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安徽省合肥一中、六中、八中2014届高三数学联考试题 文 新人教A版


2014 年春合肥一中、六中、八中高三联考试卷(文)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1、化简复数 z ? (1 ? i ) ? 4i 得(
2

) C、 ? 2i D、 2i )

A、 2 ? 2i 2、设集合 A ? ? x

B、 2 ? 2i
<

br />?

? x ? 0?, B ? ?x 0 ? x ? 3?,那么“ m ? A ”是“ m ? B ”的( ? x ?1 ?
B、必要而不充分条件 D、既不充分也不必要条件 )

A、充分而不必要条件 C、充要条件

3、等比数列 ? an ? 的各项为正数,且 3 是 a5 和 a6 的等比中项,则 a1a2 ??? a10 ? ( A 3
9

B 3
2

10

C 3

11

D 3
2 2

12

4、抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的准线经过等轴双曲线 x ? y ? 1 的左焦点,则 p ? ( A. 2 /2 5、设 tan(? ? ? ) ? A、 B.



13 18

2 ? 1 ? , tan(? ? ) ? ,则 tan(? ? ) 的值是( 5 4 4 4 13 3 B、 C、 22 22

2

C. 2 2

D. 4 2 ) D、

1 6

6、一个直棱柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如下,则几何体的体积为( ) A .8 B.9 C.10 D.11 2 2

3 1
左视图 主视图

1 )

俯视图

7、执行右图所示的程序框图后,输出的结果为( A

3 4

B

4 5

C

5 6

D

6 7

8.一个袋子中有 5 个大小相同的球,其中有 3 个黑球与 2 个红球,如果从中任取两个球,则 恰好取到两个同色球的概率是( ) A.

2 5

B.

3 10

C.

1 5

D.

1 2

9、已知 y ? log a (2 ? ax) 在区间[0,1]上是增函数,则不等式 log a | x ? 1 |? log a | x ? 3 | 的解 集为 ( )
-1-

A、 {x | x ? 1}

B、 {x | x ? ?1}

C、 {x | x ? 1且x ? ?1}

D、 {x | x ? 1}

10、已知 OA ? ? 4, 6 ? OB ? ? 3,5 ? ,且 OC ? OA, AC // OB ,则向量 OC 等于( A ??

??? ?

??? ?

????

??? ? ???? ??? ?

????



? 3 2? , ? ? 7 7?
2

B ??
2

? 2 4? , ? ? 7 21 ?

C ?

?3 2? ,? ? ?7 7?

D ? ,?

?2 ?7

4? ? 21 ?

11、 P( x, y ) 是圆 x ? ( y ? 1) ? 1 上任意一点,若不等式 x ? y ? c ? 0 恒成立,则 c 的取值 范围是( ) A、 [?1 ?

2 , 2 ? 1]

B、 [ 2 ? 1,??)

C、 [1 ? 2 ,??)

D、 (?1 ? 2 , 2 ? 1)

12. 函数 f ( x ) ? ( ) A. ?

1 3 1 2 ax ? ax ? 2ax ? 2a ? 1 的图象经过四个象限,则实数 a 的取值范围是 3 2

6 3 8 3 8 1 6 3 B. ? ? a ? ? C. ? ? a ? ? D. ? ? a ? ? ?a? 5 16 5 16 5 16 5 16 二、填空题 (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上)

13.当 ? ? {?1, ,1,3} 时,幂函数 y=x 的图象不可能经过第
a

1 2

象限。

14.设等差数列 ?a n ?的公差为 d ,若 a1 , a 2 , a3 , a 4 , a5 , a6 , a7 的方差为 1,则 d =_________. 15、 在锐角△ABC 中, b=2, B=
π , 则△ABC 的面积为_________. sin 2 A ? sin( A ? C ) ? sin B ? 0 , 3

