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高三数学数列不等式专题


专题五 数列不等式专题
【命题趋向】在历年高考中,往往把数列当作重要的内容来考查.在以考查等差数列
和等比数列的定义、数列的通项公式、数列求和等基础知识为主的试题中,关注概念辨析以 及等差、等比数列的“基本量法”;在考查数列的综合问题时,对能力有较高的要求,试题有 一定的难度和综合性,常与单调性、最值、不等式、导数、数学归纳法等知识交织在一起, 涉及化归与转化

、分类与整合等数学思想.在考查相关知识内容的基础上,高考把对数列的 考查重点放在对数学思想方法、推理论证能力以及应用意识和创新意识的考查上.使用选择 题、填空题形式考查数列的试题,往往突出考查函数与方程、数形结合、特殊与一般、有限 与无限等数学思想方法.使用解答题形式考查数列的试题,其内容往往是一般数列的内容, 其方法是研究数列通项及前 n 项和的一般方法,并且往往不单一考查数列知识,而是与其他 内容相结合,体现对解决综合问题的考查力度.数列综合题有一定的难度,对能力有较高的 要求,对合理区分出较高能力的考生起到重要作用.在高考试卷中一般有一个小题有针对性 地考查数列的知识和方法,有一道综合解答题重点对数列、数列和函数导数、不等式进行综 合考查考查. 由于新课标的考试大纲在必考部分删除了不等式的证明方法,分式不等式、带绝对值 的不等式的解法,绝对值三角不等式等内容,高考对不等式的考查主要体现在其和其他知识 的交汇考查上,重点是不等式和导数的结合、不等式和数列的结合、不等式和实际问题的结 合,不等式与线性规划.高考试卷中一般有 1-2 个小题考查基本不等式的运用、简单的线性 规划,在解答题中与其他知识交汇考查.

【考点透析】 数列的主要考点有:数列的概念及其表示,等差数列、等比数列的概念、 通项公式和前 n 项和公式,数列的简单应用等.不等式的主要考点有:不等关系与不等式,
一元二次不等式的解法,简单的线性规划,基本不等式及其应用.

【例题解析】
题型 1 数列的一般问题 例 1.(2009 江苏泰州期末 6)若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ?10n(n ? 1 , 2, 3, ) ,则数 列 ?nan ? 中数值最小的项是第 项.

分析:根据数列中 an 与 Sn 的关系求出 an 后解决. 解 析 : 当

n ?1





a1 ? S1 ? ?9





n?2





an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ?10n ? (n ?1)2 ? 10(n ?1) ? 2n ?11.可以统一为 an ? 2n ?11 ,故 nan ? 2n 2 ?11n ,该关于 n 的二次函数的对称轴是 n ?
11 ,考虑到 n 为正整数,且对 4

称轴离 n ? 3 较近,故数列 ?nan ? 中数值最小的项是第 3 项.答案 3 .

点评:数列问题中其通项公式、前 n 项和公式都是关于正整数 n 的函数,要善于从函数 的观点认识和理解数列问题.数列的一般问题中通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是重点, 要注意把 n ? 1 和 n ? 2 分开讨论,再看能不能统一. 例 2. (江苏扬州市 2008-2009 学年度第一学期期未调研测试第 13 题) 数列 {an } 的前 n 项 和是 Sn ,若数列 {an } 的各项按如下规则排列:

1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 , , , , , , , , , , , 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6
若存在整数 k ,使 Sk ? 10 , Sk ?1 ? 10 ,则 ak ?

, .

分析:数列的构成规律是分母为 2 的一项,分母为 3 的两项,分母为 4 的三项等,故这 个数列的和可以分段求解.

1 1 1? 2 3 3 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? 4 ? ,S6 ? ? ? 3 ,S10 ? 3 ? ? 5, ,S3 ? ? 2 2 3 2 2 4 5 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 15 1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 S16 ? 5 ? ? ?3 , 这 样 , 下 面 的 和 为 6 2 7 21 15 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 15 15 15 5 5 S23 ? ? 10 ,而 S22 ? ? ? ? ? ? ? 10 ,故 ak ? .答 2 2 7 2 7 2 2 7 5 案 . 7
解析:S1 ? 点评:本题中数列的前

n ? n ? 1? 的和是可以求出来的,但本题的目的不是这个.本题主 2

要的考查目的就是观察、归纳和运算求解,在其中找到一项恰好满足某个限制条件,是 一个设计很优秀的题目. 题型 2 等差数列与等比数列的基本问题 例 3(2008 高考四川理 16)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S4 ? 10, S5 ? 15 ,则

a4 的最大值为___________.
分析:根据已知的不等关系,可以建立关于 a1 , d 的不等式组,通过这个不等式组探究解 决的方法. 解析:∵ 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S4 ? 10, S5 ? 15 ,



4?3 ? S 4 ? 4a1 ? d ? 10 ? ? 2 ? ? S ? 5a ? 5 ? 4 d ? 15 5 1 ? ? 2





? 2a1 ? 3d ? 5 ? ? a1 ? 2d ? 3



5 ? 3d 5 ? 3d ? ? 3d ? ?a4 ? a1 ? 3d ? ∴? 2 2 , ?a4 ? a1 ? 3d ? ? a1 ? 2d ? ? d ? 3 ? d ?
5 ? 3d ? a4 ? 3 ? d , 5 ? 3d ? 6 ? 2d , d ? 1 ,∴a4 ? 3 ? d ? 3 ? 1 ? 4 2 大值为 4 .
∴ 故 a4 的最

点评:本题考查等差数列的通项公式、前 n 项和公式的灵活运用,解题的关键是基本量 思想,即在不等式组 ?

