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高一数学必修四测试题


高一数学必修四测试题(一) 一、选择题: 1.下列命题中正确的是 A.第一象限角必是锐角 C.相等的角终边必相同 B.终边相同的角相等 D.不相等的角其终边必不相同 ( ) ( )

2.已知角 ? 的终边过点 P?? 4m, 3m? , ?m ? 0? ,则 2 sin ? ? cos ? 的值是 A.1 或-1 3.下列命题正确的是 A.若 a · b =

a · c ,则 b = c C.若 a // b , b // c ,则 a // c 4.计算下列几个式子,① tan 25
?
? ? ? ? ? ?
?

B.

2 2 或? 5 5

C.1 或 ?

2 5

D.-1 或

2 5
( )

?

?

?

?

?

B.若 | a ? b | ?| a ? b | ,则 a · b =0 D.若 a 与 b 是单位向量,则 a · b =1
? ? ? ?

?

?

? tan 35? ? 3 tan 25? tan 35? ,
?


tan 1 ? tan15? 6 ,结果为 3 的是( ②2(sin35?cos25?+sin55?cos65?), ③ , ④ ? ? 1 ? tan15 1 ? tan2 6

A.①② 5.函数 y=cos(

B.③

C.①②③

D.②③④ ( )

? -2x)的单调递增区间是 4 ? 5 A.[kπ+ ,kπ+ π] 8 8 ? 5 C.[2kπ+ ,2kπ+ π] 8 8

3 ? π,kπ+ ] 8 8 3 ? D.[2kπ- π,2kπ+ ](以上 k∈ Z) 8 8
B.[kπ-
2 2

6.△ ABC 中三个内角为 A、B、C,若关于 x 的方程 x ? x cos A cos B ? cos ( A.直角三角形 B.等腰三角形 )

C ? 0 有一根为 1,则△ ABC 一定是 2

C.锐角三角形

D.钝角三角形

7.将函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?
3

) 的图像左移 ? ,再将图像上各点横坐标压缩到原来的 1 ,则所得到的图象的解析式为
3 2

( A. y ? sin x C. y ? sin(4 x ? 8. 化简
2? ) 3



? B. y ? sin(4 x ? ) 3
D. y ? sin(x ?

?
3

)
( )

1 ? sin10 + 1 ? sin10 ,得到
B.-2cos5 C.2sin5 D.2cos5[]

A.-2sin5

9.函数 f(x)=sin2x·cos2x 是
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A.周期为π 的偶函数 C.周期为 10.若| a |? A.
? 的偶函数 2

B.周期为π 的奇函数 D.周期为
? 的奇函数. 2

2

, | b |? 2 且( a ? b )⊥ a ,则 a 与 b 的夹角是 B.





? 6

? 4
??
?

C.
??

? 3
?

D.
??
?

5 ? 12


11.正方形 ABCD 的边长为 1,记 AB = a , BC = b , AC = c ,则下列结论错误 的是( ..
c =0 A.( a - b )·
? ? ?

a =0 B.( a + b - c )·
? ?

?

?

?

?

C.(| a - c | -| b |) a = 0

?

?

?

D.| a + b + c |= 2

?

?

?

12.2002 年 8 月,在北京召开的国际数学家大会会标如图所示, 它是由 4 个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正 方形,若直角三角形中较小的锐角为 ? ,大正方形的面积是 1, 小正方形的面积是 A.1 二、填空题 13.已知曲线 y=Asin(?x+?)+k (A>0,?>0,|?|<π )在同一周期内的最高点的坐标为( 2),此曲线的函数表达式是 . .
? 5? , 4),最低点的坐标为( , - 8 8

1 , 则 sin 2 ? ? cos 2 ? 的值等于( 25 24 7 B. ? C. 25 25

) D. -

7 25

1 1 14.设 sin?-sin?= ,cos?+cos?= , 则 cos(?+?)= 2 3

15.已知向量 OP ? (2,1), OA ? (1,7), OB ? (5,1), 设X是直线 ,那么 OP 上的一点(O 为坐标原点) 小值是___________. 16 . 关 于 下 列 命 题 : ① 函 数 y ? tan x 在 第 一 象 限 是 增 函 数 ; ② 函 数 y ? cos 2(

XA ? XB 的最

?
4

? x) 是 偶 函 数 ;

③函数

? ? y ? 4 sin(2 x ? ) 的一个对称中心是( ? ,0) ;④函数 y ? sin(x ? ) 在闭区间 [? , ] 上是增函数; 写出所有 4 3 2 2 6
正确的命题的题号: 三、解答题 17. 已知 ? ? ? ? 3? , 0 ? ? ? ? , cos( ? ? ? ) ? ? 3 , sin( 3? ? ?) ? 5 ,求 sin ?? ? ? ? 的值.
4 4

?

?



4

4

5

4

13

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18.已知函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x 。 (I)求 f ( x) 的周期和振幅; (II)用五点作图法作出 f ( x) 在一个周期内的图象; (III)写出函数 f ( x) 的递减区间.

19. 已知关于 x 的方程 2x 2 ? ( 3 ? 1) x ? m ? 0 的两根为 sin ? 和 cos ? , ? ∈(0,π ). 求: (I)m 的值; (II)

tan ? sin ? cos ? ? 的值; tan ? ? 1 1 ? tan ?

(III)方程的两根及此时 ? 的值.

20. 已知点 A、B、C 的坐标分别为 A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),α∈ ( (I)若| AC |=| BC |,求角 α 的值; (II)若 AC · BC =-1,求

? 3? , ). 2 2

2 sin 2 ? ? sin 2? 的值. 1 ? tan?

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21. 某港口海水的深度 y (米)是时间 t (时) ( 0 ? t ? 24 )的函数,记为: y ? f (t ) 已知某日海水深度的数据如下:

t (时)
y (米)

0 10.0[

3 13.0

6 9.9

9 7.0

12 10.0

15 13.0

18 10.1

21 7.0

24 10.0

来 经长期观察, y ? f (t ) 的曲线可近似地看成函数 y ? A sin ?t ? b 的图象 (I)试根据以上数据,求出函数 y ? f (t ) ? A sin ?t ? b 的振幅、最小正周期和表达式; (II)一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为 5 米或 5 米以上时认为是安全的(船舶停靠时,船底只需不 碰海底即可) 。某船吃水深度(船底离水面的距离)为 6 .5 米,如果该船希望在同一天内安全进出港,请问, 它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)?

