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2015年四川省成都市高考数学二诊试卷1(文科) (1)


2015 年四川省成都市高考数学二诊试卷(文科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)已知 i 是虚数单位,则 A. + B.﹣ + C. ﹣ =( )

D.﹣ ﹣

2. (5 分)双曲线

=1 的右焦点到抛物线 y =4x 的准线的距离为(

>2



A.5 B.4 C.3 D.2 3. (5 分) (2015?成都模拟)如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,已知 AA1=1,AD= 则异面直线 A1D1 与 B1C 所成角的大小为( )



A.60° B.45° C.30° D.90°

4. (5 分)若实数 x,y 满足条件

,则 z=x+y 的最大值为(



A.2 B.4 C.2 D.6 5. (5 分) (2015?成都模拟)某几何体的正视图和俯视图如图所示,若正视图是面积为 3 的 矩形,俯视图是边长为 1 的正三角形,则该几何体的侧视图的面积为( )

A.

B.3

C.3

D.9 ) (x∈R)的图象为 C,则下列表述正确的是( B.直线 x= 是 C 的一条对称轴 )

6. (5 分)设函数 f(x)=3sin(2x+ A.点( ,0)是 C 的一个对称中心

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C.点(

,0)是 C 的一个对称中点

D.直线 x=

是 C 的一条对称轴 )

7. (5 分)执行如图所示的程序框图,若输入的 x 的值为﹣ ,则输出的 i 的值为(

A.4 B.3 C.2 D.1 8. (5 分) 已知函数 ( f x) 的部分图象如图所示, 则下列关于 ( f x) 的表达式中正确的是 (



A.f(x)= sin2x

B.f(x)=(lnx)tanx
2

C.f(x)=(ln|x|)cosx

D.f(x)=(ln|x|)

9. (5 分)已知关于 x 的方程 cosx+sin x+m﹣1=0(m∈R)恒有实数解,记 m 的所有可能取 构成集合 M,若 λ 为区间[﹣1,4]上的随机数,则 λ∈M 的概率为( ) A. B. C. D.

10. (5 分)已知函数 f(x)与 g(x)的公共定义域为 I,函数 h(x)满足:对任意 x∈I, 2 点(x,h(x) )与点(x,g(x) )均关于点(x,f(x) )对称,若 f(x)=alnx﹣x +ax(a >0) ,对任意 x∈R,函数 g(x)满足 2g(x)﹣g(1﹣x)=2e ﹣
x

+1,其中 e=2.71828…

为自然对数的底数,有下列命题: ①当 a=1 时,曲线 y=h(x)在 x=1 处的切线的斜率为﹣e﹣2; ②当 a=1,x∈[1,+∞)时,函数 h(x)的值域为(﹣∞,﹣e﹣1]; ③若函数 f(x)在(0,2)内不单调,则 a 的取值范围为(0,2) ; ④设函数 F(x)=bln[g(x)﹣1]+f′(x)+2x﹣a,其中 b>0,f′(x)为 f(x)的导函数, 若 O 为坐标原点,函数 F(x)的图象为 C,则对任意点 M∈C,都存在唯一点 N∈C,使得 tan∠MON=b. 其中真命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4
第 2 页(共 14 页)

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11. (5 分)设函数 f(x)= ,则 f(f(0) )= .

12. (5 分)已知 α 为第三象限的角,且 cosα=﹣ 13. (5 分)若正数 p,q 满足 2p+q=1,则

,则 tanα= .



的最小值为

14. (5 分)在如图所示的方格柢中,向量 , , 的起点和终点均在格点(小正方形顶点) 上,若 与 x +y (x,y 为非零实数)共线,则 的值为 .

