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专题二 三角函数与平面向量


专题二

三角函数与平面向量

从近几年的试题情况来看,高考对三角函数这一章的要求相 对以前明显降低了许多.因此,在平时的练习中,对于这一章的 内容,应该将精力集中在“基本概念和基本题型”上.有关三角

函数式的化简与三角函数求值的综合,就是广东高考命题的大方
向,近五年中有四年是这类题型,分别是 2008 年

、2009 年、2010 年和 2011 年.毫无疑问,这类题型(是广东高考的基本题型)务必 要认真学习,加以掌握.

从全国的高考试题看,考查最多的题型是前面利用降幂公式、 二倍角公式、辅助角公式;后面考查三角函数的性质,如奇偶性、 单调性、对称性、周期性和图象性质等.因为这种题型考查的公

式最多,对三角函数的性质覆盖最广,而且后面的命题千变万化,
是考查三角的最佳选择,毫无疑问,这类题型是全国高考的基本 题型.广东已经连续六年(2005 年考过)没有考过这种题型,因此 2012 年这种题型出现在广东高考试卷上是大概率事件!

题型一

三角变换与求值的整合
?1 π? ? x- ?,x∈R. f(x)=2sin 3 6 ? ?

例 1:(2011 年广东)已知函数 (1)求 f(0)的值; (2)设 的值.

? π? ? π? 10 6 ?0, ?, ?3α+ ?= , α, β∈ 求 2? f? 2? 13 f(3β+2π)=5, ?

cos(α+β)

? π? 解析:(1)f(0)=2sin?-6?=-1. ? ? ? π? 10 5 ?3α+ ?=2sinα= ,∴sinα= . (2)∵f 2? 13 13 ? ? π? 12 又∵α∈?0,2?,∴cosα=13. ? ? ? π? 6 3 ∵f(3β+2π)=2sin?α+2?=2cosβ=5,∴cosβ=5. ? ? ? π? 4 ?0, ?,∴sinβ= . 又∵β∈ 2? 5 ?

16 ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=65.

对广东的试题而言,2008 年、2009 年、2010 年、

2011 年连续四年都是考查三角变换及三角函数求值.这个数据足
以说明广东对该题型的情有独钟,但绝对不能因此而放松对整章

知识系统的全面复习.

【互动探究】
1.已知向量 a=(sinθ,-2)与 b=(1,cosθ)互相垂直,其中 θ ? π? ∈?0,2?. ? ? (1)求 sinθ 和 cosθ 的值; π (2)若 5cos(θ-φ)=3 5cosφ,0<φ<2,求 cosφ 的值.

解:(1)∵a⊥b,∴a· b=sinθ-2cosθ=0,即 sinθ=2cosθ. 又∵sin2θ+cos2θ=1,∴4cos2θ+cos2θ=1, 1 4 2 2 即 cos =5,∴sin θ=5. ? π? 2 5 5 ?0, ?,∴sinθ= 又 θ∈ 2? 5 ,cosθ= 5 . ?

(2)∵5cos(θ-φ)=5(cosθcosφ+sinθsinφ)= 5cosφ+2 =3 5cosφ,∴cosφ=sinφ. 1 ∴cos φ=sin φ=1-cos φ,即 cos φ=2.
2 2 2 2

5sinφ

π 2 又 0<φ<2,∴cosφ= 2 .

题型二 三角函数与平面向量的整合
例 2:已知 m=(cosx,sinx),n=(cosx,2
?5π ? =m· n+|m|,x∈?12,π?. ? ?

3cosx-sinx),f(x)

(1)求 f(x)的最大值; (2)记△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f(B) ??? ??? ? ? =-1,a=c=2,求 AB · . BC

解析:(1)∵m=(cosx,sinx),n=(cosx,2 ∴f(x)=m· n+|m|=cos2x+sinx(2 =cos2x-sin2x+2
? π? =2sin?2x+6?+1. ? ?

3cosx-sinx),

3cosx-sinx)+1

3sinxcosx+1=cos2x+ 3sin2x+1

?5π ? π 13 ? ,π?,∴π<2x+ ≤ π. ∵x∈ 12 6 6 ? ? ? π? 1 ∴-1≤sin?2x+6?≤2,∴f(x)max=f(π)=2. ? ?

(2)由(1)知

? ? π? π? f(B)=2sin?2B+6?+1=-1,∴sin?2B+6?=-1, ? ? ? ?

