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【山东省新人教B版数学(理科)2012届高三单元测试20:选修2-2第二、三章《推理与证明、数系的扩充与复数》)


山东省新人教 B 版 2012 届高三单元测试 20 选修 2-2 第二、三章《推理与证明、数系的 扩充与复数》
(时间 120 分钟 满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.下列推理过程是类比推理的为( ) A.人们通过大量试验得出抛硬币出现正面的概率为0.5 B.科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼 C.通过检验溶液的 pH 值得出溶液的酸碱性 D.数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数 2.曲线 y ? x3 ? 2x ? 4 在点(1,3)处的切线的倾斜角为( A.30° B.45° C.60° ) D. (2? ,3? ) ) ) D.120°

3.函数 y ? x cos x ? sin x 在下列哪个区间内是增函数( A. (

? 3?
2 , 2

)

B. (

3? 5? , ) 2 2

C. (? , 2? )

4.已知函数 y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 在区间[a, 2 ]上的最大值为 A.

?

3 2
2

B.

1 2

C. ?

1 2
)

15 ,则 a 等于( 4 1 3 D. ? 或 ? 2 2

5.已知 f ( x) ? x ? 2 xf '(1) ,则 f '(0) 等于 ( A.2 B.0
/

C.-2

D. ?4

6.如图是导函数 y ? f ( x) 的图象, 那么函数 y ? f ( x) 在下面哪个区间是减函数( ) A. ( x1 , x3 ) B. ( x2 , x4 ) C. ( x4 , x6 )
4

D. ( x5 , x6 )
3 2

7.已知函数 f(x)= x ? 4 x ? 10 x ? 27 ,则方程 f(x)在区间[2,10]内零点的个数为( A.1
3



B.2
2

C .3

D.0 )

8.函数 f ( x) ? cos x ? sin x ? cos x, 在 [0, 2? ) 上是的最大值为( A.

4 8 16 32 B. C. D. 27 27 27 27 / / 9.设 f ( x ) 、 g ( x) 是定义域为 R 的恒大于零的可导函数,且 f ( x) g ( x) ? f ( x) g ( x) ? 0 , 则当 a ? x ? b 时有( ) A. f ( x) g ( x) ? f (b) g (b) B. f ( x) g (a) ? f (a) g ( x) C. f ( x) g (b) ? f (b) g ( x) D. f ( x) g ( x) ? f (a) g (a)

10. 用数学归纳法证明“ (n ? 1)(n ? 2)...(n ? n) ? 2n ?1? 3 ? 5...(2n ?1)(n ? N ? ) ”时,从 n ? k 到 n ? k ? 1 ,给等式的左边需要增乘的代数式是( A. 2k ? 1 B. ) D.

2k ? 1 k ?1

C.

(2k ? 1)(2k ? 2) k ?1
/

2k ? 3 k ?1

11.如果函数 y=f(x)的图象如右图,那么导函数 y ? f ( x) 的图象可能是(



( x), f ' (0)? 0, 对于任意实 数 x 都有 12. 已知二 次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的导数为 f '
2

f (1) (0) 的最小值为( f ( x ) ? 0, 则 f '
A.2 B.

) D.

5 2

C. 3

3 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 4 分,共计 16 分) 13.用反证法证明命题: “三角形的内角中至少有一个不大于 60 ”时,反设应该是

14.如果过原点作曲线 y ? e 的切线,那么切线方程是
x

15. 函数 y ? f ( x) 的图象与直线 x ? a, x ? b及 x 轴所围成图形的面积称为函数 f ( x ) 在

[a , b] 上的面积,已知函数 y ? sin nx 在 [0 ,
2? ] 上的面积为_____________ 在 [0 , 3
16.已知 2 ?

?
n

] 上的面积为

2 ( n ? N * ) ,则函数 y ? sin 3x n

2 2 3 3 4 4 a a , 。 。 。 ,若 6 ? ? 6 ? 2 , 3? ? 3 , 4? ? 4 3 3 8 8 15 15 b b
, b= .

