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山东省冠县武训高中2013届高三12月第二次测试数学(理)试题


山东省冠县武训高中 2013 届高三 12 月第二次测试 数学(理)试题
一、选择题(本大题共 12 小题;每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项 是符合题目要求的,把正确选项的代号涂在答题卡上.) 1.已知函数 f ( x) ? lg(1 ? x) 的定义域为 M,函数 A. ?x | x ? 1, 且x ? 0? C. ?x | x ?

1?

y?

1 x 的定义域为 N,则 M ? N =(



B. ?x | x ? 1且x ? 0? D. ?x | x ? 1?

2.设两条直线的方程分别为 x+y+a=0,x+y+b=0,已知 a,b 是方程 x2+x+c=0 的两个实根, 1 且 0≤c≤ ,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( 8 ) .

1 3 , A. 3 3

B.

3 1 , 3 3

2 1 , C. 2 2

1 2 , D. 2 2

1 y ? ( )x 2 在 x ? 0 点处的切线方程是( 3.曲线
A. x ? y ln 2 ? ln 2 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0



B. x ln 2 ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0

f ( x) ? A sin(?x ? ?(A ? 0,? ? 0, |? ) |?
4.函数

?

) 2 的

部分图

? y ? f (x) 的图象向右平移 6 个单位后, 象如图示,则将
象解析式为( A. y ? sin 2 x ) B. y ? cos 2 x

得到图

y ? sin( 2 x ?
C.

?
3

)

y ? sin( 2 x ? ) 6 D.


?

x y 5.已知向量 a ? ( x ? 1,2), b ? (4, y) ,若 a ? b ,则 9 ? 3 的最小值为(

A.2

B. 2 3

C.6
·1·

D.9

sin 2? ? ?
6.已知

24 ? , ? ? (? ,0), 则 sin ? ? cos ? 25 4 等于( ?
C.



1 A. 5 ?

1 B. 5

7 5

7 D. 5
函 数

7.如图,设 D 是图中边长分别为 1 和 2 的矩形区域,E 是 D 内位于

y?

1 ( x ? 0) x 图象下方的阴影部分区域,则阴影部分 E 的面积为
B. 1? ln 2 [] D. 1? ln 2





A. ln 2 C. 2 ? ln 2

8. 已 知 函 数 f (x) 是 R 上 的 偶 函 数 , 若 对 于 x ? 0 , 都 有

f ( x ? 2) ? f ( x) ,且当 x ?[0,2)时, f ( x) ? log2 ( x ? 1) ,则 f (?2011 ? f (2012 的值为( ) )
A.-2 B.-1 C.1 D.2



9.在 ?ABC 中, P 是 BC 边中点,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 c AC ? aPA? bPB ? 0 ,则

????

??? ?

??? ? ?

?ABC 的形状为(
A.等边三角形 C.直角三角形
2

) B.钝角三角形 D.等腰三角形但不是等边三角形

10. 抛物线 y ? 2x 上两点 A( x1 , y1 ) 、B( x2 , y 2 ) 关于直线 等于( )

y ? x ? m 对称,且

x1 ? x 2 ? ?

1 2, m 则

3 A. 2

B. 2
x ?2

5 C. 2


D. 3 ,若 f (4) ? g (?4) ? 0 ,则 )

11.已知 f ( x) ? a

g ( x) ? loga x (a ? 0, a ? 1)

y ? f ( x), y ? g ( x) 在同一坐标系内的大致图象是(

·2·

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 F,F b 12. 在平面直角坐标系 xOy 中, 1 2 分别为椭圆 a 的左、右焦点,B,C 分别
cos ?F1 BF2 ? 7 25 , 则直线 CD 的斜率

为椭圆的上、下顶点,直线 为 ( )

BF2 与椭圆的另一个交点为 D,若

13 A. 25

12 B. 25

9 C 25

21 D. 25

二、填空题:本大题共有 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.把正确答案填在答题卡的相应位置. 13.在 ?ABC 中,若 sin A ? 2 cos B cos C ,则 tan B ? tan C ?