? 2a1 ? 3d ? 5 中,通过不等式建立起 a4 的关于 d 的不等关系,再 ? a1 ? 2d ? 3

通过这个不等关系求出 d 的范围使问题获得解决的. 例 4. (中山市高三级 2008—2009 学年度第一学期期末统一考试理科第 4 题)已知在等 差数列 ?an ? 中, a1 ? 120 , d ? ?4, 若 S n ? an (n ? 2) ,则 n 的最小值为 A. 60 B. 62 C. 70 D. 72

分析:根据 an 和 Sn 的关系, Sn ? an (n ? 2) ? Sn?1 ? 0 ,根据求和公式列出不等式解 决. 解析: 根据分析 Sn ?1 ? ? n ? 1? ?120 ?

? n ? 1?? n ? 2 ? ? 4 ? ?2n2 ? 126n ? 124 ? 0 ,即
2

n2 ? 63n ? 62? 0 ,即 ? n ?1?? n ? 62? ? 0 ,即 n ? 62 .答案 B.
点评:本题把等差数列的求和与一元二次不等式交汇,体现了在知识网络的交汇处设计 试题的原则. 题型 3 等差数列、等比数列综合题 例 5. (中山市高三级 2008—2009 学年度第一学期期末统一考试理科第 16 题) 已知数列
{an } 是首项为 a1 ?

1 1 * ,公比 q ? 的等比数列,设 bn ? 2 ? 3log 1 an (n ? N ) ,数列 {cn } 4 4 4

满足 cn ? an ? bn . (1)求数列 {bn } 的通项公式; (2)求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn .

分析: (1)直接计算: (2)根据等比数列的性质数列 {bn } 为等差数列,这样数列 {cn } 就 是一个等差数列与一个等比数列对应项的乘积构成的数列,用“错位相减法”解决. 【解析】 (1)由题意知, an ? ( ) ( n ? N ) ,又 bn ? 3log 1 an ? 2 ,
n *

1 4

4

故 bn ? 3n ? 2(n ? N* ) . (2)由(1)知, an ? ( ) , bn ? 3n ? 2(n ? N ) ,
n *

1 4

1 ? c n ? (3n ? 2) ? ( ) n , (n ? N *) . 4 1 1 1 1 1 ? S n ? 1 ? ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( ) 3 ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) n ?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n , 4 4 4 4 4 1 1 2 1 3 1 4 1 n 1 n ?1 于是 S n ? 1 ? ( ) ? 4 ? ( ) ? 7 ? ( ) ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) ? (3n ? 2) ? ( ) , 4 4 4 4 4 4
两式相减,得

3 1 1 1 1 1 1 1 S n ? ? 3[( ) 2 ? ( ) 3 ? ? ? ( ) n ] ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 ? ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 . 4 4 4 4 4 4 2 4 2 3n ? 2 1 n ? Sn ? ? ? ( ) ( n ? N* ) . 3 3 4
点评: “错位相减法”是最重要的数列求和方法之一,要熟练掌握. 例6 (江苏扬州市 2008-2009 学年度第一学期期未调研测试第 20 题) 已知等差数列 ?an ? 的首项为 a ,公差为 b ,等比数列 ?bn ? 的首项为 b ,公比为 a (其中 a , b 均为正整数). (1) 若 a1 ? b1 , a2 ? b2 ,求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (2)在(1)的条件下,若 a1 , a3 , an1 , an2, ,ank, (3 ? n1 ? n2 ? 求数列 ?nk ? 的通项公式; (3) 若 a1 ? b1 ? a2 ? b2 ? a3 , 且至少存在三个不同的 b 值使得等式 am ? t ? bn ?t ? N? 成 立,试求 a 、 b 的值. 分析: (1)根据基本量方法,列出方程求出 a , b 的值; (2)就是在一个等差数列中挑出 一个等比数列的子数列,根据数列中的项既是等差数列中的项又是等比数列中的项列方

? nk ?

) 成等比数列,

程解决; (3)根据给出的不等式和 a, b ? N* 的条件采用不等式限制的方法确定 a , b 应满 足的条件,根据这些条件探究问题的答案. 解析: (1)由 a1 ? b1 , a2 ? b2 得: ? 解得: a ? b ? 0 或 a ? b ? 2 ,

?a ? b , a ? b ? ab ?

a, b ? N* , ? a ? b ? 2 ,从而 an ? 2n, bn ? 2n
(2)由(1)得 a1 ? 2, a3 ? 6 ,? a1 , a3 , an1 , an2, ,ank, 构成以 2 为首项,3 为公比的等比 数列,即: ank ? 2 ? 3
k ?1

,又 ank ? 2nk ,故 2nk ? 2 ? 3k ?1 ,? nk ? 3k ?1

(Ⅲ ) 由 a1 ? b1 ? a2 ? b2 ? a3 得: a ? b ? a ? b ? ab ? a ? 2b , 由 a ? b ? ab 得: a ? b ?1? ? b ;由 ab ? a ? 2b 得: a ?b ?1? ? 2b , 而

a, b ? N* , a ? b







b ? a ?1











1 ? 1?

1 b 2b 2 ? ?a? ? 2? ?4, b ?1 b ?1 b ?1 b ?1

? a ? 2,3 ,当 a ? 3 时, b ? 2 不合题意,故舍去,
所以满足条件的 a ? 2 . 又

am ? 2 ? b(m ?1) , bn ? b ? 2n?1 ,故 2 ? b ? m ?1? ? t ? b ? 2n?1 ,

n ?1 即: 2 ? m ? 1 b ? 2 ? t

?

?