16.给出下列四个结论: ①合情推理是由特殊到一般的推理,得到的结论不一定正确,演绎推理是由一般到特殊 的推理,得到的结论一定正确; ②一般地,当 r 的绝对值大于 0.75 时,认为两个变量之间有很强的线性相关关系,如果 变量 y 与 x 之间的相关系数 r=-0.9568,则变量 y 与 x 之间具有线性关系; ③用独立性检验(2Χ 2 列联表法)来考察两个分类变量是否有关系时,算出的随机变量 2 k 的值越大,说明“x 与 y 有关系”成立的可能性越大; ④命题 P: ?x ? R 使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?P;?x ? R 均有 x 2 ? x ? 1 ? 0 。 其中结论正确的序号为 。 (写出你认为正确的所有结论的序号) 三、解答题(本大题有 6 小题,共 74 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 17、 (本题满分 12 分) 函数 f1 ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0, ? ?

? 0,1? ,如图所示。 (Ⅰ) 求函数 f1 ? x ? 的解析式;
( Ⅱ ) 将 函 数 y ? f1 ? x ? 的图象按向量 a ? ?

? ?

??

? 的一段图象过点 2?

?

y ? f1 ? x ? ? f 2 ? x ? 的最大值,并求此时自变量 x 的集合.

?? ? , 0 ? 平 移 , 得 到 函 数 y ? f2 ? x ? ,求 ?4 ?

-2-

18. (12 分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后 抛掷两次,记第一次出现的点数为 a,第二次出现的点数为 b.设复数 z ? a ? bi 。 (1)求事件“ z ? 3i 为实数”的概率; (2)求事件“ z ? 2 ? 3 ”的概率.

19. 如图, 在梯形 ABCD 中, AB∥CD, 平面 ACFE ? 平面 ABCD , ?ABC ? 60o , AD ? DC ? CB ? a , 四边形 ACFE 是矩形, AE ? a ,点 M 在线段 EF 上. (1)求证: BC ? 平面 ACFE ; (2)当 EM 为何值时, AM ∥平面 BDF ?写出结论,并加以证明. (3)当 EM 为何值时,AM⊥BE?写出结论,并加以证明。

20 、 已 知 椭 圆 的 中 心 在 原 点 , 焦 点 在 x 轴 上 , 离 心 率 为

2 ,且椭圆经过圆 C: 2

-3-

x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 2 y ? 0 的圆心 C。
(1)求椭圆的方程; (2)设直线 l 过椭圆的焦点且与圆 C 相切,求直线 l 的方程。

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? In ? x ? 1? ? ax (I)当 x ? 0 时,函数 f ? x ? 取得极大值,求实数 a 的值; (II)若存在 x ? ?1, 2? ,使不等式 f ? ? x ? ? 2 x 成立,其中 f ? ? x ? 为 f ? x ? 的导函数,求实数 a 的取值范围; (III)求函数 f ? x ? 的单调区间。

22、 (本小题满分 12 分) 已知单调递增的等比数列{an}满足:a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2,a4 的等差中项。 (1)求数列{an}的通项公式; (2) 若 bn= an log 1 an ,sn=b1+b2+┉+bn,对任意正整数 n,sn+(n+m)an+1<0 恒成立,试求 m 的取值范
2

围。

参考答案 一、选择题

-4-

题号 答案

1 D

2 A

3 B

4 C

5 C

6 D

7 C

8 A

9 C

10 D

11 B

12 D

二.填空题
1 15、 3 16. ②③④ 2 17. 解 (Ⅰ) 由图知: T ? ? ,于是 ? ? 2 ? ? ? 将函数 y ? A sin ? x 的图象向左平移 ,得 y ? A sin ? 2 x ? ? ? 的图象,则 ? ? 2 ? ? 12 12 6 ? ? ? ? ? ? 将 ? 0,1? 代入 y ? A sin ? 2 x ? ? 得 A ? 2 故, f1 ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? ???6 分 6? 6? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ( Ⅱ) 依题意: f 2 ? x ? ? 2sin ?2 ? x ? ? ? ? ? ?2cos ? 2 x ? ?

13.二、四

14、 ?

