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2014届高三数学(理)一轮专题复习课件 定积分与微积分基本定理


§3.4

定积分与微积分基本定理

[高考调研 明确考向] 考 纲 解 读 ?了解定积分的实际背景, 了解定积分的基本思想, 了 解定积分的概念. ?了解微积分基本定理的含 义. 考 情 分 析 ?本部分主要有两种题型, 一是 定积分的计算,二是用定积分 求平面图形的面积.高考中, 多以选择题或填空题的形式考 查定积分的概念和计算以及曲

边梯形面积的求法,难度较小.

知识梳理 1.定积分的概念 (1)定积分的定义和相关概念: ①函数 f(x)定义在区间[a,b]上,用分点 a=x0<x1<?< xi-1<xi<?<xn=b 将区间[a,b]等分成 n 个小区间,其长 度依次为 Δxi=xi+1-xi(i=0,1,2??n-1),记 λ 为这些小区间 长度的最大者, λ 趋近于 0 时, 当 所有小区间长度都趋近于 0, .

在每个小区间任取一点 ξi 作和式 In=∑ f(ξi)Δxi 当 λ→0 时,如
i=0

n-1

果和式极限存在,则称和式 In 的极限为函数 f(x)在区间[a,b] f?x?dx 2 1 上的定积分,记作□________,即 =□__________
?b ? ? ?a

②在?bf(x)dx 中,a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限, ? ?
?a

3 4 区间□________叫做积分区间,函数□________叫做被积 5 6 函数,□________叫做积分变量,□________叫做被积式.

(2)定积分的几何意义: ①当函数 f(x)在区间[a,b]上恒为正时,定积分
?b ? ? ?

a

f?x?dx 的

几何意义是由直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x)所 围成的曲边梯形的面积(图①中阴影部分).

②一般情况下,定积分?bf(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、 ? ?
?a

曲线 y: f(x)以及直线 x=a、 x=b 之间的曲边梯形面积的代数 和(图②中阴影所示), 其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的 7 积分值 ,在 x 轴下 方的面 积等 于该区 间 上积分 值的 □ __________.

(3)定积分的基本性质: 8 ①?bkf(x)dx=□____________________________. ? ?
?a

9 ②?b[f1(x)± 2(x)]dx=□___________________. ? f ?
?a

10 ③?bf(x)dx=□______________________________. ? ?
?

a

2.微积分基本定理 如果F′(x)=f(x)且f(x)在[a,b]上可积,那么 11 □
?b ? ? ?

f(x)dx=

a

__________,这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛

顿-莱布尼兹公式. 12 为了方便,常把F(b)-F(a)记成 □ ______,即 ?b f(x)dx= ? ?
?a

13 □________=F(b)-F(a).

1 ? 答案: □ ?b f(x)dx
? ?

2 lim n-1 Δxif(ξi) □ ∑
n→∞ i=0

3 4 □ [a,b] □

a

f(x) 9 □

5 6 7 8 □ x □ f(x)dx □ 相反数 □ k 10 □

?b ? ? ?

f(x)dx(k为常数)

a

?b ? ? ?a

f1(x)dx±?b f2(x)dx ? ?
?a

?c ? ? ?a

f(x)dx+ ?b f(x)dx(其中a<c<b) ? ?
?c

11 12 13 □F(b)-F(a) □F(x)|b □F(x)|b a a

名师微博 ●一种思想 定积分基本思想的核心是“以直代曲”,用“有限”的 步骤解决“无限”过程的问题,其方法是“分割求近似,求 和取极限”,利用这种方法可推导球的表面积和体积公式 等.恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始以及微积分 的建立并称为17世纪数学的三大成就.

●三条性质 ①常数可提到积分号外;②和差的积分等于积分的和 差;③积分可分段进行. ●一个公式 由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原 函数,由此可知,求导与积分是互为逆运算.

基础自测 1.?1(ex+2x)dx=( ? ?
?

)

0

A.1 C.e

B.e-1 D.e+1

1 解析:?1(ex+2x)dx=(ex+x2)|0=(e+1)-1=e. ? ?
?0

答案:C

π π 2.由直线x=- 3 ,x= 3 ,y=0与曲线y=cosx所围成的 封闭图形的面积为( 1 A.2 3 C. 2 ) B.1 D. 3

解析: 3.

答案:D

3.由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形面积为( 1 A. 12 1 C.3 1 B. 4 7 D.12

)

?y=x2, ? 解析:由 ? ?y=x3, ?

得交点坐标为(0,0),(1,1),因此所求
3

图形面积为S= (x -x

?1 ? ? ?0

2

?1 1 4? 1 1 3 )dx=?3x -4x ?|0= . 12 ? ?

