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绵阳中学高2013级第四学期第一学月考试数学试题


绵阳中学高 2013 级第四学期第一学月考试

数学试题(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题给出的四个备选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1、不等式 | x ? 2 |? 1 的解集是( ) A. ?1,3? B. ? ??, ?3?

?3, ???

C.

? ?3,3?

D. ? ??,1? )

? 3, ???

2、在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, DD1 ? AB ? BC 化简后的结果是( A. BD1 B. D1B ) ② a ? b ?a ?b ④ac 2 ? bc 2 ? a ? b B.1 个 C.2 个 C. B1D

D. DB1

3、下列不等式成立的个数为( ①a ? b 且 ab ? 0 ?

1 1 ? a b

③| a |? b ? ?b ? a ? b A. 0 个

D.3 个

4、二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c 的部分对应值如下表 x y 则不等式 cx ? bx ? a ? 0 的解集是( ? 1 1? ?1 1? A. ? ? , ? B. ? , ? ? 2 3? ? 2 3?
2

-2 0 )

0 -6

1 -6

3 0

? 1 1? C. ? ? , ? ? 4 3?

? 1 1? D. ? ? , ? ? 3 2?

5、已知:命题 p : “ | a | ? | b |? 1 是 | a ? b |? 1 的充分不必要条件”;命题 q:“函数 y ? | x ?1| ?2 的 定义域为 ? ??, ?1? A.“ p ? q ”为假

?3, ??? ”则(

) C.“ p ? q ”为真 D.“ p且?q ”为真

B.“ p ? q ”为真 )

6、下列命题错误的是(

A.命题“若 x 2 ? y 2 ? 0 , 则 x ? y ? 0 ”的逆否命题为“若 x, y 中至少有一个不为 0, 则 x2 ? y 2 ? 0 ”
2 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 B.若命题 p : ?x0 ? R, x0

C.若向量 a , b 满足 a ? b ? 0 ,则 a 与 b 的夹角为钝角 D.在△ ABC 中,sinA>sinB 是 A>B 的充要条件
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?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 7、设 x, y 满足条件 ?8 x ? y ? 4 ? 0 ,若目标函数 z ? abx ? y ? a ? 0, b ? 0? 的最大值为 8,则 a ? b 的 ? ? x ? 0且y ? 0
最小值是( A.3 ) B.4 C.5 D.6 )

8、设 a , b 都是非零向量,下列条件中使

a b 成立的充分条件是( ? |a | |b |
C. a ? 2b

A. a ? ?b 9、若不等式 x ? ax ? A.9

B. a // b

D. a // b且 | a |?| b |

3 ? a ? R且a ? 0? 的解集是 ? 4, b ? ,则 b=( ) 2 B.18 C.36 D.48
a2 b2 ? ? m 恒成立,则 m 的最大值为( x 1? x
C. a 2b 2 D. a 2 )

10、设 0 ? x ? 1, a, b 为大于 0 的常数,若 A. ? a ? b ?
2

B. ? a ? b ?

2

二、填空题:本大题共 5 小题,每题 4 分,共 20 分,把答案填写在答题卡相应位置上。

?1? 11、命题 p : 2 x ? ? ? 是命题 q : x2 ? ? x 的 ?2?
中一个)

x

条件(填“充分不必要、必要不充分、充要”

12、设 e1 , e2 为空间两个不共线的向量且 AB ? e1 ? ke2 , BC ? 5e1 ? 4e2 , DC ? ?e1 ? 2e2 ,若 A、 B、D 三点共线,则 k= 。 。

13、设 a ? 3 ? 2, b ? 6 ? 5, c ? 7 ? 6 ,则 a , b, c 的大小顺序是 14、不等式 x2 ? | x |? 0 的解集是 15、下列五个命题: ① 若 a , b ? R ,则 | a ? b | ?2 | a |?| a ? b | ; ② 若 | a ? b |? 1 ,则 | a |?| b | ?1 ; ③ 若 | x |? 2且 | y |? 3 ,则 。

x 2 ? ; y 3

④ 若 AB ? 0 ,则 lg ⑤ 若

| A| ? | B | 1 ? ? lg | A | ? lg | B |? ; 2 2

1 9 ? ? 1? x ? 0且y ? 0 ? ,则 ? x ? y ?min ? 12 . x y

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其中真命题的序号是

三、解答题:本大题共 4 小题,合计 40 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 1 2 ? 16、 已知命题 p : ?x ? R , 使得 mx 2 ? mx ? m ? 1 恒成立; 命题 q : ?x0 ? R , 使得 m ? x0 成立, 4 x0 若 ?p 为真且 p ? q 为真,求实数 m 的取值范围。

17 、已知命题 p : 实数 a 满足 x 的方程 4 x 2 ? 2ax ? 2 a ? 5 ? 0无两个不相等的实数根,命题

q : 实数x ? x | x 2 ? 2 x ? ?1 ? m2 ? ? 0且m ? 0 ,若 ?p 是 ?q 的必要不充分条件,求实数 m 的取值
范围。

?