4? 6? 6? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? 故, y ? 2sin ? 2 x ? ? ? 2cos ? 2 x ? ? ? 2 2 sin ? 2 x ? ? ??????10 分 12 ? 6? 6? ? ? ? ? ? 7? 当 2 x ? ? 2k? ? ,即 x ? k? ? , k ? Z 时, ymax ? 2 2 12 2 24 ? 7? ? 此时, x 的取值集合为 ? x x ? k? ? , k ? Z ? ????????????12 分 24 ? ?

18. 解: (1) z ? 3i 为实数,即 a ? bi ? 3i ? a ? (b ? 3)i 为实数, ∴b=3 又依题意,b 可取 1,2,3,4,5,6 故出现 b=3 的概率为 即 事 件 “ ------3 分

1 6

z ? 3i

















1 6

---------------------------------6 分 ( 2 ) 由 已 知 ,

z ? 2 ?| a ? 2 ? bi |? (a ? 2) 2 ? b 2 ? 3
能 取 1 、 2 、 3

---------------------------------8 分 可 知 , b 的 值 只 ---------------------------------9 分 当 b=1 时, (a ? 2) ? 8 ,即 a 可取 1, 2, 3, 4
2 2

当 b=2 时, (a ? 2) ? 5 ,即 a 可取 1,2,3, 4 当 b=3 时, (a ? 2) ? 0 ,即 a 可取 2
2

由 上 可 知 , 共 有

9

种 情 况 下 可 使 事 件 “

z?2 ?3 ” 成 立

---------------------------------11 分 又 a,b 的取值情况共有 36 种 故事件“ z ? 2 ? 3 ”的概率为

1 4

-------12 分

-5-

19、 解: (1)在梯形 ABCD 中,? AB // CD ,
F M E

AD ? DC ? CB ? a, ?ABC ? 60 ? ? 四边形 ABCD
是等腰梯形, 且 ?DCA ? ?DAC ? 30 , ?DCB ? 120
? ?
D

C N

? ?ACB ? ?DCB ? ?DCA ? 90 ?

A

B

? AC ? BC ???????4 分 又?平面 ACFE ? 平面 ABCD ,交线为 AC , ? BC ? 平面 ACFE ???????????????????6 分
(2)当 EM ?

3 a 时, AM // 平面 BDF , 3

在梯形 ABCD 中,设 AC ? BD ? N ,连接 FN ,则 CN : NA ? 1 : 2 ??????8 分

? EM ?

3 a 、而 EF ? AC ? 3a ? EM : MF ? 1 : 2 , 3

? MF // AN ,?四边形 ANFM 是平行四边形,? AM // NF
又? NF ? 平面 BDF , AM ? 平面 BDF ? AM // 平面 BDF ?????????10 分 (3)连结 CE,由 1)知 BC⊥平面 ACFE,所以 BC⊥AM 当 AM⊥CE 时△AEM∽△CAE 有

3a a 3 AC AE 即 得 EM ? ? a ???11 分 ? a EM 3 AE EM

所以,当 EM ? 20、

3 a 时 AM⊥CE 即 AM⊥平面 BCE,也即 AM⊥BE????12 分 3

解: (1)圆 C 方程化为: ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 6 ,
2 2

圆心 C (2, ? 2), 半径r ?

6 ?????????????????????1 分

设椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,则??????????????..2 分 a 2 b2

?4 2 ? ?1 2 ? ? ? a 2 b2 ?a ? 8 ? .............................................................5分 ? ? 2 b 2 b ? 4 ? 2 2 ? ?1 ? ( ) ? ( ) ? a 2 ?

-6-

所以所求的椭圆的方程是:

x2 y 2 ? ? 1 ????????????????.6 分 8 4

(2)由(1)得到椭圆的左右焦点分别是 F1 (?2, 0), F2 (2, 0) ,

| F2C |? (2 ? 2) 2 ? (0 ? 2) 2 ? 2 ? r ? 6
F2 在 C 内,故过 F2 没有圆 C 的切线
设 l 的方程为 y ? k ( x ? 2),即kx ? y ? 2k ? 0 ???????????????.8 分 点 C (2, ? 2) 到直线 l 的距离为 d ?

| 2k ? 2 ? 2k | 1? k 2

,

由d ?