22. 已知向量 a ? ?2 cos(?? ),2 sin(?? )?, b ? cos(90? ? ? ),sin(90? ? ? ) (I)求证: a ? b ;

?

?

?

?

?

?

? ? k ? t2 ? ? ? ? ? ? 2 0 k (II)若存在不等于 的实数 和 t ,使 x ? a ? (t ? 3)b , y ? ?ka ? tb 满足 x ? y 。试求此时 的最小值。 t

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高一数学必修四测试卷(一) 参考答案

18. (本小题满分 12 分)

? ? 1 3 解: (I) y ? 2( sin x ? cos x) = 2(sin x cos ? cos x sin ) 3 3 2 2 = 2 sin( x ? ? ) -----------2 分 3
函数 f ( x) 的周期为 T= 2? ,振幅为 2。 (II)列表:
x
x? ?

----------------4 分

?
3

? 6 ? 2

2? 3

7? 6 3? 2

5? 3
2?

?
3

0

?

y ? 2 sin( x ?

?
3

)

0

2

0

-2

0

-----------------7 分

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图象如上。 ( III ) 由 2k? ? ---------10 分

----------------9 分

?
2

? x?

?
3

? 2k? ?

3? (k ? Z ) 解 得 : 2

2k? ?

?
6

? x ? 2k? ?

7? (k ? Z ) 6

所以函数的递减区间为 [2k? ?

?

6

,2k? ?

7? ], (k ? Z ) 6

-------12 分

∵ sin ? 与 cos ? 同号,又∵ sin ? ? cos ? >0 ∴ sin ? 与 cos ? 同正号 ∵ ? ∈(0,π) ∴ ? ∈(0, ∵ sin ? ? cos? ? -------------------------8 分

? ) 2

------------------9 分

3 ?1 3 ?1 ,且 sin ? ? cos? ? ? 2 2

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∴ sin ? = ∴? =

1 1 3 3 , cos ? = ;或 sin ? = , cos ? = 2 2 2 2

--------11 分

? ? 或? = . 6 3

---------------------------12 分

21. (本小题满分 12 分) 解: (I)依题意有:最小正周期为: T=12 振幅:A=3,b=10, ? ? --------1 分 ---------2 分 ----------------------4 分

y ? f (t ) ? 3 sin(

?
6

2? ? ? T 6

? t ) ? 10

(II)该船安全进出港,需满足: y ? 6.5 ? 5 即: 3 sin( ∴2k? ?

?
6

? t ) ? 10 ? 11.5

?
6

?

?
6

? t ? 2k? ?

5? 6

? 1 s i n ( ? t) ? 6 2
k?Z

---------6 分

12k ? 1 ? t ? 12k ? 5 k ? Z
又 0 ? t ? 24

-----------------------8 分 ------------10 分

? 1 ? t ? 5 或 13 ? t ? 17

依题意:该船至多能在港内停留: 17 ? 1 ? 16 (小时) ----12 分

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高一数学必修四测试题(二) 一、选择题: ⒈ 集合 M ? ? x x ? sin

? ?

n? ? ? n? ? , n ? Z ? , N ? ? x x ? co s , n ? Z ? 则集合 M ? N ? ( ) 3 2 ? ? ?
C. ?0? D. ?

A. ??1,0,1?

B. ?0,1?

1 3 2 tan13? 1 ? cos 50? 则有( ) 2.设 w a ? cos 6? ? sin 6?, b ? ,c ? , 2 2 2 1 ? tan 13? 2 w w A. a ? b ? c B. a ? b ? c C. b ? c ? a D. a ? c ? b . x ?x ?? k 3.要得到 y ? cos ? ? ? 的图象,只要将 y ? sin 的图象( ) 2 s ?2 4? 5 ? ? A B. 向右平移 个单位 u . 向左平移 个单位
. ? ? C D. 向右平移 个单位 c . 向左平移 个单位 4 4 o 24 ? , 则 tan 的值是 ( ) 4.已知 m ?是第三象限角且 sin ? ? ? 25 2 来 4 3 3 4 A . B. C. ? D. ? 源 : 5.下列命题正确的是( ) 高 A .若α ,β 是第一象限角,α >β ,则 sinα >sinβ 考 资 x B.函数 y ? tan 的图象的对称中心是 (2k? ,0), k ? Z ; 源 2 网 C .函数 f ( x) ? (1 ? cos2 x) sin 2 x, x ? R 的最小正周期是 2π

2

2

3

4

4

3

高 考 资 源 网 ( w w w . k s 5 u . c o m )

D.函数 y ? sin x cos 2? ? cos x sin 2? 的图象关于 y 轴对称,则 ? ? 6.在 ?ABC 中,若 lg sin A ? lg cos B ? lg sin C ? lg 2 ,则 ?ABC 是( A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 7.函数 y ? A.

k? ? ? , k ?? 2 4


3 cos 2 x ? sin x cos x ?
B.

3 的最小正周期是( 2
C. ? D. 2?



? 4

? 2

8.已知 tan( ? ? ? ) ?

? 1 ? 1 , tan( ? ? ) ? ? ,则 tan( ? ? ) 的值为 ( 4 2 4 3
B.1 C.



A. 2

2 2

D.2

? ? 2 9.已知 tan ? , tan ? 是方程 x ? 3 3x ? 4 ? 0 两根,且 ? , ? ? (? , ) ,则 ? ? ? 等于( ) 2 2
A. ?

2 ? 3

B. ?

2 ? ?或 3 3

C. ?

? 2 或 ? 3 3

D.

