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正弦、余弦函数的定义与诱导公式(第二课时)


§1.4 正弦、余弦函数的定义与诱导公式(二)
【教材版本】 【教材分析】
本节教学内容的是已学过的三角函数定义等知识的延续和拓展。 根据任意角的正弦、 余 弦函数的定义, 结合角 ? 的终边与角 ? ? ? , ?? , 2? ? ? , ? ? ? , 北师大版

?
2

??,

?


2

? ? 的终边的关系,

找出这些角的三角函数值与角 ? 的三角函数值之间的关系,并利用这些关系求值、化简和 证明,即我们不仅要探索出这些关系式,还要掌握并能利用它们解决问题。 诱导公式是求三角函数值的基本方法。 诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数 值问题转化为求 ? 0,

? ?? ? 的角的三角函数值问题。诱导公式的推导过程,体现了数形结合和 ? 2?

归纳转化的思想方法, 反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式, 这对培养学生的创新意识、 发展学生的思维能力、掌握数学思想方法有重大的意义。 在教学中,一是要立足于知识的发生、发展形成过程,不断创设问题情境,让学生从已 有的知识及感知中去观察、分析、总结公式的特点和含义;二是力求以学生为主体,通过设 疑、 讨论以及画图思考来引导学生发展思维、 获取知识、 形成技能; 三是注重数学思想方法。 公式中涉及的角在分析导入时 ? 为锐角,但是在推导中却把 α 推广为任意角,这一思维 上的转折使学生难以理解,至会导致对其必要性的怀疑,因此它成为本课时的难点所在。

【学情分析】
对学生而言,尽管学习了任意角的三角函数定义,但他们最熟悉的还是锐角三角函数。 因此,遵循高级向低级转化、复杂向简单转化、未知向已知转化的思想,学生很自然的就意 识到: 能不能把任意角的三角函数转化为简单的锐角三角函数来求?在学习了周期性与诱导 公式一以后,这种想法并不是没有可能的。 由于图形是看的见的语言,借助单位圆的直观性、对称性,可以引导学生观察、猜想、 探究其他的诱导公式。这样,既有助于理解诱导公式,又能更好的反映问题的本质,为今后 的学习带来了很大方便。

【教学目标】
1.知识与技能
明确诱导公式的来龙去脉, 理解诱导公式的推导过程; 熟练正确地运用公式解决一些三
1

角函数的求值、化简和证明问题。

2.过程与方法
通过公式的推导和运用, 体会数式变形在数学中的作用; 培养学生的逻辑推理能力及运 算能力,渗透转化及分类讨论的思想。

3.情感、态度与价值观
培养学生勇于探索的创新意识和严谨科学的学习习惯; 渗透从特殊到一般、 把未知转化 为已知的数学思想, 通过一题多解、 一题多变、 多题归一, 提高分析问题和解决问题的能力; 体会数学式子的简洁美、对称美以及数学式子变化的无穷魅力。

【重点难点】
1.教学重点:诱导公式的推导及灵活运用,如三角函数式的求值、化简和证明。 2.教学难点:相关角的终边几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。

【教学环境】
1.多媒体课件 2.多媒体教室

【教学思路】
本节可的主要内容就是诱导公式的推导和运用,因此教学应把握两点: 1. 用类比的方法学习基础知识 诱导公式的推导过程都遵循这样一个思路:借助单位圆的直观性、对称性,寻找角的终 边之间的对称关系,进而得到角的终边与单位圆交点的对称关系,根据三角函数定义,得到 函数值之间的关系。 当然随着掌握的公式越来越多, 用已知的公式推导新公式也不失为一种 好方法。 2.用化归的数学思想指导三角函数的求值、化简与证明 公式的灵活运用一般步骤是:负化正,大化小,化到锐角为终了。体现了由未知转化为 已知的转化与化归的思想方法。

【教学过程】
一、导入新课
思路 1. 在前面的学习中,我们知道终边相同的角的同名三角函数值相等,即公式一,并 且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数值转化为 0 到 2π 范围内的角的三角函数值,

2

而求锐角三角函数值,我们可以通过查表求得。那么,对于

? 到 2π 范围内的角的三角函数 2

值怎样求解, 能不能有像公式一那样的公式把它们转化到锐角范围内来求解?这一节就来探 讨这个问题。 思路 2. 从猜想中引入:比如学生根据上节课所求,会得到以下结果:

