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【三维设计】2015届高考数学一轮复习 第二节 空间几何体的表面积与体积课件 理 新人教A版


第二节

空间几何体的表面积与体积

1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱

圆锥

圆台

侧面

展开图

侧面 积公式

S圆柱侧= 2πrl

S圆锥侧=

π rl

S圆台侧= π (r+r′)l

2.空间几何体的表面积与体积公式

名称

几何体 柱体
(棱柱和圆柱) 锥体 (棱锥和圆锥) 台体 (棱台和圆台) 球

表面积

体积
V= Sh

S表面积=S侧+2S底 S表面积=S侧+S底 S表面积=S侧+S上+S下
2 S= 4πR

1 Sh V= 3
1 V= (S上+S下+ S上S下)h 3
4 3 V= 3πR

1.求组合体的表面积时:组合体的衔接部分的面积问题易出 错.

2.由三视图计算几何体的表面积与体积时,由于几何体的还 原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误.

3.易混侧面积与表面积的概念.

[试一试]

1.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表 面积是 ( )

A.( 13+2)π(cm2) C.6+( 13+2)π(cm2)

B.4+( 13+2)π(cm2) D.8+( 13+2)π(cm2)

1 解析: 由三视图可知原几何体是一个半圆锥,其表面积 S = 2 1 1 ×π×2 + ×π×2× 13+ ×4×3=6+( 13+2)π(cm2). 2 2
2

答案:C

2.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角 形,则该几何体的体积为 3 A. 3 2 3 C. 3 B. 1 D. 3 ( )

解析: 根据三视图可知该几何体是一个高为 3的三棱锥,所以
? 1 ?1 3 ? ? × 2 × 1 该几何体的体积 V= × 2 × 3= . 3 ? 3 ?

答案:A

3.若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的表面积是 ________.

解析:由三视图可知,该几何体由一个正四棱柱和一个棱台 组成,其表面积S=3×4×2+2×2×2+4×2 2 ×2+4×6+ 1 ×(2+6)×2×2=72+16 2. 答案:72+16 2 2

1.求空间几何体体积的常用方法
(1)公式法:直接根据相关的体积公式计算.
(2)等积法:根据体积计算公式,通过转换空间几何体的 底面和高使得体积计算更容易,或是求出一些体积比等.
(3)割补法: 把不能直接计算体积的空间几何体进行适当 的分割或补形,转化为可计算体积的几何体.

2.几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为 a,球的半径为 R,

①正方体的外接球,则 2R= 3a;
②正方体的内切球,则 2R=a;

③球与正方体的各棱相切,则 2R= 2a.

(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a,b,c,外接球的半 径为 R,则 2R= a2+b2+c2.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3∶1.
3.旋转体侧面积问题中的转化思想
计算旋转体的侧面积时,一般采用转化的方法来进行,即将 侧面展开化为平面图形,“化曲为直”来解决,因此要熟悉常见 旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.

[练一练]

1.(2014· 皖南八校联考)已知某几何体的侧视图与其正视图相同, 相关的尺寸如图所示,则这个几何体的体积是 ( )

A.8π C.2π

B.7π 7π D. 4
? ?3? ? 2 V=π?2 -?2?2? ? ? ? ?

解析: 依题意该几何体为一空心圆柱, 故其体积 7π ×1= . 4

答案:D

2.(2013· 福建高考)已知某一多面体内接于球 构成一个简单组合体,如果该组合体的正 视图、侧视图、俯视图均如图所示,且图 中的四边形是边长为2的正方形,则该球 的表面积是________. 解析:依题意得,该几何体是球的一个内接正方体,且该正
方体的棱长为2.设该球的直径为2R,则2R= 22+22+22 =

2 3,所以该几何体的表面积为4πR2=4π( 3)2=12π. 答案:12π

1.(2013· 重庆高考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体 的表面积为 ( )

A.180 C.220

B.200 D.240

解析:由三视图可知,此几何体是一个横放的直四棱柱,底面 ?2+8?×4 梯形的面积为 =20,侧面面积为 2×10+2×5×10+ 2 8×10=200,故四棱柱的表面积为 2×20+200=240.

答案:D

2.(2013· 陕西高考改编)某几何体的三视图如图所示,则其表面 积为________.