答案:A

4.如图,在一个长为π,宽为2的矩形OABC内,曲线y =sinx(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分,向矩形 OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可 能的),则所投的点落在阴影部分的概率是( )

1 A.π π C.4

2 B.π 3 D.π

解析:阴影部分的面积S= ?π sinxdx=-cosx | π =-(-1- ? 0 ?
?0

1)=2,矩形的面积为2π. 阴影部分的面积 2 1 概率P= =2π=π.故应选A. 矩形面积
答案:A

5.汽车以v=(3t+2) m/s作变速直线运动时,在第1 s至 第2 s间的1 s内经过的路程是__________.

解析:S= 7 13 - = (m). 2 2

?2 ? ? ?1

?3 ? ?3 ? 3 2 2 (3t+2)dt=?2t +2t?| 1= 2×4+4- ?2+2? =10 ? ? ? ?

答案:6.5 m

考点一

定积分的计算

[例1]
?2 ? ? ? ? ?1

计算下列积分
2

1? (1) 2x -x?dx; ?

?

?2 ? 1? 14 3 ?dx=? x -lnx?|2= -ln2. 解析:(1) 2x -x 1 3 ? ?3 ?
?2 ? ? ? ? ?

?

2

1

方法点睛

①利用微积分基本定理求定积分,其关键是

求出被积函数的原函数,求一个函数的原函数与求一个函数 的导数是互逆运算,因此应注意掌握一些常见函数的导 数.②根据积分的几何意义可利用面积求积分.③若y=f(x) 为奇函数,则?a f(x)dx=0. ? ?
?-a

变式训练1 求下列定积分:

解析:(1) (x

?1 ? ? ?0

2

?1 1 2? 1 1 3 ? x - x ?|0=- . -x)dx= 3 2 ? 6 ?

考点二

利用定积分求面积

[例2]

求下面图中阴影部分的面积.

?y=x-4, ? 解析:解方程组? 2 ?y =2x, ?

?x=2, ? 得? ?y=-2, ?

?x=8, ? 或? ?y=4. ?

方法点睛

求由两条曲线围成的图形的面积的解题步

骤:①画出图形,确定图形的范围,通过解方程组求出交点 的横坐标.定出积分的上、下限;②确定被积函数,特别要 注意分清被积函数的上、下位置;③写出平面图形面积的定 积分的表达式;④运用微积分基本定理计算定积分,求出平 面图形的面积.

变式训练2 形的面积.

1 求曲线y= x,y=2-x,y=- 3x所围成图

?y= x, ? 解析:由? ?y=2-x, ?

得交点A(1,1);

?y=2-x, ? 由? 得交点B(3,-1). 1 ?y=-3x ?

故所求面积S=

?1 ? ? ? ? ?

?

0

? 1 ? 1 ? ?3 x+ x?dx+? ?2-x+ x?dx ? ? 3 ? 3 ? ?
1

考点三

定积分的应用

[例3]

一质点在直线上从时刻t=0(s)开始以速度v=t2-4t

+3(m/s)运动.求: (1)在t=4 s的位置; (2)在t=4 s内运动的路程.

解析:(1)在时刻t=4时该点的位置为
?4 ? ? ?0

(t

2

?1 ? 4 3 2 4 -4t+3)dt=?3t -2t +3t?|0= (m), 3 ? ?

4 即在t=4 s时刻该质点距出发点 m. 3 (2)因为v(t)=t2-4t+3=(t-1)(t-3),所以在区间[0,1]及 [3,4]上的v(t)≥0,在区间[1,3]上,v(t)≤0,所以t=4 s时的路 程为

s=?1(t2-4t+3)dt+|?3(t2-4t+3)dt|+?4(t2-4t+3)dt ? ? ? ? ? ?
?0 ?1 ?3

?1 ? ?1 ? 3 2 3 2 1 3 =?3t -2t +3t?|0+|?3t -2t +3t?|1|+ ? ? ? ? ?1 ? 3 2 ? t -2t +3t?|4 3 ?3 ?

4 4 4 =3+3+3=4(m), 即质点在4 s内运动的路程为4 m.

方法点睛

1 2 由s=v0t+ 2 at 通过求导可推出v=v0+at,反

之根据积分的几何意义,由v=v(t)(v(t)≥0)可求出t∈[a,b] 时间段内所经过的路程.

变式训练3 已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并 沿同一路线(假定为直线)行驶,甲车、乙车的速度曲线分别 为v甲和v乙(如图所示).那么对于图中给定的t0和t1,下列判断 中一定正确的是( )

A.在t1时刻,甲车在乙车前面 B.t1时刻后,甲车在乙车后面 C.在t0时刻,两车的位置相同 D.t0时刻后,乙车在甲车前面

解析:可观察出曲线v甲,直线t=t1与t轴围成的面积大于 曲线v乙,直线t=t1与t轴围成的面积,故选A.

答案:A.

易错矫正(十二) [试题]

因定积分计算问题致误

π π (2011· 湖南)由直线x=- ,x= ,y=0与曲线y 3 3 )

=cosx所围成的封闭图形的面积为( 1 A. 2 3 C. 2 B.1 D. 3

正解:结合函数图像可得所求的面积是定积分 = 3.

cosxdx=

答案:D


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