y ? 2 sin(
14.函数

?
3

? x), x ? (0,2? )
的单调递增区间为

3 y?? x 4 ,则双曲线的离心率为 15. 已知焦点在 y 轴上的双曲线的渐近线方程为

16.设实数 x , y 满足约束条件 d= 4a ? b 的最小值为

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? ?8 x ? y ? 4 ? 0 ?x ? 0 , y ? 0 ?

z?
,若目标函数 .

x y ? (a ? 0, b ? 0) a b 的最大值为 9,则

解答题.本大题共 6 个小题,共 74 分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤. 17.(本小题满分 12 分)
2 . 已知向量 m ? (2cos x, 3) , n ? (1, sin 2 x) ,函数 f ( x) ? m ? n .

?

?

? ?

(1)求函数 f (x) 的对称中心; (2)在 ?ABC 中,a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 f (C) ? 3, c ? 1, ab ? 2 3 ,且 a ? b ,求 a, b 的值.

18. (本小题满分 12 分)

已知数列

{an } 是各项均为正数的等比数列,且

a1 ? a2 ? 2(

1 1 1 1 ? ), a3 ? a4 ? 32( ? ). a1 a2 a3 a4

·3·

(1)求数列 (2)设

{an } 的通项公式;

2 bn ? an ? log 2 an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .

19.(本小题满分 12 分) 已 知 ?,? 是 三 次 函 数
f ( x) ? 1 3 1 x ? ax 2 ? 2bx ( a, b ? R ) 3 2

的 两 个 极 值 点 , 且

? ? 0,1 ( ),? ? 1,2) ( ,求动点 a,b) 所在区域面积 S. (

20.(本小题满分 12 分) 一铁棒欲水平通过如图所示的直角走廊,试回答下列问题: (1)用 ? 表示铁棒的长度 L(?) ; (2)若铁棒能通过该直角走廊,求铁棒长度的最大值.

21.(本小题满分 13 分)

f ( x) ?
已知函数 求 f (x) 的极值;

ln x ? a (a ? R) x .

2 ( 若函数 f (x) 的图象与函数 g ( x) ? 1 的图象在区间 0,e ] 上有公共点,求实数 a 的取值范围.

22.(本小题满分 l4 分)

x2 y 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) 2 2 b 设椭圆 C: a 的一个顶点与抛物线: x ? 4 2 y 的焦点重合,F1、F2 分别是

e?
椭圆的左、右焦点,离心率 (1)求椭圆 C 的方程;

3 3 ,过椭圆右焦点 F2 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点.

(2)是否存在直线 l ,使得 OM ? ON ? ?1 ,若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由;

???? ???? ?

·4·

3 | AB |2 (3)若 AB 是椭圆 C 经过原点 O 的弦,MN∥ AB,求 | MN | 的值.

·5·

高三理科数学答案 选择题 ACBDC BDCAA BB

填空题 13.2 解答题

5? 11? , ) 6 14. 6 (

5 15. 3

4 16. 3

17. 解: (1) f ( x) ? m ? n ? (2 cos x, 3) ? (1, sin 2x) ? 2 cos x ? 3 sin 2x ,
2 2

………………2 分

cos 2 x ? 1 ? 3 sin 2 x ? 2 sin( 2 x ?
=

?
6

) ?1
. ………………4 分

2x ?


?
6

? k?
得,

x?

k? ? ? (k ? Z ) 2 12 , (

k? ? ? ,1) ? 函数 f (x) 的对称中心为 2 12 . ………………5 分 f (C ) ? 2 sin( 2C ?

?

) ? 1 ? 3 ? sin( 2C ? ) ? 1 6 6 , ? 2C ?

?

?
6

? C 是三角形内角,

?

?
2 即:

C?

?
6
……………………7 分

?

cosC ?

b2 ? a 2 ? c2 3 ? 2ab 2
a2 ?

