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2.3 第2课时 等差数列习题课


第2课时 等差数列习题课

1.能够利用等差数列的前n项和公式解决有关等差数列的实 际问题;(重点) 2.能够利用函数与数列的前n项和公式解决有关等差数列的 实际问题.(难点)

高斯(Carl Friedrich Gauss, 1777-1855)
德国数学家、物理学家、天文 学家.1777年4月30日生于不伦瑞克, 1855年2月23日卒于格丁根.高斯是 近代数学的奠基者之一. 与阿基米 德、牛顿号称“三大数学大师”, 并享有“数学王子”的美誉!他幼 年时就表现出超人的数学天赋.

伟大的数学家高斯10岁时,一天上数学课老师出了 一道题目:1+2+?+100=?其他同学急忙用笔在纸上计算, 而小高斯却很快求出了他的结果.后人称其使用的方法 为 “高斯算法”.

1.等差数列定义:an-an-1=d(d为常数)(n≥2). 2.等差数列的通项公式: an=a1+(n-1)d. 3.等差数列的通项变形公式: an=am+(n-m)d.

4.数列{an}为等差数列,则通项公式an=pn+q (p、q是常数),反之亦然.
5.由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单 的等差数列,这时,A叫做a与b的等差中项.

6.如果a,A,b成等差数列,那么 a?b A? . 2

7.性质 : 在等差数列?an ?中,d为公差,若m , n, p, q ? N* 且m ? n ? p ? q,那么am ? an ? a p ? aq .

8.推论 : 在等差数列中,与首末两项距离相等的两项和 等于首末两项的和,即a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ?.

9.数列?an ? 前n项和 : Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an .

10.性质:若数列?an ? 前n项和为Sn,则 ( n ? 1), ? S1 an ? ? ? Sn ? Sn?1 ( n ? 2).
11.等差数列的前n项和公式 : n(a1 ? an ) n( n ? 1)d Sn ? 或S n ? na1 ? . 2 2 注意:两个公式都表明要求Sn必须已知n, a1 , d , an中的三个.

12.性质: Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 也成等差数列.

n( n ? 1)d 结论:等差数列的前n项和S n ? na1 ? 的图 2 象是相应抛物线上一群孤立的点,它的最值由抛 物线的开口决定.
联系: an = a1+(n-1)d的图象是相应直线上 一群孤立的 点,它的最值又是怎样? 由d的正负决定

一般地,如果一个数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn +r,其中p、q、r为常数,且p≠0,那么这个数列一定是 等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么? 分析:∵当n>1时, an=Sn-Sn-1 =pn2+qn+r-p(n-1)2-q(n-1)-r =2pn-p+q. 当n=1时,a1=S1=p+q+r, 又∵当n=1时,a1=2p-p+q=p+q, ∴当且仅当r =0时,a1满足an=2pn-p+q.

故只有当r=0时该数列才是等差数列,此时首项
a1=p+q,公差d=2p(p≠0). 数列{an}为等差数列

Sn ? An ? Bn( A, B为常数).
2

2 4 例1 已知等差数列5, 4 , 3 , ?的前n项和为Sn,求使 7 7 得Sn最大的序号n?的值.
分析:等差数列的前n项和公式可以写成 d 2 ? d? Sn ? n ? ? a1 ? ? n, 所以S n可以看成函数 2 2? ? d 2 ? d? y ? x ? ? a1 ? ? x ( x ? N* )当x ? n时的函数值. 2 2? ? 另一方面,容易知道Sn关于n的图象是一条抛物线 上的一些点.因此,我们可以利用二次函数来求n的值.

2 4 5 解:由题意知,等差数列5,4 , 3 ,?的公差为- , 7 7 7 n 5 所以Sn ? [2 ? 5 ? ( n ? 1)( ? )] 2 7 75n ? 5n 2 ? 14 5 15 2 1125 ? ? ? (n ? ) ? . 14 2 56
15 于是,当n取与 最接近的整数即7或8时,Sn取最大值. 2

方法技巧:
解决等差数列前n项和的最值问题有两种方法:

(1) 当a1>0,d<0,前n项和有最大值. 可由an≥0,且an+1 ≤0,求得n的值; 当a1<0,d>0,前n项和有最小值. 可由an≤0,且an+1≥0,求得n的值.
d 2 d (2) 由 Sn ? n ? (a1 ? )n 利用二次函数配方法求得 2 2 取最值时n的值.

例2?????求集合M ? m m ? 7n, n ? N*且m ? 100?的元素 个数,并求这些元素的和.
100 2 解:由7 n ? 100得n ? ? 14 , 7 7 ? 正整数n共有14个,即M中共有14个元素, 即: 7, 14, 21, ?, 98是以a1 ? 7为首项, 以a14 ? 98为末项的等差数列. 14 ? (7 ? 98) ? Sn ? ? 735. 2

?

例3

已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S5=5,S10=20,

求S15. 解:∵S5,S10-S5,S15-S10成等差数列, ∴2(S10-S5)=S5+S15-S10, 即30=5+S15-20, S15=45.

例4

一个等差数列的前12项的和为354,前12项中,偶数项

和与奇数项和之比为32:27,求公差d.

解:由题意知,S奇+S偶=354, S偶:S奇=32:27.
列方程组解得:S奇=162,S偶=192, S偶-S奇=6d=30, ∴d=5.

1.在等差数列{an}中,已知S15=90,那么a8等于( C ) (A)3 (B)4 (C)6 (D)12

2.等差数列{an}的前m项的和为30,前2m项的和为100,

则它的前3m项的和为( C )
(A)130 (B)170 (C)210 (D)260

3.设数列{an}是等差数列,且a2=-6,a8=6,Sn是数列{an} 的前n项和,则( B )

(A)S4<S5

(B)S4=S5

(C)S6<S5

(D)S6=S5

4.设{an}是递增的等差数列,前三项的和为12,前三项的

积为48,则它的首项是( B )
(A)1 (B)2 (C)4 (D)6

5.已知在等差数列{an}中,a1<0,S25=S45,若Sn最小,则n
为( B ) (A)25 (B)35 (C)36 (D)45

12或13 6.数列{an}中,an=26-2n,当前n项和Sn最大时,n=________. 7.(2012?北京高考)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和,

若 a1 ?

1 , S 2 ? a3 , 则 a =________ , 1 2 2

1.等差数列的前n项和与二次函数的关系;

2. 利用Sn求an ;
3.等差数列基本量的计算; 4.等差数列的性质.

寻求真理的只能是独自探索的人,和那些

并不真心热爱真理的人毫不相干。
——帕斯捷尔纳克


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