π 13 π 3π 2π 而 π<2B+6≤ 6 π,∴2B+6= 2 ?B= 3 .
??? ??? ? ? π 又 a=c=2,∴ AB · =accos(π-B)=2×2cos3=2. BC

计算 f(x)=m· n+|m|需要用到数量积及模的公式, ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? 2 2 m· n=x1x2 +y1y2 ,|m|= x1+y1 ;计算 AB · =| AB |·BC |cos(π- | BC B).这些都是向量的基本公式.本题更多的还是三角变换.求 ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? | BC AB · 的值时, AB · =| AB |· |cos(π-B),这两个向量的夹角 BC BC 是角 B 的外角,而不是角 B.作出图形并标明方向可以避免出错.

【互动探究】

2.设向量 m=(cosx,sinx),x∈(0,π),n=(1, 3). (1)若|m-n|= 5,求 x 的值; (2)设 f(x)=(m+n)· n,求函数 f(x)的值域.
解:(1)∵m-n=(cosx-1,sinx- 3), 由|m-n|= 5,得 cos2x-2cosx+1+sin2x-2 3sinx+3=5,

3 整理得 cosx=- 3sinx,显然 cosx≠0,∴tanx=- 3 . 5π ∵x∈(0,π),∴x= 6 .

(2)∵m+n=(cosx+1,sinx+ 3), ∴f(x)=(m+n)· n=(cosx+1,sinx+ 3)· (1, 3) =cosx+1+ 3sinx+3
? =2? ? ? ? π? 3 1 ?+4=2sin?x+ ?+4. 6? 2 sinx+2cosx? ?

π π 7π ∵0<x<π,∴6<x+6< 6 .
? ? π? π? 1 ∴-2<sin?x+6?≤1?-1<2sin?x+6?≤2. ? ? ? ? ? π? ∴3<2sin?x+6?+4≤6. ? ?

即函数 f(x)的值域为(3,6].

题型三

三角函数与解三角形

例3:(2011年广东珠海二模)如图2-1,已知平面四边形 ABCD中,△BCD为正三角形,AB=AD=2,∠BAD=2θ,记 四边形ABCD的面积为S. (1)将 S 表示为θ的函数; (2)求 S 的最大值及单调增区间.

图 2-1

解析:(1)在△ABD 中,由余弦定理得 BD2=8-8cos2θ, ∴BD=4sinθ. 1 π ∴S=S△ABD+S△BCD=2sin2θ+2(8-8cos2θ)sin3. ∴S=2sin2θ-2 3cos2θ+2
? π? 3=4sin?2θ-3?+2 ? ?

3.

? π? ∴S=4sin?2θ-3?+2 ? ?

? π? 3,θ∈?0,2?. ? ?

? π? π π 2π ?0, ?,∴- <2θ- < . (2)∵θ∈ 2? 3 3 3 ?

π π ∴当 2θ-3=2. 3.

5π 即 θ=12时,S 取得最大值,最大值为 4+2 π π π 5π 由-3<2θ-3<2得:0<θ<12, ∴S
? 5π? 的单调增区间为?0,12?. ? ?

∴S 的最大值为 4+2

? 5π? ?0, ?. 3,单调增区间为 12? ?

利用余弦定理得 BD2=8-8cos2θ, 而等边三角形 3 2 的面积为 S= 4 a (a 为边长),后半部分主要是三角变换.本题最 困难的是不能将四边形分成两个三角形,快速求出面积;而最容 易出错是根据范围求最值.

【互动探究】
3. (2011 年湖南)在△ABC 中, A, C 所对的边分别为 a, 角 B, b,c,且满足 csinA=acosC. (1)求角 C 的大小; (2)求 的大小.
? π? 3sinA-cos?B+4?的最大值,并求取得最大值时角 ? ?

A,B

解:(1)由正弦定理得 sinCsinA=sinAcosC, 因为 0<A<π,所以 sinA>0.从而 sinC=cosC. π 又 cosC≠0,所以 tanC=1,则 C=4. 3π (2)由(1)知 B= 4 -A. 于是 =
? π? 3sinA-cos?B+4?= ? ?

3sinA-cos(π-A)

? π? 3sinA+cosA=2sin?A+6?. ? ?

3π π π 11π 因为 0<A< 4 ,所以6<A+6< 12 . π π π 从而当 A+6=2,即 A=3时,
? π? 2sin?A+6?取最大值 ? ?

2. 2,

综上所述,

? π? 3sinA-cos?B+4?的最大值为 ? ?

π 5π 此时 A=3,B=12.

