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2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第10章 第9节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布


第九节

离散型随机变量的均值与
方差、正态分布(理)

[主干知识梳理]

一、均值
1.一般地,若离散型随机变量X的分布列为: X P x1 p1 x2 p2 ? ? xi pi ? ? xn pn

则称E(X)= x1p1+x2p2+?+xipi+?+xnpn 平均水平



为随机变量

X的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的

2 .若 Y = aX + b ,其中 a , b 为常数,则 Y 也是随机变量,且 E(aX+b)= aE(X)+b . 3.(1)若X服从两点分布,则E(X)= p ;

(2)若X~B(n,p),则E(X)= np .

二、方差

1.设离散型随机变量X的分布列为:
X x1 x2 ? xi ? xn

P

p1

p2

?

pi

?

pn

2 则 (xi-E(X))

描述了 xi(i=1,2,?,n)相对于均值 E(X)的
n

偏离程度,而 D(X)= ? (xi-E(X))2pi 为这些偏离程度的加权平
i=1

均, 刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的

平均偏离程度

. 称

D(X)为随机变量 X 的方差,并称其算术平方根 D?X?为随机变量 X 的标准差.

2.D(aX+b)= a2D(X)



3.若X服从两点分布,则D(X)= p(1-p) .

4.若X~B(n,p),则D(X)= np(1-p)



三、正态分布 1.正态曲线的特点: (1)曲线位于 x 轴

上方

,与 x 轴不相交;

(2)曲线是单峰的,它关于直线 (3)曲线在 x=μ

x=μ 对称;

1 处达到峰值 ; σ 2π

(4)曲线与 x 轴之间的面积为 1 ; (5)当 σ 一定时,曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴平移;

(6) 当 μ 一 定 时 , 曲 线 的 形 状 由 σ 确 定 , σ 越 小 , 曲 线 越 “瘦高” ,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线 分散

越 “矮胖”

,表示总体的分布越



2.正态分布的三个常用数据: (1)P(μ-σ<X≤μ+σ)= 0.682 ;6 0.954 4 ; 0.997 4 .

(2)P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=
(3)P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=

[基础自测自评]

1.(2013·广东高考)已知离散型随机变量X的分布列为

X 1 2 3 3 3 1 P 5 10 10

则 X 的数学期望 E(X)= ( 3 A. 2 5 C. 2 B.2 D.3 )

3 3 1 15 3 A [E(X)=1× +2× +3× = = .] 5 10 10 10 2

2.已知随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2).若P(ξ>2)=0.023,

则P(-2≤ξ≤2)=
( A.0.477 C.0.954 B.0.628 D.0.977 )

C [∵μ=0,∴P(ξ>2)=P(ξ<-2)=0.023,

∴P(-2≤ξ≤2)=1-2×0.023=0.954.]

3.(教材习题改编)设随机变量X~B(n,p)且E(X)=1.6,D(X) =1.28则

(
A.n=8 p=0.2 B.n=4 p=0.4 D.n=7 p=0.45

)

C.n=5 p=0.32

A [∵X~B(n,p),∴E(X)=np=1.6, D(X)=np(1-p)=1.28,解得n=8,p=0.2.]

4.有一批产品,其中有 12 件正品和 4 件次品,从中有放回地任 取 3 件,若 X 表示取到次品的次数,则 D(X)=________. 解析
? 1? ? ∵X~B?3,4? ?, ? ?

1 3 9 ∴D(X)=3× × = . 4 4 16 9 答案 16

5.两封信随机投入 A,B,C 三个空邮箱,则 A 邮箱的信件数 X 的数学期望 E(X)=________. 解析 两封信投入 A,B,C 三个空邮箱,投法种数是 32=9, 4 A 中没有信的投法种数是 2×2=4,概率为 , 9 A 中仅有一封信的投法种数是 4 1 C2×2=4,概率为 , 9

1 A 中有两封信的投法种数是 1,概率为 , 9

4 4 1 2 故 A 邮箱的信件数 X 的数学期望是 ×0+ ×1+ ×2= . 9 9 9 3 2 答案 3

[关键要点点拨] 1.均值与方差:

(1)均值E(X)是一个实数,由X的分布列唯一确定,即X作
为随机变量是可变的,而E(X)是不变的,它描述X值的取 值平均状态. (2)D(X) 表示随机变量 X 对 E(X) 的平均偏散程度, D(X) 越 小,X的取值越集中,D(X)越大,X的取值越分散.

2.由正态分布计算实际问题中的概率百分比时,关键是把 正态分布的两个重要参数μ、σ求出,然后确定三个区间

(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ,μ+3σ]与已知
概率值进行联系求解.

