南偏西 30°相距 10 海里 C 处的乙船,乙船立即朝北
A
30
°



船 的 偏 东

B

C

图4

? ? 30? 角的方向沿直线前往 B 处营救,则 sin ? ?

.

三. 解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤.
16. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边, b ? 2, a ? 1, cos C ? ⑴求 ?ABC 的周长;⑵求 sin A 的值.

3 . 4

17. (本小题满分 12 分) 已知 {an } 为等差数列, Sn 为 {an } 的前 n 项和,且 a1 ? a3 ? 8, S5 ? 30 . ⑴求 {an } 的通项公式;⑵若 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,求正整数 k 的值.

18. (本小题满分 12 分) 设 m ? R ,解关于 x 的不等式 m x ? 2mx ? 3 ? 0 .
2 2

19. (本小题满分 12 分)

1 ? ? ? ? 1 , a ?b ? a ?b ? 2 2 ? ? ? ? ? ? ⑴求 a 与 b 的夹角;⑵求 a ? b 与 a ? b 的夹角的余弦值.
已知 a ? 1, a ? b ?

?

? ?

?

??

?

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ?

2kx ? k ? 0? x ? 6k
2

⑴若 f ? x ? ? m 的解集为 {x | x ? ?3, 或x ? ?2} ,求不等式 5mx ? kx ? 3 ? 0 的解集;
2

⑵若存在 x ? 3, 使得 f ? x ? ? 1 成立,求 k 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分)

1 x ? log 2 的图象上任意两点, 2 1? x ???? ? 1 ??? ? ??? ? 1 且 OM ? (OA ? OB ) ,已知点 M 的横坐标为 . 2 2 M ⑴求证: 点的纵坐标为定值;
设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? 是函数 f ? x ? ?

?1? ?2? ? n ?1 ? * ? ? f ? ? ? ... ? f ? ? , n ? N , 且n ? 2 求 Sn ; ?n? ?n? ? n ? ?2 n ?1 ? ?3 * ⑶已知 an = ? ,其中 n ? N , Tn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,若 1 ? n?2 ? ( S n ? 1)( S n ?1 ? 1) ?
⑵若 Sn ? f ?

Tn ? ? ? Sn?1 ?1? 对一切 n ? N * 都成立,试求 ? 的取值范围.

眉山市高中 2017 届第二学期期末教学质量检测 数学参考答案
一、选择题: 1 题号 C 答案 二、填空题: 11. e1 ? 3e2 2 C 3 B 4 D 5 D 6 B 7 A 8 B 9 C 10 D

? ?

?? ?

12.

10 3

13.

1 2

14. an ? ?
2 2

5, n ? 1 * ?2 , n ? 2且n ? N ?
n ?1
2

15.

21 7
………..4 分

三、解答题: 16.解:⑴在 ?ABC 中由余弦定理可知 c ? a ? b ? 2ab cos C ? 2

2 ? ?ABC 的周长为 3 ? 2 ………………………………………………6 分 7 2 ⑵ sin C ? 1 ? cos C ? ……………………………………………………….8 分 4 a c ? 在 ?ABC 中由正弦定理可知 ……………………………..10 分 sin A sin C a sin C 14 …………………………………………………….12 分 ? sin A ? ? c 8 17. 解:⑴? {an } 为等差数列 ? a1 ? a3 ? 2a2 ? 8, S5 ? 5a3 ? 30 ……………………………………………………………3 分 ? a2 ? 4, a3 ? 6 ……………………………………………………..4 分 ?d ? a3 ? a2 ? 2 ……………………………………….6 分 ? an ? a2 ? (n ? 2)d ? 2n ?c ?
⑵由⑴ Sn ?

