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【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练:5.1 数列的概念与简单表示法


第五章

第1讲

(时间:45 分钟 分值:100 分) 一、选择题 1. 下列四个关于数列的说法: ①数列可以看成一个定义在 N*(或它的有限子集{1,2,…,n})上的函数; ②数列的项数是有限的; ③数列若用图象表示,从图象上看都是一群孤立的点; ④数列的通项公式是唯一的. 其中正确说法的序号是( A. ①②③ C. ①③ 答案:C

解析:∵②中数列项数可以有无限项,故②错.④中数列的通项公式不一定唯一,有的 有多个,故④错.①③正确.故选 C. 2. [2013· 陕西五校模拟]已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, Sn=2an-2, a2 等于 ( 且 则 A. 4 C. 1 答案:A 解析:∵Sn=2an-2,∴S1=a1=2a1-2. 即 a1=2,又 S2=a1+a2=2a2-2,∴a2=4. 3. [2013· 西安模拟]已知数列 2, 5, 2, 11, 则 2 5在这个数列中的项数为( 2 …, A. 6 C. 19 答案:B 解析:设 2, 5, 8, 11,…形成的数列为{an},被开方数形成的数列为{bn},从形 式上讲,每一项都有二次根号,被开方数为 2,5,8,11,…,易归纳出数列{bn}的一个通项公 式为 bn=3n-1,所以 an= 3n-1,2 5= 20= 3n-1,解得 n=7,所以 2 5是这个数列 的第 7 项. 1 1 4. [2013· 金版原创]已知数列{an}满足 an+1= ,若 a1= ,则 a2012=( 2 1-an A. 1 2 B. 2 ) B. 7 D. 11 ) B. 2 D. -2 ) ) B. ②③④ D. ①②③④

C. -1 答案:B

D. 1

1 1 1 1 1 1 1 解析: a1= , n+1= 由 a 得 a2= =2, 3= a =-1, 4= a = , = a 2 1-an 1-a1 1-a2 1-a3 2 5 1-a4 1 =2,…,于是 a3n+1= ,a3n+2=2,a3n+3=-1,因此 a2012=a3×670+2=2,故选 B. 2 5. [2013· 济宁质检]已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和,Sn+Sn+1=an+1(n∈N*),则此数列是 ( ) A. 递增数列 C. 常数列 答案:C 解析:∵Sn+Sn+1=an+1, ∴当 n≥2 时,Sn-1+Sn=an. 两式相减得 an+an+1=an+1-an, ∴an=0(n≥2). 当 n=1 时,a1+(a1+a2)=a2,∴a1=0, ∴an=0(n∈N*),故选 C. 7 6. [2013· 赤峰模拟]已知数列{an}的通项公式为 an=(n+2)( )n,则当 an 取得最大值时,n 8 等于( A. 5 C. 5 或 6 答案:C
?an≥an-1, ? 解析:由题意知? ? ?an≥an+1,

B. 递减数列 D. 摆动数列

) B. 6 D. 7

??n+2??8? ≥?n+1??8? ∴? 7 7 ??n+2??8? ≥?n+3??8?
7
n

7

n-1

, .

n

n+1

?n≤6, ? ∴? ∴n=5 或 6. ? ?n≥5.

二、填空题 7. 在数列{an}中,a1=1,an+1=2nan(n∈N*),则数列{an}的通项公式为 an=________. n?n-1? 答案:2 2 an+1 an-1 n-2 an a2 - 解析:由题意知, =2n, =2n 1, =2 ,…, =2,又 a1=1, an a1 an-1 an-2

n?n-1? an an-1 a2 - 所以 an= · · …· ·1=2n 1· 2· a …· 1=2 . a1 2 an-1 an-2 8. [2013· 唐山模拟]在数列{an}中, 1=1, n+1-an=2n+1, a a 则数列的通项 an=________. 答案:n2 解析:∵an+1-an=2n+1. ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=(2n-1)+(2n-3)+…+5 +3+1=n2(n≥2).当 n=1 时,也适用 an=n2. 9. [2013· 海口质检]如图是同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案,则按此规 律第 23 个图案中需用黑色瓷砖________块.

答案:100 解析:用 an 表示第 n 个图的黑色瓷砖块数,则 a1=12,a2=16,a3=20,…,由此可得 {an}是以 12 为首项,以 4 为公差的等差数列. ∴a23=a1+(23-1)×4=12+22×4=100. 三、解答题 10. 已知下列数列{an}的前 n 项和 Sn,求{an}的通项公式: (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n+2. 解:(1)当 n=1 时,a1=S1=2-3=-1, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5, 由于 a1 也适合此等式,∴an=4n-5. (2)当 n=1 时,a1=S1=5, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 =(3n+2)-(3n 1+2)=2·n 1. 3
? ?5, n=1, ∴an=? n-1 ? 3 n≥2. ?2·
- -

11. [2013· 宜春月考]数列{an}的通项公式是 an=n2-7n+6. (1)这个数列的第 4 项是多少? (2)150 是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项? (3)该数列从第几项开始各项都是正数? 解:(1)当 n=4 时,a4=42-4×7+6=-6. (2)令 an=150,即 n2-7n+6=150,解得 n=16,即 150 是这个数列的第 16 项.

(3)令 an=n2-7n+6>0,解得 n>6 或 n<1(舍),∴从第 7 项起各项都是正数. 1 1 1 12. [2013· 金版原创]已知数列{an}满足 a1=1,an=a1+ a2+ a3+…+ a - (n>1). 2 3 n-1 n 1 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 an=2013,求 n. 1 1 1 解:(1)∵a1=1,且 an=a1+ a2+ a3+…+ a - (n>1). 2 3 n-1 n 1 1 1 1 1 ∴a2=a1=1,an+1=a1+ a2+ a3+…+ a - + a (n≥1). 2 3 n-1 n 1 n n 1 ∴an+1-an= an(n≥2). n n+1 ∴an+1= a, n n ∴ an+1 an = (n≥2). n+1 n

an an-1 a2 1 ∴ = =…= = , n n-1 2 2 n ∴an= (n≥2). 2

?1 ?n=1? ? ∴an=?n ? ?2 ?n≥2?.
n (2)∵an= =2013,∴n=4026. 2


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