? 3

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10.函数 f ( x) ? log 1 (sin 2 x ? cos 2 x) 的单调减区间是( )
3

A. (k? ? C. (k? ?

? ? , k? ? ) 4 8

(k∈Z) (k∈Z)

B. (k? ?

? ? , k? ? ] 8 8

(k∈Z)

? 3 , k? ? ?) 8 8

D. (k? ?

? 5 , k? ? ?) (k∈Z) 8 8

11.已知 sin ? ?

3 1 ?? ? ,? ? ? , ? ? , tan ?? ? ? ? ? ,则 tan ?? ? 2? ? 的值为( ) 5 2 ?2 ?
B.

7 7 3 C. D. ? 4 24 24 12.定义在 R 上的偶函数 f ( x ) ,满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且 f ( x ) 在 [?3, ?2] 上是减函数,又 ? , ? 是锐角三角形的两个
A.

4 3

内角,则(

) B. f (cos ? ) ? f (cos ? ) D. f (sin ? ) ? f (cos ? )

A. f (sin ? ) ? f (sin ? ) C. f (sin ? ) ? f (cos ? ) 二、填空题:

13. 若 函 数 f ( x ) 是 偶 函 数 , 且 当 x < 0 时 , 有 f ( x ) =cos3 x +sin2 x , 则 当 x > 0 时 , f ( x ) 的 表 达 式 为 .

14.已知 y ? A sin ?? x ? ? ? ? b ? A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? 2? ? 在一个周期内有最高点 ? ? 数的解析式是__________. 15.函数 y ? 2sin x cos x ? 3(cos2 x ? sin 2 x) 的最大值与最小值的积为________.

? ? 7? ? ,1? ,最低点 ? , ?3 ? ,则该函 ? 12 ? ? 12 ?

?

16.化简

1 ? 2sin10 ?cos10 ? cos10? ? 1 ? cos 2170 ?

?

.

三、解答题: 17. (本题满分 12 分)已知 ?

?
2

? x ? 0, sin x ? cos x ?
(Ⅱ)求

1 . 5

(Ⅰ)求 sin x ? cos x 的值;

sin 2 x ? 2 sin 2 x 的值. 1 ? tan x

18. (本题满分 12 分) 已知 tan(? ? ? ) ?

1 1 , tan ? ? ? , ? , ? ? (?? , 0), 求 2? ? ? 的值. 2 7

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19.(本题满分 12 分)

3x 3x ? ? ? x x? ? ? , sin ?, b ? ? cos ,? sin ?, c ? 3,?1 2 2? 2 2? ? ? ? ? ? ? (Ⅰ)当 a ? b 时,求 x 的值的集合; (Ⅱ)求 a ? c 的最大值.
已知向量 a ? ? cos

?

?

?

20. (本题满分 12 分) 试求函数 y ? sin x ? cos x ? 2sin x cos x ? 2 的最大值与最小值

21. (本题满分 12 分) 求值 (Ⅰ) (

3 1 1 ? )? . 2 sin 140 ? cos 140 ? 2 sin 10?
2

(Ⅱ) sin 10? sin 30? sin 50? sin 70?

22.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?

) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) . 3 4 4

?

?

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和图象的对称轴方程; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [?

, ] 上的值域. 12 2

? ?

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高一数学必修四测试题(二)参考答案

一、选择题 高 考 资 6-10 ACBAB 源 11-12 CC w 网 w ( 二、填空题 w w 13. 答案 f x ? f ? x ? cos3 ? x ? sin 2 ? x ? cos3 x ? sin 2 x ? ? ? ? ? ? ? ? . w k w ? ? ? . 14s .答案: y ? 2sin ? 2 x ? ? ? 1 3 ? ? 5 k u s 15.答案:-4 . 5 c u 16.答案: 1 o . 三、解答题 m c 1 24 24 49 2 2 2 ? o 17来 .解析: (1) (sin x ? cos x) ? ( ) ,? 2sin x cos x ? ? , (sin x ? cos x) ? 1 ? 5 25 25 25 m 源 ? 7 ) : ? ? x ? 0, ? sin x ? cos x, ? sin x ? cos x ? ? 2 5 高 sin 2 x ? 2sin 2 x 2sin x(cos x ? sin x) sin 2 x(cos x ? sin x) 考 (2) ? ? sin x cos x ? sin x 资 1 ? tan x 1? cos x 源 网24 1 1-5 CDADD

?

?

* 25 5 ? ? 24 7 175 5

18. 解析: tan(2? ? 2? ) ? tan 2(? ? ? ) ?

1 1? 1 4

?

4 3

4 1 ? (? ) 7 ?1 tan(2? ? ? ) ? tan(2? ? 2? ? ? ) ? 3 4 1 1 ? (? ) 3 7 1 1 ? 3? 3? 1 tan ? ? tan(? ? ? ? ? ) ? 2 7 ? , ? ? (?? , 0) ,?? ? (?? , ? ), 2? ? (?2? , ? ) 1 3 4 2 1? 14 1 tan ? ? ? , ? ? (?? , 0) 7 ? ?? ? ? (0, ) 4 5? ? 2? ? ? ? (?2? , ? ) 4 7? ? 2? ? ? ? ? 4
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19. 解析: (1) Q a ? b ,? a ? b ? 0 ,即 cos 即 cos(

r

r

r r

3 x 3 x x ? cos ? sin x ? sin ? 0 2 2 2 2

3 x x ? ) ? cos 2 x ? 0 2 2 π kπ π π ? , k ? Z ,即 x ? ? ,k ?Z 所以 2 x ? k 2 2 4 kπ π ? , k ? Z} 所以, x 的集合为 {x | x ? 2 4 r r 2 r2 r r r2 (2) Q a ? c ? a ? 2a ? c ? c ? cos 2 3 3 3 3 x ? sin 2 x ? 4 ? 2( 3 cos x ? sin x) 2 2 2 2

? 5 ? 4(

3 3 1 3 cos x ? sin x) 2 2 2 2

3 ? ? 5 ? 4 sin( x ? ) 2 3 r r r r2 ? a?c ? 9 ,即 a ? c
max

max

?3

20. 解: y ? ?sin x ? cos x? ? ?sin x ? cos x? ? 1
2

? 令t ? sin x ? cos x ? 2 sin? x ? ? ?3 ? y ? t 2 ? t ? 1 ? ? ,3 ? 2 ? ?4 ?
即最大值为 3 ? 2 ,最小值为
21. 分析: (1)原式=
? ?
3 cos 2 1400 ? sin 2 1400 sin 140 cos 140
0
2 0 2 0

?? ? ? ? 2 , 2 ,则 4?