5? ? 1 5? ? 3 ? sin ? , cos ? ? cos ? ? 6 6 2 6 6 2 2? ? 3 2? ? 1 sin ? sin ? , cos ? ? cos ? ? 3 3 2 3 3 2 sin
教师提问:观察角 角

2? ? 与 放到单位圆中又有什么发现呢?让学生在强烈的探求欲望中展开新课, 也是很不 3 3

5? ? 2? ? 5? ? 与 ,角 与 的的关系会得到什么结论?把角 与 , 6 3 6 6 3 6

错的选择。

二、新知探究

sin 2 ? ? ?? ? s i? n ,?c o k s? ? 2? ? ? ? k

? co ks ?Z ,

(公式一)

提出问题: 由公式一把任意角 ? 的三角函数值转化为求 ?0, 2? ? 内的角的三角函数值后, 如何进一步求它的三角函数值? 讨论结果:我们对 ? 0,

? ?? ?? ? ? 范围内的角的三角函数值是熟悉的,若能把 ? , 2? ? 内的角 ? 2? ?2 ?

? 的三角函数值转化为求锐角 ? 的三角函数值,则问题将得到解决,这就是数学化归思想。
对于任何一个 ?0, 2? ? 内的角 ? ,以下四种情况有且只有一种成立(其中 ? 为锐角) :

? ?? ? ? ? ?a ? ? ? ?? ?? ? a ? ? ?2? ? a ? ?

? ? ?0,
2

? ?? ? ? 2?

? ? ?[ ,? ) ? ? [? , ? ?[
3? ) 2

3? , 2? ) 2

所以,我们只需研究? 与? ? ? , ? ? ? , 2? ? ? 的三角函数的关系即研究了? 与 ? 的关系了。 1. 角 ? 与 ? ?? 的正弦函数、余弦函数关系 问题:① 锐角 ? 的终边与角 ? ?? 的终边位置关系如何?任意角 ? 呢?

3

② 它们与单位圆的交点的位置关系如何? 活动:让学生在单位圆中画出角

4? 4? 11? ? ? 11? 与 ? ? 、角 与? ? ,角 与? ? , 3 3 6 4 4 6

观察思考它们的终边位置关系以及终边与单位圆交点的关系。 结果: ① 通过对大量实例的观察分析,引导学生猜想:无论 ? 为锐角还是任意角,

? ?? 的终边都在 ? 的终边的反向延长线,即:任意角 ? 与角 ? ?? 的终边关于原点对称。
(演示课件,将角 ? 的终边任意旋转以验证同学们的猜想。 ) ② 利用图形可以直观的看出任意角 ? 与角 ? ?? 的终边与单位圆的交点也是关于原点 对称的,对应点的坐标分别是 P ? x, y ? 和 P' ? ?x, ? y ? 指导学生利用单位圆及正弦、余弦函数的定义可得:

sin ??y , sin ?? ? ? ? ? ? y ,
于是得到一组诱导公式:

c? os ?x c? o ?s? ? ? ? ? x ,

sin ?? ? ? ? ? ? sin ? cos ?? ? ? ? ? ? cos ?
2. 角 ? 与 ?? 的正弦函数、余弦函数关系 问题:① 锐角 ? 的终边与角 ?? 的终边位置关系如何?任意角 ? 呢? ② 它们与单位圆的交点的位置关系如何? 活动:让学生在单位圆中画出角

(公式二)

? 4? 11? ? 4? 11? 与 ? 、角 与? ,角 与? ,观察思 4 3 6 4 3 6

考它们的终边位置关系以及终边与单位圆交点的关系。 结果:① 通过对大量实例的观察分析,引导学生猜想:无论 ? 为锐角还是任意角,

?

与 ?? 的终边关于 x 轴对称。 (演示课件,将角 ? 的终边任意旋转以验证同学们的猜想。 ) ② 利用图形可以直观的看出任意角 ? 与角 ?? 的终边与单位圆的交点也是关于 x 轴对 称的,对应点的坐标分别是 P ? x, y ? 和 P ? x, ? y ?
'

指导学生利用单位圆及正弦、余弦函数的定义可得:

sin ? ? y, sin ? ?? ? ? ? y,

cos ? ? x cos ? ?? ? ? x,

于是得到一组诱导公式:

4

sin ? ?? ? ? ? sin ? cos ? ?? ? ? cos ?
3. 角 ? 与 2? ? ? 的正弦函数、余弦函数关系

(公式三)