Sk ? 2

n ? 2 ? 2n ? ? n2 ? n , 2 2 ? ? k ? 2 ? ? k ? 2 ? k 2 ? 5k ? 6
2

……………………………………..8 分 ………………………………………10 分

若 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,则 ak ? a1Sk ?2 ,

2 2 2 * 即 4k ? 2 k ? 5k ? 6 即 k ? 5k ? 6 ? 0 而 k ? N ,? k ? 6 …………………….12 分

?

?

18. 解:①当 m ? 0 时,不等式可化为 ?3 ? 0 ,此不等于恒成立,不等式解集为 R ;..4 分

? ? 3 1 3 1? ? 而 ? ? ,此时不等式的解集为 ? x | ? ? x ? ? ; m m m m? ?

②当 m ? 0 时,不等式可化为 ? mx ? 3?? mx ?1? ? 0 ,即 ? x ?

3 ?? 1? ?? x ? ? ? 0 m ?? m?
…………….8 分

? ? 3 1 3? ? 1 而 ? ? ,此时不等式的解集为 ? x | ? x ? ? ? ; m m m? ? m 2 2 ? ? ? ? 1 1 19. 解:⑴ ? a ? b ? a ? b ? ?a ? b ? 2 2

③当 m ? 0 时,不等式可化为 ? mx ? 3?? mx ?1? ? 0 ,即 ? x ?

3 ?? 1? ?? x ? ? ? 0 m ?? m?
………………..12 分

?

??

?

? b ?

a ?

2

? ? ? ? a ?b 2 设 a 与 b 的夹角为 ? ,则 cos ? ? ? ? ? 2 a b
而 ? ??0, ? ? ?? ?

1 2 ? 2 2

………………………………………………….2 分 ………………………..4 分

?
4

………………………………………………………………6 分

⑵设 a ? b 与 a ? b 的夹角为 ? ,

? ?

? ?

? ? a ?b ? ? ? a?b ?

?

? ? a ?b ? ?

?

2

?

? a ? b? ? ? ? ? ? a ? b? ? ?a ? b? ? cos ? ? ? ? ? ? ?
2

?2 ? ? ?2 2 ………………………………….8 分 a ? 2a ? b ? b ? 2 ?2 ? ? ?2 10 ………………………………..10 分 a ? 2a ? b ? b ? 2

a ?b a ?b

5 …………………………………………………….12 分 5
2

2kx ? m ? mx 2 ? 2kx ? 6km ? 0 ……2 分 x ? 6k 2 ? 不等式 mx ? 2kx ? 6km ? 0 的解集为 {x | x ? ?3, 或x ? ?2}
20. 解:⑴ f ? x ? ? m ?

? ?3, ? 2 是方程 mx2 ? 2kx ? 6km ? 0 的根 ? 2k ? k ?1 ? ? ?5 ? ?? m ?? 2 ……………………………………………………………4 分 m?? ? ? 5 ? 6k ? 6 ? 3 5mx 2 ? kx ? 3 ? 0 ? 2 x 2 ? x ? 3 ? 0 ? ?1 ? x ? 2 3? ? ? 不等式 5mx2 ? kx ? 3 ? 0 的解集为 ? ?1, ? ……………………………………6 分 2? ? 2kx ? 1 ? x 2 ? 2kx ? 6k ? 0 ? ? 2 x ? 6 ? k ? x 2 ⑵ f ? x? ? 1 ? 2 x ? 6k x2 存在 x ? 3, 使得 f ? x ? ? 1 成立,即存在 x ? 3, 使得 k ? 成立…………….9 分 2x ? 6 x2 , x ? ? 3, ?? ? ,则 k ? g ? x ?min 令 g ? x? ? 2x ? 6 2 ?t ?6? ? ? ? 2 ? ? t ? 9 ?3? 2 t ?9 ?3? 6 令 2 x ? 6 ? t ,则 t ? ? 0, ?? ? , y ? t 4 t 4 t

当且仅当

t 9 3 ? 15 ? ? 即 t ? 时等号成立.? g ? x ?min ? g ? ? ? 6 ……………..12 分 4 t 2 ?4? ………………………………………………………………..13 分 ?k ? ? 6, ???