?

?

3 4
? 1 2 sin100
0 2

( 3 cos1400 ? sin1400 )( 3 cos1400 ? sin1400 ) (? sin 40 cos 40 )

?

1 2 sin10 0

? 4 sin 80 0 ? sin 2000 1 ? 1 2 sin10 0 sin 2 80 0 4 sin 2000 sin 2000 ? ?8 ? ? 16 ? 16 sin 80 0 cos 80 0 sin1600

(2) 22.

1 16

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1 cos 2 x ? 2 2? ? ? 1 f ( x) ? cos(2 x ? ) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) ? cos 2 x ? 3 4 4 2 1 ? cos 2 x ? 2 ?
? 周期T=
由 2x ?

3 sin 2 x ? (sin x ? cos x)(sin x ? cos x) 2 3 sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 2 6

2? ?? 2

?
6

? k? ?

?
2

(k ? Z ), 得:x=

k? ? ? (k ? Z ) 2 3

? 函数图象的对称轴方程为 x=


k? ? ? (k ? Z ) . 2 3

x ? [?

? ? 5? , ],? 2 x ? ? [? , ] 12 2 6 3 6

? ?

f ( x) ? sin(2 x ? )在区间[- , ]上单调递增,在区间[ , ] 上单调递减, 6 12 3 3 2
? 当x= 时,f ( x) 取得最大值 1。 3

?

? ?

? ?

?



f (?

?
12

)??

3 ? 1 ? f( )? 2 2 2

?当x=-

?
12

时,f ( x)取得最小值-

3 . 2

?函数f ( x)在[-

3 , ]上的值域为[,1]. 12 2 2

? ?

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高一数学必修四测试题(三) 一.选择题: 1.已知 ? 是锐角,那么角 3? 是( A.第三象限角 2若 )

B.第二象限 C.小于 270°的正角 D.第一、二或第三象限角 ) B. cos ? ? tan ? ? sin ? , D. tan ? ? sin ? ? cos ? . )

?
4

?? ?

?
2

,下列选项正确的是(

A. cos ? ? sin ? ? tan ? , C. cos ? ? sin ? ? tan ? ,

3 下列关于函数 y ? 4sin x , x ? ? ?? , ?? 的单调性的叙述,正确的是( A.在 ? ?? , 0? 上是增函数,在 ? 0 , ?? 上是减函数
?? ?? ? ? ? ?? ? B.在 ? ? , ? 上是增函数,在 ? ?? , ? ? 及 ? , ? ? 上是减函数 2? ?2 ? ? 2 2? ?

C.在 ? 0 , ?? 上是增函数,在 ? ?? , 0? 上是减函数
?? ?? ? ? ? ? D.在 ? , ? ? 及 ? ?? , ? ? 上是增函数,在 ? ? , 2 2 ? ? ? ? 2 ?
?? 上是减函数 2? ?

?? ?? ? ? 4 要得到函数 y ? 3sin ? 2x ? ? 的图像,只要把 y ? 3sin ? x ? ? 的图像所有的点( 5? 5? ? ?



A.横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的

T / ?C

1 倍,纵坐标不变 2

30 20 10

? C.横坐标伸长到原来的 2 倍,并向左平移 个单位 10
D.横坐标缩短到原来的

1 ? 倍,并向左平移 个单位 2 10

O

6

8 10 12 14 t / h

第6题

5 如图,某地一天从 6~14 时的温度变化曲线近似满足 函数: y ? Asin ? ?x ? ?? ? b ,则 A 、 ? 、 ? 、 b 分别是( A. A ? 10 、 ? ? C. A ? 30 、 ? ? )

? 3? 、?? 、 b ? 20 8 4
? 3? 、?? 、 b ? 10 8 4

B. A ? 20 、 ? ?

? 3? 、?? 、 b ? 10 4 4

1 3? D. A ? 10 、 ? ? 、 ? ? 、 b ? 20 8 4


6 已知△ABC 的顶点坐标分别为 A ?1, 1? 、 B ? 4 , 1? 、 C ? 4 , 5? ,则 cos A ? ( A. ?

4 5

B.

4 5

C. ?

3 5


D.

3 5

7 若 a ? 1 , b ? 2 , a ? b ? a ? 0 ,则 a 与 b 的夹角为( A. 30? 8 已知 tan ? ? A. ? B. 45? C. 60?

?

?

D. 135? ) D.

1 2 , tan ? ? ? ?? ? ? ,那么 tan ? 2? ? ? ? 的值为( 2 5
B.

3 4

1 12

C. ?

9 8

9 8

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?? 9 函数 f ? x ? ? sin 2 x ? 3sin x ? cos x 在区间 ? , ?4

?? 上的最小值是( 2? ?



A. 1

B.

1? 3 2

C.

3 2

D. 1 ? 3 )

?? ? ?? ? ??? 10 已知函数 f ? x ? ? 2sin ? ?x ? ?? 对任意 x 都有 f ? ? x ? ? f ? ? x ? ,则 f ? ? ? ( ?6? ?6 ? ?6 ?

A. 2 或 0 二.填空题

B. ?2 或 2

C. 0

D. ?2 或 0

11 已知 tan x ? 3 ? 0 ,则 x 的取值范围是: 12 如图,在四边形 ABCD 中, AB ? BD ? DC ? 6 ,^^^SSS***555UUU...CCC###OOO%%%下 下 下



AB ? BD ? BD ? DC ? 9 , AB ? BD ? BD ? DC ? 0 ,
则 AB ? DC ? AC

?

?