法 1 :让学生在单位圆中讨论 ? 与 2? ? ? 的位置关系,启发学生思考:任意角 ? 与

2? ? ? 的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标。探索、概括、对照
公式三的推导过程,由学生自己完成公式四的推导。 法 2 :利用公式一及公式三很容易得到:

sin ? 2? ? ? ? ? sin ? ?? ? ? ? sin ? cos ? 2? ? ? ? ? cos ? ?? ? ? cos ?
4. 角 ? 与 ? ?? 的正弦函数、余弦函数关系 法 1 :让学生在单位圆中讨论 ? 与 ? ?? 的位置关系,通过 对大量实例启发学生思考:任意角 ? 与 ? ?? 的终边关于 y 轴对 称。进一步的有 ? 与 ? ?? 的终边与单位圆的交点也是关于 y 轴 对称的,对应点的坐标分别是 P ? x, y ? 和 P ? ? x, y ? 。对照公式三
'

(公式四)

y P’(-x,y) P(x,y)

? ??

?
x

的推导过程,由学生自己推导公式五。 法 2 :利用公式二及公式三很容易得到:

sin ?? ? ?? ? s i? n? ? ? ?? ?? cos ?? ? ?? ? c o ?? ? s? ?? ??

? ?? s i n? ? ? ? ?c ? ? ? o s?

? s? in

? ? c? os

(公式五)

小结: 2k? ? ? , ? ? ? , ?? , 2? ? ? , ? ? ? 的三角函数值,等于 ? 的同名函数值,前面 加上一个把 ? 看成锐角时原函数值的符号,简记为:函数名不变,符号看象限。 5. 角 ? 与

?
2

? ? 的正弦函数、余弦函数关系
y 让学生在单位圆中画出角

?
2

??

?
P(x,y)

P’(-y,x)

?

2
x

?

4? ? 11? 11? ,角 与 ? ,观察思考它们的终边位置 3 2 6 6

4? ? ? ? 与 ? 、角 与 2 4 3 4

关系以及终边与单位圆交点的关系。设任意角 ? 的终边与 单位圆的交点坐标是 P ? x, y ? ,借助于三角形相似,不难 证明角

?
2

? ? 的终边与单位圆的交点坐标是 P' ? ? y, x ? 。

指导学生利用单位圆及正弦、余弦函数的定义可得:

5

sin ? ? y, ?? ? sin ? ? ? ? ? x, ?2 ?
于是得到一组诱导公式:

cos ? ? x ?? ? cos ? ? ? ? ? ? y ?2 ?

?? ? sin ? ? ? ? ? cos ? ?2 ? ?? ? cos ? ? ? ? ? ? sin ? ?2 ?
6. 角 ? 与

(公式六)

?
2

? ? 的正弦函数、余弦函数关系

法 1 :仿照公式二、三的推导过程,寻找任意角 ? 与 到终边与单位圆的交点坐标,由三角函数定义推得。 法 2 :利用公式五及公式六很容易得到:

?
2

? ? 的终边位置关系,进而得

? ?? ? ?? ?? ?? ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? cos ? ?2 ? ?2 ?? ?2 ? ? ? ?? ? ?? ?? ?? ? cos ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? sin ? ?2 ? ?2 ?? ?2 ? ?

(公式七)

小结: ? ? 的正弦(余弦)函数值, 分别等于的余弦(正弦)函数值, 前面加上一个把 ? 看

?

2

成锐角时原函数值的符号。简记为:函数名改变,符号看象限。 问题: 学了七组诱导公式后,能否进一步归纳概括诱导公式,怎样概括? 结果: 两套诱导公式可以概括为 k ?

?
2

? ? , k ? Z 的各三角函数值,当 k 为偶数时,得 ? 的同

名函数值;当 k 为奇数时,得 ? 的余名函数值;然后在前面加上一个把 ? 看成锐角时原函 数值的符号。简记为:奇变偶不变,符号看象限。 师评:如果我们孤立地记忆这么多诱导公式,那么学习将十分苦累且效率低下。学习过 程中,能挖掘各个公式的本质特征,寻求它们之间的共性,那么数学公式的记忆就不再是负 担了。

三、应用示例
例 1 利用公式求下列三角函数值:

6

(1)

sin 840

(2) cos( ?