(a , b ? R ) , 则 a=

三、解答题(本大题共 6 小题,共计 74 分) 17.(12 分)已知 a ? b ? c ,且 a ? b ? c ? 0 ,求证:
b 2 ? ac ? 3. a

18.(12 分)某厂生产某种产品 x 件的总成本 c( x) ? 1200 ?

2 3 x (万元) ,已知产品单价的 75

平方与产品件数 x 成反比,生产 100 件这样的产品单价为 50 万元,产量定为多少时总利润最 大? 19. (12 分) 已知 a, b, c 均为实数, 且 a ? x2 ? 2y ? 求证: a, b, c 中至少有一个大于 0.

?
2

, b ? y 2 ? 2z ?

?
3

, c ? z 2 ? 2x ?

?
6



20.(12 分)已知函数 f(x)=ax +bx +cx 在点 x0 处取得极大值 4, 其导函数 y=f?(x)的图象经过点(0,0),(2,0),如图, (1)求 a,b,c 的值; (2)若 x ? [?1,1], 求 f(x)的最大和最小值.

3

2

y 2

0

x

21.(12分)已知当 n ? N *时,S n ? 1 ? Tn ? 1 1 1 ? ? ? n ?1 n ? 2 n ? 3 (1)求S1 , S 2 及T1 , T2; ? 1 , 2n

1 1 1 ? ? ? 2 3 4

?

1 1 ? , 2n ? 1 2n

(2)猜想 S n 与Tn 的大小关系, 并用数学归纳法证明.

f ( x) ?
22. (14 分)已知函数

ax 在x ? 1 x ?b 处取得极值 2。 (1)求函数 f ( x) 的解析式;
2

(2)实数 m 满足什么条件时,函数 f ( x) 在区间 (m, 2m ? 1) 上单调递增?

时, f ( x) ? m 恒成立。 (3)是否存在这样的实数 m,同时满足:① m ? 1 ;②当 x ? ?? ?, m?
若存在,请求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由。

参考答案
一、选择题:

BBCCD
二、填空题:

BADCC

AA
; 14. y=ex; 15.

13. 假设三角形的三内角都大于 60

4 ; 16. a=6,b=35 . 3

三、解答题: 17. 证明:(分析法)因为 a ? b ? c ,且 a ? b ? c ? 0 , 所以 a ? 0 , c ? 0 ,要证明原不等式成立,只需证明 b2 ? ac ? 3a , 即证 b2 ? ac ? 3a 2 ,从而只需证明 (a ? c)2 ? ac ? 3a2 , 即 (a ? c)(2a ? c) ? 0 ,因为 a ? c ? 0 , 2a ? c ? a ? c ? a ? a ? b ? 0 , 所以 (a ? c)(2a ? c) ? 0 成立,故原不等式成立.

k , x 500 把 x = 100, a = 50 代入前式得 k = 250000,即 a ? , x 500 x 2 250 2 2 ? 1200 ? x3 ,令 y / ? ? x ? 0 ,得 x = 25 , 所以 y ? ax ? c( x) ? 75 x x 25
18. 解:设单价为 a , 总利润为 y , 由已知得 a ?
2

易知 x = 25 是极大值点,也是最大值点。 答:产量定为 25 件时总利润最大。 19. 证明: (反证法) 假设 a, b, c 都不大于 0,即 a ? 0, b ? 0, c ? 0 ,则 a ? b ? c ? 0 , 因为 a ? x 2 ? 2 y ?

π π π , b ? y 2 ? 2z ? , c ? z 2 ? 2x ? 2 3 6

?a ? b ? c ? (x2 ? 2 y ?

π π π ) ? ( y 2 ? 2z ? ) ? (z 2 ? 2x ? ) 2 3 6 2 2 2 ? ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? ( z ? 1) ? π ? 3 ? 0
' 2

即 a ? b ? c ? 0 ,与 a ? b ? c ? 0 矛盾,故假设错误,原命题成立. 20. 解: (1) f ( x) ? 3ax ? 2bx ? c , 由图象可知,当 x ? (0,2) 时,有 f ( x) ? 0, 当 x ? (2,??) 时,有 f ( x) ? 0,
' '

所以当 x=2 时 f(x)有极大值 4, f (0) ? f (2) ? 0,
' '

因此得

c?0 ? ? ?12a ? 4b ? c ? 0 ?(5 分) 解得 ? 8a ? 4b ? c ? 4 ?

a ? ?1, b ? 3, c ? 0.