即: a ? b ? 7 .
2 2

………………9 分

将 ab ? 2 3 代入可得:

12 ?7 2 a2 ,解之得: a ? 3 或 4,

?a ? 3 或 2,?b ? 2或 3 .……………………11 分

? a ? b,?a ? 2, b ? 3 .
a1 ? a2 ? 2(
18.解: (1)∵

……………………12 分

a ?a 1 1 ? ) ? 2? 1 2 a1 a2 a1a2 ,

a3 ? a4 ? 32(

a ?a 1 1 ? ) ? 32 ? 3 4 a3 a4 a3a4 ,…………………………1 分

数列

{an } 各项均为正数。
·6·



a1a2 ? 2 , a3a4 ? 32 ,………………………………………………2 分
q4 ? a3a4 ? 16 a1a2 ,



∴ q ? 2 ……………………………………………………………………4 分 又 ∴ ∴

a1a2 ? a1 ? a1q ? 2 , a1 ? 1 ……………………………………………………………………6 分

an ? a1qn?1 ? 2n?1 ………………………………………………………7 分

(2)∵ ∴ ∴

bn ? an 2 ? log 2 an

bn ? 4n?1 ? (n ?1)
Sn ? 0 ? 40 ? 41 ? 2 ? 42 ? 3? 43 ? ?? (n ?1) ? 4n?1

4Sn ? 0 ? 41 ? 42 ? 2 ? 43 ? ?? (n ? 2)4n?1 ? (n ?1) ? 4n
两式相减得:

?3Sn ? 4 ? 42 ? 43 ? ?? 4n?1 ? (n ?1) ? 4n
4 ( ? n?14 ) 1 ? ? (n ? 1? ) n 4 1? 4
Sn ? (3n ? 4) n 4 ?4 ? 9 9



·7·

f ( x) ?
19.解:由函数

1 3 1 2 x ? ax ? 2bx (a, b ? R) 3 2 可得,
…………………………2 分
2

f ' ( x) ? x2 ? ax ? 2b ,

由题意知, ?,? 是方程 x ? ax ? 2b ? 0 的两个根, …………5 分

( ),? ? 1,2) ( ,因此得到可行域 且 ? ? 0,1
? f ' (0) ? 2b ? 0 ? ? f ' (1) ? 1 ? a ? 26 ? 0 ? f ' (2) ? 4 ? 2a ? 2b ? 0 ?
?b ? 0 ? ?a ? 2b ? 1 ? 0 ?a ? b ? 2 ? 0 ?
S?
所以

b

(-3,1) ……………9 分 -2 -1 0 a a+2b+1=0



,画出可行域如图.…11 分

a+b+2=0

1 2.

……………………12 分

20.解: (1)根据题中图形可知,

L(?) ?

2 2 ? ?? ? ,? ? ? 0, ? cos? sin ? ? 2 ?.
………………5 分

………………4 分

即求 L(?) 的最小值. 解法一:

L(?) ?

2 2 s i n ?cos ? ? ? ?2 cos s i n ? ? s i n ?c o s , ? ?

令 t ? sin ? ? cos? , t ? (1, 2 ] ,

L(t ) ?
原式可化为

4t 4 ? t ?1 t ? 1 t
2

………………9 分

因为 L(t ) 为减函数,所以 L(t ) ? L( 2 ) ? 4 2 .…………11 分 所以铁棒的最大长度为 4 2m . 解法二:
·8·

………………12 分

L(? ) ?
因为

? 2 cos? 2 sin ? ? sin 2 ? cos2 ? ,所以

? 2 cos? 2 sin ? 2(sin3 ? ? cos3 ? ) ? ? sin 2 ? cos2 ? sin 2 ? cos2 ? 2(sin? ? cos? )(sin2 ? ? sin ? cos? ? cos2 ? ) ? sin 2 ? cos2 ? L?(? ) ?
? ?? ? ? ? 0, ? ?