① 若2 ② 若2

n ?1

? m ? 1 ? 0 ,则 t ? ?2 ? N ,不合题意; ? m ?1 ? 0 , 则b ?

n ?1

2?t n ?1 , 由于 2 ? m ? 1 可取到一切整数值, 且b ? 3 , 2 ? m ?1
n ?1

故要至少存在三个 b 使得 am ? t ? bn ?t ? N ? 成立,必须整数 2 ? t 至少有三个大于或等 于 3 的不等的因数, 故满足条件的最小整数为 12 , 所以 t 的最小值为 10 , 此时 b ? 3 或 4 或 12 . 点评:本题的难点在第三问,解答这个问题的基本思想是根据不等关系确定相等关系, 即从不等式入手,根据 a , b 为正整数且 a ? b 首先确定了 a 的值(这是解答这个题目的

关键) ,然后采取分离的方法把 b 用正整数 m, n 和自然数 t 表达出来,再结合问题的要求 确定问题的答案. 题型 3 递推数列 例 7. (2008 高考陕西文 20) 已知数列 {an } 的首项 a1 ?

2 2an ,an ?1 ? ,n ? 1, 2,3, …. 3 an ? 1

(1)证明:数列 {

1 ? 1} 是等比数列; an

(2)求数列 {

n } 的前 n 项和 Sn . an

分析: (1)根据递推式和等比数列的定义; (2)结合通项的具体特点和数列求和的常用 方法,采用适当的方法解决. 解析: (1)

an ?1 ?

2an a ?1 1 1 1 1 1 1 1 ,? ? n ? ? ? ,? ? 1 ? ( ? 1) , an ?1 2an 2 2 an an ?1 2 an an ? 1

又 a1 ?

2 1 1 1 1 1 ,? ? 1 ? ,? 数列 { ? 1} 是以为 首项, 为公比的等比数列. 3 2 2 a1 2 an

(2)由(Ⅰ )知 设 Tn ?

1 1 1 1 n n 1 1 ? 1 ? ? n?1 ? n ,即 ? n ? 1 ,? ? n ? n . an?1 2 2 2 an 2 an 2

1 2 3 n ? 2 ? 3 ?…? n , ① 2 2 2 2 1 1 2 n ?1 n 则 Tn ? 2 ? 3 ? … ? n ? n ?1 ,② 2 2 2 2 2 由①? ② 得 1 1 (1 ? n ) 1 1 1 1 n 2 ? n ? 1? 1 ? n , Tn ? ? 2 ? … ? n ? n ?1 ? 2 1 2 2 2 2 2 2n ?1 2n 2n ?1 1? 2 1 n n(n ? 1) . ? Tn ? 2 ? n ?1 ? n .又 1 ? 2 ? 3 ? … ? n ? 2 2 2

2 ? n n(n ? 1) n 2 ? n ? 4 n ? 2 n ? ? n . ? 数列 { } 的前 n 项和 Sn ? 2 ? n ? 2 2 2 2 an

点评: 本题主要考查等比数列的概念和 “错位相减” 求和法. 解题的关键是求出数列 ?an ? 的通项公式,由于有第一问为引导,这个问题对大多数考生困难不大.本题容易把 a1 看 成数列 {

1 “错位相减”求和时“漏项”或“添 ? 1} 的首项求错数列 ?an ? 的通项公式, an

项” ,计算出错等. 题型 4 数列的应用 例 8. (北京卷理 14)某校数学课外小组在坐标纸上,为学校的一块空地设计植树方案 如下:第 k 棵树种植在点 P k ( xk,yk ) 处,其中 x1 ? 1 , y1 ? 1 ,当 k ≥ 2 时,

? ? ? k ?1 ? ? k ? 2 ?? ? xk ? xk ?1 ? 1 ? 5 ?T ? ? ?T ? ??, ? ? 5 ?? ? ? 5 ? ? ? y ? y ? T ? k ? 1 ? ? T ? k ? 2 ?. k k ?1 ? ? ? ? ? ? 5 ? ? 5 ? ?
T (a ) 表示非负实数 a 的整数部分,例如 T (2.6) ? 2 , T (0.2) ? 0 .
按此方案,第 6 棵树种植点的坐标应为 为 . 分析:通过简单计算就知道 T ? ;第 2008 棵树种植点的坐标应

? k ?1 ? ?k ?2? ? ?T ? ? 个项组成一个周期为 5 的数列,数列 ? 5 ? ? 5 ?

. ?xn ? 和 ?yn ?也是有规律的,归纳的方法解决. 解 析 : (1,2) (3, 402) T?

? k ?1? ?k ?2? ? ?T? ? 组 成 的 数 列 为 1,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1, ? 5 ? ? 5 ?

0,0,0,0,1……(k=1,2,3,4……) . 一 一 带 入 计 算 得 : 数 列

?xn ?



1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5……;数列 ?y n ?为 1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4…….因 此,第 6 棵树种在 (1,2),第 2008 棵树种在(3, 402). 点评:对于新定义型的试题,首先要把握好新定义的含义,这是解决问题的前提,把新 定义弄清楚了,问题就是常规的了,在递推数列问题中,往往数列的前几项能给我带来 归纳问题一般结论的启示,所以在解答这类问题时,要小心计算数列的前面几项,千万 不要出错,不然数列的一般规律就被个别的错误数字所掩盖了. 题型 5 数列与其他知识的交汇性的综合性解答题

1.数列与不等式的交汇 例 9. (安徽省皖南八校 2009 届高三第二次联考理科数学第 20 题) 已知等差数列 {an } 的 前 n 项和为 Sn ,公差 d ? 0, a1 ? 1 ,且 a1 , a2 , a7 成等比数列. (1)求数列 {an } 的前 n 项和公式 Sn ; ( 2 ) 设 bn ?