? x ? ?1 ? 3cos ? 13 在直角坐标系中, ? , ?? ?0 , 2?? ,所表示曲线的解析式是: ? y ? 2 ? 3sin ?

。 14已知f ( x) ? a sin x ? b tan x ? 1, 满足f (5) ? 7, 则f (?5) ? 三、解答题 15 已知平面内三个向量: a ? ? 3 , 2? . b ? ? ?1, 2? . c ? ? 4 , 1? 。

? ? ? ? (2)若 ? a ? ?c ? ⊥ ? 2b ? a ? ,求实数 ? 。
(1)若 a ? ?c ∥ 2b ? a ,求实数 ? ;

16 (本小题满分 12 分) (1)化简
1 ? 2 sin10? cos10? sin170? ? 1 ? sin2 170?



sin(? ? 5? ) cos(? ? ? ) cos(8? ? ? ) 7 2 (2) 若 cos? ? ,求 的值。 3? 4 sin(? ? ) sin(?? ? 4? ) 2

?

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17 已知函数 f ( x) ? 2 sin(2 x ?

?
3

) ? 1,

( 1 )求函数 y ? f ( x)的最大、最小值以及相 应的 x值; (2)若 x ? [0,2? ], 求函数 y ? f ( x)的单调增区间 ; (3)若 y ? 2, 求x的取值范围。

18. 已知:

f ? x ? ? 2 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? a ? 其中a ? R ? .

(Ⅰ) 若x ? R, 求f ? x ?的最小正周期; (Ⅱ) 若f ? x ? 在 ? ?

? ? ?? , 上最大值与最小值之和3, 求a的值. ? 6 6? ?

1? ? 19、已知向量 a ? ?sin x, 1? , b ? ? cos x, ? ? . 2? ?

(1)当 a ? b 时,求 a ? b 的值; (2)求函数 f ?x? ? a ? 2b ? a ? cos2 x 的最大值,并求出 f ?x ? 取得最大值时 x 的集合.

?

?

第 17 页(共 33 页)

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高一数学必修四测试卷(三)参考答案: 一、 CCBBA 二、 选择题 DBBAB 填空题

17、解:
20解: ( 1 )当2 x ?

?
3

? 2k? ?

?
2

, 即x ? k? ?

5? ,k ? Z时,函数y ? f ( x)取得最大值为3????? 2分 12

当2 x ?

?
3

? 2k? ?

?
2

, 即x ? k? ?

?
12

,k ? Z时,函数y ? f ( x)取得最小值为 ? 1; ???? 4分

(2)令T ? 2 x ? 也即k? ?

?
3

, 则当2k? ?

?
2

? T ? 2k? ?

?
2

,即2k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2k? ?

?
2



5? (k ? Z)时,函数y ? 2 sin T ? 1单调递增????????? 7分 12 5? 11? 17? 23? 又x ? [0,2? ],?函数y ? f ( x)的单调增区间为[0, ], [ , ], [ ,2? ]; ????????????? 9分 12 12 12 12 ? ? 1 ? ? 5? (3) ? y ? 2sin (2 x ? ) ? 1 ? 2,? sin (2 x ? ) ? , 从而2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? ?????11分 3 3 2 6 3 6 ? 7? ? 7? ? k? ? ? x ? k? ? (k ? Z) , 故满足条件的x的取值范围为k? ? ? x ? k? ? (k ? Z) ?12分 4 12 4 12 12 ? x ? k? ?

?

18、解: (Ⅰ)

f ( x) ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? a ? 2sin(2 x ? ) ? a ? 1 6
2? ?? 2

?

最小正周 T ? (Ⅱ)

x ? [?

? ?

, ] 6 6

? 2x ?

?
6

? [?

? ?

, ] 6 2

??

1 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 6

即?

? f ( x)max ? 2 ? a ? 1 ? f ( x)min ? ?1 ? a ? 1
第 18 页(共 33 页)

? 2a ? 3 ? 3

即: a ? 0

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高一数学必修四测试题(四) 一 、选择题 1. sin 390 ? (
0

)

A.

1 2

B. ?

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

2.下列区间中,使函数 y ? sin x 为增函数的是 A. [0, ? ] B. [

? 3?
2 , 2

]

C. [ ?

? ?
)

3.下列函数中,最小正周期为 A. y ? sin x

? 的是( 2

, ] 2 2

D. [? , 2? ]

B. y ? sin x cos x

C. y ? tan

x 2
)

D. y ? cos 4 x

4.已知 a ? ( x,3) , A.-1

b ? (3,1) , 且 a ? b , 则 x 等于 (
B.-9 C.9 ) D. ?

D.1

5.已知 sin ? ? cos ? ? A.

1 ,则 sin 2? ? ( 3
C.

2? ) 的图像, 需要将函数 y ? sin 2 x 的图像( 3 2? 2? A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 3 3
6.要得到 y ? sin(2 x ? C.向左平移

1 2

B. ?

1 2

8 9

8 9

)

? 个单位 3

D.向右平移

? 个单位 3

7.已知 a , b 满足: | a |? 3 , | b |? 2 , | a ? b |? 4 ,则 | a ? b |? ( A. 3 B. 5 C.3

) D.10 )

P 在 PP P 的坐标为 ( 8.已知 P 1 2 的延长线上, | PP 1 (2, ?1) , P 2 (0,5) 且点 1 |? 2 | PP 2 | , 则点
A. (2, ?7) 9.已知 tan(? ? ? ) ? A. B. ( ,3)

1 6

2 ? 1 ? , tan( ? ? ) ? , 则 tan(? ? ) 的值为 ( ) 5 4 4 4 22 3 13 B. C. D. 13 22 18


4 3

C. ( ,3)

2 3

D. (?2,11)

10.函数 y ? sin(?x ? ? ) 的部分图象如右图,则 ? 、 ? 可以取的一组值是( A. ? ? B. ? ? C. ? ? 二、填空题
第 20 页(共 33 页)

?
2

, ?? , ?? , ??

?
4

?
3

?
6

y

?
4

?
4

D. ? ?

?
4

, ??