离散型随机变量的均值与方差
[典题导入] 下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图. 空气 质量指数小于 100 表示空气质量优良,空气质量指数大于 200 表 示空气重度污染. 某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天 到达该市,并停留 2 天.

(1)求此人到达当日空气重度污染的概率;

(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与
数学期望; (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大? (结论不要求证明)

[听课记录] 设 Ai 表示事件“此人于 3 月 i 日到达该市” (i=1,2,…,13). 1 根据题意,P(Ai)= ,且 Ai∩Aj=? (i≠j). 13 (1)设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染”, 则 B=A5∪A8. 2 所以 P(B)=P(A5∪A8)=P(A5)+P(A8)= . 13

(2)由题意可知,X 的所有可能取值为 0,1,2,且 P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11)=P(A3)+P(A6)+ 4 P(A7)+P(A11)= , 13 P(X=2)=P(A1∪A2∪A12∪A13)=P(A1)+P(A2)+P(A12)+ 4 P(A13)= , 13 5 P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)= . 13 所以 X 的分布列为:

X 0 1 2 5 4 4 P 13 13 13 5 4 4 12 故 X 的期望 E(X)=0× +1× +2× = . 13 13 13 13 (3)从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大.

[规律方法]
1 .求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的 所有可能值,写出其分布列,正确利用公式计算.若随机变 量服从二项分布,则可直接代入公式E(X)=np, D(X)=np(1-p)计算. 2.注意E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)的应用.

[跟踪训练] 1.(2013·重庆高考) 某商场举行的“三色球”购物摸奖活动 规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有3个红球与4个白

球的袋中任意摸出3个球,再从装有1个蓝球与2个白球的
袋中任意摸出1个球.根据摸出4个球中红球与蓝球的个 数,设一、二、三等奖如下:

其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级. (1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率; (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X).

解析 设 Ai 表示摸到 i 个红球, Bj 表示摸到 j 个蓝球, 则 Ai(i=0,1,2,3) 与 Bj(j=0,1)独立.
2 C1 18 3 C4 (1)恰好摸到 1 个红球的概率为 P(A1)= 3 = . C7 35

(2)X 的所有可能值为:0,10,50,200,且 C3 1 31 P(X=200)=P(A3B1)=P(A3)P(B1)= 3·= , C7 3 105 C3 2 3 2 P(X=50)=P(A3B0)=P(A3)P(B0)= 3·= , C7 3 105

1 C2 C 12 4 3 4 1 P(X=10)=P(A2B1)=P(A2)P(B1)= 3 ·= = , C7 3 105 35

1 2 4 6 P(X=0)=1- - - = . 105 105 35 7 综上知 X 的分布列为 X 0 6 7 10 4 35 50 2 105 200 1 105

P

6 4 2 1 从而有 E(X)=0× +10× +50× +200× 7 35 105 105 =4(元).

均值与方差的实际应用
[典题导入] (2012· 新课标全国卷)某花店每天以每枝 5 元的价格从农场 购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售.如果当天卖不 完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于 当天需求量 n(单位:枝,n∈N)的函数解析式; (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:

日需求量n

14

15

16

17

18

19

20

频数

10

20

16

16

15

13

10

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. ①若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),

求X的分布列、数学期望及方差;
②若花店计划一天购进 16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16 枝还是17枝?请说明理由.

[听课记录]

(1)当日需求量 n≥16 时,利润 y=80.

当日需求量 n<16 时,利润 y=10n-80. 所以 y 关于 n 的函数解析式为
? ?10n-80,n<16, y=? ? ?80,n≥16.

(n∈N).

(2)①X可能的取值为60,70,80,并且

P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7.
X的分布列为:

X

60

70

80

P

0.1

0.2

0.7

X的数学期望为 E(X)=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76.

X的方差为
D(X)=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44. ②答案一:花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下: 若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元), 那么Y的分布列为:

Y

55

65

75

85

P

0.1

0.2

0.16

0.54

Y的数学期望为E(Y)=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54
=76.4. Y 的方差为 D(Y) = (55 - 76.4)2×0.1 + (65 - 76.4)2×0.2+ (75 - 76.4)2×0.16+(85-76.4)2×0.54 =112.04.

由以上的计算结果可以看出,D(X)<D(Y),即购进16枝玫瑰

花时利润波动相对较小.另外,虽然E(X) <E(Y) ,但两者相
差不大.故花店一天应购进16枝玫瑰花. 答案二:花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下: 若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元), 那么Y的分布列为: Y P 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54

Y的数学期望为E(Y) =55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.

由以上的计算结果可以看出,E(X) <E(Y) ,即购进17枝玫瑰
花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润.故花店一天应 购进17枝玫瑰花.