题型四

三角函数的综合应用

例4:(2011年安徽)在数1和100之间输入n个实数,使得这n +2个数构成递增的等比数列,将这n+2个数的乘积记作Tn,再 令an=lgTn,n≥1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=tanan· n+1,求数列{bn}的前n项和. tana 解析:(1)设t1,t2,t3,?,tn+2构成等比数列, 其中t1=1,tn+2=100,

则Tn=t1· · ?tn+2, t2 t3
Tn=tn+2· · ?t1. tn+1 tn




①×②得: (Tn)2=(t1tn+2)· 2tn+1)· 3tn)?(tn+2t1)=100n+2, (t (t 所以 an=lgTn=n+2. (2)由题意和(1)中计算结果,知 bn=tan(n+2)· tan(n+3), tan?k+1?-tank 又因为 tan1=tan[(k+1)-k]= , 1+tan?k+1?tank tan?k+1?-tank 所以 tan(k+1)tank= -1. tan1

所以数列{bn}的前 n 项和 S= ? [ tan(k+1)· tank]
k ?3

n? 2

tan4-tan3 tan5-tan4 tan?n+3?-tan?n+2? = tan1 -1+ tan1 -1+?+ tan1 tan?n+3?-tan3 -1= -n. tan1

本题主要考查等比数列的基本性质及运算, 如果通 过求公比,由于字母太多,非常烦琐;构造 Tn=t1· ?tn+2,Tn=tn t2
+2

· +1?t1,两式相乘,然后运用性质“若 m+n=p+q,则 aman tn

=apaq”来处理比较简便.本题利用三角函数公式裂项相消,很有 tan?k+1?-tank 新意,注意公式变形 tan(k+1)tank= -1. tan1

【互动探究】 4.设函数 f(x)=sinx-cosx+x+1,0<x<2π,求函数 f(x)的单调

区间与极值.
解:由 f(x)=sinx-cosx+x+1,0<x<2π, 知 f′(x)=1+
? π? 2sin?x+4?. ? ? ? π? sin?x+4?=- ? ?

令 f′(x)=0,从面

2 3π ,得 x=π 或 x= 2 . 2

当 x 变化时,f′(x),f(x)变化情况如下表: x f′(x) f(x) (0,π) + π 0 π+2
? 3π? ?π, ? 2? ?

3π 2 0 3 2π

?3π ? ? ,2π? ?2 ?





单调递增?

单调递减?

单调递增?

因此,由上表知

?3π ? f(x)的单调递增区间是(0,π)和? 2 ,2π?, ? ?

? ?3π? 3π 3π? 单调递减区间是?π, 2 ?,极小值为 f? 2 ?= 2 ,极大值为 ? ? ? ?

f(π)

=π+2.

三角函数、三角变换、平面向量、解三角形是高中数学的重

要内容,是数学的基本工具,是历年高考的必考内容.从近几年
广东的高考试题看,除 2002 年没有出现解答题外,每年都有一道 解答题,居于六道解答题之首,是中档题的简单题. 有关三角函数与数列的综合,出现在 2004 年广东高考试题中. 不过,在新课标中,由于三角函数内容要求的降低,估计这类题 很难再在高考试题中出现.不过,也不应该忽视,防止出现冷门.

还有两个现象也应该引起我们备考时注意:(1)三角函数与平 面向量的综合,是近几年全国各地高考试题中的一种重要题型, 已成为热点.而广东高考仅在 2007 年、2009 年在三角函数解答题

中考查了平面向量的基础知识,这绝对不是因为平面向量不重要,
而是因为平面向量常常与解析几何、数列、不等式等知识相结合, 从而成为各类考试中的一个新热点;(2)从其他省份的试题看,对

三角函数的考查大同小异,只不过 2010 年四川卷的三角解答题为
“叙述并证明”;2011 年陕西卷的三角解答题为“叙述并证明余 弦定理”.在三角函数要求不断下降、试卷难度不断降低的大环 境下,像这样叙述并证明教材中的定理,会不会成为新的热点, 从而引领时代新潮流?我们将拭目以待!

1.在本节中,最容易出错的是三角函数的符号. 2.同实数相比,向量运算是全新的独立的运算,与代数运算 有很多的相同点,也有很多的不同点,应特别注意平面向量部分 ........... 的经典错误: ..... (1)“(a· b)c=a(b· c)”类比得到“(a· c=a· c)”. b)· (b· (2)“c≠0,ac=bc?a=b”类比得到“c≠0,a· c=b· c?a= b”. (3)“|a· b|=|a|· |b|”类比得到“|a· b|=|a|· |b|”.

ac a a· a c (4)“bc=b”类比得到“b·=b”. c (5)“(a· 2=a2·2”类比得到“(a· 2=a2·2”. b) b b) b (6)“直线 a∥b,b∥c?a∥c”类比得到“a∥b,b∥c? a∥c”.


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