5? 4

O

1

2

3

x
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11.已知扇形的圆心角为 120 ,半径为 3 ,则扇形的面积是 12.已知 ABCD 为平行四边形,A(-1,2),B (0,0),C(1,7),则D点坐标为 13.函数 y ? sin x 的定义域是 14. 给出下列五个命题: ①函数 y ? 2sin(2 x ? .

0

?
3

) 的一条对称轴是 x ?

②函数 y ? tan x 的图象关于点(

? ,0)对称; 2

5? ; 12

③正弦函数在第一象限为增函数 ④若 sin(2 x1 ?

?

) ? sin(2 x2 ? ) ,则 x1 ? x2 ? k? ,其中 k ? Z 4 4
(填写正确命题前面的序号)

?

以上四个命题中正确的有 三、解答题 15 (1)已知 cos a = -

4 ,且 a 为第三象限角,求 sin a 的值 5 4s i n ? ? 2c o s ? (2)已知 tan ? ? 3 ,计算 的值 5c o s ? ? 3s i n ?

? 3? sin(? ? ) cos( ? ? ) tan(? ? ? ) 2 2 16 已知 ? 为第三象限角, f ?? ? ? . tan( ?? ? ? ) sin( ?? ? ? )
(1)化简 f

?? ?
3? 1 ) ? ,求 f ?? ? 的值 2 5

(2)若 cos(? ?

17 已知向量 a , b 的夹角为 60 , 且 | a |? 2 , | b |? 1 , (1) 求 a b ; (2) 求 | a ? b | .

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18 已知 a ? (1,2) , b ? (?3,2) ,当 k 为何值时, (1) ka ? b 与 a ? 3b 垂直? (2) ka ? b 与 a ? 3b 平行?平行时它们是同向还是反向?

19(本小题满分 14 分) 某港口的水深 y (米)是时间 t ( 0 ? t ? 24 ,单位:小时)的函数,下面是每天时间与水深的关系表:

t
y

0 10

3 13

6 9.9

9 7

12 10

15 13

18 10.1

21 7

24 10

经过长期观测, y ? f (t ) 可近似的看成是函数 y ? A sin ?t ? b (1)根据以上数据,求出 y ? f (t ) 的解析式 (2)若船舶航行时,水深至少要 11.5 米才是安全的,那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港?

20(本小题满分 14 分) 已知 a ? ( 3sin x, m ? cos x) , b ? (cos x, ?m ? cos x) , 且 f ( x) ? a b (1) 求函数 f ( x ) 的解析式; (2) 当 x ? ? ?

? ? ?? 时, f ( x ) 的最小值是-4 , 求此时函数 f ( x ) 的最大值, 并求出相应的 x 的值. , ? 6 3? ?

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高一数学必修四测试卷(四) 参考答案: 一、ACDAD DDDCC 二、11. 3? 12. (0,9)
2 2

13. [2k? , 2k? ? ? ] k ? Z

14. ①④

三、15.解: (1)∵ cos ? ? sin ? ? 1 , ? 为第三象限角 ∴ sin ? ? ? 1 ? cos (2)显然 cos ? ? 0
2

? ? ? 1 ? (? ) 2 ? ?

4 5

3 5



4sin ? ? 2cos ? 4sin ? ? 2cos ? 4 tan ? ? 2 4 ? 3 ? 2 5 cos ? ? ? ? ? 5cos ? ? 3sin ? 5cos ? ? 3sin ? 5 ? 3tan ? 5 ? 3 ? 3 7 cos ?

? 3? sin(? ? ) cos( ? ? ) tan(? ? ? ) 2 2 16.解: (1) f ?? ? ? tan( ?? ? ? ) sin( ?? ? ? )
(? cos ? )(sin ? )( ? tan ? ) (? tan ? ) sin ? ? ? cos ? ?
(2)∵ cos(? ?

3? 1 )? 2 5 1 ∴ ? sin ? ? 5
又 ? 为第三象限角 ∴ cos ? ? ? 1 ? sin
2

从而 sin ? ? ?

1 5

? ??

2 6 5

即 f (? ) 的值为 ?

2 6 5

17.解: (1) a b ?| a || b |cos 60 ? 2 ?1? (2) | a ? b |2 ? (a ? b)2

1 ?1 2

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? a ? 2a b ? b ? 4 ? 2 ?1 ? 1 ?3
所以 | a ? b |? 3

2

2

18.解: ka ? b ? k (1,2) ? (?3,2) ? ( k ? 3,2 k ? 2)

a ? 3b ? (1, 2) ? 3(?3, 2) ? (10, ?4)
(1) (ka ? b ) ? (a ? 3b ) , 得 (ka ? b ) (a ? 3b ) ? 10(k ? 3) ? 4(2k ? 2) ? 2k ? 38 ? 0, k ? 19 (2) (ka ? b ) // (a ? 3b ) ,得 ?4(k ? 3) ? 10(2k ? 2), k ? ? 此时 k a ? b ? (?

1 3

10 4 1 , ) ? ? (10, ?4) ,所以方向相反。 3 3 3
13 ? 7 13 ? 7 ? 10 , A ? ?3 2 2

19.解: (1)由表中数据可以看到:水深最大值为 13,最小值为 7, h ? 且相隔 9 小时达到一次最大值说明周期为 9,因此 T ?

2?

2? t ? 10 故 f (t ) ? 3sin 9

?

? 9 ,? ?

2? , 9

( 0? t ? 2 4 )

(2)要想船舶安全,必须深度 f (t ) ? 11.5 ,即 3sin ∴ sin

2? 1 t? 9 2

2? t ? 10 ? 11.5 9 3 15 ? 2? 5? ? 9k k ? Z 2 k? ? ? t? ? 2 k? 解得: 9k ? ? t ? 4 4 6 9 6

又 0 ? t ? 24 当 k ? 0 时,

3 3 3 3 3 3 ? t ? 3 ;当 k ? 1 时, 9 ? t ? 12 ;当 k ? 2 时, 18 ? t ? 21 4 4 4 4 4 4

故船舶安全进港的时间段为 (0 : 45 ? 3: 45) , (9 : 45 ? 12 : 45) , (18: 45 ? 21: 45) 20.解: (1) f ( x) ? a b ? ( 3sin x, m ? cos x) (cos x, ?m ? cos x) 即 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? m2 (2) f ( x) ?