15. (5 分)已知点 A(x1,m) ,B(x2,m) ,C(x2,0) ,D(x1,0) ,其中 x2>x1>0,且 和 为方程 yx ﹣x+y=0 的两组不同实数解,若四边形 ABCD 是矩形,则此矩 .
2

形绕 x 轴旋转一周得到的圆柱的体积的最大值为 三、解答题(共 6 小题,满分 75 分)

16. (12 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,n∈N ,且点(2,a2) , (a7,S3)均在直 线 x﹣y+1=0 上 (1)求数列{an}的通项公式 an,及前 n 项和 Sn; (2)若 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

+

第 3 页(共 14 页)

17. (12 分)已知函数 f(x)=2 f(x)的最小正周期为 π. (1)求 ω 的值;

sinωxcosωx+cos ωx﹣sin ωx,其中 ω>0,x∈R,若函数

2

2

(2)在△ ABC 中,若 f(B)=﹣2,BC=

,sinB=

sinA,求

的值.

18. (12 分)如图,已知四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 是直角梯形,AB∥CD, AD⊥CD,侧棱 AA1⊥底面 ABCD,E 是 CD 的中点,CD=2AB=2AD,AD=1,AA1= . (1)求证:EA1⊥BD; (2)求三棱锥 D﹣BD1C1 的体积.

第 4 页(共 14 页)

19. (12 分)为检测某种零件的生产质量,检验人员抽取了同批次的零件作为样本进行检测 并评分,若检测后评分结果大于 60 分的零件为合格零件. (1) 已知 200 个合格零件评分结果的频率分布直方图如图所示, 请根据此频率分布直方图, 估计这 200 个零件评分结果的平均数和中位数; (2)现有 7 个零件的评分结果为(单位:分) :63,73,75,76,78,85,91,若从评分结 果在(60,80]内的所有零件中随机抽取 3 个,求恰有 2 个零件的评分结果在(70,80]内的 概率.

20. (13 分)已知椭圆 Γ: 点(c,1)在椭圆 Γ 上. (1)求椭圆 Γ 的标准方程;

=1(a>b>0)的右焦点 F2 的坐标为(c,0) ,若 b=c,且

(2)当 k≠0 时,若直线 l1:y=k(x+ )与椭圆 r 的交点为 A,B;直线 l2:y=k( x+1) 2 2 与圆 E:x +y =1 的交点为 M,N,记△ AOB 和△ MON 的面积分别为 S1,S2,其中 O 为坐 标原点,证明 为定值,并求出该定值.

第 5 页(共 14 页)

21. (14 分)已知函数 f(x)=e ,g(x)=mx +ax+b,其中 m,a,b∈R,e=2.71828…为自 然对数的底数. (1)设函数 h(x)=xf(x) ,当 a=1,b=0 时,若函数 h(x)与 g(x)具有相同的单调区 间,求 m 的值; (2)当 m=0 时,记 F(x)=f(x)﹣g(x) ①当 a=2 时,若函数 F(x)在[﹣1,2]上存在两个不同的零点,求 b 的取值范围; ②当 b=﹣ 时,试探究是否存在正整数 a,使得函数 F(x)的图象恒在 x 轴的上方?若存

x

2

在,求出 a 的最大值;若不存在,请说明理由.

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2015 年四川省成都市高考数学二诊试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分) (2015?成都模拟)已知 i 是虚数单位,则 A. + B.﹣ + C. ﹣ D.﹣ ﹣ =( )

【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出.

2. (5 分) (2015?成都模拟)双曲线

=1 的右焦点到抛物线 y =4x 的准线的距离为

2

( ) A.5 B.4 C.3 D.2 【分析】求出抛物线的准线方程,双曲线的右焦点坐标,然后求解距离即可. 3. (5 分) (2015?成都模拟)如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,已知 AA1=1,AD= 则异面直线 A1D1 与 B1C 所成角的大小为( ) ,

A.60° B.45° C.30° D.90° 【分析】转化异面直线所成角为平面角,通过解三角形即可.