[规律方法] 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映

了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了
随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据, 一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定.

[跟踪训练] 2.(2014·济南模拟)某企业计划投资A,B两个项目,根据市

场分析,A,B两个项目的利润率分别为随机变量 X1和X2,X1
和X2的分布列分别为 X1 P 5% 0.8 10% 0.2

X2

2%

8%

12%

P

0.2

0.5

0.3

(1) 若在 A,B两个项目上各投资 1 000 万元, Y1 和 Y2 分别表示

投资项目 A 和 B 所获得的利润,求利润的期望 E(Y1) , E(Y2) 和
方差D(Y1),D(Y2);

(2)由于资金限制,企业只能将x(0≤x≤1 000)万元投资A项目, 1 000-x万元投资B项目,f(x)表示投资A项目所得利润的方差 与投资B项目所得利润的方差的和.求f(x)的最小值,并指出

x为何值时,f(x)取到最小值.

解析 (1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为
Y1 P 50 0.8 100 0.2

Y2 P

20 0.2

80 0.5

120 0.3

E(Y1)=50×0.8+100×0.2=60, D(Y1)=(50-60)2×0.8+(100-60)2×0.2=400, E(Y2)=20×0.2+80×0.5+120×0.3=80,

D(Y2)=(20-80)2×0.2+(80-80)2×0.5+(120-80)2×0.3=1
200.

? (2)f(x)=D? ?1 ?

?1 000-x ? ? x ? ? Y1?+D? Y 2? ? 1 000 000 ? ? ?

1 2 = 6[x D(Y1)+(1 000-x)2D(Y2)] 10 4 2 = 4[x +3(1 000-x)2] 10 4 = 4(4x2-6 000x+3×106). 10 6 000 当 x= =750 时,f(x)=300 为最小值. 2×4

正态分布
[典题导入] (2013· 湖北高考)假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服 从正态分布 N(800,502)的随机变量. 记一天中从甲地去乙地的旅客 人数不超过 900 的概率为 p0. (1)求 p0 的值; (参考数据:若 X~N(μ,σ2),有 P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6,P(μ -2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997 4.)

(2)某客运公司用A、B两种型号车辆承担甲、乙两地间的长途 客运任务,每车每天往返一次,A、B两种车辆载客量分别为

36人和60人,从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2
400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要 求B型车不多于A型车7辆.若每天要以不小于p0的概率运完 从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最 小,那么应配备A型车、B型车各多少辆?

[听课记录]

(1)由于随机变量 X 服从正态分布 N(800,502),

故有 μ=800,σ=50,P(700<X≤900)=0.954 4. 由正态分布的对称性,可得 p0=P(X≤900)=P(X≤800)+P(800<X≤900) 1 1 = + P(700<X≤900)=0.977 2. 2 2

(2)设 A 型、B 型车辆的数量分别为 x,y 辆, 则相应的营运成本为 1 600x+2 400y. 依题意,x,y 还需满足:x+y≤21,y≤x+7, P(X≤36x+60y)≥p0. 由(1)知,p0=P(X≤900), 故 P(X≤36x+60y)≥p0 等价于 36x+60y≥900.

? ?x+y≤21, ?y≤x+7, 于是问题等价于求满足约束条件? ?36x+60y≥900, ? ?x,y≥0,x,y∈N, 且使目标函数 z=1 600x+2 400y 达到最小的 x,y. 作可行域如图所示,可行域的三个顶点坐标分别为 P(5,12) , Q(7,14),R(15,6).

由图可知,当直线 z=1 600x+2 400y 经过可行域的点 P 时,直线 z z=1 600x+2 400y 在 y 轴上截距 最小,即 z 取得最小值. 2 400 故应配备 A 型车 5 辆、B 型车 12 辆.

[规律方法] 求正态总体在某个区间内取值的概率时应注意: (1)熟记 P(μ-σ<X≤μ+σ),P(μ-2σ<X≤μ+2σ), P(μ-3σ<X≤μ+3σ)的值; (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间面积为 1. ①正态曲线关于直线 x=μ 对称,从而在关于 x=μ 对称的区间上 概率相等. ②P(X<a)=1-P(X≥a),P(X<μ-a)=P(X≥μ+a).

[跟踪训练] 3.(2014·安徽模拟)在某市2013年1月份的高三质量检测考试

中,理科学生的数学成绩服从正态分布 N(98,100) .已知
参加本次考试的全市理科学生约 9 450人.某学生在这次 考试中的数学成绩是 108分,那么他的数学成绩大约排在 全市前多少名左右? ( )

A.1 500
C.4 500

B.1 700
D.8 000

A [因为学生的数学成绩 X~N(98,100), 1 所以 P(X≥108)= [1-P(88<X<108)] 2 1 1 = [1-P(μ-σ<X<μ+σ)]= (1-0.682 6) 2 2 =0.158 7, 故该学生的数学成绩大约排在全市前 0.158 7×9 450 ≈1 500 名.]