(2)由(1)可知 f ( x) ? ? x 3 ? 3x 2 , f ' ( x) ? ?3x 2 ? 6 x , 由于 x ? [?1,1] ,列表如下 x -1 4 (-1,0) ↓ 0 0 0 (0,1) + ↑ 1 + 2

f ' ( x)
f ( x)

所以,当` x ? [?1,1] 时, f ( x) 的最大值是 4, f ( x) 的最小值是 0。 21. 解: (1) S1 ? 1 ?

1 1 1 1 1 7 ? , S2 ? 1 ? ? ? ? , 2 2 2 3 4 12 1 1 1 1 7 T1 ? ? , T2 ? ? ? 1?1 2 2 ? 1 2 ? 2 12
即:

(2)猜想: Sn ? Tn (n ? N * )

1 1 1 1? ? ? ? 2 3 4

?

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 n ? 3
(1)n=1 时,已证 S1=T1 ;

?

1 . (n∈N*) 2n

下面用数学归纳法证明

(2)假设 n=k 时,Sk=Tk(k≥1,k∈N*) ,即:

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 2k ? 1 2k k ? 1 k ? 2 k ? 3 1 1 1 1 ? ? Tk ? ? 则 Sk ?1 ? Sk ? 2k ? 1 2(k ? 1) 2k ? 1 2(k ? 1) ?

1 1 1 1? ? ? ? 2 3 4

?

1 . 2k

1 1 1 ? ? 2k 2k ? 1 2(k ? 1) ? 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ?? ? ? k ?2 k ?3 2k ? 1 ? k ? 1 2(k ? 1) ? 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? Tk ?1 (k ? 1) ? 1 (k ? 1) ? 2 2k 2k ? 1 2(k ? 1) ? ?
由①,②可知,对任意 n∈N*,Sn=Tn 都成立.

1 1 1 ? ? ? k ?1 k ? 2 k ? 3

f ( x) ?
22. 解: (1)已知函数

ax a( x 2 ? b) ? ax(2 x) ? , ? f ( x ) ? x2 ? b ( x 2 ? b) 2

?a(1 ? b) ? 2a ? 0, ? f ?(1) ? 0, ? ?a ? 4, 又函数f ( x)在x ? 1处取得极值2,? ? 即? a ?? ?2 ? f (1) ? 2, ? ?b ? 1. ?1 ? b

? f ( x) ?

4x . x ?1
2

f ?( x) ?
(2)由

4( x 2 ? 1) ? 4 x(2 x) 4(1 ? x 2 ) ? 2 ? 0 ? x ? ?1. ( x 2 ? 1) 2 ( x ? 1) 2

所以f ( x) ?

4x 的单调增区间为 [?1,1]. x ?1
2

即m ? ?? 1,0?时, (m,2m ? 1)为函数f ( x)的单调增区间 .

?m ? ?1, ? 若(m,2m ? 1)为函数f ( x)的单调增区间 , 则有?2m ? 1 ? 1, 解得 ? 1 ? m ? 0. ?2m ? 1 ? m, ?

(3)分两种情况讨论如下:

时,由(2)得f ( x)在?? ?, m?是单调递减 , 要使f ( x) ? m 恒成立,必须 ①当 m ? ?1

f ( x ) min ? f ( m ) ? 因为 m ? ? 1 , ? ? m ? 4
2

4m ? m, m2 ?1
2

? 1, 即 m m ?1 3 ( 舍去 ) 或者 m ?? 3

? 1 ? 4 ,? m

2

? 3

, 在?? 1, m?单调递增 , 要使f ( x) ? m ②当 ? 1 ? m ? 1时,由(2)得f ( x)在(??,?1)单调递减
恒成立,必须 f ( x) min ? f (?1) ? ?2 ? m, 故此时不存在这样的 m 值。 综合①②得:满足条件的 m 的取值范围是 m ? ? 3.


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