4. (5 分) (2015?成都模拟) 若实数 x, y 满足条件

, 则 z=x+y 的最大值为 (



A.2 B.4 C.2 D.6 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义,即可得到结论. 5. (5 分) (2015?成都模拟)某几何体的正视图和俯视图如图所示,若正视图是面积为 3 的 矩形,俯视图是边长为 1 的正三角形,则该几何体的侧视图的面积为( )

第 7 页(共 14 页)

A.

B.3

C.3

D.9 ,即可求出该几何体的俯视图的面积.

【分析】由题意,俯视图为矩形,高为 3,长为

6. (5 分) (2015?成都模拟)设函数 f(x)=3sin(2x+ 述正确的是( A.点( C.点( ) B.直线 x= D.直线 x=

) (x∈R)的图象为 C,则下列表

,0)是 C 的一个对称中心 ,0)是 C 的一个对称中点

是 C 的一条对称轴 是 C 的一条对称轴

【分析】根据正弦函数的对称中心和对称轴的性质分别进行验证即可.

7. (5 分) (2015?成都模拟)执行如图所示的程序框图,若输入的 x 的值为﹣ ,则输出的 i 的值为( )

A.4

B.3

C.2

D.1 ,b=2 时,满

【分析】模拟执行程序,依次写出每次循环得到的 i,x,a,b 的值,a=3 足条件 a>b,退出循环,输出 i 的值为 3.

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8. (5 分) (2015?成都模拟)已知函数 f(x)的部分图象如图所示,则下列关于 f(x)的表 达式中正确的是( )

A.f(x)=

B.f(x)=(lnx)tanx

C.f(x)=(ln|x|)cosx

D.f(x)=(ln|x|)

sin2x 【分析】 观察图象, 从函数是否为奇函数还是偶函数, 排除一些选项, 再对自变量取特殊值, 验证函数值是否与图象一致得出答案. 9. (5 分) (2015?成都模拟)已知关于 x 的方程 cosx+sin x+m﹣1=0(m∈R)恒有实数解, 记 m 的所有可能取构成集合 M,若 λ 为区间[﹣1,4]上的随机数,则 λ∈M 的概率为( ) A. B. C. D.
2 2

【分析】根据方程 cosx+sin x+m﹣1=0(m∈R)恒有实数解,求出 m 的取值范围,根据几何 概型的概率公式进行求解即可. 10. (5 分) (2015?成都模拟)已知函数 f(x)与 g(x)的公共定义域为 I,函数 h(x)满 足:对任意 x∈I,点(x,h(x) )与点(x,g(x) )均关于点(x,f(x) )对称,若 f(x) =alnx﹣x +ax(a>0) ,对任意 x∈R,函数 g(x)满足 2g(x)﹣g(1﹣x)=2e ﹣
2 x

+1,

其中 e=2.71828…为自然对数的底数,有下列命题: ①当 a=1 时,曲线 y=h(x)在 x=1 处的切线的斜率为﹣e﹣2; ②当 a=1,x∈[1,+∞)时,函数 h(x)的值域为(﹣∞,﹣e﹣1]; ③若函数 f(x)在(0,2)内不单调,则 a 的取值范围为(0,2) ; ④设函数 F(x)=bln[g(x)﹣1]+f′(x)+2x﹣a,其中 b>0,f′(x)为 f(x)的导函数, 若 O 为坐标原点,函数 F(x)的图象为 C,则对任意点 M∈C,都存在唯一点 N∈C,使得 tan∠MON=b. 其中真命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【分析】运用中点坐标公式可得 2f(x)=g(x)+h(x) ,再由 x 换为 1﹣x,运用函数方程 的思想可得 g(x) ,h(x) , 求出 h(x)的导数,由导数的几何意义,即可得到切线的斜率,即可判断①;求出 h(x) 的导数,判断[1,+∞)的单调性,即可得到值域,进而判断②;若函数 f(x)在(0,2) 内单调,运用导数和不等式恒成立求得 a 的范围,再求补集,即可判断③;先化简 F(x) , 令 h(x)=bx,判断 y=bx 为 F(x)的渐近线,检验在函数 f(x)图象上任取两点 M,N, ∠MON<arctanb 或∠MON>π﹣arctanb,即可判断④. 二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分)

第 9 页(共 14 页)

11. (5 分) (2015?成都模拟)设函数 f(x)=

,则 f(f(0) )= 1 .