【创新探究】 离散型随机变量的期望与方差 (2013· 陕西高考)在一场娱乐晚会上,有 5 位民间歌 手(1 至 5 号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎 歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手,其中观 众甲是 1 号歌手的歌迷,他必选 1 号,不选 2 号,另在 3 至 5 号中随机选 2 名. 观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱, 因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手.

(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率; (2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分

布列及数学期望.
【思路导析】 甲选择3号和乙未选择3号是相互独立事件,

先分别计算其概率,然后利用P(AB)=P(A)·P(B)可解答(1); (2)分析X可能的取值,利用事件的独立性得到分布列及数学 期望.

【解析】 (1)设 A 表示事件“观众甲选中 3 号歌手”,B 表示事 件“观众乙选中 3 号歌手”,
2 C1 2 C 3 2 4 则 P(A)= 2= ,P(B)= 3= . C3 3 C5 5

∵事件 A 与 B 相互独立, ∴观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为 P(A B ) =P(A)· P( B )=P(A)· [1-P(B)]
1 3 C C4 4 ? 2 2 4 ? 2· ? .? = × = .?或P?A B ?=C2· 3= 15 ? 3 5 15 ? ? 3 C5

(2)设 C 表示事件“观众丙选中 3 号歌手”, C2 3 4 则 P(C)= 3= . C5 5 ∵X 可能的取值为 0,1,2,3,且取这些值的概率分别为 1 2 2 4 P(X=0)=P( A B C )= × × = , 3 5 5 75 2 2 2 1 P(X = 1)= P(A B C ) + P( A B C ) + P( A B C) = × × + 3 5 5 3 3 2 1 2 3 20 × × + × × = , 5 5 3 5 5 75

2 3 2 2 2 3 P(X=2)=P(AB C )+P(A B C)+P( A BC)= × × + × × 3 5 5 3 5 5 1 3 3 33 + × × = , 3 5 5 75 2 3 3 18 P(X=3)=P(ABC)= × × = , 3 5 5 75 ∴X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 20 33 18 P 75 75 75 75 4 20 33 18 140 28 ∴X 的数学期望 E(X)=0× +1× +2× +3× = = . 75 75 75 75 75 15

【高手支招】

期望和方差是离散型随机变量的两个重要数

字特征,求其的一般步骤:

第一步:确定随机变量的所有可能取值;
第二步:求出每一个可能取值所对应的概率值; 第三步:列出随机变量的分布列; 第四步:由期望与方差公式求出随机变量的期望与方差.

[体验高考] (2013· 辽宁高考)现有 10 道题,其中 6 道甲类题,4 道乙类题,张 同学从中任取 3 道题解答. (1)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率; (2)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题,1 道乙类题.设张同学答 3 4 对每道甲类题的概率都是 ,答对每道乙类题的概率都是 ,且各 5 5 题答对与否相互独立.用 X 表示张同学答对题的个数,求 X 的分 布列和数学期望.

解析

(1)设事件 A=“张同学所取的 3 道题至少有 1 道乙类题”,

则有 A=“张同学所取的 3 道题都是甲类题”. C3 1 5 6 因为 P( A )= 3 = ,所以 P(A)=1-P( A )= . C10 6 6 (2)X 所有的可能取值为 0,1,2,3.
0 ?3?0 ?2?2 1 P(X=0)=C2· ? ? · ? ? ·=

? ? ? ?

4 ; ?5? ?5? 5 125
? ? ? ? ?5? ?5? ? ? ? ? ?5? ?5?

1 ?3?1 ?2?1 1 0?3?0 ?2?2 4 P(X=1)=C2· ? ? · ? ? ·+C2? ? · ? ? ·=

5

5

28 ; 125

2 ?3?2 ?2?0 1 1?3?1 ?2?1 4 P(X=2)=C2· ? ? · ? ? ·+C2? ? · ? ? ·=

? ? ? ? ?5? ?5? ? ? ? ?

? ? ? ? ?5? ?5?

5

5

57 ; 125

2 ?3?2 ?2?0 4 P(X=3)=C2· ? ? · ? ? ·=

36 ; ?5? ?5? 5 125

所以 X 的分布列为: X P 0 4 125 1 28 125 2 57 125 3 36 125

4 28 57 36 所以 E(X)=0× +1× +2× +3× =2. 125 125 125 125

课时作业


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