法二:令 g ? x ? ? x2 ? 2kx ? 6k , x ? ?3, ??? 存在 x ? 3, 使得 f ? x ? ? 1 成立,即存在 g ? x ? ? 0 成立,即 g ? x ?min ? 0 成立……8 分 当 0 ? k ≤ 3 时, g ? x ? 在 ? 3, ??? 上单调递增,? g ? x ? ? g ?3? ? 9 ,显然不存在

g ? x ? ? 0 ;…………………………………………10 分
2 当 k ? 3 时, g ? x ? 在 ? 3, k ? 上单调递减,在 ? k , ??? 上单调递增, g ? x ?min ? g ? k ? ? ?k ? 6k ,
2 由 ?k ? 6k ? 0 可得 k ? 6

综上, k ? ? 6, ???

………………………………………………….12 分 ……………………………………………………13 分

x ?x ? x? 1 2 ???? ? 1 ??? ? ??? ? ? ? 2 21. ⑴证明:设 M ? x, y ? ? OM ? (OA ? OB ) ? ? y ? 2 ? y ? 1 y2 ? ? 2 1 由 x ? 知 x1 ? x2 ? 1 ,? x1 ? 1 ? x2 , x2 ? 1 ? x1 …………………2 分 2 x x 1 ? log 2 1 ? log 2 2 y ? y2 f ? x1 ? ? f ? x2 ? 1 ? x1 1 ? x2 ?y ? 1 ? ? 2 2 2 ?x x ? x x 1 ? log 2 1 ? log 2 2 1 ? log 2 ? 1 ? 2 ? x2 x1 ? x2 x1 ? ? 1 ? ? 2 2 2 1 ∴ M 点的纵坐标为定值 ……………………………………………………4 分 2 (2)由(1)知 x1 ? x2 ? 1, f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 1 ………………………5 分

?1? ?2? ? n ?1 ? Sn ? f ? ? ? f ? ? ? ... ? f ? ? ?n? ?n? ? n ? ? n ?1 ? ? n?2? ?1? Sn ? f ? ?? f ? ? ??? f ? ? , ? n ? ? n ? ?n?
两式相加得:

? ? 1 ? ? n ? 1 ?? ? ? 2 ? ? n ? 2 ?? ? ? n ?1 ? ? 1 ?? 2Sn ? ? f ? ? ? f ? ?? ? ? f ? ? ? f ? ?? ? ... ? ? f ? ? ? f ? ?? ? n ? 1 ……7 分 ? ? n ? ? n ?? ? ? n ? ? n ?? ? ? n ? ? n ?? n ?1 n ? 2, n ? N * ? ∴ Sn ? ………………………………………………8 分 ? 2 1 4 1 1 (2)当 n ? 2 时, an ? ? ? 4( ? ). …………………9 分 (Sn ? 1)(Sn?1 ? 1) (n ? 1)(n ? 2) n ?1 n ? 2 Tn ? a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an
=

1 1 1 1 1 1 2 ? 4 [( ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )] 3 3 4 4 5 n ?1 n ? 2

1 1 2n 2 ? 4( ? )? . ………………………………11 分 3 3 n?2 n?2 2n n?2 . 由 Tn ? ? ? Sn?1 ? 1? 得 <λ · n?2 2 4n 4n 4 ∴λ > ? 2 ? . 2 (n ? 2) n ? 4n ? 4 n ? 4 ? 4 n 4 ∵ n ? ≥4,当且仅当 n ? 2 时等号成立, ………………………………………12 分 n 4 4 1 ∴ ? ? . 4 n? ?4 4?4 2 n 4 当 n ? 1 时, ? ? ………………………………………13 分 9 1 1 因此λ > ,即λ 的取值范围是( , +∞)…………………………………………14 分 2 2
=


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