?

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18、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通情况。在一般情况下,大桥上的车流速 度 v(单位:千米/时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数。当桥上的车流密度达到 200 辆/ 千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/ 时。研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数。 (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/时) f(x)=x· v(x)可以达到最大,并求出最大值(精确到 1 辆/小时)

19、设 f ? x ? ?| x ?1| ? | x ? 1| ① 求 f ? x ? ? x ? 2 的解集; ② 若不等式 | a | ? f ? x ? ? | 2a ?1|?| a ? 1| 对任意实数 a ? 0 恒成立,求 x 的范围。

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绵阳中学高 2013 级第四学期第一学月考试

数学试题(理科)参考答案
一、选择题 1~5:DABAC 二、填空题 11、充分不必要 三、解答题 12、1 13、 a ? b ? c 14、 ? ?1,0 ? 6~10:CBCCB

? 0,1?

15、① ② ③ ④

?m ? 0 16、解:当 p 为真时 : m ? 0 或 ? 2 ?? ? m ? 4m ? m ? 1? ? 0
∴m ? 0或m ? 0 故 m ? 0 ………………………………4 分 当 q 为真时:∵ x2 ?

1 ?1 4 x2

1 ? ? ∴ ? x2 ? 2 ? ? 1 4 x ? min ?

故 m ? 1 ………………………………8 分 ∵ ?p 为真且 p ? q 为真 ∴p 为假且 q 为真

?m ? 0 故? ?m ? 1

∴ m ? 1 ……………………10 分 ∴ ?2 ? a ? 10 ………………3 分

17、解:当 p 为真时 : ? ? 4a2 ?16 ? 2a ? 5? ? 0

当 q 为真时 : x ??x |1 ? m ? x ? 1 ? m且m ? 0? ……………………………………6 分 ∵ ?p 是 ?q 的必要不充分条件 ∴p 是 q 的充分不必要条件 ∴ ?a | ?2 ? a ? 10? ? ? ?x |1 ? m ? x ? 1 ? m且m ? 0? …………………………8 分

?m ? 0 ? 故 ?1 ? m ? ?2 (等号不同时成立) ? ?1 ? m ? 10
∴ m ? 9 ……………………………………………………………………10 分 18、解析: (1)由题意,当 0 ? x ? 20 时, v ? x ? ? 60 ;当 20 ? x ? 200 时,设 v ? x ? ? ax ? b

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?a ? ? 1 ? 200 a ? b ? 0 ? 3 再由已知得 ? 解得 ? 200 20 a ? b ? 60 ? ?b ? 3 ?
故函数 v ? x ? 的表达式为

0 ? x ? 20 ?60 ? ………………4 分 v ? x ? ? ?1 200 ? x ? 20 ? x ? 200 ? ? ?3
(2)依题意并由(1)可得

0 ? x ? 20 ?60 x ? f ? x ? ? ?1 ? 200 ? x ? x 20 ? x ? 200 ? ?3
当 0 ? x ? 20 时, f ? x ? 为增函数,故当 x ? 20 时,其最大值为 60× 20=1200…………6 分

1 ? x ? ? 200 ? x ? ? 10000 1 当 20 ? x ? 200 时, f ? x ? ? x ? 200 ? x ? ? ? ? ? 3 3? 2 3 ?
2

当且仅当 x ? 200 ? x ,即 x ? 100 时,等号成立。 所以当 x ? 100 时, f ? x ? 在区间 ? 20,200? 上取得最大值

10000 …………8 分 3 10000 =3333 3

综上,当 x ? 100 时, f ? x ? 在区间 ?0,200? 上取得最大值

即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约 3333 辆/小时…………10 分 19、解:① f ? x ? ? x ? 2 等价于

? x ? ?1 ? 1? x ? x ?1 ? x ? 2 ? ? ? ??

??1 ? x ? 1 或? ??1 ? x ? ? ? x ? 1? ? x ? 2

?x ? 1 或? ?? x ? 1? ? ? x ? 1? ? x ? 2

∴ x ? ? 或 0 ? x ?1或 1 ? x ? 2 ∴原不等式的解集为 ? x | 0 ? x ? 2? ……………………4 分 ②∵ a ? 0 ∴ f ? x ? ?

| a ? 1| ? | 2a ? 1| 恒成立 |a|



| a ? 1| ? | 2a ? 1| | ? a ? 1? ? ? 2a ? 1? | ? ? 3 …………7 分 |a| |a|
| x ? 1| ? | x ? 1|? 3
由绝对值的几何意义可知 x ? ?

∴ f ? x? ? 3

3 3 或 x ? …………10 分 2 2

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