解析:此几何体是一个半球,所以表面积为球的表面积的 一半加上底面的面积,球半径为1,故所求表面积为S=2π +π=3π. 答案:3π

3.(2014· 江西八校联考)若一个圆台的正视图如图所示,则其 表面积等于________.

解析:由图知圆台的上、下底面半径分别为r=1、r′= 2,母线长为l= r′2)=5π+3 5π.
答案:5π+3 5π

5 ,则圆台表面积为π(r+r′)l+π(r2+

[类题通法]
以三视图为载体的几何体的表面积问题的求法
(1)恰当分析给出的三视图.

(2)找准几何体中各元素间的位置关系及数量关系.
(3)注意组合体的表面积问题中重合部分的处理.

[ 典例] (1)如图所示, 已知三棱柱 ABC ?A 1B 1C1 的所有棱长 均为 1,且 AA 1⊥底面 ABC,则三棱锥 B 1 ?ABC1 的体积为 思考:三棱锥B1 ABC1与 ( 三棱锥A-B1BC1的体积相 等吗? 3 3 6 6 A. B. C. D. 12 4 12 4
[解析] (1)三棱锥 B 1 ?ABC1 的体积 等于三棱锥 A ?B 1BC1 的体积,三棱 锥 A ?B 1BC1 的高为 3 1 1 1 3 3 ,底面积为 ,故其体积为 × × = . 2 2 3 2 2 12

)

(2)(2013· 新课标Ⅰ)某几何体的三视图如图所示,则该几何 体的体积为 A.16+8π C.16+16π B.8+8π D.8+16π ( )

该几何体的结构特征是 什么?
[答案] (1)A (2)A 几何体由上、下两部分组成,其中上面部分为长方体,下面部分

[解析]

(2)根据三视图可以判断该

1 为半个圆柱, 所以组合体的体积为 2×2×4+ π× 22×4=16+8π . 2

[类题通法]
求解几何体体积的策略及注意问题
(1)与三视图有关的体积问题关键是准确还原几何体及弄清几何体 中的数量关系.
(2)计算柱、锥、台的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高.
(3)注意求体积的一些特殊方法:分割法、补体法、转化法等,它们 是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法,应熟练掌握.

(4)注意组合体的组成形式及各部分几何体的特征.

[针对训练] (2014· 绍兴模拟)已知一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截后

所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是________.

解析:根据三视图,我们先画出其几何直观 图,几何体由正方体切割而成,即正方体截 去一个棱台.如图1所示,把棱台补成锥体 1 1 1 如图2,V棱台=2×2× ×4× -1×1× ×2 2 3 2 1 7 7 17 3 × = ,故所求几何体的体积V=2 - = . 3 3 3 3

17 答案: 3

与球相关的切、接问题是高考命题的热点,也是考生的 难点、易失分点.命题角度多变.归纳起来常见的命题角度有:

?1?直三棱柱的外接球; ?2?正?长?方体的外接球; ?3?正四面体的内切球; ?4?四棱锥的外接球; ?5?正三棱柱的内切球.

角度一

直三棱柱的外接球

1.(2013· 辽宁高考)已知直三棱柱ABC A1B1C1的6个顶点都在 球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12, 则球O的半径为 3 17 A. 2 13 C. 2 B.2 10 D.3 10 ( )

解析:如图,由球心作平面 ABC 的垂线,则垂足为 BC 的中点 1 5 1 M.又 AM= BC= ,OM= AA1=6,所以球 O 的半径 R=OA 2 2 2 =
?5? 13 ? ?2+62= . 2 ?2?

答案:C

角度二

正方体的外接球

2.(2013· 合肥模拟)一个正方体削去一个角所得到的几何体的 三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形), 则该几何体外接球的体积为________.

解析:依题意可知,新的几何体的外接球也就是原正方体的 外接球,要求的直径就是正方体的体对角线;∴2R=2 3(R为 4 3 球的半径),∴R= 3,∴球的体积V= πR =4 3π. 3
答案:4 3π

角度三

正四面体的内切球

3.(2014· 长春模拟)若一个正四面体的表面积为S1,其内切球 S1 的表面积为S2,则 =________. S2

3 2 解析:设正四面体棱长为a,则正四面体表面积为S1=4· · a 4 1 1 6 6 = 3 a ,其内切球半径为正四面体高的 ,即r= · a= 4 4 3 12
2 2 2 π a S 3 a 6 3 1 2 a,因此内切球表面积为S2=4πr = ,则 = = . 6 S2 π 2 π a 6 6 3 答案: π