6, 得
2

| 2k ? 2 ? 2k | 1? k 2

= 6 ?????????????????.9 分

化简得: 5k ? 4 2k ? 2 ? 0 解得: k ?

2 或k ? ? 2 ??????????????????????11 分 5

故 l 的方程为 2 x ? 5 y ? 2 2 ? 0或 2 x+y ? 2 2=0 ???????????12 分 21、 解: (1) f ? ? x ? ?

1 1 ? a 由 f ? ? 0 ? ? 0 ,得 a ? ?1 ,此时 f ? ? x ? ? ? x ?1 x ?1

当 x ? ? ?1, 0 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 在区间 ? ?1, 0 ? 上单调递增; 当 x ? ? 0, ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 函数在区间 ? 0, ?? ? 上单调递减;

? f ? x ? 函数在 x ? 0 处取得极大值,故 a ? ?1 ????????5 分
(2)? f ? ? x ? ? 2 x,? 令 g ? x ? ? 2x ?

1 1 ? a ? 2 x,? a ? 2 x ? x ?1 x ?1

1 ?1 ? x ? 2? x ?1
1
2

? g?? x? ? 2 ?

? x ? 1?

? 0, g ? x ? ?1, 2? 是增函数,? a ? g ?1? ?

3 ????10 分 2

-7-

(3) f ? ? x ? ?

1 ?a x ?1

?

1 ? 0,? 当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 函数在 ? ?1, ?? ? 上是增函数。 x ?1 1 当 a ? 0 时,令 f ? ? x ? ? 0, x ? ? ? 1 a
若 x ? ? ?1, ?

? ?

1 ? ? 1 ? ? 1? 时, f ? ? x ? ? 0 ,若 x ? ? ? ? 1, ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0 a ? ? a ?

综上,当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 递增区间是 ? ?1, ?? ? 当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 递增区间是 x ? ? ?1, ?

? ?

1 ? ? 1? , a ?

递减区间是 x ? ? ? 22、

? 1 ? ? 1, ?? ? ????13 分 ? a ?

解: (1)设等比数列 {an } 的首项为 a1 ,公比为 q。 依题意,有 2(a3 ? 2) ? a2 ? a4 代入 a2+a3+a4=28,得 a3 ? 8 ┉┉┉┉┉┉┉┉2 分 ∴ a2 ? a4 ? 20 ∴?
3 ? ? a1q ? a1q ? 20, 2 ? ? a3 ? a1q ? 8,

1 ? ? q ? 2 ?q ? 解之得 ? 或? 2 ┉┉┉┉┉┉┉┉4 分 ? a1 ? 2 ? a ? 32 ? 1
又 {an } 单调递增,∴ ? ∴ an ? 2
n

?q ? 2 ? a1 ? 2

┉┉┉┉┉┉┉┉6 分

(2) bn ? 2n ? log 1 2n ? ?n ? 2n
2

∴ ? sn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ... ? n ? 2
2 3 2 3 4

n


n n ?1

∴ ?2sn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ... ? ( n ? 1) ? 2 ? n2


-8-

∴①-②得 sn ? 2 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 ? n ? 2
2 3 n

n ?1

?

2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n ?1 1? 2

= 2n ?1 ? n ? 2n ?1 ? 2 ┉┉┉┉┉┉┉┉9 分 由 sn+(n+m)an+1<0, 即 2n?1 ? n? 2n?1 ? 2 ? n? 2n?1 ? m? 2n?1 ? 0 对任意正整数 n 恒成立, ∴ m? 2n?1 ? 2 ? 2n?1 。 对任意正数 n,m< ∵

1 ? 1 恒成立,┉┉┉┉┉┉┉┉11 分 2n

1 ? 1 ? ?1,? m ? ?1 2n

即 m 的取值范围是 (-?,- 1] 。┉┉┉┉┉┉┉┉13 分

-9-


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