3 sin 2 x 1 ? cos 2 x ? ? m2 2 2

? 1 ? sin(2 x ? ) ? ? m 2 6 2
由 x ? ??

? ? ? 5? ? ? ? 1 ? ? ? ?? , ? , ? 2 x ? ? ?? , ? , ? sin(2 x ? ) ? ? ? ,1? , 6 ? 6 6 ? 6 ? 2 ? ? 6 3?

1 1 ?? ? ? m 2 ? ?4 , ? m ? ?2 2 2 ? ? ? 1 1 ? f ( x) max ? 1 ? ? 2 ? ? , 此时 2 x ? ? , x ? . 6 6 2 2 2
第 24 页(共 33 页) 山东世纪金榜科教文化股份有限公司

高一数学必修四测试题(五) 一、选择题:
2? ? ? 1、已知函数 f ?x ? 是 R 上的偶函数,且在区间 ?0,??? 上是增函数.令 a ? f ? sin ?, 7 ? ?
5? ? b ? f ? cos 7 ? A. b ? a
5? ? ? ? , c ? f ? tan 7 ? ? ?c B. c ? ? ,则 ?

( C. b ? c ? a D. a ? b ? c ) D.tanα ·tanβ =1



?b?a

2.若 α 、β 的终边关于 y 轴对称,则下列等式正确的是( A.sinα =sinβ 3. 已知 ? (0 ? ? B.cosα =cosβ C.tanα =tanβ

? 2? ) 的正弦线与余弦线相等,且符号相同,那 么 ? 的 值 为
B.

A.

?

3 或 ? 4 4
?
2

5? 7 或 ? 4 4
?
4

C.

?

5 或 ? 4 4


D.

?

7 或 ? 4 4

4.函数 y ? cos( 2 x ? A. x ? ?

) 的图象的一条对称轴方程是(
C. x ?

?
2

B. x ? ?

?
8


D. x ? ?

5.若 sin ? ? cos ? ? ? , 且0 ? x ? ? , 则 tan ?的值是 ( A. ? 或-

1 5

3 4

4 3

B.

4 3

C. ?

4 3

D.

?

3 4


(0, ) 6.在下列四个函数中,在区间 上为增函数,且以 ? 为最小正周期的偶函数是( 2
A.y=tanx B.y=sin|x| C.y=cos2x D.y=|sinx|

?

7.已知 f ( x) ? a sin(? x ? ? ) ? b cos(? x ? ? ) ? 4 ( a, b, ? , ? 为非零实数) , f (2007) ? 5 则 f (2008) ? ( 8.函数 y ? ? cos( ) A.3 B.5 C.1 ) D.不能确定

x ? ? ) 的单调递增区间是( 2 3

4 2 ? ? A. ?2k? ? ? ,2k? ? ? ? (k ? Z ) 3 3 ? ?

4 2 ? ? B. ?4k? ? ? ,4k? ? ? ? (k ? Z ) 3 3 ? ?
D. ?4k? ? ? ,4k? ? ? ? (k ? Z ) 3 3 ? ? )

2 8 ? ? C. ?2k? ? ? ,2k? ? ? ? (k ? Z ) 3 3 ? ?
9.函数 y=3sin(2x+

?

2

8 ?

? )的图象,可由 y=sinx 的图象经过下述哪种变换而得到:( 3

? 1 个单位,横坐标缩小到原来的 倍,纵坐标扩大到原来的 3 倍 2 3 ? 1 B. 向左平移 个单位,横坐标缩小到原来的 倍,纵坐标扩大到原来的 3 倍 2 3 ? 1 C.向右平移 个单位,横坐标扩大到原来的 2 倍,纵坐标缩小到原来的 倍 3 6
A. 向右平移
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? 1 1 个单位,横坐标缩小到原来的 倍,纵坐标缩小到原来的 倍 2 3 6 ? 10. 已知右图是函数 y ? 2 sin(? x ? ? )( ? ? ) 的图象,那么( ) 2
D.向左平移

A. ? ?

10 ? ,? ? 11 6

B. ? ?

10 ? ,? ? ? 11 6

C. ? ? 2, ? ? 二、填空题:

?
6

D. ? ? 2, ? ? ?

?
6

11.设扇形的半径长为 8cm ,面积为 4cm ,则扇形的圆心角的弧度数是 12.函数 y ? tan 2 x 的定义域是 13.设 f ( x) 是以 4 为周期的偶函数,且当 x ? [0,2] 时, f ( x) ? x ,则 f (7.6) ? 14、给出下列命题:

2

.

___.

①若 ? 、 ? 是第一象限的角且 ? ? ? , 则 tan ? ? tan ? ;②存在实数 ? ,使 sin ? cos ? ? 1 ;③ y ? sin( ④存在实数 ? , 使 sin? ? cos ? ? 是 .
sin(? ? ? ) ? cos(2? ? ? ) ? tan( 3? ??) 2 . cot(?? ? ? ) ? sin(?? ? ? )

5? ? x) 是偶函数; 2

3 ? 5? ;⑤ x ? 是函数 y ? sin(2 x ? ) 的一条对称轴方程; . 其中正确命题的序号 8 2 4

三、解答题: 15. 已知 f (? ) ? (1) 化简 f (? ) ;

(2) 若 cos(? ?

3? 1 ) ? ,且 ? 是第三象限角,求 f (? ) . 2 5

16.已知函数 y ? a ? b cos ? 2x ? (1)求 a , b 的值;

? ?

3 1 ?? ? (b ? 0) 的最大值为 ,最小值为 ? . 2 2 6?

(2)求函数 g ( x ) ? ?4a sin( bx ?