角度四

四棱锥的外接球

4.四棱锥 PABCD 的五个顶点都在一个球面上,该四棱锥的三视 图如图所示,E,F 分别是棱 AB,CD 的中点,直线 EF 被球 面所截得的线段长为 2 2,则该球的表面积为 ( )

A.9π C.2 2π

B.3π D.12π

解析:该几何体的直观图如图所示,该几 何体可看作由正方体截得,则正方体外接球的 直径即为 PC.由直线 EF 被球面所截得的线段长为 2 2,可知正方形 ABCD 对角线 AC 的长为 2 2, 可得 a=2,在△PAC 中 PC= 22+?2 2?2=2 3,球的半径 R=

3,∴S 表=4πR2=4π×( 3)2=12π.

答案:D

角度五

正三棱柱的内切球

5.(2013· 南昌模拟)点 P 是底边长为 2 3,高为 2 的正三棱柱表面 上的动点,MN 是该棱柱内切球的一条直径,则 PM · PN 的取 值范围是 A.[0,2] C.[0,4] B.[0,3] D.[-2,2] ( )

解析:由题意知内切球的半径为 1,设球心为 O,则 PM · PN = ( PO + OM )· ( PO + ON ) = PO 2 + PO · ( OM + ON ) +
OM · ON =| PO |2-1,且 1≤|OP|≤ 5,∴ PM · PN ∈[0,4].

答案:C

[类题通法]

解决与球有关的切、接问题的方法
(1) 一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间 问题转化为平面问题,从而寻找几何体各元素之间的关系.

(2)若球面上四点 P,A,B,C 中 PA,PB,PC 两两垂直或 三棱锥的三条侧棱两两垂直, 可构造长方体或正方体确定直径解 决外接问题.

[ 课堂练通考点]
1.(2013· 济南模拟)一个几何体的三视图如图所示,则它的体积 为 ( )

20 A. 3 C.20

40 B. 3 D.40

解析: 该空间几何体是一个四棱锥, 其直观图如图所示. 其 1 1 40 体积为 × (1+4)×4×4= . 3 2 3
答案:B

2.(2014· 临沂模拟)一个几何体的三视图如图所示,则该 几何体的体积是 ( )

A.6 C.10

B. 8 D.12

解析:该几何体是一个长方体在左边挖去一个三棱柱再拼 接到右边而得到的,它的体积就是长方体的体积,体积为 V=(2.4+0.6)×2×(1+1)=12.

答案:D

3.(2014· 湖北八校联考)已知某几何体的三视图如图所示,其中 俯视图中圆的直径为4,该几何体的体积为V1,直径为4的球 的体积为V2,则V1∶V2=________.

解析:由三视图知,该几何体为圆柱内挖去一个底面相同的 8π 16π 4π 32π 3 圆锥,因此V1=8π- = ,V2= ×2 = ,V1∶V2= 3 3 3 3 1∶2.
答案:1∶2

4.已知三棱锥 OABC 中,∠BOC=90° ,OA⊥平面 BOC,其 中 AB=AC= 7,BC= 11,O,A,B,C 四点均在球 S 的 表面上,则球 S 的表面积为________. 解析:易知以O点为顶点的三条棱两两垂直,则球S即为以
O为顶点,以OA,OB,OC为棱的长方体的外接球,所以 1 5 2 2 2 2 2R= OA +OB +OC = × 2?OA +OB +OC ? = 2 2
2 2 2

5 2 25π 2 (R为球S的半径),所以R= ,表面积S=4πR = . 4 2 25π 答案: 2

5. (2013· 郑州模拟)已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球 面上,SA⊥平面 ABC,SA=2 3,AB=1,AC=2, ∠BAC=60° ,求球 O 的表面积.
解:取SC的中点E,连接AE,BE,依题意,BC2=AB2+AC2 -2AB· ACcos 60° =3,∴AC2=AB2+BC2,即AB⊥BC.又SA⊥ 平面ABC,∴SA⊥BC,又SA∩AB=A,∴BC⊥平面SAB, 1 BC⊥SB,AE= SC=BE,∴点E是三棱锥S ABC的外接球的 2 1 1 球心,即点E与点O重合,OA= SC= SA2+AC2 =2,球O 2 2 的表面积为4π×OA2=16π.


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