………………9 分

因为

2 ? ,所以

? ? ? 0, ] (

4 时, L(?) 为减函数,

? ? ? ?[ , )

4 2 时, L(?) 为

L(?) ? L( ) ? 4 2 min 4 增函数,所以 , ………………12 分

?

21.解: (1) f (x) 的定义域为

(0, ?),f ' ( x) ? ?
1?a

1 ? (ln x ? a) x2

…………2 分

令 f ' ( x) ? 0得x ? e 当 x ? (0, e
1?a



) 时, f ' ( x) ? 0, f ( x) 是增函数;

1?a a ?1 ? f ( x)在x ? e1?a 处取得极大值, f ( x)极大值 ? f (e ) ? e ,无极小

值.…………5 分 ①当 e
1?a

? e 2 时,即 a ? ?1 时,

1?a ( ( 1?a 2 由(1)知 f (x) 在 0,e ) 上是增函数,在 e , e ] 上是减函数,

? f ( x)m a x? f (e1?a ) ? ea?1,
又当 x ? e
?a

………………6 分 …………………7 分

时, f (x) =0,

当 x ? (0, e

?a

] 时 f ( x) ? 0 .当 x ? (e?a , e2 ] 时, f ( x) ? (0, ea?1 ) ,

2 ( ? f (x) 与图象 g ( x) ? 1 的图象在 0,e ] 上有公共点,

?ea?1 ? 1 ,解得 a ? 1 ,又 a ? ?1 ,所以 a ? 1 ………………9 分
②当∴ e
1? a

2 ( ? e2 即 a ? ?1 时, f (x) 在 0,e ] 上是增函数,

·9·

? f (x) 在 0,e ] 上的最大值为 (
2

f (e 2 ) ?

2?a e2

………………11 分

2?a ?1 2 2 所以原问题等价于 e ,解得 a ? e

?2.

又? a ? ?1 ? 无解. 综上,实数 a 的取值范围是 [1,??) . 22. 解: (1)椭圆的顶点为(0, 2 ) ,即 b ? ………………13 分

2

c b2 3 e ? ? 1? 2 ? a a 3 ,解得 a ? 3 ,
x2 y 2 ? ?1 2 ∴椭圆的标准方程为 3 …………………………2 分
(2)由题可知,直线 l 与椭圆必相交。 ①当直线斜率不存在时,经检验不合题意。…………………………3 分 ②设存在直线 l 为 y ? k ( x ? 1) ,且

M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) .

? x2 y 2 ?1 ? ? ?3 2 2 2 2 2 ? 由 ? y ? k ( x ? 1) 得 (2 ? 3k ) x ? 6k x ? 3k ? 6 ? 0 ,

x1 ? x2 ?

6k 2 3k 2 ? 6 , x1 ? x2 ? 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2 ,………………………………5 分

???? ???? ? OM ? ON ? x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? k 2[ x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ?1]
? 3k 2 ? 6 3k 2 ? 6 6k 2 ?k 2 ? 6 ? k2( ? ? 1) ? ? ?1 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

所以 k ? ? 2 ,故直线 l 的方程为 y ? 2( x ?1) 或 y ? ? 2( x ?1) ………9 分 (3)设

M ( x1, y1 ) , N ( x2 , y2 ) , A( x3 , y3 ) , B( x4 , y4 )
| MN |? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 ) 2

由(2)可得:

? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]
·10·

? (1 ? k 2 )[(

6k 2 2 3k 2 ? 6 4 3(k 2 ? 1) ) ? 4( )] ? 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2 .……………………11 分

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 ?3 6 x2 ? ? y ? kx y ,并整理得: 2 ? 3k 2 , 由? 消去
| AB |? 1 ? k 2 | x3 ? x4 |? 2 6(1 ? k 2 ) 2 ? 3k 2 ,………………………………13 分

24 3(1 ? k 2 ) 3 | AB | 2 ? 3k 2 ? ?6 | MN | 4 3(k 2 ? 1) 2 ? 3k 2 ∴ ………………………………………14 分
2

·11·


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