2Sn , 数 列 {bn } 的 前 n 项 和 为 Tn , 求 证 : 2n ? 1

2Tn ? 9bn?1 ? 18 ?

64bn (n ? 1) . (n ? 9)bn?1

分析: (1)利用基本量方法,通过方程求出等差数列 ?an ? 的公差; (2)数列 {bn } 满足

bn ?

2Sn ,这是一个等差数列的前 n 项和与一个关于 n 的一次函数之比,数列 {bn } 极 2n ? 1
2 a1 , a2 , a7 成等比数列,? a2 ? a1 ? a7 ,即 (a1 ? d )2 ? a1 (a1 ? 6d )

可能也是一个等差数列,求出其和后,根据不等式的有关知识解决. 解析: (1)

又 a1 ? 1, d ? 0,?d ? 4 , ? S n ? na1 ? (2)

2Sn 2n(2n ? 1) ? ? 2n . ?{bn } 是首项为 2 ,公差为 2 的等差数列, 2n ? 1 2n ? 1 n(2 ? 2n) ? Tn ? ? n2 ? n . 2 bn ?

n(n ? 1) d ? n ? 2n(n ? 1) ? 2n 2 ? n. 2

?2Tn ? 9bn?1 ?18 ? 2n2 ? 2n ?18(n ?1) ? 18
. ? 2n2 ?16n ? 36 ? 2(n2 ? 8n ?16) ? 4 ? 2(n ? 4)2 ? 4 ? 4 (当且仅当 n ? 4 时取“ ? ”) ①

64bn 64 ? 2n 64n 64 64 ? ? 2 ? ? ? 4. (n ? 9)bn?1 (n ? 9) ? 2(n ? 1) n ? 10n ? 9 n ? 9 ? 10 6 ? 10 n 9 当且仅当 n ? 即 n ? 3 时取“ ? ”. ② n
又① ② 中等号不可能同时取到,? 2Tn ? 9bn ?1 ? 18 ?

64bn (n ? 1). (n ? 9)bn?1

点评:本题以等差数列与等比数列的基础知识入手设计,除了考查数列的基础知识外,

重在考查对不等式的理解深度、证明不等式的基本方法,解题的不同思维走向决定了解 题的“简繁”程度,如本题要是选择证明 2n ? 16n ? 36 ?
2
2 析,走证明 2n ? 16n ? 36

64n ,不进行仔细分 n ? 10n ? 9
2

?

?? n

2

? 10n ? 9 ? ? 64n 的路子,问题虽然也能解决,但复杂

程度可想而知. 2.数列与函数、不等式的交汇 例 10. (广东省潮州市 2008~2009 学年度第一学期高三级期末质量检测理科第题)已知

A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 是 f ( x) ?
且 OM ?

1 x 1 ? log 2 的图象上任意两点,设点 M ( , b ) , 2 1? x 2

n ?1 1 i (OA ? OB ) ,若 Sn ? ? f ( ) ,其中 n ? N? ,且 n ? 2 . 2 n i ?1

(1)求 b 的值; (2)求 Sn ; (3)数列 {an } 中 a1 ? 和为 Tn , 求 ? 的取值范围使 Tn ? ? (Sn?1 ? 1) 对一切 n ? N 都成立.
?

2 1 ,当 n ? 2 时, an ? ,设数列 {an } 的前 n 项 3 ( Sn ? 1)(Sn ?1 ? 1)

分析: (1)向量试说明 M 是 AB 的中点,根据中点坐标公式求解 b 的值; (2)根据经验 和第一问的结果,这是一个倒序相加求和的问题; (3) 解析: (1)由 OM ? 则

1 1 (OA ? OB ) ,得点 M ( , b ) 是 AB 的中点, 2 2

1 1 ( x1 ? x2 ) ? , 故 x1 ? 1 ? x2 , x2 ? 1 ? x1 , 2 2

所以 b ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 1 1 x x 1 ? ( ? log 2 1 ? ? log 2 2 ) 2 2 2 1 ? x1 2 1 ? x2

x x x x 1 1 1 1 ? (1 ? log 2 1 ? log 2 2 ) ? (1 ? log 2 1 ? 2 ) ? (1 ? 0) ? 2 x2 x1 2 x2 x1 2 2
(2)由(1)知当 x1 ? x2 ? 1 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? y1 ? y2 ? 1 .

又 Sn ?

? f (n) ? f (n) ? f (n) ?
i ?1

n ?1

i

1

2

? f(

n ?1 ), n

∴S n ? f (

n ?1 n?2 )? f ( )? n n


1 ? f( ), n

1 n ?1 2 n?2 2Sn ? [ f ( ) ? f ( )] ? [ f ( ) ? f ( )] ? n n n n ? 1 ? 1 ? ? 1 ? n ?1
n ?1个

?[ f (

n ?1 1 ) ? f ( )] n n

? Sn ?

n ?1 ? ( n ? N ,且 n ? 2 ) . 2

(3) an ?

1 4 1 ? ? 1 ? ? 4? ? ?, ? n ? 1 ?? n ? ? n ? 1?? n ? 2 ? ? n ?1 n ? 2 ? ? 1 ? 1 ? ?? ? ? 2 ?? 2 ?

故当 n ? 2 时 Tn ?

2 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 4 ?? ? ? ? ? ? ? ? 3 ?? 3 4 ? ? 4 5 ?

1 ?? ? 1 ?? ? ?? ? n ? 1 n ? 2 ??

?

2n n?2 2 1 ? 4 2n ?1 ?? ,故由 Tn ? ? (Sn?1 ? 1) 得 , ? 4? ? ? ? ? 2? n?2 2 3 n?2 n?2 ?3 n?2?

即? ?

4n

? n ? 2?