?
3

) 的最小值并求出对应 x 的集合

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cos( ? ? ) sin(?? ? ? ) 2 17. (1)已知角 ? 终边上一点 P(-4,3) ,求 的值 11? 9? cos( ? ? ) sin( ? ? ) 2 2
(2)求函数 y ? ? sin x ? tan x ?1 的定义域.

?

18.如图,根据函数的图象,求函数 y ? Asin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? ? ? ) 的解析式.

19.函数 y ? sin(?x ? ? )(? ? 0, ? ?

?
2

) 在同一个周期内,当 x ?

?
4

时 y 取最大值 1,当 x ?

7? 时, y 取最小值 12

? 1.
(1)求函数的解析式 y ? f ( x). (2)函数 y ? sin x 的图象经过怎样的变换可得到 y ? f ( x) 的图象? (3)若函数 f ( x) 满足方程 f ( x) ? a(0 ? a ? 1), 求在 [0,2? ] 内的所有实数根之和.

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数学参考答案 一、选择题: 题号 答案 1 A 2 A 3 C 4 B 5 D 6 D 7 A 8 D 9 B 10 C

二、填空题: 11、

1 8

12、

13、0.4

15 ③⑤

17、解: (1)

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(2)

?2k? ? ? ? x ? 2k? ? 2? ? ? sin x ? 0 5? 3? ? ?? ? x ? 2k? ? (k ? Z ) ? ? ? ? 2 k? ? 4 2 k? ? ? x ? k ? ? ? tan x ? 1 ? 0 ? ? 4 2

18、解:

19、解:

故所有实数之和为

?
2

?

11? 19? 11? ? ? 6 6 2
高一数学必修四测试题(六)

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一、选择题 1.若 sinθ· tanθ>0,则 θ 所在的的象限是 A.二、四 2.如果 cosα= A.m<4 3.函数 y=2-sin2x 是 A.周期为 π 的奇函数 C.周期为 2π 的奇函数 4.函数 y=3sinx +2cosx 的最小值是 A.0 5.设 k∈ Z,函数 y=sin( B.-3 C.-5 D.- 13 ( D.[2kπ, (2k+1)π] ) ) B.周期为 π 的偶函数 D.周期为 2π 的偶函数 ( )
m?4 4 m

( C.一、四 D.二、三 ( D.m≠4 (

)

B.一、二

有意义,那么 m 的取值范围是 B.m=4 C.m>4





? x ? x + )sin( - )的单调递增区间为 4 2 4 2
1 C.[kπ,(k+ ) π] 2

1 A.[(2k+1)π,2(k+1)π] B.[(k+ )π,(k+1)π] 2

6.已知 tanα,tanβ 是方程 x2+3 3 x+4=0 的两根,且 ? A. ?
2? 3

? ? ? ? <α< , ? <β< ,则 α+β 等于 ( 2 2 2 2
? 2? 或? 3 3
D .-

B.

? 3

C.

? 2? 或 3 3
( )

7.要得到函数 y=sin(2xA.向右平移

? )的图象,只需将函数 y=sin2x 的图象 3 ? 6
C.向左平移

? 3

B.向右平移

? 3

D.向左平移 (

? 6


8.已知|a|= 6 3 ,|b|=1, a· b=-9,则 a 与 b 的夹角是 A.300 B.600 C.1200 D.1500

9. 设 a,b 是两个非零向量,则下列说法中正确的是 A.a⊥b 与 a· b=0 是一致的 C.|a|>|b|与 a>b=0 是一致的 B.a· b=|a|· |b| D.a· b= -|a|· |b| B ) A O

( D



10.如图,四边形 ABCD 是梯形,AD∥BC,则 OA ? BC ? AB 等于( A. CD B.- CO C. DA D. CO

C

11.设 i= (1,0),j=(0,1),a=2i+3j,b=ki-4j,若 a⊥b,则实数 k 的值为 A.-6 B.-3 C.3 D.6





12.已知△ABC 的顶点 A(2,3)和重心 G 的坐标为(2, -1),则 BC 边上的中点坐标为 A.(2,-9) 二、填空题 13.函数 y=
1 的定义域为 1 ? tan 2 x





B.(2,-5)

C.(2,-3)

D.(2,0)

. .

? ? 1 14.已知 sinα= ,2π<α<3π,那么 sin +cos = 2 2 3
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15.已知|a|=3,|b|=5, 且向量 a 在向量 b 方向上的投影为 16.将函数 y=cosx 的图象按向量 b=(2kπ+ 三、解答题 17.证明:
tan ? sin ? tan ? ? sin ? . ? tan ? ? sin ? tan ? sin ?

12 ,则 a· b= 5

. 的图象.

? ,1)( k∈ Z)平移, 得到函数 2

18.已知 cos(α-

? ? ? ? ? ?? 1 2 )= ? ,sin( ? ? )= ,且 α∈ ( ,π),β∈ (0, ),求 cos 的值. 2 2 2 2 2 9 3

19.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+C(A>0, C >0,| φ|< (1)求 A,C,ω,φ 的值;

? )在同一周期中最高点的坐标为(2,2),最底点的坐标为(8,-4). 2

(2)作出函数的一个周期的简图,并由图象指出这个函数的单调递增区间.

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20.设 e1,e2 是两个不共线的非零向量. (1)若 AB = e1+e2, BC =2 e1+8e2, CD =3(e1-e2),求证:A,B,D 三点共线; (2)试求实数 k 的值,使向量 ke1+e2 和 e1+ke2 共线.

21.在△ ABC 中,设 BC =a, CA =b, AB =c. (1)若△ ABC 为正三角形,求证:a· b=b· c=c· a; (2)若 a· b=b· c=c· a 成立,△ ABC 是否为正三角形?

22.设函数 f(x)=a· b,其中 a=(2cosx,1), b=(cosx, 3 sin2x), x∈ R. (1)若 f(x)= 1- 3 ,且 x∈ [?

? ? , ],求 x; 3 3
? )平移后得到函数 y= f(x)的图象,求实数 m、n 的值. 2

(2)若函数 y=2sin2x 的图象按向量 c=(m,n)(|m|<

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