【分析】由分段函数的性质,得 f(0)=2,由此能求出 f(f(0) )=f(2)=log22=1. 12. (5 分) (2015?成都模拟)已知 α 为第三象限的角,且 cosα=﹣ ,则 tanα= 2 .

【分析】由 α 为第三象限角,以及 cosα 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinα 的 值,即可求出 tanα 的值. 13. (5 分) (2015?成都模拟)若正数 p,q 满足 2p+q=1,则 【分析】由题意可得 =( ) (2p+q)=3+ + 的最小值为 3+2 .

,由基本不等式可得.

14. (5 分) (2015?成都模拟)在如图所示的方格柢中,向量 , , 的起点和终点均在格 点(小正方形顶点)上,若 与 x +y (x,y 为非零实数)共线,则 的值为 .

【分析】由题意易得每个向量的坐标,由斜率共线可得 x 和 y 的关系式,变形可得答案. 15. (5 分) (2015?成都模拟)已知点 A(x1,m) ,B(x2,m) ,C(x2,0) ,D(x1,0) , 其中 x2>x1>0, 且 和 为方程 yx ﹣x+y=0 的两组不同实数解, 若四边形 ABCD
2

是矩形,则此矩形绕 x 轴旋转一周得到的圆柱的体积的最大值为
2



【分析】利用
2



为方程 yx ﹣x+y=0 的两组不同实数解,可得 x1,x2 为方程

mx ﹣x+m=0 的两个不同实数解,x1+x2= ,x1x2=1,表示出圆柱的体积,利用配方法,即 可得出结论. 三、解答题(共 6 小题,满分 75 分) + 16. (12 分) (2015?成都模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,n∈N ,且点(2,a2) , (a7,S3)均在直线 x﹣y+1=0 上 (1)求数列{an}的通项公式 an,及前 n 项和 Sn;

第 10 页(共 14 页)

(2)若 bn=

,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

【分析】 (1)设等差数列{an}的公差为 d,由于点(2,a2) , (a7,S3)均在直线 x﹣y+1=0 上,可得 2﹣a2+1=0,a7﹣S3+1=0,根据等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出; (2)由 bn= = .利用“裂项求和”即可得出.

17. (12 分) (2015?成都模拟)已知函数 f(x)=2 >0,x∈R,若函数 f(x)的最小正周期为 π. (1)求 ω 的值; (2)在△ ABC 中,若 f(B)=﹣2,BC= ,sinB=

sinωxcosωx+cos ωx﹣sin ωx,其中 ω

2

2

sinA,求

的值. ) ,

【分析】 (1)利用三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得 f(x)=2sin(2ωx+ 利用函数 f(x)的最小正周期为 π,ω>0,可得 (2)由(1)可得:f(x)=2sin(2x+ 合 B∈(0,π)可求 B= 理可得: .利用 BC= =π,解得 ω 即可.

) .由 f(B)=﹣2,可得 sin(2B+ ,sinB= sinA,可得 a= ,b=

)=﹣1,结 a.由正弦定

,解得 sinA,C,c.再利用数量积运算性质即可得解.

18. (12 分) (2015?成都模拟)如图,已知四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 是直角 梯形, AB∥CD, AD⊥CD, 侧棱 AA1⊥底面 ABCD, E 是 CD 的中点, CD=2AB=2AD, AD=1, AA1= . (1)求证:EA1⊥BD; (2)求三棱锥 D﹣BD1C1 的体积.