2

,只要 ? ? ?

?

4n ? 4n 4 4 1 , ? ? ? , 2? 2 4 8 2 ? (n ? 2) ? max (n ? 2) n?4? n

故当 n ? 2 时, ? ? 当 n ? 1 是 T1 ? 故当 ? ?

1 ; 2

2 3 2 3 4 4 1 , S 2 ? 1 ? ,由 ? ? ? 得 ? ? ,而 ? . 2 3 2 9 9 2 3

1 ? 时可以对一切 n ? N 不等式 Tn ? ? (Sn?1 ? 1) 都成立. 2

点评:数列是以正整数为自变量的函数,从函数入手设计数列试题是自然的.本题从函 数图象的对称性出发构造了一个函数值的数列,再从这些已经解决的问题入手构造了一 个裂项求和问题和一个不等式恒成立问题,试题设计逐步深入.解答数列求和时要注意 起首项是不是可以融入整体,实际上本题得到的 Tn 对 n ? 1 也成立. 3.数列与导数、不等式的交汇

例 11 (浙江省五校 2009 届高三第一次联考理科第 21 题) 已知函数 f ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? x , 数列 ?an ? 满足: a1 ?

1 , ln 2 ? ln an ?1 ? an ?1an ? f ? an ?1an ? . 2

(1)求证: ln ?1 ? x ? ? x ; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)求证不等式: a1 ? a2 ?

? an ? n ? ln 2 ? ln ? n ? 2? .

分析: (1)构造函数、利用函数的单调性证明; (2)根据函数关系把数列的递推关系找 出来, 利用变换的方法将递推关系转化为等差数列或等比数列的关系解决; (3) 根据 (1) (2)的结果分析探究. 解 析: ( 1 ) f ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? x ,

f '? x? ?

1 x ?1 ? ? ,当 ?1 ? x ? 0 时, 1? x 1? x

f ' ? x ? ? 0 ,即 y ? f ( x) 是单调递增函数;当 x ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 ,即 y ? f ( x) 是单
调递减函数. 所以 f ' ? 0? ? 0 ,即 x ? 0 是极大值点,也是最大值点

f ? x ? ? ln ?1? x ? ? x ? f ? 0? ? 0 ? ln ?1? x ? ? x ,当 x ? 0 时取到等号.
(2)由 ln 2 ? ln an?1 ? an?1an ? f ?an?1an ? 得 2an?1 ? an?1an ? 1 , an ?1 ?

1 , 2 ? an

an?1 ? 1 ?

a ?1 1 1 1 , ?1 ? n ? ?1 , an?1 ? 1 an ? 1 2 ? an 2 ? an

即数列 ?

? 1 ? 1 ? ?2 ,公差为 ?1 , ? 是等差数列,首项为 a1 ? 1 ? an ? 1 ?



1 n ? ?n ? 1 ? an ? . an ? 1 n ?1
? an ? 1 ? 1 1 ?1? ? 1?1 2 ?1 ?1? 1 ?1 1 ? n?? ? ? n ?1 ?2 3

(3) a1 ? a2 ?

?

1 ? ? n ?1 ?

又∵x ? 0 时,有 x ? ln ?1 ? x ? ,

令x?

1 1 1 ? n?2 ? ? 0 ,则 ? ln ?1 ? ? ln ? n ?1 n ?1 n ?1 ? n ?1 ?

∴n ? ?

?1 1 ? ? ?2 3

?

1 ? 4 5 ? 3 ? ? n ? ? ln ? ln ? ln ? n ?1 ? 3 4 ? 2 n? n? 2 n? 2 ? ? n? ? ? n? l n 1 2 ?

? ln

n ?1 n?2? ? ln ? n n ?1 ?

? 3 4 ? n ??l n ? ? ? 2 3
∴a1 ? a2 ?

?

ln ? 2 ?n l? n

?

2

? an ? n ? ln 2 ? ln ? n ? 2? .

点评:本题第一问的不等式及其类似的不等式是一类很重要的不等式,在各地的高考试 题中已经出现过多次,对其在解决数列问题中的应用要多加体会和总结;第二问中的递 推数列是形如 an ?1 ? 上就是和式

an ? m ? 0? 之类的递推数列的一个深化;第三问中的问题实际 man ? 1

1?

1 1 ? ? 2 3

?

1 的估计问题,这也是一个经常用来命题试题的地方. n

题型 6 不等关系与不等式、基本不等式及其应用 例 12. (2009 年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第 3 题)下列不等式不一定成 立的是 A. a ? b ? 2ab, (a, b ? R)
2 2

B. a ? 3 ? 2a, (a, b ? R)
2

C. | x ?

1 |? 2, ( x ? 0) x

D.

a?b ? 2

a2 ? b2 , ( a, b ? R ) 2
2

分析:根据基本不等式和不等式证明的基本方法逐个作出判断.
2 解析:根据重要不等式 A 中不等式成立;由于 a ? 3 ? 2a ? ? a ? 1? ? 2 ? 0 ,B 中的不

2 2 2 2 a?b a?b a 2 ? b2 ? a ? b ? a ? b ? 2ab a ? b 等式恒成立;根据 ? , ? ? ? ? ? ? 4 2 2 2 2 ? 2 ?

2

选项 D 中的不等式恒成立;只有选项 C 中的不等式当 x ? 1 时不成立.答案 C. 点评:注意 x ?