43? ) 6

分析: 这是直接运用公式的题目类型, 让学生熟悉公式, 通过练习加深印象, 逐步达到熟练、 正确地应用。让学生观察题目中的角的范围,对照公式找出哪个公式适合解决这个问题。 解:(1)

sin840 ? sin(720 ?120 ) ?sin120 (诱导公式一) ? sin(180 ? 60 ) ? sin 60 (诱导公式五)
3 . 2

?
cos(? ? cos(

(2)

43? 43? ) ? cos (诱导公式三) 6 6

7? 7? ? 6? ) ? cos (诱导公式一) 6 6

? cos( ? ? ) ? ? cos (诱导公式二) 6 6

?

?

??

3 . 2

点评:用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数,其一般步骤是:

任意负角的 三角函数

用公式三 或公式一

任意正角的 用公式一 三角函数

0~2π 的角 的三角函数

用公式二 或四或五

锐角三 角函数

上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法。可概括为: “负化正,大 化小,化到锐角为终了” (有时也直接化到锐角求值) 。 变式训练:用公式求下列三角函数值: (1)

sin 225

(2) cos ?2040

?

?

(3) sin ? ?

? 17? ? ? ? 3 ?

(4) cos ? ?

? 7? ? ? ? 6 ?

(学生分析角的特点→试练→订正→小结:运用诱导公式的格式;注意符号。 ) 例 2 已知 cos ? 分析:因为 ?

3 ? 5? ? ?? ? ,求 cos ? ?? ? ?? ? ? ? 6 ? ?6 ? 3

5? ?? ? ? 5? ? ?? ? ? ? 化成 ? ? ? ? ? ? ,再用公式。 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ,所以可以把 6 ?6 ? ? 6 ? ?6 ?
7

解: cos ?

? 3 ? 5? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? ? 3 ? 6 ? ?6 ?? ?6 ? ?
? 3? ? ? ? ? ? ? cos ? ? 2 ? ? 3? ? ? ? ? ? ? sin ? ? 2 ?

点评:角变换是此题的关键,应注意掌握角变换的技巧. 例 3 证明:(1) sin ? (2) cos ?

分析:直接应用公式三、七或者通过转化后利用公式三、七解决化简、证明问题. 证明:(1)

? ? 3? ? ?? ?? sin ?? ? ? s i n ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ?? ? ? ? 3? ? ?? ?? cos ?? ? ? c o s ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ?? ?

? ? ? s i n? ? ? ? ?? ? ? 2 ? ? ? c ? o s? ? 2

c? os

(2)

? ? ?? ?

? ?

s ? in

点评:① 由公式三及六、七推得 从而进一步可以推广到

k? ( k 为奇数)的情形。本例的结果可以直接作为诱导公式使用。 2 3? ?? ? ?? ? ? ? 可写成 ? ? ? ? ? ? ,也可以写成 2? ? ? ? ? ? 。不同 2 ?2 ? ?2 ?

3? ? ? 的三角函数值与角 ? 的三角函数值之间的关系, 2

②变角是有一定技巧的,如

的表达方法,决定着使用不同的诱导公式。

? 11? sin(2? ? a) cos(? ? a) cos( ? a) cos( ? a) 2 2 例 4 化简: . 9? cos(? ? a) sin(3? ? a) sin(?? ? a) sin( ? a) 2
分析: 仔细观察题目中的角, 哪些是可以利用公式一至五的, 哪些是可以利用公式六、 七的。

(? sin a)(? cos a)(? sin a) cos[5? ? (
解:原式=

?
2

? a)]

(? cos a) sin(? ? a)[? sin(? ? a)]sin[4? ? ( ? sin 2 a cos a[? cos( ? a)] 2 (? cos a) sin a[?(? sin a)]sin( ? a) 2
四、巩固练习
1、P19-20 练习 2 2、P19 思考交流

?
2

? a)]

?

=

?

=

? sin a =-tanα. cos a

五、课堂小结
本节课完成了诱导公式的学习任务,为求任意角的三角函数值“铺平了道路” 。公式一 至七可用一句话“奇变偶不变,符号看象限”来记忆。利用这些公式,可把任意角的三角函
8

数转化为锐角三角函数,为求值、化简、证明带来很大的方便。这种转化的思想方法,是我 们经常用到的一种策略,我们要多练习,在应用中达到熟练掌握的程度。另外,在运用公式 的过程中,有一些凑角、变角的技巧,需要细心去体会、去把握。

六、作业
P20 习题 1-4 A:2、7、8

9


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