【分析】 (1) 如图所示, 连接 BE, AE, 由已知可得: 四边形 ADEB 是正方形, 可得 BD⊥AE, 利用直棱柱的性质可得 AA1⊥BD,可得 BD⊥平面 AEA1,即可证明; (2)利用 = 即可得出.

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19. (12 分) (2015?成都模拟)为检测某种零件的生产质量,检验人员抽取了同批次的零件 作为样本进行检测并评分,若检测后评分结果大于 60 分的零件为合格零件. (1) 已知 200 个合格零件评分结果的频率分布直方图如图所示, 请根据此频率分布直方图, 估计这 200 个零件评分结果的平均数和中位数; (2)现有 7 个零件的评分结果为(单位:分) :63,73,75,76,78,85,91,若从评分结 果在(60,80]内的所有零件中随机抽取 3 个,求恰有 2 个零件的评分结果在(70,80]内的 概率.

【分析】 (1)运用频率分布直方图,求解即可. (2)根据概率分布关系,结合对立事件求解运算.

20. (13 分) (2015?成都模拟)已知椭圆 Γ: 0) ,若 b=c,且点(c,1)在椭圆 Γ 上. (1)求椭圆 Γ 的标准方程;

=1(a>b>0)的右焦点 F2 的坐标为(c,

(2)当 k≠0 时,若直线 l1:y=k(x+ )与椭圆 r 的交点为 A,B;直线 l2:y=k( x+1) 2 2 与圆 E:x +y =1 的交点为 M,N,记△ AOB 和△ MON 的面积分别为 S1,S2,其中 O 为坐 标原点,证明 为定值,并求出该定值.

【分析】 (1)运用椭圆的 a,b,c 的关系和点满足椭圆方程,解方程即可得到 a,b,进而 得到椭圆方程; (2)运用点到直线的距离公式,将直线 l1 的方程和椭圆方程联立,运用韦达定理,由三角 形的面积公式可得 S1,再由直线和圆相交的弦长公式,结合原点到直线 l2 的距离和三角形 的面积公式可得 S2,计算即可得到定值. 21. (14 分) (2015?成都模拟)已知函数 f(x)=e ,g(x)=mx +ax+b,其中 m,a,b∈R, e=2.71828…为自然对数的底数. (1)设函数 h(x)=xf(x) ,当 a=1,b=0 时,若函数 h(x)与 g(x)具有相同的单调区 间,求 m 的值; (2)当 m=0 时,记 F(x)=f(x)﹣g(x) ①当 a=2 时,若函数 F(x)在[﹣1,2]上存在两个不同的零点,求 b 的取值范围; ②当 b=﹣ 时,试探究是否存在正整数 a,使得函数 F(x)的图象恒在 x 轴的上方?若存
x 2

在,求出 a 的最大值;若不存在,请说明理由. x 【分析】 (1)求解导数得出:h(x)=xe , (﹣∞,﹣1)上单调递减, (﹣1,+∞)单调递 增,x=﹣1 时 h(x)去极小值. x (2)①当 m=0 时,记 F(x)=f(x)﹣g(x)=e ﹣ax﹣b,

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F(x)在(﹣∞,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)上单调递增,F(x)的最小值为 F(ln2) =2﹣2ln2﹣b,根据函数性质得出:2﹣2ln2﹣b<0,F(﹣1)≥0,F(2)≥0, ②判断得出:当 a=1 时,F(x)=e ﹣x 0)上单调递减,最小值为 F(0)=1
x

,F(x)在(0,+∞)单调递增,在(﹣∞, ,>0,F(x)>0 恒成立.

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参与本试卷答题和审题的老师有:孙佑中;qiss;刘长柏;maths;w3239003;智者乐水; 双曲线;zlzhan;sllwyn;lincy;cst;sdpyqzh(排名不分先后) 菁优网 2016 年 4 月 7 日

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