1 ? 2. x

例 13. (2008 高考江苏卷 11) 设 x, y, z 为正实数,满足 x ? 2 y ? 3z ? 0 ,则

y2 的最小 xz

值是 . 分析:根据所给定等式可以把“三元”问题转化为“二元”问题,根据基本不等式解决. 解析:

x ? 3z y 2 ? x ? 3z ? x 3 9z x 9z 3 y? ,故 ? ? ? ? ?2 ? ? ? 3 ,当且仅 2 xz 4 xz 4z 2 4x 4z 4x 2
2

当 x ? 3 z 时取等号.答案 3 . 点评:本题在一个新的环境下考查利用基本不等式求最值,解题的关键是根据已知条件 消掉目标式中的 y ,通过对目标式的变形,转化为考生所熟悉的使用基本不等式求最值 的情景. 题型 7 一元二次不等式 例 14(2008 年海南宁夏卷理 6)已知 a1 ? a2 ? a3 ? 0 ,则使得 (1 ? ai x)2 ? 1 (i ? 1, 2,3) 都成立的 x 取值范围是 A. ? 0,

? ?

1? ? a1 ? 1? ? a3 ?

B. ? 0,

? ?

2? ? a1 ? 2? ? a3 ?

C. ? 0,

? ?

D. ? 0,

? ?

分析:三个不等式都能成立的 x 第值必须同时满足三个不等式,三个不等式结构形式完 全一样,解出一个后,其余的类比. 解析: (1 ? ai x)2 ? 1 即 ai2 x2 ? 2ai x ? 0 ,即 ai x ? ai x ? 2? ? 0 ,由于 ai ? 0 ,这个不等 式可以化为 x ? x ?

? ?

2 ai

? 2 2 ? ? 0 ,即 0 ? x ? ,若对每个 应最小,即 ai 应最大,也即是 ai ai ?

0? x?

2 .答案 A. a1

? ?1 ? a1 x ?2 ? 1 ? 2 ? 点评:本题考查一元二次不等式的解法.本质上是一个不等式组 ??1 ? a2 x ? ? 1 的解集. ? 2 1 ? a3 x ? ? 1 ? ??
题型 8 简单的线性规划

? x ? 2 y ? 19 ≥ 0, ? 例 15.(2008 高考山东卷理 12)设二元一次不等式组 ? x ? y ? 8 ≥ 0, 所表示的平面区 ?2 x ? y ? 14 ≤ 0 ?
域为 M ,使函数 y ? a x (a ? 0,a ? 1) 的图象过区域 M 的 a 的取值范围是 A. [1 , 3] B. [2,10] C. [2, 9] D. [ 10, 9]

分析:画出不等式组所表示的平面区域后,根据函数图象与性质作出定量的解答. 解析:区域 M 是一个三角形区域,三个顶点的坐标是 ?3,8? , ? 2,10? , ?1,9? ,结合图形检 验可知当 a ? ? 2,9? 时,符合题目要求.答案 C.

点评:本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域、指数函数的图象等基础知识,数 形结合的数学思想,分析问题解决问题的能力,是一道在知识网络的交汇处设计的能力 型试题.解题的关键是利用数形结合的思想,通过对指数函数图象的变化趋势找到 a 的 取值范围. 例 16. (浙江省 2009 年高考省教研室第一次抽样测试理科第 17 题)在直角坐标系中,

?y ? 0 ? 若不等式组 ? y ? 2 x 表示一个三角形区域,则实数 k 的取值范围 ? y ? k ( x ? 1) ? 1 ?
是 . 分析:区域边界两“静”一“动” ,画出区域数形结合解决. 解析: ? ??, ?1? 对于如图所示,对于直线 y ? k ( x ? 1) ? 1过点为 ?1, ?1? 的直线当过原 点为界和垂直时的范围内可构成三角形区域,因此 k 的取值范围是 ? ??, ?1? .

点评:本题看似简单,实际上在考试中真正做对并不容易,两条定直线构成一个角形区 域,但那条动直线当斜率为正和为负时,是很容易弄错的.

【专题训练与高考预测】
一、选择题 1.在数列 {an } 中,如果存在非零的常数 T ,使得 an?T ? an 对于任意正整数 n 均成立,那么 就 称 数 列 {an } 为 周 期 数 列 , 其 中 T 叫 做 数 列 {an } 的 周 期 . 已 知 数 列 {xn } 满 足

xn?2 ?| xn?1 ? xn | ( x ? N ? ) ,若 x1 ? 1, x2 ? a (a ? 1, a ? 0) ,当数列 {xn } 的周期为 3 时,
则数列 {xn } 的前 2009 项的和 S2009 为 A. 669 B. 670 C. 1339 D. 1340 ( ) ( )

2.已知等比数列 {an } 中 a2 ? 1 ,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是 A. ? ??, ?1 C. ?3, ?? ?

?

B. ? ??,0? D. ? ??, ?1?

?1, ???

?3, ???
? 1 a2009
的整数部 ( )

3.数列 ?an ? 满足 a1 ? 分是 A. 0
2

3 1 1 , an ?1 ? an 2 ? an ? 1(n ? N ? ) ,则 m ? ? ? 2 a1 a2
B. 1 C. 2 D. 3

4.使不等式 x ? 3x ? 0 成立的必要不充分条件是 A. 0 ? x ? 3 B. 0 ? x ? 4 C. 0 ? x ? 2

( D. x ? 0 或 x ? 3 ( D .m ? 2



5.已知 0 ? x ? y ? a ? 1 , m ? loga x ? loga y ,则有 A .m ? 0 6.设 an ? B. 0 ? m ? 1 C. 1 ? m ? 2



sin1 sin 2 sin n ? 2 ? ??? ? n , 则对任意正整数 m, n(m ? n) , 都成立的是( 2 2 2



m?n 2 1 C. | an ? am |? n 2
A. | an ? am |? 二、填空题

m?n 2 1 D. | an ? am |? n 2
B. | an ? am |?

7.已知数列{ an }、{ bn }都是等差数列, S n , Tn 分别是它们的前 n 项和,并且

S n 7n ? 1 , ? Tn n?3



a2 ? a5 ? a17 ? a22 ? b8 ? b10 ? b12 ? b16



8.已知点 P (a, b) 与点 Q ?1,0 ? 在直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 的两侧,则下列说法 (1) 2a ? 3b ? 1 ? 0 (2) a ? 0 时,

b 有最小值,无最大值 a
2 2

(3) ?M ? R? , ,使 a ? b ? M 恒成立 (4) a ? 0且 a ? 1 , b ? 0时 , 则 其中正确的是

1 b 的取值范围为 ( ??, ? ) 3 a ?1

2 ( , ??) 3

(把你认为所有正确的命题的序号都填上)

? x ? y ? 2, ? 9.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 2, 则 z ? 2 x ? y 的最小值是 ?0 ? y ? 3, ?
三、解答题 10.已知数列 f ? n? 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? n2 ? 2n . (1)求数列 f ? n? 通项公式;



?

?

?

?

(2)若 a1 ? f ?1? , an?1 ? f ? an ? ? n ? N *? ,求证数列 ? an ? 1 ? 是等比数列,并求数列

?an ? 的前 n 项和 Tn .
, 2, 3, ) 11. 数列 ?an ? 中,a1 ? 2 ,an?1 ? an ? cn( c 是不为零的常数,n ? 1 , 且 a1,a2,a3
成等比数列. (1)求 c 的值;

(2)求 ?an ? 的通项公式; (3)求数列 {

an ? c } 的前 n 项之和 Tn . n ? cn

12.数列 ?an ? 中, a1 ? t, a2 ? t 2 ( t ? 0 且 t ? 1 ) .

x ? t 是函数 f ( x) ? an?1x3 ? 3[(t ?1)an ? an?1 ]x ?1(n ? 2) 的一个极值点.
(1)证明数列 {an?1 ? an } 是等比数列,并求数列 {an } 的通项公式; (2)记 bn ? 2(1 ? 最小值; ( 3 ) 当 t ? 2 时 , 是 否 存 在 指 数 函 数 g ? x? , 使 得 对 于 任 意 的 正 整 数 n 有

1 ) ,当 t ? 2 时,数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,求使 Sn ? 2008 的 n 的 an

? (a
k ?1

k

k

g (k ) 1 ? 成立?若存在,求出满足条件的一个 g ? x ? ;若不存在,请说 ? 1)(ak ?1 ? 1) 3

明理由.

【参考答案】
1. 解析: D 由已知 x3 ? a ?1 ? 1 ? a , 由于周期为 3 , 故 1? x4 ? 1 ? a ? a ? 1? 2a , 2 a1 ? ,

?9 , 1 , 于 0 ,2 0 0 故 a ? 1 , 这 个 数 列 是 1 , 1 , 0 , 1, 由

? 6 6? 9, 3 故 2

S2009 ? 669 ? 2 ? 1 ? 1 ? 1340
2.解析:D ∵ 等比数列 ? an ? 中 a2 ? 1 ∴S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? a2 ?1 ? q ?

? ?

1? 1 ? ? 1? q ? q? q

∴ 当公比 q ? 0 时, S3 ? 1 ? q ?

1 1 ? 1? 2 q ? ? 3 ; q q

当公比 q ? 0 时, S3 ? 1 ? ? ? q ?

? ?

? 1? 1? ? ? 1 ? 2 ? q ? ? ? ? ? ?1 q? ? q?

∴S3 ? ? ??, ?1?

?3, ???

故选 D.

3 .解析: B 由已知可得 an (an?1 ? an ) ? (an ? 1)(an?1 ?1) ,故有

1 1 1 ,故 ? ? an an ? 1 an ?1 ? 1

m ? 2?

1 a2009 ? 1





an ?1 ? an ? ? an ? 1?
2

2





an?1 ? an





3 ?3? a2 ? ? ? ? ? 1 ? 2 ?2?

2



7 4

1 21 ?7? 7 故当 n ? 3 时 an ? 2 , 故 a2009 ? 1 ? 1,0 ? ? 1, a3 ? ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? 2 , a2009 ? 1 16 ?4? 4
故1 ? m ? 2 ?

1 a2009 ? 1

? 2, 1 a2009

故1 ? m ?

1 1 ? ? a1 a2

?

? 2 的整数部分是1 .

2 4.解析:B 由 x ? 3x ? 0 ,解得 0 ? x ? 3 ,要找的是 0 ? x ? 3 的必要不充分条件.

2 5.解析:D 由 0 ? x ? y ? a ,得 0 ? xy ? a ,又 0 ? a ? 1 ,故

m ? loga x ? loga y ? loga xy ? loga a2 ? 2 .
6.解析: C

| an ? am |?|

sin(n ? 1) sin(n ? 2) sin m ? ? ??? ? m | n ?1 n?2 2 2 2 sin(n ? 1) sin(n ? 2) sin m ?| |?| | ? ??? ? | m | n ?1 n?2 2 2 2 1 1 ? m?1 n ?1 1 1 1 2 ? 1 ? 1 ? 1 . 故应选 C . ?| n ?1 | ? | n ? 2 | ? ??? ? | m |? 2 1 2 2 2 2n 2m 2 n 1? 2

7.解析:

31 5

a2 ? a 5 ? a 1 ? a 12 a ? a1 S 155 31 7 a 2 2 2a1 2 ? 2a 1 1 a ? 11 ? ? ? ? 22 ? 22 ? . b8 ? b 1 0? b 1? 22 b b ?2b 5 2b 1 6 2b ? 1 1 1 ?b 1 1 b 1 1T 2 2 25 2 2

8. 解析: ( 3) (4) 点在直线两侧, 则 ? 2a ? 3b ?1? ? ? 2 ?1 ? 3? 0 ?1? ? 0 ? 2a ? 3b ?1 ? 0 . 故 (1)不正确;点 P 所在的区域如图中的阴影部分,显然当点 P 在 y 轴两侧靠近 y 轴时,

b 可以无限大,也可以无限小,故(2)不正确;根据几何意义,对区域内的任意一点, a
都有 a ? b ?
2 2

1 1 ? ? ,故只要 M ? ? 0, ? 即可,故(3)正确;如图根据几何意义, 13 13 ? ?
0 斜 率 , 小 于 AB 的 斜 率 , 点 的

PA 的 斜 率 大 于 直 线 2 x ? 3 y? ? 1

1 ?0 1 ? 1? 3 B ? 0, ? , k AB ? ? ? ,故(4)正确. 0 ?1 3 ? 3?

9.解析: 1 如图,区域的三个顶点时 A, B, C ,逐个代入检验知 z ? 2 x ? y 最小值是1 .

10.解析: (1) n ? 2 时, f (n) ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1 .

n ? 1 时, f (1) ? S1 ? 3 ,适合上式,

∴ f (n) ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1 ? n ? N *? . (2) a1 ? f ?1? ? 3 , an?1 ? 2an ? 1 ? n ? N *? . 即 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) . ∴ 数列 ? an ? 1 ? 是首项为 4 、公比为 2 的等比数列.

an ?1 ? (a1 ?1) ? 2n?1 ? 2n?1 ,∴an ? 2n?1 ?1 ? n ? N *? .
Tn ? (22 ? 23 ? ? 2n?1 ) ? n ? 2n? 2 ? 4 ? n .

11.解析: (1) a1 ? 2 , a2 ? 2 ? c , a3 ? 2 ? 3c ,因为 a1 , a2 , a3 成等比数列, 所以 (2 ? c)2 ? 2(2 ? 3c) , (2)当 n ≥ 2 时,由于 解得 c ? 0 或 c ? 2 . ∵c ? 0 ,∴c ? 2 .

a2 ? a1 ? c , a3 ? a2 ? 2c ,
所以 an ? a1 ? [1 ? 2 ?

an ? an?1 ? (n ?1)c ,
n(n ? 1) c. 2

? (n ? 1)]c ?

又 a1 ? 2 , c ? 2 ,故 an ? 2 ? n(n ?1) ? n2 ? n ? 2(n ? 2, 3, ) . 当 n ? 1 时,上式也成立,所以 an ? n2 ? n ? 2(n ? 1 , 2, ) . (3)令 bn ?

an ? c 1 ? (n ? 1)( ) n n 2 n?c

--- 1 分

1 1 1 1 Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ?bn ? 0 ? ( ) 2 ? 2( ) 3 ? 3( ) 4 ? ? (n ? 1)( ) n ……① 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn ? 0 ? ( ) 3 ? 2( ) 4 ? ? ? (n ? 2)( ) n ? (n ? 1)( ) n ?1 ……② 2 2 2 2 2 1 n ?1 n ? 1 ① -② 得: Tn ? 1 ? ( ) ? n . 2 2
12.解析: (1) f '( x) ? 3an?1 x ? 3[(t ? 1)an ? an?1 ](n ? 2) .由题意 f ?( t ) ? 0 ,即
2

3an?1 ( t )2 ? 3[(t ?1)an ? an?1 ](n ? 2) ,∴an?1 ? an ? t (an ? an?1 )(n ? 2) ,

2 ∵t ? 0 且 t ? 1 ,∴ 数列 {an?1 ? an } 是以 t ? t 为首项, t 为公比的等比数列,

? an?1 ? an ? (t 2 ? t )t n?1 ? (t ? 1) ? t n ,? a2 ? a1 ? (t ? 1)t , a3 ? a2 ? (t ? 1) ? t 2 , an ? an?1 ? (t ? 1)t n?1

以上各式两边分别相加得 an ? a1 ? (t ?1)(t ? t 2 ? …t n?1 ) ,∴an ? t n (n ? 2) , 当 n ? 1 时,上式也成立,∴an ? t n (2)当 t ? 2 时, bn ?

2(2n ? 1) 1 ? 2 ? n?1 n 2 2

1 1 1 1 2n ? S n ? 2n ? (1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ) ? 2n ? 1 2 2 2 1? 2 1 1 ? 2n ? 2(1 ? n ) ? 2n ? 2 ? 2 ? n . 2 2 1 n 1 n 由 Sn ? 2008 ,得 2n ? 2 ? 2( ) ? 2008 , n ? ( ) ? 1005 , 2 2 1 n 1 n 当 n ? 1004 时 n ? ( ) ? 1005 ,当 n ? 1005 时 n ? ( ) ? 1500 , 2 2 因此 n 的最小值为 1005 . 1?
(3)∵

1 1 1 1 1 ? k ? k( k ? k ?1 ) k ?1 (ak ? 1)(ak ?1 ? 1) (2 ? 1)(2 ? 1) 2 2 ? 1 2 ? 1
k

令 g (k ) ? 2 ,则有:

g (k ) 1 1 ? k ? k ?1 (ak ? 1)(ak ?1 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1



? ( (a
k ?1

n

k

n g (k ) 1 1 ? ? ( k ?1 ? k ?1 ) ? 1)(ak ?1 ? 1) k ?1 2 ? 1 2 ? 1

?(

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 )?( 2 ? 3 ) ?…? ( n ? n ?1 ) ? ? n ?1 ? , 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 3 2 ?1 3
x

即存在函数 g ( x) ? 2 满足条件.


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